专题04 轴对称之将军饮马五大模型重难点题型归纳-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（苏科版）

专题04 轴对称之将军饮马五大模型重难点题型归纳 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、“2定点1动点”作图问题 2 类型二、“2定点1动点”求周长最小值问题 3 类型三、“2定点1动点”求线段最小值问题 4 类型四、“1定点2动点”-线段/周长最小问题 5 类型五、“1定点2动点”-角度问题 6 压轴能力测评（11题） 7 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点 P 即 为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线 性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 类型一、“2定点1动点”作图问题 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点，． (1)若点关于轴、轴的对称点分别是点，，请分别描出点，并写出点，的坐标； (2)在轴上求作一点，使最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1-1】如图，、是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到、两池，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点（不写作法，但要保留作图痕迹）． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形，并写出的坐标________； (2)已知点，请在轴上找到一点且的值最小（作图）． 【变式1-3】如图，阳光明媚的周六，小明在学校（A）练习篮球，他接到妈妈的电话，要先去C街快递公司取包裹，再去D街购买文具，然后回到家里（B）．请画出小明行走的最短路径．    类型二、“2定点1动点”求周长最小值问题 【典例2】如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 【变式2-1】如图，在中，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（　　）    A．12 B．6 C．7 D．8 【变式2-2】如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为多少？（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2-3】如图：等腰的底边长为8，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ．    类型三、“2定点1动点”求线段最小值问题 【典例3】已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（　　） A．5 B．3 C． D． 【变式3-1】如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．    【变式3-2】如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ． 【变式3-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（　　） A．21 B．7 C．4 D．2 类型四、“1定点2动点”-线段/周长最小问题 【典例4】如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是 ． 【变式4-1】如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【变式4-2】如图，在等腰中，在、上分别截取、，使．再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．已知，，．若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．12.8 C．12 D．9.6 【变式4-3】如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ． 类型五、“1定点2动点”-角度问题 【典例5】如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（　　）    A．76° B．84° C．96° D．109° 【变式5-1】如图，在五边形中，，点P，Q分别在边，上，连接，， ，当的周长最小时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，四边形中，，，E、F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为 ．    【变式5-4】如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（　　）    A． B． C． D． 1．如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为 ． 3．如图，是等边的中线，点E，F分别是上的动点，当最小时的度数为 ． 4．如图，已知，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度，的周长的最小值是 ．    5．如图，钝角三角形的面积为，最长边， 平分，点 M、N 分别是、上的动点，则 的最小值为    6．如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则 °    7．如图，，，分别为射线，上的动点，为内一点，连接，，．若，则周长的最小值为 ． 8．如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为 ． 9．如图所示，在中，，直线是线段的垂直平分线，点D是线段的中点，点P是直线上一个动点．若的面积为，，则周长的最小值是 ． 10．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)若与关于y轴成轴对称，请在网格中画出 (2)写出三顶点坐标：__________，__________，__________； (3)若点P为x轴上一点，使最小（保留作图痕迹）． 11．如图所示，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短．    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【变式1-1】如图，、是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到、两池，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点（不写作法，但要保留作图痕迹）． 【答案】见详解 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；求两点和距离最小一般采用作出一点的轴对称图形．然后连接对称点与另一点，与所在直线的交点即为所求的点； ，的距离之和最小，那么应作出关于河岸的对称点，连接交河岸与一点，这点就是所求的点．根据轴对称的性质即可作出图. 【详解】解：根据题意作图如下： 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形，并写出的坐标________； (2)已知点，请在轴上找到一点且的值最小（作图）． 【答案】(1)，画图见解析 (2)，画图见解析 【分析】本题考查直角坐标系中的描点，轴对称作图，最短距离问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据对称点连线被对称轴垂直平分画图，根据图形即可得到的坐标； （2）找到点关于轴的对称点，连接交轴于一点即为点，根据图形求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据对称点连线被对称轴垂直平分分别作、、三点的对称点、、，连接、、，如图所示： 由图形可得：； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于一点即为点，如图所示： 由图可得：． 【变式1-3】如图，阳光明媚的周六，小明在学校（A）练习篮球，他接到妈妈的电话，要先去C街快递公司取包裹，再去D街购买文具，然后回到家里（B）．请画出小明行走的最短路径．    【答案】见详解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据两点之间线段最短，轴对称的性质即可得到答案． 【详解】解；如图所示：作点A的对称点，作点B的对称点，连接，交C街和D街于点， 则， 当点共线时，小明行走的路径最短， 故小明行走的最短路径是，    类型二、“2定点1动点”求周长最小值问题 【典例2】如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， 则， ， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故选：C． 【变式2-1】如图，在中，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（　　）    A．12 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B关于直线的对称点为点C，故当点P与点D重合时，的值最小，即可得到周长最小． 【详解】解：∵垂直平分， ∴点B，C关于对称． ∴当点P和点D重合时，的值最小． 此时， ∵， 周长的最小值是， 故选：C． 【变式2-2】如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为多少？（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点A关于直线的对称点为点B，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，．      是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点A关于直线的对称点为点B，， ， 的长为的最小值， 的周长最短． 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 【变式2-3】如图：等腰的底边长为8，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ．    【答案】10 【分析】本题考查的是最短路线问题，连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故得长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，，如下图：    ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：10． 类型三、“2定点1动点”求线段最小值问题 【典例3】已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【解答】解：如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H． ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝3， ∴点F′在AC上， ∵BE+EF＝BE+EF′， 根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长． 在Rt△ACD中，AC＝5， ∵•BC•AD＝•AC•BH， ∴BH＝， ∴BE+EF的最小值为， 故选：C 【变式3-1】如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．    【答案】6 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式即可得到，由垂直平分，得到点A，B关于对称，再说明的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点P到A，B两点的距离相等， 即， 要求最小，即求最小，则A、P、D三点共线， ∴的长度即的最小值， 即的最小值为6， 故答案为：6． 【变式3-2】如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性质．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得：， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：9． 【变式3-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（　　） A．21 B．7 C．4 D．2 【答案】B 【解答】解：连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点． ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝14，解得AD＝7， ∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， 连接AM，则CM+DM＝AM+DM≥AD， ∴当点M在线段AD上时，CM+DM的值最小， ∴AD的长为CM+MD的最小值． 故选：B． 类型四、“1定点2动点”-线段/周长最小问题 【典例4】如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，连接、，根据轴对称的性质、垂直平分线的性质可得，则欲求的最小值即为的最小值，即的最小值，则当时，即的值最小，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接、， 是、的对称轴， 即是线段的垂直平分线， ， 的最小值即为的最小值，即的最小值， 当时，即的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长， 在中，，，， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称的性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、垂线段最短及含角的直角三角形的性质，解题关键是找出点、的位置． 【变式4-1】如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则， ∴，此时的值最小，则， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 【变式4-2】如图，在等腰中，在、上分别截取、，使．再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．已知，，．若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．12.8 C．12 D．9.6 【答案】D 【分析】过点作于点，交于点，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，然后根据，可得．作点关于的对称点交于点，连接，可得，根据垂线段最短，当点、分别在、位置时，最小，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 由作图可知，平分， ， ， ， ，，，， ， ，， 作点关于的对称点交于点，连接， ， ， 当点、分别在、位置时，最小， 则的最小值为的长． 故选：D． 【点睛】本题考查尺规作作角平分线，利用轴对称求最短距离问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式4-3】如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，连接，过点作，可得，根据垂线段最短可知当、、三点共线且时，的最小值为，结合面积法求解即可． 【详解】解：连接，过点作， ，，，， ，， ， 当、、三点共线且时，的最小值为， ， ，即的最小值为， 故答案为：． 类型五、“1定点2动点”-角度问题 【典例5】如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（　　）    A．76° B．84° C．96° D．109° 【答案】A 【分析】本题考查了最短路线问题．延长至，使，延长至，使，则垂直平分，垂直平分，所以，，的周长为，要使其周长最小，即使最小，设，则，设，则，在中，利用三角形内角和定理，可以求出，进一步可以求出的值． 【详解】解：如图，延长至，使，    延长至，使， 则垂直平分，垂直平分， ，， 根据两点之间，线段最短， 当，，，四点在一条直线时，最小， 则的值最小， 即的周长最小， ，， 可设，， 在中，， ，， ， 故选：A． 【变式5-1】如图，在五边形中，，点P，Q分别在边，上，连接，， ，当的周长最小时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的性质．延长到点G使得，延长到点F使得，连接交、于点、，则这时的周长最小，根据无变形的内角和求出的度数，根据轴对称的性质得到，，然后计算解题即可． 【详解】解：延长到点G使得，延长到点F使得，    ∵， ∴、垂直平分、， 连接交、于点、， 则，， ∴，这时的周长最小， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式5-2】如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点C关于的对称点E，关于的对称点F，则，，可得，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，根据四边形中，，得，根据三角形内角和定理得，根据等边对等角得，，即可得，根据三角形内角和定理即可得． 【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点E，关于的对称点F， 则，， ∴， ∴当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径． 【变式5-3】如图，四边形中，，，E、F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题，根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于E，交于F， 则即为的周长最小值．作延长线，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-4】如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，当点E、F在上时，的周长为，此时周长最小，根据可求出α的度数． 【详解】解：如图，作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接，交于E，于F．此时，的周长最小． 连接，，，．    ∵点P与点C关于对称， ∴垂直平分， ，，， 同理，可得，，． ，， ． 又的周长为：， ， 是等边三角形， ， ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决． 1．如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 2．如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称最短问题，坐标有图形性质，正方形的性质等知识，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 3．如图，是等边的中线，点E，F分别是上的动点，当最小时的度数为 ． 【答案】 【分析】根据对称性和等边三角形的性质，过点B作于点F，交于点E，此时，最小，进而求解． 【详解】解：∵AD是等边 的中线， ∴， ∴， ∴， ∴当B、F、E位于同一直线，且时，最小． 过点B作于点F，交于点E， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点E和F的位置． 4．如图，已知，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度，的周长的最小值是 ．    【答案】 【分析】分别作出点关于，两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与，的交点即为所确定的点；连接，，，由轴对称的性质得：，，，证得是等边三角形，即可得到结论． 【详解】解：①分别作点关于，的对称点，；连接，，分别交，于点、点，则此时的周长最小． 连接，，， 由轴对称的性质得：， ，， ， ， 是等边三角形， ，，， ∴， 的周长， 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了轴对称最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点． 5．如图，钝角三角形的面积为，最长边， 平分，点 M、N 分别是、上的动点，则 的最小值为    【答案】4 【分析】过点C作于点E，交于点M，过点M作于点N，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，交于点M，过点M作于点N，    ∵ 平分，，， ， 当C、M、E三点共线时，有最小值， ， ∵三角形的面积为12，， ∴， ． 即的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值为转化为，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 6．如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则 °    【答案】150 【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．   ， ， ，，且，， 故答案为：150． 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键． 7．如图，，，分别为射线，上的动点，为内一点，连接，，．若，则周长的最小值为 ． 【答案】5 【分析】首先分别作点P关于，的对称点C、D，连接，分别交，于点M、N，连接、、，，易得是等边三角形，且此时的长即为周长的最小值，继而求得答案． 【详解】解：如图所示：分别作点P关于，的对称点C、D，连接，分别交，于点M、N，连接、、，， ∵点P关于的对称点为点C， ，，； ∵点P关于的对称点为点D， ，，， ，， 是等边三角形， ， 的周长为： ， 周长的最小值为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题以及等边三角形的判定与性质，注意准确确定点M，N的位置是关键． 8．如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】连接，根据和都是边长为4的等边三角形，证明，可得，所以，进而可得当点P与点C重合时，的值最小，正好等于的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵和都是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点P与点C重合时，点A与点关于对称，的值最小，正好等于的长， ∴的最小值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题、全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 9．如图所示，在中，，直线是线段的垂直平分线，点D是线段的中点，点P是直线上一个动点．若的面积为，，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】连接；由是线段的垂直平分线，得到，故；当三点共线时，最小，即为，此时的周长最小，再根据等腰三角形三线合一的性质求解即可； 【详解】解：如图，连接； ∵是线段的垂直平分线 ∴ ∴ ∴当三点共线，即时，的周长最小； ∵，点D是线段的中点； ∴，； ∴ 即： 解得： ∴的周长最小值为： 故答案为： 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形三线合一的性质、线段的最小值等知识点；熟练运用上述基础知识转化线段是解题的关键． 10．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)若与关于y轴成轴对称，请在网格中画出 (2)写出三顶点坐标：__________，__________，__________； (3)若点P为x轴上一点，使最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题． （1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可； （2）由（1）即可求解； （3）作A点关于x轴的对称点，连接交y轴于P点． 【详解】（1）解： 与关于x轴对称，， ， 如图，为所作； （2）解：由（1）知， 故答案为：； （3）解：如图，点P为所作． 11．如图所示，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短．    【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质以及线段最短，要使其所走的总路程最短，可联想到“两点之间，线段最短”，因此需将三条线段转化到一条线段上，为此作点P关于直线a的对称点，作点P关于直线b的对称点，连接，分别交直线a，b于点A，B，连接即得放牧所走的最短路线． 【详解】解：如图所示，作点P关于直线a的对称点，作点P关于直线b的对称点，连接，分别交直线a，b于点A，B，连接 由轴对称的性质知，，， ∴先沿路线到点A处吃草，再沿路线到点B处饮水，最后沿路线回到营地， 即四点共线时，按这样的路线放牧所走的总路程最短．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$