精品解析：江苏省常州市第一中学2024-2025学年高三上学期期初检测数学试题

常州市第一中学2024-2025学年第一学期期初检测 高三数学 （时间：120分钟 满分：150分 试卷共6页） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对分式不等式、含绝对值不等式求解后结合集合运算即可得. 【详解】由，可得或，即， 由，可得或， 即，所以. 故选：B． 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦函数性质得出的关系，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】由， 可得或， 即或， 所以由“”推不出“”，由“”可推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 3. 设均为正数，且，，．则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，， 的图象， 与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出． 考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用． 【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解． 【详解】 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再由同角三角函数的基本关系及两角差的正弦公式求出，最后由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为， 所以， 因为， 则． 故选：B． 5. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量法求点到面的距离即可. 【详解】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示. 所以，，，，所以，. 设平面的法向量， 所以令，解得，， 所以平面的一个法向量，又， 所以点到平面的距离. 故选：B. 6. 已知函数，若对于任意实数k，总存在实数，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将恒成立结合有解问题转化为函数的值域问题即可. 【详解】对于任意实数k，总存在实数，使得成立， 即值域为，因此要求取遍一切正数， 时，符合题意． 时，需，即． 综上，实数a的取值范围． 故选：D 7. 若的图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”.）若恰有两个“友情点对”，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要求“友情对点”，可把的函数图象关于原点对称，即研究对称过去的图象和的图象有两个交点即可. 【详解】关于原点对称的解析式为． 的图象与的交点个数即为方程根的个数，即， 设，于是． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，函数取最小值． 于是作出的图象如图所示： 所以，即时与有两个交点， 原函数有两对“友情对点”．故实数a的取值范围是． 故选：D 8. 已知函数、的定义域均为，函数的图象关于点对称，函数的图象关于y轴对称，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对称性及奇偶性可得，，再由已知条件可得的周期，将所求转化为关于的函数值后，利用周期及即可求解. 【详解】由函数的图象关于点对称， 所以，令，可得，即， 由函数的图象关于y轴对称，可知函数为偶函数， 所以， 由，令，可得， 由，可得，， 两式相加可得，即， 可得，由可得， 即，故，所以， 即函数的周期， 由可知， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据中心对称及偶函数得出一般关系，，再由，利用消元思想，转化为关于的关系式是解题的第一关键，其次利用的关系式求出的周期是第二个关键点，求出周期后利用赋值求特殊函数值即可得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用基本不等式和不等式的性质判断各选项即可. 【详解】由，及， 可得即，及即，则A正确，C错误； 由可得，由可得， 则，则，即，B正确； ，由可得，则，时取等，D错误； 故选：AB． 10. 已知函数图像的一条对称轴是，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 函数图像的一个对称中心为 D. 若函数在上单调递减，则 【答案】AD 【解析】 【分析】首先利用降幂公式，以及函数的对称性，得到函数的解析式，根据周期公式，判断A，代入判断B，代入，即可判断C，根据函数的定义域，求得到范围，根据函数的单调区间，确定端点的范围，即可求解的范围，即可判断D. 【详解】，则有，，解得，， 因为，所以，所以， 则的最小正周期为，故A正确； ，故B错误； 图像的一个对称中心为，故C错误； ，当时，，若函数在上单调递减，则，解得，故D正确． 故选：AD 11. 已知函数（，且），则（ ） A. 当时，恒成立 B. 当时，有且仅有1个零点 C. 当时，没有零点 D. 存在，使得存在2个极值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，不等式变形后求函数的最值进行判断；选项B，确定函数的单调性，利用零点存在定理判断；选项C，结合选项A中的新函数进行判断；选项D，求导，由导函数等于0，构造新函数确定导函数的零点个数，得极值点个数，判断D． 【详解】对于A选项，当时，，即，设， 则，故当时，，当时，， 所以，故A正确； 对于B选项，当时，单调递减，且当时，，，因此只有一个零点，故B正确； 对于C选项，，即，当时，由A选项可知，， 因此有两个零点，即有两个零点，故C错误； 对于D选项，，令得：，两边取对数可得： ，设 则，令得：， 在上单调递减，在上单调递增； 最多有两个零点，即至多有两个根. 且当，，. ，，，. 则，使得，也，使得. 故存在，使得存在2个极值点.故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点、方程的根与图象交点的等价，考查函数的单调性、极值与最值的应用，本题的难点在于对式子的变形以及构造函数，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，属于难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“”的否定是_______. 【答案】 【解析】 【分析】由命题否定的定义即可求解. 【详解】由命题否定的定义，可知命题“”的否定是“”. 故答案为：. 13. 已知函数，若在区间上有且仅有2个极值点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简函数解析式得，接着由得，再根据已知条件结合函数图象性质得，解该不等式即可得解. 【详解】函数， 因为，，所以， 由于函数在区间上有且仅有2个极值点， 则由函数图象性质可知，解得. 故答案为：. 14. 已知是函数的导函数，且对任意的实数x都有，，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据条件构造函数，再由函数的导数倒推函数的解析式，再求解不等式. 【详解】令，， 则，又，∴， ∴， 所以，即， 解得：或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为． （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标缩短到原来的，再向右平移，得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先化简，再利用相邻对称轴与对称中心的距离求出周期，再求出参数，然后利用复合函数同增异减方式求出单调递增区间即可； （2）先根据题意求出，然后求其值域即可. 【小问1详解】 因为 ， 又由题，所以， 所以， 令，，则，， 所以函数的单调递增区间为，． 【小问2详解】 由（1），故由题意可得， ∵，∴， 故， 所以，即． 16. 如图，平行六面体中，底面ABCD是边长为2的菱形，且，，，，AC与BD交于O． （1）证明：平面ABCD； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明，以及； （2）根据（1）的结果，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 ∵底面ABCD是边长为2的菱形，∴． ∵，，∴，∴． ∵点O为线段BD中点，∴． 在中，，，， ∴，∴． 则，∴． 又，平面ABCD，平面ABCD， ∴平面ABCD． 【小问2详解】 由（1）知，平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，． 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，即，取，则． ，即，取，则． 设二面角大小为，则． ∴， ∴二面角的正弦值为． 17. 第22届世界杯足球赛在卡塔尔举办，各地中学掀起足球热．甲、乙两名同学进行足球点球比赛，每人点球3次，射进点球一次得50分，否则得0分．已知甲每次射进点球的概率为，且每次是否射进点球互不影响；乙第一次射进点球的概率为，从第二次点球开始，受心理因素影响，若前一次射进点球，则下一次射进点球的概率为，若前一次没有射进点球，则下一次射进点球的概率为． （1）设甲3次点球的总得分为X，求X的概率分布列和数学期望； （2）求乙总得分为100分的概率． 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为100 （2） 【解析】 【分析】（1）运用二项分布求得其分布列及期望. （2）乙总得分为100分的事件为3次点球中有2次射中1次未射中，结合互斥事件的概率加法公式求解即可. 【小问1详解】 设甲3次点球射进的次数为Y，则， Y的可能取值为0，1，2，3，且，则X的所有可能的取值为0，50，100，150． ； ； ； ， 所以X的概率分布列为 X 0 50 100 150 P ， （或）． 【小问2详解】 设“乙第i次射进点球”为事件（，2，3）， 则乙总得分为100分的事件为． 因为，，互斥． 所以， 故乙总得分为100分的概率为． 18. 已知函数，． （1）若，且直线是曲线的一条切线，求实数的值； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】（1）代入a的值，根据切线方程得到关于x0的方程，求出切点坐标，解出m即可； （2）问题转化为alnx1＞0，记g（x）＝alnx1，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可； （3）法一：求出h（x2）﹣h（x1）的解析式，记m（x）＝2[（x）lnxx]，x≥1，根据函数的单调性求出a的范围即可； 法二：由h（x）＝f（x）﹣x＝alnxx，x＞0，以及h（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），得到x1+x2＝a，x1x2＝1，设t2（t＞1），从而h（x2）﹣h（x1） 等价于 h（t）＝（t）lntt，t＞1，记m（x）＝（x）lnxx，x≥1，根据函数的单调性求出a的范围即可． 【详解】（1）当时， ，． 设直线与曲线相切于点， 则，即， 解得，即切点为， 因为切点在上，所以，解得． （2）不等式可化为． 记， 则对任意恒成立． 考察函数， ，． 当时， ，在上单调递减，又， 所以，不合题意； 当时， ，；， ， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，在上单调递增， 所以时， ，符合题意； 若，即时，在上单调递减， 所以当时， ，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围为． （3）方法一：，，． 因为有两个极值点， ， 所以，即的两实数根为， ， ， 所以， ， ，所以， ， 从而 ． 记，． 则 (当且仅当时取等号)， 所以在上单调递增，又， 不等式可化为，所以． 因为，且在上递增，所以， 即的取值范围为． 方法二：， ，． 因为有两个极值点， ， 所以，即的两实数根为， ， ， 所以， ， ，所以，． 设，则， ，所以， ， ， 从而等价于，． 记，． 则 (当且仅当时取等号)， 所以在上单调递增． 又， ，所以． 因为，且在上递增，所以， 即的取值范围为． 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，换元思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题． 19. 在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”. （1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由； （2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值； （3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义直接判断即可. （2）将已知条件转化为函数与直线最多一个交点，利用两个函数图象的交点与对应方程根的关系，分离，构造新函数，转化为新函数在上单调，进而求解. （3）同问题（2）根据已知条件构造新函数，转化为新函数在上单调，求导，分离参数，转化为恒成立问题求最值即可. 【小问1详解】 函数不是“旋转函数”，理由如下： 逆时针旋转后与轴重合， 当时，有无数个与之对应，与函数的概念矛盾， 因此函数不是“旋转函数”. 【小问2详解】 由题意可得 函数与函数最多有1个交点， 且， 所以最多有一个根， 即最多有一个根， 因此函数与函数R最多有1个交点， 即函数在上单调， 因为，且， 所以，所以， 即，，即的最大值为. 【小问3详解】 由题意可得函数与函数最多有1个交点， 即， 即函数与函数最多有1个交点， 即函数在上单调， ，当时， 所以， 令，则， 因为在上单调减，且， 所以存在，使， 即， 所以在单调递增，单调递减， 所以， 即. 【点睛】方法点睛：利用函数的零点与对应方程的根的关系，我们经常进行灵活转化： 函数的零点个数方程的根的个数函数与图象的交点的个数； 另外，恒成立求参数范围问题往往分离参数，构造函数，通过求构造函数的最值来求出参数范围，例：若恒成立，只需，恒成立，只需. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市第一中学2024-2025学年第一学期期初检测 高三数学 （时间：120分钟 满分：150分 试卷共6页） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设均为正数，且，，．则（　　） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若对于任意实数k，总存在实数，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若的图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”.）若恰有两个“友情点对”，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数、的定义域均为，函数的图象关于点对称，函数的图象关于y轴对称，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数图像的一条对称轴是，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 函数图像的一个对称中心为 D. 若函数在上单调递减，则 11. 已知函数（，且），则（ ） A. 当时，恒成立 B. 当时，有且仅有1个零点 C. 当时，没有零点 D. 存在，使得存在2个极值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“”的否定是_______. 13. 已知函数，若在区间上有且仅有2个极值点，则的取值范围是________． 14. 已知是函数的导函数，且对任意的实数x都有，，则不等式的解集是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为． （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标缩短到原来的，再向右平移，得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 16. 如图，平行六面体中，底面ABCD是边长为2的菱形，且，，，，AC与BD交于O． （1）证明：平面ABCD； （2）求二面角的正弦值． 17. 第22届世界杯足球赛在卡塔尔举办，各地中学掀起足球热．甲、乙两名同学进行足球点球比赛，每人点球3次，射进点球一次得50分，否则得0分．已知甲每次射进点球的概率为，且每次是否射进点球互不影响；乙第一次射进点球的概率为，从第二次点球开始，受心理因素影响，若前一次射进点球，则下一次射进点球的概率为，若前一次没有射进点球，则下一次射进点球的概率为． （1）设甲3次点球的总得分为X，求X的概率分布列和数学期望； （2）求乙总得分为100分的概率． 18. 已知函数，． （1）若，且直线是曲线的一条切线，求实数的值； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围． 19. 在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”. （1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由； （2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值； （3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $