精品解析：广东省珠海市2025届高三第一次摸底考试数学试题

珠海市2025届高三第一次摸底考试 数学 本卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件，结合补集的运算法则求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：B. 2. 复数（i为虚数单位），z的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将该复数化简为复数标准形式，再写出共轭复数即可. 【详解】，所以z的共轭复数为. 故选:B 3. 在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【详解】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C 4. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 5. 一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积从小到大之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该直角三角形的三条边长分别为，求出三角形斜边上的高，再根据圆锥的体积公式即可求解. 【详解】设该直角三角形的三条边长分别为， 设三角形斜边上的高为， 则， ， 由题意设该3个几何体的体积为， 则， ， ， ， 所以这3个几何体的体积从小到大之比为. 故选：. 6. 已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为 与函数 的图象没有交点，利用数形结合法求解. 【详解】设 ，的图象如图所示， 问题转化为与函数 的图象没有交点， 所以或, 解得或, 故选：A. 7. 函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是（ ） A. B. 函数图象关于点对称 C. 函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D. 若，则函数的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式可求判断A，验证是否为函数的对称中心判断B，结合函数图象平移变换结论判断C，结合不等式性质及正弦函数性质判断D. 【详解】. 因为，的最小正周期为， 所以，解得，故A选项正确； 所以，， 因为，所以，函数图象关于点对称，B选项正确； 将函数图象向右移个单位后可得函数的图象， 因为的图象关于轴对称， 所以,即， 又，所以的最小值为，C选项正确； 若，则， 所以，故， 所以当时，函数取最大值，最大值为，D错误. 故选：D. 8. 若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将原不等式转化为对一切恒成立，设，则后者可转化为恒成立即为函数的极大值，故可求参数的范围或取值，故可得正确的选项，或者将原不等式转化为，根据左右两侧对应的函数的图象位置关系可求参数的范围. 【详解】法一：不等式对一切恒成立即为 不等式对一切恒成立， 今，则有； 故不等式对一切恒成立等价于恒成立， 所以为的最大值点. 显然，，否则时，，与题设矛盾. 又，此时 若，存在区间，是否且，总有， 这与为的最大值点矛盾，故不成立， 同理也不成立，故，则， 当时，当时，，当时，， 故在上递增，上递减，符合题意； 当时，当时，， 当时，， 故在上递减，上递增，上递减， 而当时，， 故即，故恒成立，故符合题意. 综上，，因此. 法二：不等式可化为， 令， 当时，，此时，直线恒过点， 故只需直线为在点处的切线即可， ，此时. 当时，亦恒过点， 为使对一切恒成立， 需开口向下，且在点处与有公切线即可， 故，此时. 综上，的取值范围是. 故选：A. 【点睛】思路点睛：多变量不等式恒成立问题，可将原不等式作适当变形，从而将恒成立问题转化为图象的位置关系，或者根据不等式的特征将不等式恒成立问题转化为函数的极值问题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设A，B为随机事件，且，是A，B发生的概率．，则下列说法正确的是（ ） A. 若A，B互斥，则 B. 若，则A，B相互独立 C. 若A，B互斥，则A，B相互独立 D. 与相等 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；由相互独立事件的概念可判断B选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C选项；由条件概率公式化简，可判断D选项. 【详解】对于A：若A，B互斥，根据互斥事件的概率公式，则，故A正确； 对于B：由相互独立事件的概念知，若，则事件A，B是相互独立事件，故B正确； 对于C：若A，B互斥，则A，B不一定相互独立， 例：抛掷一枚硬币的试验中，事件“正面朝上”，事件“反面朝上”， 事件与事件互斥，但，， 所以不满足相互独立事件的定义，故C错误； 对于D：， ， 所以与相等，故D正确. 故选：ABD. 10. 设，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象与圆有且只有两个公共点 B. 存在无数个等腰三角形ABD，其三个顶点都在函数的图象上 C. 存在无数个菱形ABCD，其四个顶点都在函数的图象上 D. 存在唯一的正方形ABCD，其四个顶点都在函数的图象上 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，结合函数的性质与图象判断即可；对于B、C，利用函数关于原点对称，结合等腰三角形三线合一，以及菱形的对角线互相垂直判断即可；对于D，由曲线的对称性，可知要使得正方形存在，则为等腰直角三角形，利用极限思想可得至少存在两个正方形. 【详解】对于选项A，令，当时，， 当时，，则函数在、上单调递增，在上单调递减， 又，，函数的图象与圆得图象如图所示： 故函数的图象与圆有且只有两个公共点，故A正确； 对于选项B、C，由于函数的图象关于坐标原点成中心对称， 过点作直线交的图象于、两点， 过点作的垂线交的图象于、两点， 则为等腰三角形，四边形为菱形， 当线段绕点转动时， 仍为等腰三角形，四边形仍为菱形，故选项B、C均正确； 对于选项D：由于， 故要使得正方形存在，则为等腰直角三角形， 显然，当时，，点在函数图象外侧，则， 此时， 利用极限思想，当时，，此时； 当时，，此时； 如图所示，故至少存在两个正方形，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是，熟练掌握函数的对称性，注意使用极限思想，从而得到至少两个正方形. 11. 中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系中，到两定点，距离之积为常数的点的轨迹C是双纽线.若是曲线C上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C的图象关于原点对称 B. 曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 D. 曲线C上有且仅有3个点P满足 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意求出轨迹的方程，把代入的方程可判断；令，，得的范围可判断；由曲线的方程可得，根据可判断；由题意得，设，结合题意计算可判断. 【详解】对于选项A： 化简得到：， 将代入可得， 所以曲线. 把代入得， 所以，曲线的图象关于原点对称，故A正确； 对于选项B：令解得，即：曲线经过， 结合图象，得. 今，得， 令，得， 因此，结合图象曲线只能经过3个整点. 故B错误； 对于选项C：可得， 所以曲线上任意一点到坐标原点的距离， 即：都不超过3，故C正确； 对于选项D：点满足，则在垂直平分线上，则， 设，则， ， 故只有原点满足，故D错误. 故选：. 【点睛】方法点睛：相关点代入法求轨迹方程的方法： 一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻找代换关系. （1）求谁设谁，设所求点的坐标为； （2）所依赖的点称之为“参数点”，设为等； （3）“参数点”满足某个（些）方程，可供代入； （4）寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值； （5）代入方程，消去参数值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与曲线相切，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求解即可. 【详解】设切点坐标为，由于， 所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：，即， 所以，， 故答案为：. 13. 已知点P在双曲线上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为45，则______． 【答案】25 【解析】 【分析】设P在双曲线右支上，由双曲线定义得到，由余弦定理和面积公式，得到，进而得到，从而求出，求出答案. 【详解】设P在双曲线右支上，则， 由余弦定理得 ， 所以， 又 所以，解得，结合， 则， ， 又， 故， 故. 故答案为：25 14. 甲､乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为72分，方差为90；乙班的平均成绩为90分，方差为60.那么甲､乙两班全部90名学生的平均成绩是__________分，方差是_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平均数公式及方差公式计算可得. 【详解】甲､乙两班全部名学生的平均成绩为分， 方差为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，，且． （1）求的值； （2）若的外接圆半径为5，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）32 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积公式得到方程，由正弦定理和，得到，结合同角三角函数关系得到方程，求出； （2）利用正弦定理得到，由余弦定理和基本不等式求出，从而得到面积的最大值. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， 又， 故， 即， 又，故，故， 又，故， 又，故，解得； 【小问2详解】 由正弦定理得， 由（1）知，， 所以， 又，， 由余弦定理得， 所以， 由基本不等式得，故，解得， 当且仅当时，等号成立， 故， 故面积的最大值为32. 16. 如图，三棱柱中，侧面底面，， ，点是棱的中点． （1）证明：； （2）求面与面夹角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由侧面底面得底面，进而可证； （2）向量法求面与面的夹角. 【小问1详解】 因为三棱柱中， 故四边形为菱形，又因，点是棱的中点， 故， 又侧面底面，侧面底面， 侧面， 所以底面，又底面，故. 【小问2详解】 因， ，故为直角三角形， 故， 如图分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，， 由（1）可知，，，故，， 则， 由题意平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为， 则即，令，则，， 则， 设面与面夹角为，则， 故， 面与面夹角的正切值为. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆C上，直线． （1）若直线l与椭圆C有两个公共点，求实数t的取值范围； （2）当时，记直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P，Q为椭圆C上两动点，求四边形PAQB面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦距可得，再根据点在椭圆上可得，解出后可得椭圆的方程，联立直线方程和椭圆方程后结合判别式可求的范围； （2）由题设可得当过且与直线平行的直线与椭圆相切时面积之和最大，故求出切点坐标后可求面积和的最大值. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，则，故， 而在椭圆上，故， 故，故椭圆方程为：， 由可得， 故即即. 【小问2详解】 当时，直线，故， 由题设可得为位于直线的两侧，不妨设在直线上方，在直线的下方， 当过的直线与直线平行且与椭圆相切时， 到直线的距离最大及的面积最大， 当过的直线与直线平行且与椭圆相切时， 到直线的距离最大及的面积最大， 由（1）可得相切时即， 当时，切点的横坐标为，切点坐标为，在直线上方， 此时到的距离为， 当时，切点的横坐标为，切点坐标为，在直线下方； 此时到的距离为， 又 故四边形PAQB面积的最大值为8. 18. 设函数，． （1）试判断的单调性； （2）证明：对任一，有，当且仅当时等号成立． 【答案】（1）在上单调递增 （2）令，则， ，又因为在上单调递增， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，所以在处取最小值， 即， 所以，即. 则对任一，有，当且仅当时等号成立． 【解析】 【分析】（1）求出，设，再求出，可得，则得在上单调递增； （2）令，可得，，由在上单调递增，可得在处取最小值，则，即，命题得证. 【小问1详解】 函数，， 则，设， 则， 因为，所以， 所以， 所以，在上单调递增. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：小问（2），令，则，由在上单调递增，得到在处取最小值，可得，则命题得证. 19. 对于数列，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列．记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足：. （1）若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值； （2）若数列是纯周期数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由； （3）证明：不论为何值，总存在使得． 【答案】（1）,, （2），理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别取，，，，，根据已知条件逐一验证即可求解； （2）分别取，，，，，，，根据已知条件逐一验证得出猜想，并验证猜想； （3）根据（2）的分析，时，满足题意；再证明，当时，也存在使得即可. 【小问1详解】 因为对任意整数都有， 所以取，则，不符合题意； 取，，， 此时，数列为常数列； 取，，，不符合题意； 取，，，， 此时，数列的通项公式为； 取，，， ， 此时，数列的通项公式为； 所以满足条件的三个的值为,,； 【小问2详解】 取，，， 此时数列为常数列，为纯周期数列； 取，则，， 此时数列的通项公式为，为混周期数列； 取，，， 此时，数列为常数列，为纯周期数列； 取，，，， 此时数列的通项公式为，为混周期数列； 取，，，， 此时，数列的通项公式为，为混周期数列； 取，，， ， 此时，数列的通项公式为，为混周期数列； 取， ， ， 此时，数列为常数列，为纯周期数列； 根据上述计算得出猜想， 当时，数列为常数列也是纯周期数列， 下面进行验证： 当时，， ，， 此时数列为常数列，也是纯周期数列； 【小问3详解】 首先，根据（2）的分析，发现当时，数列为常数列， 也是纯周期数列，满足题意； 接下来证明，当时，也存在使得； 因为， 所以只需要证明数列中始终存在值为1的项即可， 当时，显然存在值为1的项， 当时，有或， 若为偶数，则， 若为奇数时， 则， ， 所以， 所以无论为奇数还是偶数，均有； 特别的，当为奇数时，且， 类似的，可得：无论为奇数还是偶数，均有； 特别的，当为奇数时，且； 所以无论无论为奇数还是偶数，均有； 若，则恒为奇数且， 于是，假设数列的且， 所以，恒为奇数且， 由于中仅有有限个正整数，故数列从某项起恒为常数； 设为第一个值为的项， 而， 故， 这与“是第一个值为的项”相矛盾， 所以，数列除第一项外，还存在不属于区间的项， 假设这些不属于区间的项全部属于区间，那么也会出现类似的矛盾， 所以，数列除第一项外，存在不属于区间和的项， 以此类推，数列一定存在小于值为的正整数的项，即存在值为的项， 得证. 【点睛】方法点睛：考查分段定义周期数列的相关知识，方法是给赋值，逐一根据已知题意进行验证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市2025届高三第一次摸底考试 数学 本卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（i为虚数单位），z的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 5. 一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积从小到大之比为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是（ ） A. B. 函数图象关于点对称 C. 函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D. 若，则函数的最大值为 8. 若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设A，B为随机事件，且，是A，B发生的概率．，则下列说法正确的是（ ） A. 若A，B互斥，则 B. 若，则A，B相互独立 C. 若A，B互斥，则A，B相互独立 D. 与相等 10. 设，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象与圆有且只有两个公共点 B. 存在无数个等腰三角形ABD，其三个顶点都在函数的图象上 C. 存在无数个菱形ABCD，其四个顶点都在函数的图象上 D. 存在唯一的正方形ABCD，其四个顶点都在函数的图象上 11. 中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系中，到两定点，距离之积为常数的点的轨迹C是双纽线.若是曲线C上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C的图象关于原点对称 B. 曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 D. 曲线C上有且仅有3个点P满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与曲线相切，则______． 13. 已知点P在双曲线上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为45，则______． 14. 甲､乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为72分，方差为90；乙班的平均成绩为90分，方差为60.那么甲､乙两班全部90名学生的平均成绩是__________分，方差是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，，且． （1）求的值； （2）若的外接圆半径为5，求面积的最大值． 16. 如图，三棱柱中，侧面底面，， ，点是棱的中点． （1）证明：； （2）求面与面夹角的正切值． 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆C上，直线． （1）若直线l与椭圆C有两个公共点，求实数t的取值范围； （2）当时，记直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P，Q为椭圆C上两动点，求四边形PAQB面积的最大值． 18. 设函数，． （1）试判断的单调性； （2）证明：对任一，有，当且仅当时等号成立． 19. 对于数列，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列．记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足：. （1）若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值； （2）若数列是纯周期数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由； （3）证明：不论为何值，总存在使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $