第一次月考7大压轴考法52题专练（第21～22章：一元二次方程+二次函数）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（人教版）

九年级上学期第一次月考7大压轴考法52题专练（第21~22章） 一．根的判别式（共4小题） 1．（2023秋•龙岗区校级月考）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 ⑤存在实数、，使得； 其中正确的　　 A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 2．（2023秋•建平县校级月考）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 3．（2023秋•昆山市校级月考）已知关于的方程， （1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 4．（2023秋•南部县校级月考）已知，是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为，，，那么可以根据秦九韶海伦公式可得：，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 二．根与系数的关系（共5小题） 5．（2023秋•汨罗市月考）如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是　　 ． 6．（2023秋•花都区校级月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　 　（填序号） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； ④若方程以是倍根方程，则必有． 7．（2023秋•通川区校级月考）如果方程有两个实数根，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知、是方程的二根，则　　 （2）已知、、满足，，求正数的最小值． （3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 8．（2023秋•南海区校级月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为，则另一个根为，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题： （1）方程①；方程②这两个方程中，是倍根方程的是 　　（填序号即可）； （2）若是倍根方程，求的值； （3）关于的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式． 9．（2023秋•衡阳县月考）设是不小于的实数，关于的方程有两个不相等的实数根、， （1）若，求值； （2）求的最大值． 三．一元二次方程的应用（共6小题） 10．（2023秋•顺德区校级月考）等腰的直角边，点、分别从、两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，已知沿射线运动，沿边的延长线运动，与直线相交于点．设点运动时间为，的面积为． （1）求出关于的函数关系式； （2）当点运动几秒时，？ （3）作于点，当点、运动时，线段的长度是否改变？证明你的结论． 11．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． （1）、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； （2）、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离是． 12．（2022秋•迎泽区校级月考）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降元． （1）零售单价下降元后，该店平均每天可卖出　 　只粽子，利润为　　 元 ． （2）在不考虑其他因素的条件下，当定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？ 13．（2024春•东营区校级月考）如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求的值？ （2）的面积能否为面积的一半？若能，求出的值；若不能，说明理由． 14．（2024春•西湖区校级月考）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点 也随即停止运动．如果、两点同时出发． ①经过几秒后的面积等于； ②的面积能否等于，并说明理由． 15．（2023秋•青羊区校级月考）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形的周长是，求面积． 四．二次函数的性质（共3小题） 16．（2023春•武穴市月考）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点，的坐标分别为，，，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为　　 A．或 B．或 C．或 D．或 17．（2023秋•义乌市月考）如图，四边形是边长为的正方形，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为 　 　． 18．（2023秋•虎丘区校级月考）直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则　 　． 五．二次函数图象与系数的关系（共2小题） 19．（2023秋•江南区月考）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数为常数）在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 20．（2023秋•江夏区校级月考）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤的实数），其中正确结论的序号有　 　． 六．抛物线与x轴的交点（共2小题） 21．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点是函数图象的“1倍点”，点，是函数图象的“2倍点”． （1）函数的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”； （2）若抛物线上有且只有一个“1倍点” ，该抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．当时，求： ①的取值范围； ②直接写出的度数． 22．（2024春•滨城区校级月考）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点． （1）求此抛物线的解析式； （2）直接写出点和点的坐标； （3）若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标． 七．二次函数综合题（共28小题） 23．（2024春•东昌府区月考）如图，为已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连结． （1）求该抛物线的表达式； （2）点为该抛物线上一动点（与点、不重合），设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②该抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（2024秋•汉川市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，且对称轴是直线． （1）求直线的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线1于点，过点作，垂足为．求的最大值及此时点的坐标． 25．（2023秋•海珠区月考）抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），且，，与轴交于点，点的坐标为，连接，以为边，点为对称中心作菱形．点是轴上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点，交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）轴上是否存在一点，使三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点在线段上运动时，试探究为何值时，四边形是平行四边形？请说明理由． 26．（2024春•邓州市校级月考）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 27．（2023秋•海淀区校级月考）平面直角坐标系中，点，是图形上任意两个点，其纵坐标分别是，，则称的最大值为图形的“纵测宽”． （1）直接写出下列图形的“纵测宽”． ①，其中，，； ②如图，以原点为圆心，半径为2的圆在第一象限的部分与线段围成的图形，其中，； （2）如果抛物线与经过点、的直线围成的图形“纵测宽”是3，求实数的值． 28．（2023秋•重庆月考）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点，连结、． （1）求的周长； （2）点为二次函数的图象上一点，且位于直线下方．过点作直线轴交直线于点．求线段长度的最大值及此时点的坐标； （3）将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的二次函数的图象．新二次函数的图象的顶点为点．在轴上确定一点，使得是以线段为腰的等腰三角形．请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求点的坐标的其中一种情况的过程． 29．（2023秋•明水县校级月考）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点．已知，． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求四边形的最大面积及此时点的坐标． 30．（2023秋•江干区校级月考）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． （1）如果设计成抛物线型，如图1，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式； （2）如果设计成圆弧型，如图2，求该圆弧所在圆的半径； （3）有一艘宽为12米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面1.8米，在两种方案下，此货船能否顺利通过该桥？并说明理由． 31．（2022秋•天心区校级月考）如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，连接． （1）求、、三点的坐标； （2）若点为线段上的一点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点，使得为直角三角形，直接写出点的坐标． 32．（2023秋•中山市月考）定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 　，　； （2）如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； （3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点、，使得以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 33．（2023秋•和平区校级月考）如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连接． （1）求该抛物线的表达式； （2）点为该抛物线上一动点（与点，不重合），设点的横坐标为． ①当点在直线的下方运动时，求的面积的最大值及点的坐标； ②该抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（2023春•清江浦区月考）如图，直线与抛物线相交于点，和点，抛物线与轴的交点分别为、（点在点的左侧），点在线段上运动（不与点、重合），过点作直线轴于点，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图2，过点作于点，当的周长最大时，过点作任意直线，把沿直线翻折，翻折后点的对应点记为点．当的周长最大时： ①求出点的坐标； ②直接写出翻折过程中线段长度的取值范围是 　　． 35．（2023秋•来凤县校级月考）如图，已知二次函数的顶点是，且图象过点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）求直线的解析式； （3）在直线上方的抛物线上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 36．（2024春•阳新县校级月考）抛物线，交轴于，两点在的左边），是抛物线的顶点． （1）当时，直接写出，，三点的坐标； （2）如图1，点是对称轴右侧抛物线上一点，，求线段长度； （3）如图2，将抛物线平移使其顶点为，点为直线 上的一点，过点的直线，与抛物线只有一个公共点，问直线是否过定点，请说明理由． 37．（2023秋•萧山区月考）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点．点为该抛物线上的任意一点，过点分别向轴、轴作垂线，构造矩形，垂足分别为、．设点的横坐标为． （1）分别求点、点的坐标； （2）当点在轴上方时，此时矩形的周长是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，请说明理由； （3）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 38．（2023秋•江岸区校级月考）已知二次函数图象的顶点在原点，且点在此二次函数的图象上． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，直线与二次函数的图象交于、两点（点在直线下方），若，求的值； （3）如图2，直线与二次函数的图象交于、两点，过点的直线交二次函数的图象于点，求证：直线过定点． 39．（2023秋•岳麓区校级月考）如图1，四边形中，，，我们就把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． （1）根据筝形的定义，下列图形中是筝形的有 　 　（填写序号）； ①平行四边形； ②菱形； ③矩形； ④正方形． （2）如图2，若四边形的内角满足，连接，交于点，且平分． ①求证：四边形是筝形； ②若四边形的面积为，求四边形的周长； （3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为．在轴上任取一点，以为对角线作筝形，满足，且轴．在轴上取几个不同位置的点，得到相应的点，发现这些点在一条曲线上．若点，，是上述曲线上的三个不同的点，它们的横坐标分别为，，，其中，求的最大值． 40．（2023秋•江夏区校级月考）如图，抛物线过点、，直线交轴于点， （1）直线的解析式为 　 　，点的坐标是 　　； （2）直线上有点，点是否存在某个位置使？若存在，请求出的坐标；若不存在，请明说理由； （3）平面内有抛物线，且抛物线向上平移4个单位可与抛物线重合，在抛物线上有一动点，的面积为，若点符合条件的位置有且只有3个，求的值． 41．（2023秋•浠水县校级月考）已知抛物线经过点，与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，为直线上方抛物线上的动点，过点作于点，若，求点坐标； （3）如图2，将抛物线沿轴平移得，使的顶点落在轴上，若过定点的直线交抛物线于、两点，过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点． 42．（2023秋•中牟县月考）神舟十七号载人飞船在北京时间2023年10月26日11时14分成功发射，本次飞行任务的航天员乘组由汤洪波、唐胜杰和江新林三名航天员组成，河南籍航天员江新林再次闪耀中国航天事业，是河南人民的骄傲和自豪． 下表是科研人员在某次测试一枚火箭向上竖直升空时，获得火箭的高度与时间的关系中的数据： 时间 1 5 10 15 20 25 30 高度 155 635 1010 1135 1010 635 10 （1）请你在如图所示的平面直角坐标系中先描出上述各点，再用光滑曲线连接各点； （2）根据坐标系中各点的变化趋势，关于的函数类型是什么？请确定与的函数表达式； （3）火箭的最高射程是多少？ 43．（2023秋•长沙月考）如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为点． （1）求抛物线所对应的函数解析式； （2）如图1，点是抛物线上一点，且位于轴上方，横坐标为，连接，若，求的值； （3）如图2，将抛物线平移后得到顶点为的抛物线．点为抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，过点作轴的平行线，交抛物线于点．当以点，，为顶点的三角形与全等时，请直接写出点的坐标． 44．（2023秋•启东市校级月考）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点的坐标和四边形面积的最大值； （3）在（2）的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 45．（2023秋•天河区校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的对称轴及顶点坐标； （2）请直接写出二次函数图象的对称轴（用含的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是 　 　． （3）若当时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式； （4）已知点、，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 46 ．（2023秋•南岗区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于点、点，交轴于点，过点的直线与轴交于点． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点在轴的正半轴上，连接，点在线段上，连接，且，设点的横坐标为，点的横坐标为，求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作，过点作，交于点，连接、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点在的延长线上，连接，，当时，求点的坐标． 47．（2023秋•金湾区校级月考）如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． （1）直接写出抛物线的解析式 　 　； （2）若直线经过，两点，则　　；　　； （3）在抛物线对称轴上找一点，使得的值最小，并求出最小值和此时点的坐标； （4）设点为抛物线对称轴上的一个动点，点为抛物线上的一个动点，是否存在以、、、为顶点的平行四边形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 48．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）直线与直线交于点．点是线段上的动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点，交直线于点． ①若点在第二象限，且，求的值； ②在平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 49．（2023秋•浑江区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线下方抛物线上的一动点，于点，轴交于点．求线段的最大值和此时点的坐标； （3）点为轴上一动点，点为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 50．（2023秋•惠阳区校级月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，且． （1）求点与点的坐标； （2）求此二次函数的解析式； （3）在轴上是否存在点使是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 51．（2024春•广安区校级月考）如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点、的坐标分别为、，点的坐标为．点是抛物线第一象限上一个动点，设点的横坐标为，连接、、． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当四边形的面积最大时，求的值； （3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 52．（2023秋•霞山区校级月考）如图所示，已知抛物线经过点、、，与直线交于，两点 （1）求抛物线的解析式并直接写出点的坐标； （2）点为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点的坐标； （3）点是线段上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点，当为直角三角形时，直接写出点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上学期第一次月考7大压轴考法52题专练（第21~22章） 一．根的判别式（共4小题） 1．（2023秋•龙岗区校级月考）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 ⑤存在实数、，使得； 其中正确的　　 A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【解答】解：①若，则是方程的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△，故①正确； ②方程有两个不相等的实根， △， ， 则方程的判别式△， 方程必有两个不相等的实根，故②正确； ③是方程的一个根， 则， ， 若，等式仍然成立， 但不一定成立，故③不正确； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得： 或 或 故④正确． ⑤令，则存在实数、，使得；正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键． 2．（2023秋•建平县校级月考）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）把代入方程得，整理得，从而可判断三角形的形状； （2）根据判别式的意义得△，即，然后根据勾股定理可判断三角形的形状； （3）利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）是等腰三角形； 理由：把代入方程得，则，所以为等腰三角形； （2）为直角三角形； 理由：根据题意得△，即，所以为直角三角形； （3）为等边三角形， ， 方程化为，解得，． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 3．（2023秋•昆山市校级月考）已知关于的方程， （1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【分析】（1）计算方程的根的判别式，若△，则证明方程总有实数根； （2）已知，则可能是底，也可能是腰，分两种情况求得，的值后，再求出的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． 【解答】（1）证明：△ 无论取何值，方程总有实数根． （2）解：①若为底边，则，为腰长，则，则△． ，解得：． 此时原方程化为 ，即． 此时三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去； ②若为腰，则，中一边为腰，不妨设 代入方程： 则原方程化为 ， 即， 此时三边为6，6，2能构成三角形， 综上所述：三边为6，6，2． 周长为． 【点评】重点考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验． 4．（2023秋•南部县校级月考）已知，是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为，，，那么可以根据秦九韶海伦公式可得：，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 【分析】（1）根据△，构建不等式求解即可； （2）由等腰三角形的性质可得一元二次方程两根相等，利用△，构建方程求解值，即可得一元二次方程，解方程可求解，，进而可求解的周长； （3）由海伦公式可求解的面积，过分别作，，，垂足分别为，，，利用角平分线的性质可得，结合的面积可求解的长，再根据三角形的面积公式计算可求解． 【解答】解：（1）由题意得：△，且， 化简得：， 解得：且； （2）由题意知：，恰好是等腰的腰长， ， ，是关于的一元二次方程的两实数根， △， 解得， ， 解得， ， 的周长为：； （3）由（2）知：的三边长为3，3，4， ， ， 过分别作，，，垂足分别为，，， 是角平分线的交点， ， ， 解得， ． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，角平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握根的判别式是解题的关键． 二．根与系数的关系（共5小题） 5．（2023秋•汨罗市月考）如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是　　． 【分析】根据原方程可得出：①，②；根据根与系数的关系，可求出②方程的和的表达式，然后根据三角形三边关系定理求出的取值范围． 【解答】解：由题意，得：，； 设的两根分别是、；则，； ； 根据三角形三边关系定理，得： ，即； ，解得． 【点评】此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系以及三角形三边关系定理． 6．（2023秋•花都区校级月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　②③④　（填序号） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； ④若方程以是倍根方程，则必有． 【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程， ②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到、之间的关系，而、之间的关系正好适合， ③当，满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程， ④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【解答】解：①解方程得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故②正确； ③，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为：，， 若，则，， 即，， ， ， ， ． 若时，则，， 即，则，， ， ， ， ， ． 故④正确， 故答案为：②③④ 【点评】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 7．（2023秋•通川区校级月考）如果方程有两个实数根，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知、是方程的二根，则　43　 （2）已知、、满足，，求正数的最小值． （3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据，是的解，求出和的值，即可求出的值． （2）根据，，得出，，、是方程的解，再根据，即可求出的最小值． （3）运用根与系数的关系求出，，再解，即可求出的值． 【解答】解：（1）、是方程的二根， ，， ， 故答案为：43； （2），， ，， 、是方程的解， ，， 是正数， ，，， 正数的最小值是4． （3）存在，当时，． 由变形得：， 由变形得：，把代入，并整理得：， 由题意思可知，，是方程的两个不相等的实数根，故有： 即： 解得：． 【点评】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 8．（2023秋•南海区校级月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为，则另一个根为，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题： （1）方程①；方程②这两个方程中，是倍根方程的是 　②　（填序号即可）； （2）若是倍根方程，求的值； （3）关于的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式． 【分析】（1）根据“倍根方程”的定义，找出方程①、②中的值，由此即可得出结论； （2）将方程整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出，整理后即可得出的值； （3）根据方程是倍根方程即可得出、之间的关系，再由一次函数图象上点的坐标特征即可得出、之间的关系，进而即可求出、的值，此题得解． 【解答】解：（1）在方程①中，； 在方程②中，． 是倍根方程的是②． 故答案为：②． （2）整理得：， 是倍根方程， ， ． （3）是倍根方程， ， 整理得：． 在一次函数的图象上， ， ，， 此方程的表达式为． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握“倍根方程”的定义是解题的关键． 9．（2023秋•衡阳县月考）设是不小于的实数，关于的方程有两个不相等的实数根、， （1）若，求值； （2）求的最大值． 【分析】（1）首先根据根的判别式求出的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的的值． （2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合的取值范围求出代数式的最大值． 【解答】解：方程有两个不相等的实数根， △， ， 结合题意知：． （1） ， ， ； （2） ． 对称轴，， 当时，式子取最大值为10． 【点评】本题的计算量比较大，需要很细心的求解．用到一元二次方程的根的判别式△来求出的取值范围；利用根与系数的关系，来化简代数式的值． 三．一元二次方程的应用（共6小题） 10．（2023秋•顺德区校级月考）等腰的直角边，点、分别从、两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，已知沿射线运动，沿边的延长线运动，与直线相交于点．设点运动时间为，的面积为． （1）求出关于的函数关系式； （2）当点运动几秒时，？ （3）作于点，当点、运动时，线段的长度是否改变？证明你的结论． 【分析】由题可以看出沿向右运动，沿向上运动，且速度都为，，所以求出、与的关系式就可得出与的关系，另外应注意点的运动轨迹，它不仅在点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答． 【解答】解：（1）当秒时，在线段上，此时，， ， 当秒时，在线段得延长线上，此时，， ． （2）， 当秒时，， 整理得，此方程无解， 当秒时，， 整理得，解得（舍去负值）， 当点运动秒时，． （3）当点、运动时，线段的长度不会改变． 证明：过作，交直线于点， 易证， ， 四边形是平行四边形，且是对角线的一半． 又 当点、运动时，线段的长度不会改变． 同理，当点在点右侧时， 综上所述，当点、运动时，线段的长度不会改变． 【点评】做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解． 11．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． （1）、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； （2）、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离是． 【分析】（1）设、两点从出发开始到秒时四边形的面积为，则，，根据梯形的面积公式可列方程：，解方程可得解； （2）作，垂足为，设运动时间为秒，用表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【解答】解：（1）设、两点从出发开始到秒时四边形的面积为， 则，， 根据梯形的面积公式得， 解之得， （2）设，两点从出发经过秒时，点，间的距离是， 作，垂足为， 则，， ，， ， 由勾股定理，得， 解得，． 答：（1）、两点从出发开始到5秒时四边形的面积为； （2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点和点的距离是． 【点评】（1）主要用到了梯形的面积公式：（上底下底）高；（2）作辅助线是关键，构成直角三角形后，用了勾股定理． 12．（2022秋•迎泽区校级月考）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降元． （1）零售单价下降元后，该店平均每天可卖出　　只粽子，利润为　　元． （2）在不考虑其他因素的条件下，当定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？ 【分析】（1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润等于销售量乘以单价即可得到； （2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解． 【解答】解：（1）零售单价下降元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元． （2）令． 化简得，． 即，． 解得或． 可得，当时卖出的粽子更多． 答：当为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来． 13．（2024春•东营区校级月考）如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求的值？ （2）的面积能否为面积的一半？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为，的面积为，由题意列出方程解答即可； （2）由等量关系列方程求出的值，但方程无解． 【解答】解：（1），， ， 整理得， 解得． 答：当时的面积为面积的； （2）当时， ， 整理得， △， 此方程没有实数根， 的面积不可能是面积的一半． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 14．（2024春•西湖区校级月考）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点 也随即停止运动．如果、两点同时出发． ①经过几秒后的面积等于； ②的面积能否等于，并说明理由． 【分析】作出辅助线，过点作于，即可得出的面积为，有、点的移动速度，设时间为秒时，可以得出、关于的表达式，代入面积公式，即可得出答案． 【解答】解：如图， ①过点作于，则． ， ． ． 设经过秒后的面积等于， 则，，． 根据题意，． ． ，． 当时，，，不合题意舍去，取． 答：经过2秒后的面积等于； ②当面积等于5时，． ． △， 方程没有实数根， 所以的面积不能等于， 【点评】本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题． 15．（2023秋•青羊区校级月考）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形的周长是，求面积． 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【解答】（1）解：当，，时 勾系一元二次方程为； （2）证明：根据题意，得 △ 即△ 勾系一元二次方程必有实数根； （3）解：当时，有，即 ，即 ， ． 【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题． 四．二次函数的性质（共3小题） 16．（2023春•武穴市月考）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点，的坐标分别为，，，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为　　 A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】首先确定出二次函数的相关函数与线段恰好有1个交点、2个交点、3个交点时的值，然后结合函数图象可确定出的取值范围． 【解答】解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当时，，即，解得． 如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． 抛物线与轴交点纵坐标为1， ，解得：． 当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． 抛物线经过点， ． 如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 抛物线经过点，， ，解得：． 时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，的取值范围是或， 故选：． 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数的相关函数与线段恰好有1个交点、2个交点、3个交点时的值是解题的关键． 17．（2023秋•义乌市月考）如图，四边形是边长为的正方形，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为 　　． 【分析】连接，根据正方形的对角线平分一组对角线可得，过点作轴于，然后求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式求出，从而得到点的坐标，再把点的坐标代入抛物线解析式求解即可． 【解答】解：如图，连接， 四边形是边长为的正方形， ，， 过点作轴于， 与轴正半轴的夹角为， ， ，， 点的坐标为，， 点在抛物线的图象上， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了正方形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出与轴的夹角为，然后求出点的坐标是解题的关键． 18．（2023秋•虎丘区校级月考）直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则　1或．　． 【分析】根据直线解析式可得，都经过点，分别讨论直线与轴重合或与抛物线相切两种情况，通过添加辅助线构造全等三角形可求出直线上的点坐标，进而求解． 【解答】解：由，可得直线与抛物线交于点， ①直线与轴重合满足题意，则直线与轴交点为，如图， ，， 为等腰直角三角形， ， 点坐标为， 将代入得， 解得． ②设直线解析式为， 令， △， 当时满足题意． ， 把代入得， 直线与轴交点坐标为，，即， 作交直线于点，过点作轴于点， ， ， ，， ， 又， ， ，， ， 点坐标为，． 将，代入得， 解得． 故答案为：1或． 【点评】本题考查二次函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与方程的关系，通过添加辅助线分类讨论求解． 五．二次函数图象与系数的关系（共2小题） 19．（2023秋•江南区月考）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数为常数）在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解． 【解答】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图， 联立方程， 当△时，抛物线与直线有两个交点， 即， 解得， 此时，直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入得， 把代入得， ， 解得， 满足题意． 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解． 20．（2023秋•江夏区校级月考）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤的实数），其中正确结论的序号有　①③④　． 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由图象可知：，， ， ， ，故此选项正确； ②当时，，故，错误； ③由对称知，当时，函数值大于0，即，故此选项正确； ④当时函数值小于0，，且， 即，代入得，得，故此选项正确； ⑤当时，的值最大．此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故此选项错误． 故①③④正确． 故答案为：①③④． 【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定． 六．抛物线与x轴的交点（共2小题） 21．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点是函数图象的“1倍点”，点，是函数图象的“2倍点”． （1）函数的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”； （2）若抛物线上有且只有一个“1倍点” ，该抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．当时，求： ①的取值范围； ②直接写出的度数． 【分析】（1）根据“2倍点”的概念直接作答即可； （2）①根据有且只有一个“1倍点”求出与的数量关系，根据的取值范围求出的取值范围； ②先求点的坐标，然后求点和点的坐标，然后比较线段长度，最后求出的度数． 【解答】解：（1）存在， 设“2倍点”的坐标为， 则， 解得：或4， “2倍点”的坐标为或； （2）①由题意可知， 与有且只有交点， 则， 整理得：，则该方程有两个相同的实数根， 即△， ， ， ， ； ②如图，过点作于点， 由根与系数的关系可知，， ， 又两个根相等， ， 点的坐标为，， ， 由①可知，， 则， 可以写成， 令， 则， 由求根公式可得， ， 解得：，， 点的坐标为，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查抛物线与轴的交点与函数图象上点的坐标特征，能够根据坐标确定线段的长度是解答本题的关键． 22．（2024春•滨城区校级月考）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点． （1）求此抛物线的解析式； （2）直接写出点和点的坐标； （3）若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标． 【分析】（1）根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）代入求出值，由此可得出点的坐标，根据抛物线的解析式，利用二次函数的性质即可求出顶点的坐标； （3）设点的坐标为，，，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，再代入值求出值，取其正值即可得出结论． 【解答】解：（1）将、代入， ，解得：， 抛物线的解析式为． （2）当时，， 点的坐标为； 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为． （3）设点的坐标为，，， ，， ， ， ， ， 解得：（不合题意，舍去），， 点的坐标为． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）利用二次函数性质求出顶点的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合求出点的纵坐标． 七．二次函数综合题（共28小题） 23．（2024春•东昌府区月考）如图，为已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连结． （1）求该抛物线的表达式； （2）点为该抛物线上一动点（与点、不重合），设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②该抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点、坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）①，即可求解；②分点在直线下方、上方两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）将点、坐标代入二次函数表达式得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：①， 令，则或， 即点； （2）①如图1，过点作轴的平行线交于点， 将点、的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线的表达式为：②， 设点，则点， ， 或， 解得或或或； ②设直线与交于点， 当点在直线下方时， ， 点在的中垂线上， 线段的中点坐标为，， 过该点与垂直的直线的值为， 设中垂线的表达式为：，将点，代入上式并解得：直线中垂线的表达式为：③， 同理直线的表达式为：④， 联立③④并解得：，即点， 同理可得直线的表达式为：⑤， 联立①⑤并解得：或（舍去， 故点，； 当点在直线上方时， ， ， 则直线的表达式为：，将点坐标代入上式并解得：， 即直线的表达式为：⑥， 联立①⑥并解得：或（舍去， 故点； 故点的坐标为，或． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． 24．（2024秋•汉川市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，且对称轴是直线． （1）求直线的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线1于点，过点作，垂足为．求的最大值及此时点的坐标． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）根据抛物线的对称轴是直线，可设，利用待定系数法即可求得答案； （3）由，，可得，利用解直角三角形可得，设点，则，可得，利用二次函数的性质即可求得答案． 【解答】解：（1）设直线的解析式为， 直线与轴交于点，与轴交于点， ， 解得：， 直线的解析式为； （2）设抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴是直线， ， 抛物线经过点，， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （3），， ， 在中，， ， 轴，， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ， 设点， ， ， ， 当时，有最大值是，此时最大， ， 当时，， ， 的最大值是，此时点． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，解直角三角形等，本题难度适中，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象和性质是解题关键． 25．（2023秋•海珠区月考）抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），且，，与轴交于点，点的坐标为，连接，以为边，点为对称中心作菱形．点是轴上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点，交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）轴上是否存在一点，使三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点在线段上运动时，试探究为何值时，四边形是平行四边形？请说明理由． 【分析】（1）抛物线与轴交于，两点，故抛物线的表达式为：，即，解得：，即可求解； （2）分、、三种情况，分别求解即可； （3）直线的解析式为；如图，当时，四边形是平行四边形，则，即可求解． 【解答】解：（1）由题意可设抛物线的解析式为：， 抛物线与轴交于，两点， 故抛物线的表达式为：， 即，解得：， 抛物线的解析式为：； （2）设点的坐标为， 则，，， ①当时，，解得：； ②当时，同理可得：； ③当时，同理可得：（舍去， 故点的坐标为：，或，或，或； （3） 由菱形的对称性可知，点的坐标为， 设直线的解析式为，又 解得， 直线的解析式为； 则点的坐标为，点的坐标为， 如图，当时，四边形是平行四边形 ， 解得（不合题意舍去），， 当时，四边形是平行四边形． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理的运用、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． 26．（2024春•邓州市校级月考）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 【分析】（1）根据题意，设抛物线的解析式为，待定系数法求解即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交于点，则点即为所求； （3）分三种情况进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，建立不等式求得的取值范围即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为， 把点代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）作点关于轴的对称点，连接交于点，则点即为所求； 把代入，得： ， 设直线的解析式为， ， 解得：， ， 令，得， 点的坐标为； （3）， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，得： ， 解得：， ， 当时， 由，得： ， ， 解得：， ； 由，得： ， ， ； 当时，都成立； 当时，得： ， 解得：， 都成立； 综上所述，的取值范围为． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 27．（2023秋•海淀区校级月考）平面直角坐标系中，点，是图形上任意两个点，其纵坐标分别是，，则称的最大值为图形的“纵测宽”． （1）直接写出下列图形的“纵测宽”． ①，其中，，； ②如图，以原点为圆心，半径为2的圆在第一象限的部分与线段围成的图形，其中，； （2）如果抛物线与经过点、的直线围成的图形“纵测宽”是3，求实数的值． 【分析】（1）①根据“纵测宽”的定义求解即可； ②根据“纵测宽”的定义求解即可； （2）根据“纵测宽”的定义求解，注意分类讨论． 【解答】解：（1）①在中，，，， 其中纵坐标最大为点的纵坐标4，纵坐标最小为点的纵坐标为， ， 的“纵测宽”为5； ②以原点为圆心，半径为2的圆在第一象限的部分与线段围成的图形，其中，，如图， 纵坐标最大为点的纵坐标2，纵坐标最小为点的纵坐标0， ， 这个图形的“纵测宽”为2； （2）设直线的解析式为，把、代入， 得：， 解得：， 直线解析式为， 联立方程组得：， 整理得：， 根据抛物线与直线能围成的图形，可知△， 解得：或， 又，， ， 设直线与抛物线交点坐标为，，，，其中， 抛物线， 抛物线对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，抛物线与直线能围成的图形中，纵坐标最大为点的纵坐标，纵坐标最小为顶点的纵坐标， 抛物线与直线能围成的图形“纵测宽”是3， ， ， 把代入， 得 解得， 把，代入得 整理得 ， 当时，抛物线与直线能围成的图形中，纵坐标最大时在点，为，纵坐标最小时在点，为， 抛物线与直线能围成的图形“纵测宽”是3， ， ，， ， 解得， 综上所述，实数的值为或． 【点评】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系，根的判别式，“纵测宽”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考创新题目． 28．（2023秋•重庆月考）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点，连结、． （1）求的周长； （2）点为二次函数的图象上一点，且位于直线下方．过点作直线轴交直线于点．求线段长度的最大值及此时点的坐标； （3）将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的二次函数的图象．新二次函数的图象的顶点为点．在轴上确定一点，使得是以线段为腰的等腰三角形．请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求点的坐标的其中一种情况的过程． 【分析】（1）先求得：，，，再运用两点间距离公式或勾股定理即可求得答案； （2）运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，所以，运用二次函数的性质即可求得答案； （3）先求得抛物线的顶点坐标为，根据平移可得平移得到新的二次函数的顶点是，设，根据是以线段为腰的等腰三角形，分两种情况：当时，点与点关于轴对称，可得；当时，利用勾股定理可得，建立方程求解即可． 【解答】解：（1）令，得， 解得：，， ，， 令，得， ， ， 在中，， 在中，， 的周长； （2）设直线的解析式为，把，代入，得， 解得：， 直线的解析式为， 设，则，如图， ， ， 当时，有最大值， 的最大值， 点的纵坐标为， 线段长度的最大值是，此时点的坐标是，； （3）， 抛物线的顶点坐标为， 向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度， 平移得到新的二次函数的顶点是， 设，是以线段为腰的等腰三角形，如图， 当时，点与点关于轴对称， ； 当时， ， ， 解得：或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，勾股定理，等腰三角形性质等，熟练掌握二次函数的图象及性质，平移的性质，分类讨论是解题的关键． 29．（2023秋•明水县校级月考）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点．已知，． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求四边形的最大面积及此时点的坐标． 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据等腰三角形的定义，可得，，根据两点间的距离，勾股定理，可得答案； （3）根据图形割补法，可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得答案． 【解答】解：（1）将、点坐标代入函数解析式，得 ， 解得 抛物线的解析式， （2）如图： 由勾股定理，， ， ，， 时，设， ， 解得 ， 综上所述：，，； （3）当时，，，即，． 的解析式为，设点横坐标为，，即， ， ， ， ， 当时，， ，． 【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用等腰三角形的定义，分类讨论是解题关键；图形割补法是解题关键，又利用了二次函数的性质． 30．（2023秋•江干区校级月考）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． （1）如果设计成抛物线型，如图1，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式； （2）如果设计成圆弧型，如图2，求该圆弧所在圆的半径； （3）有一艘宽为12米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面1.8米，在两种方案下，此货船能否顺利通过该桥？并说明理由． 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，即可确定函数的解析式； （2）设圆心为，连接交于点，连接，在中，，解得，即可求该圆弧所在圆的半径10米； （3）①在抛物线型上时，当时，，由米米，可知货船不能顺利通过该桥；②在圆弧型时，设米，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，在中，，求出米，可得米，再由2米米，即可判断货船能顺利通过该桥． 【解答】解：（1）， ，， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）设圆心为，连接交于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 该圆弧所在圆的半径10米； （3）①在抛物线型上时，当时，， 米米， 货船不能顺利通过该桥； ②在圆弧型时，设米， 过点作交弧于点，过点作交于点，连接， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米米， 货船能顺利通过该桥． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 31．（2022秋•天心区校级月考）如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，连接． （1）求、、三点的坐标； （2）若点为线段上的一点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点，使得为直角三角形，直接写出点的坐标． 【分析】（1）在抛物线解析式中，令可求得点坐标，令则可求得、的坐标； （2）由、的坐标可求得直线的解析式为，则可表示出点坐标，则可求得的长，从而可用表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得当面积最大值时的值，可求得点坐标； （3）由（2）可知点坐标，设点坐标为，则可用分别表示出、及，分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况，分别根据勾股定理可得到关于的方程，可求出的值，可求得点坐标． 【解答】解：（1）对于，令，则， ， 令，则，解得：，， ， ； （2）设的表达式为，则，解得， 直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 时，最大， 此时点坐标，； （3）， 抛物线的对称轴为直线， 设，且，，， ，， ， 为直角三角形， 分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况， ①当点为直角顶点时，则有 即，解得：， 此时点坐标为， ②当点为直角顶点时，则有， 即，解得：，， 此时点坐标为或， ③当点为直角顶点时，则有， 即，解得：， 此时点坐标为， 综上所述，点坐标为或或或． 【点评】此题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法函数与坐标轴的交点、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想以及分类讨论思想等知识．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 32．（2023秋•中山市月考）定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 　，　； （2）如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； （3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点、，使得以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上； （2）根据“梦之点”的定义可得：，，利用二次函数的顶点式可得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，由，即可求得答案； （3）设，由以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形，可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案． 【解答】解：（1）矩形的顶点坐标分别是，，，， 矩形的“梦之点” 满足，， 点，是矩形的“梦之点”，点不是矩形的“梦之点”， 故答案为：，； （2）点，是抛物线上的“梦之点”， 点，是直线上的点， ， 解得：，， ，， ， 抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的对称轴交于，则， ， ； （3）存在，理由如下： 设， 以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形， ， ， 解得：， 当时，， 当时，， 点坐标为，或，． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，菱形的性质，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键． 33．（2023秋•和平区校级月考）如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连接． （1）求该抛物线的表达式； （2）点为该抛物线上一动点（与点，不重合），设点的横坐标为． ①当点在直线的下方运动时，求的面积的最大值及点的坐标； ②该抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点、坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）①利用待定系数法可得直线的解析式为，如图1，过点作轴的平行线交于点，设点，则点，，根据，即可求解； ②分点在直线下方、上方两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）将点、代入抛物线， 得：， 解得：， 该抛物线的表达式为：①； （2）①令，得， 解得：，， 点， 设直线的解析式为，将点、的坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为②， 如图1，过点作轴的平行线交于点， 设点，则点， ， ， ， 有最大值，当时，其最大值为，此时，； ②， 顶点， 设直线与交于点， 当点在直线下方时， ， 点在的中垂线上， 线段的中点坐标为，，过该点与垂直的直线的值为， 设中垂线的表达式为：，将点，代入上式得， 解得：， 直线中垂线的表达式为：③， 设直线的解析式为，把，代入得：， 解得：， 直线的解析式为：④， 联立③④得：， 解得：， 点， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为：⑤， 联立①⑤得， 解得：，（舍去）， 故点，； 当点在直线上方时， ， ， 则直线的表达式为：，将点坐标代入上式并解得：， 即直线的表达式为：⑥， 联立①⑥并解得：或（舍去， 故点； 综上所述，点的坐标为，或． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． 34．（2023春•清江浦区月考）如图，直线与抛物线相交于点，和点，抛物线与轴的交点分别为、（点在点的左侧），点在线段上运动（不与点、重合），过点作直线轴于点，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图2，过点作于点，当的周长最大时，过点作任意直线，把沿直线翻折，翻折后点的对应点记为点．当的周长最大时： ①求出点的坐标； ②直接写出翻折过程中线段长度的取值范围是 　　． 【分析】（1）先把点代入直线的解析式，求出的值，再把点和点代入，即可求出抛物线的解析式； （2）先设出的坐标，然后分和两种情况，利用等腰直角三角形得性质即可求出点的坐标； （3）①先设出点的坐标，再得出点的坐标，然后表示出三角形的周长，求出周长取最大值时点的坐标即可； ②折叠过程中，当，，共线，且和在两侧时，的最大，和在同侧时，的最小． 【解答】解：（1）把代入，得， ， 把，和代入，得， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）存在点，使是直角三角形． 设直线交轴于点，则， 设，则，， ，， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当时， 过点作于，如图， 则轴， 点的纵坐标为， 是等腰直角三角形， ， 即点是的中点， ， 解得：（舍去），， ； 当时，即， 轴， 轴， 点的纵坐标为， ， 解得：（舍去），， ，； 综上所述，存在点，使是直角三角形，点的坐标为或，； （3）①设，则， ， 由（2）得，即， ， ， 是等腰直角三角形， ， 的周长， ， 当时，的周长最大，此时点，； ②折叠过程中，当，，共线，且和在两侧时，的最大，和在同侧时，的最小， ， 当时，， 解得：，， ，， ， 的最大值为，的最小值为， 长度的取值范围是； 故答案为． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，直角三角形性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形周长，两点间距离公式，翻折变换的性质等．对于翻折问题可考虑特殊的位置，比如平行，共线，垂直等． 35．（2023秋•来凤县校级月考）如图，已知二次函数的顶点是，且图象过点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）求直线的解析式； （3）在直线上方的抛物线上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）设二次函数解析式为顶点式：，将点的坐标代入求得的值即可； （2）根据二次函数解析式求得点的坐标，利用待定系数法确定直线解析式； （3）由二次函数图象上点的坐标特征可设其中，结合三角形的面积公式可以求得点的坐标． 【解答】解：（1）是二次函数的顶点， 设二次函数的解析式为． 又图象过点， 代入可得， 解得， 或； （2）由可知，为． 设直线的解析式为：， 将和代入可得， 直线的解析式为：； （3）在直线上方的抛物线上， 可设其中， 过作轴，交于点． 则坐标为， 又， ， 解得，，2，代入得4或3． 点坐标为或． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题关键． 36．（2024春•阳新县校级月考）抛物线，交轴于，两点在的左边），是抛物线的顶点． （1）当时，直接写出，，三点的坐标； （2）如图1，点是对称轴右侧抛物线上一点，，求线段长度； （3）如图2，将抛物线平移使其顶点为，点为直线 上的一点，过点的直线，与抛物线只有一个公共点，问直线是否过定点，请说明理由． 【分析】（1）当时，抛物线的表达式为：，即可求解； （2）延长交轴于点，过点作于点，则三角形是等腰三角形，所以，，然后利用交点坐标特征，先后求出点、、的坐标，再由两点之间的距离公式求得的长即可； （3）先根据平移变换，求出平移后的抛物线的解析式为．再由直线与抛物线的交点个数写出对应的函数解析式，最终把方程整理成是解决问题的关键所在． 【解答】解：（1）当时， 抛物线的表达式为：， 令， 解得：或4， 点、、的坐标分别为：、、； （2）延长交轴于点，过点作于点， ， 点的坐标为， 设的解析式为，则有： ， ， 直线的解析式； ， ，， 点是、的中点，则点，， 设的解析式为，把点，代入得： ， 解得：， ， 由得， ， 点的坐标为，， 设直线的解析为，则有： ， 解得：， ， 由，得： ，， 的坐标为，； ， 即的长为； （3）抛物线平移后的顶点坐标为， 平移后的抛物线的解析式为． 点为直线上一点， ． 设过点的直线的解析式为， ， ． 过点的直线解析式为． ． 即：． 过点的直线、与抛物线只有一个公共点， △． ． ，． 直线的解析式为， 直线的解析式为． ， ． 设点的横坐标为，则是方程的根， 过点的直线与抛物线只有一个公共点， ． 同理可求：， ，， ，是方程的两根， 整理得：， 即：点，的坐标满足方程组， 点，点是抛物线与直线的交点， ， 直线一定经过定点，． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与直线的交点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 37．（2023秋•萧山区月考）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点．点为该抛物线上的任意一点，过点分别向轴、轴作垂线，构造矩形，垂足分别为、．设点的横坐标为． （1）分别求点、点的坐标； （2）当点在轴上方时，此时矩形的周长是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，请说明理由； （3）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【分析】（1）分别令，，解方程即可求得答案； （2）由题意得：，点在轴上方，则，，分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别根据矩形的周长公式和二次函数的性质即可求得答案； （3）分四种情况：当点在轴的下边，轴的左侧时，当点在轴的上边，轴左边时，当点在上方时，当点在下方，轴右边时，分别画出图象，结合图象即可求得答案． 【解答】解：（1）当时，， ， 当时，， 解得：，， ； （2）点的横坐标为， ， 点在轴上方， ，， ①当时，此时构造产生的图形为一条线段，不存在矩形，舍去； ②当时，，， 矩形的周长， ，开口向下，对称轴不在范围内，在内，随的增大而增大， 当时，； ③当时，则，， 矩形的周长， ，开口向下，对称轴在范围内， 当时，有最大值，的最大值为， ， 当时，此时， 当时，； 综上所述，矩形的周长，当时，矩形的周长的最大值为． （3）抛物线的对称轴为直线，， 点的对称点为， 令，得， 解得：，， ， 根据题意可知，需要分类讨论： 当点在轴的下边，轴的左侧时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大，如图1， 此时； 当点在轴的上边，轴左边时，如图2，不合题意； 当点在上方时，如图3，当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大时， 此时； 当点在下方，轴右边时，如图4，不合题意； 综上所述，当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大时，或． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 38．（2023秋•江岸区校级月考）已知二次函数图象的顶点在原点，且点在此二次函数的图象上． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，直线与二次函数的图象交于、两点（点在直线下方），若，求的值； （3）如图2，直线与二次函数的图象交于、两点，过点的直线交二次函数的图象于点，求证：直线过定点． 【分析】（1）利用待定系数法将点代入即可求得答案； （2）联立方程组整理得，利用根与系数关系可得：，，由，可得，作轴交于点，可得：，，利用三角形面积建立方程求解即可； （3）联立方程组可得，进而可得①，，同理可得：②，由①②得：③，设直线的解析式为，可得，即④，⑤，可推出，即直线的解析式为，即可证得结论． 【解答】（1）解：二次函数图象的顶点在原点， 设， 点在此二次函数的图象上， ， ， 二次函数的表达式为：； （2）解：与交于、两点， ， 即：， ，， ， ，（注， ，作轴交于点，如图1， ， ， ， ， ， 解得：或， 或． （3）证明：如图2， 与二次函数的图象交于、两点， ， ， ①，， 过点的直线交二次函数的图象于点， ， ， ②，， ①②得：③， 设直线的解析式为， 联立得：， 即， ④，⑤， 由②得：，代入④⑤，得：， 即⑥，， ⑦， ①⑥，得：，即⑧， ⑦代入⑧，得：， ， 直线的解析式为， 直线一定经过定点． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与直线的交点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 39．（2023秋•岳麓区校级月考）如图1，四边形中，，，我们就把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． （1）根据筝形的定义，下列图形中是筝形的有 　 　（填写序号）； ①平行四边形； ②菱形； ③矩形； ④正方形． （2）如图2，若四边形的内角满足，连接，交于点，且平分． ①求证：四边形是筝形； ②若四边形的面积为，求四边形的周长； （3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为．在轴上任取一点，以为对角线作筝形，满足，且轴．在轴上取几个不同位置的点，得到相应的点，发现这些点在一条曲线上．若点，，是上述曲线上的三个不同的点，它们的横坐标分别为，，，其中，求的最大值． 【分析】（1）根据筝形的定义，即可判断得出结论； （2）①根据四边形的内角和为及已知条件可得：，，，，即，再由角平分线定义可得，即可证得，得出，，利用筝形的定义即可证得结论； ②设，则，，利用勾股定理可得，可得，由，建立方程可求得，再利用即可求得答案； （3）设点，由轴，可得点的坐标为，进而可得，，由筝形的定义可得，即可求得，设，，，过点作轴的垂线交直线于点．利用待定系数法可得直线的解析式为，令，得，可得，进而得出，则，应用二次函数性质即可求得答案． 【解答】（1）解：，， 垂直平分， 即，， 菱形、正方形是筝形， 故答案为：②④． （2）①证明：四边形的内角和为 且满足， ，，，， ， 平分， ， ， ， ，， 四边形是筝形． ②解：四边形是筝形，且，，， 是等腰直角三角形，是等边三角形． 由①可知， ， 设，则，， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ． （3）解：如图，四边形是筝形，，， 点，轴． 点的坐标为， ，， ， ； 设，，， 则，，， ， ， 过点作轴的垂线交直线于点．设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 令，得， ， ， 则， ，且， 当时，有最大值，最大值为． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积等，理解并应用新定义是解题关键． 40．（2023秋•江夏区校级月考）如图，抛物线过点、，直线交轴于点， （1）直线的解析式为 　 　，点的坐标是 　　； （2）直线上有点，点是否存在某个位置使？若存在，请求出的坐标；若不存在，请明说理由； （3）平面内有抛物线，且抛物线向上平移4个单位可与抛物线重合，在抛物线上有一动点，的面积为，若点符合条件的位置有且只有3个，求的值． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得：，，利用待定系数法可得直线的解析式为，令，得：，即可求得点的坐标； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，设，利用勾股定理可得：，，根据，建立方程求解即可； （3）由平移得：抛物线，由题意可知，当点在直线上方抛物线上时，总有两个点使得的面积为，且符合条件的点位置有且只有3个，可得出：在直线下方抛物线上有且只有1个点使得的面积为，即为最大值，过点作轴交直线于点，设，则，可得，运用二次函数的性质即可求得答案． 【解答】解：（1），； 理由如下： 抛物线过点、， ， 解得：， ，， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 令，得：， 解得：， ； 故答案为：，； （2）存在点使得，理由如下： 过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，如图， 直线上有点，不妨设， 在中，， 在中，， 又， ，即， 当时，， 解得：， ， 当时，，无解（舍去）， 当时，， 解得：， ， 综上所述，，； （3）由平移得：抛物线， 由题意可知，当点在直线上方抛物线上时，总有两个点使得的面积为， 又符合条件的点位置有且只有3个， 在直线下方抛物线上有且只有1个点使得的面积为，即为最大值， 当点在直线下方抛物线上，过点作轴交直线于点，如图， 设， 则， ， ， ， 此抛物线的开口向下， 当时，的面积取得最大值， ． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的综合运用，勾股定理，三角形面积的计算，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 41．（2023秋•浠水县校级月考）已知抛物线经过点，与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，为直线上方抛物线上的动点，过点作于点，若，求点坐标； （3）如图2，将抛物线沿轴平移得，使的顶点落在轴上，若过定点的直线交抛物线于、两点，过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案； （2）如图1，过点作轴于点，交于点，运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，可证得：是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，再由，建立方程求解即可得出答案； （3）先求得平移后的抛物线的解析式为：，设，，则直线的解析式为，由直线经过定点，可得，再由直线经过点，可得直线的解析式为，进而求得，再运用待定系数法求得直线的解析式为，当时，，即直线必过定点，． 【解答】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为，把，代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为， 设，则，， ，，， ， 轴， 是等腰直角三角形， ，， 又，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 解得：，， 为直线上方抛物线上的动点， ， ， ； （3）证明：如图2，抛物线， 将抛物线沿轴平移得，使的顶点落在轴上， 抛物线的解析式为：， 设，， 则直线的解析式为， 直线经过定点， ， ， 直线经过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 由， 解得：或， ， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得：， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， 直线必过定点，． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线的平移变换，直线恒过定点问题，解决本题的关键是可以通过直线与抛物线的图象只有一个交点得出直线和直线的与和的关系． 42．（2023秋•中牟县月考）神舟十七号载人飞船在北京时间2023年10月26日11时14分成功发射，本次飞行任务的航天员乘组由汤洪波、唐胜杰和江新林三名航天员组成，河南籍航天员江新林再次闪耀中国航天事业，是河南人民的骄傲和自豪． 下表是科研人员在某次测试一枚火箭向上竖直升空时，获得火箭的高度与时间的关系中的数据： 时间 1 5 10 15 20 25 30 高度 155 635 1010 1135 1010 635 10 （1）请你在如图所示的平面直角坐标系中先描出上述各点，再用光滑曲线连接各点； （2）根据坐标系中各点的变化趋势，关于的函数类型是什么？请确定与的函数表达式； （3）火箭的最高射程是多少？ 【分析】（1）在平面直角坐标系中先描出各点，再用平滑曲线连接各点即可； （2）根据图象判断函数的类型，再用待定系数法求出函数的解析式即可； （3）由函数解析式可得出火箭的最高射程即可． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中先描出各点，再用平滑曲线连接各点即可，如图： （2）由坐标系中点的变化趋势可知，关于的函数类型是：二次函数， 由题意知，点为该二次函数的顶点，则可设函数的解析式为： ， 代入点得： ， 解得：． 关于的函数表达式为：． （3）由二次函数可知， 当时，函数有最大值1135， 火箭的最高射程是． 【点评】本题考查了函数关系式，待定系数法求解析式，解题的关键是画出函数的图象． 43．（2023秋•长沙月考）如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为点． （1）求抛物线所对应的函数解析式； （2）如图1，点是抛物线上一点，且位于轴上方，横坐标为，连接，若，求的值； （3）如图2，将抛物线平移后得到顶点为的抛物线．点为抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，过点作轴的平行线，交抛物线于点．当以点，，为顶点的三角形与全等时，请直接写出点的坐标． 【分析】（1）根据、两点的坐标用待定系数法求出解析式； （2）如图，当点在轴上方时，若，则，先求直线的解析式，由点的坐标可求出直线的解析式，联立直线和抛物线方程可求出点的坐标，当点在轴下方时，由轴对称的性质可求出直线的解析式，同理联立直线和抛物线方程则求出点的坐标； （3）先求出的解析式，可设出点坐标，表示、坐标及、，根据以，，为顶点的三角形与全等，分类讨论对应边相等的可能性即可求点坐标． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得． 抛物线所对应的函数解析式为； （2）当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 如答图1，当点在轴上方时， ， ， 设直线的解析式为， 直线经过点， ， 解得：， 直线的解析式为， ， 解得：，（舍去）， ， 综合以上可得的值为； （3）抛物线平移后得到，且顶点为， ， 即． 设，则， ， ①如答图2，当在点上方时， ，， 与全等， 当且时，， ，， 当且时，无解； ②如答图3，当点在点下方时， 同理：，，， ， 则，． 综合可得点坐标为或． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、待定系数法求函数的解析式，三角形全等的判定，应用了数形结合和分类讨论的数学思想． 44．（2023秋•启东市校级月考）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点的坐标和四边形面积的最大值； （3）在（2）的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）首先根据直线与轴交于点，与轴交于点，求出点的坐标是，点的坐标是；然后根据抛物线经过、两点，求出、的值是多少，即可求出抛物线的解析式； （2）首先过点作轴的平行线交直线于点，交轴于点，然后设点的坐标是，则点的坐标是，求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出，进而判断出当面积最大时，点的坐标和面积的最大值以及四边形面积最大各是多少即可； （3）在抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标是多少即可． 【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点， 点的坐标是，点的坐标是， 抛物线经过、两点， 解得 ． （2）如图1， 过点作轴的平行线交直线于点，交轴于点， 点是直线上方抛物线上的一动点， 设点的坐标是， 则点的坐标是， ， ， 当时，即点的坐标是时，的面积最大，最大面积是3； 此时，四边形的面积最大，最大面积为：； （3）在抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形． ①如图2， 由（2），可得点的横坐标是2， 点在直线上， 点的坐标是， 又点的坐标是， ， 所在的直线的斜率是：； 的对称轴是直线， 设点的坐标是，点的坐标是， 则 解得或， ， 点的坐标是， 则的解析式为，， 的解析式为 当时，， 则； ②如图3， 由（2），可得点的横坐标是2， 点在直线上， 点的坐标是， 又点的坐标是， ， 所在的直线的斜率是：； 的对称轴是直线， 设点的坐标是，点的坐标是， 则 解得或， ， 点的坐标是． 的解析式为：，， 的解析式为：， 当时，， 则； ③如图4， 由（2），可得点的横坐标是2， 点在直线上， 点的坐标是， 又点的坐标是， ， 的对称轴是直线， 设点的坐标是，点的坐标是， 则 解得， 点的坐标是， 的解析式为：，， 的解析式为：， 当时，， 则； 综上，可得在抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 点的坐标是、、． 【点评】此题考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力，待定系数法函数解析式的求法，以及二次函数的最值的求法，三角形的面积的求法，要熟练掌握，灵活运用． 45．（2023秋•天河区校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的对称轴及顶点坐标； （2）请直接写出二次函数图象的对称轴（用含的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是 　 　． （3）若当时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式； （4）已知点、，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【分析】（1）利用对称轴公式求得对称轴为直线，再代入解析式求得的值，即可求得顶点坐标； （2）利用对称轴公式求得对称轴，把解析式变形得到，即可得到二次函数经过的定点坐标为； （3）根据（2）可知：二次函数图象的对称轴为直线，分或两种情况，分对称轴在已知范围的左边，中间，右边分类讨论最值即可解答； （4）分类讨论顶点在线段上，，，由点，和抛物线的位置结合图象求解． 【解答】解：（1）时， 对称轴为直线， 把代入得，， 顶点坐标为； （2）． 对称轴为直线， ， 二次函数经过的定点坐标为； 故答案为：； （3）由（2）知：二次函数图象的对称轴为直线， 分两种情况： ①当时，， 在自变量的值满足的情况下，随的增大而减小， 当时，， 而当时，函数值有最大值为8， 所以此种情况不成立； ②当时，， 当时，即， 当时，二次函数的最大值为， ， 此时二次函数的解析式为； 当时， 在自变量的值满足的情况下，随的增大而减小，即有最大值， 所以此种情况不成立； 综上所述：此时二次函数的解析式为：； （4）分三种情况： ①当抛物线的顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个公共点， 即当时，， ， △， ， 当时，， 解得：（符合题意，如图， ②当时，如图2， 当时，；当时，， ， 解得：， ； ③当时，如图3， 当时，；当时，， ， 解得：， ； 综上所述，的取值范围是：或或． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数与方程及不等式的关系，熟练掌握二次函数的性质，并运用分类讨论的思想是解题的关键． 46 ．（2023秋•南岗区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于点、点，交轴于点，过点的直线与轴交于点． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点在轴的正半轴上，连接，点在线段上，连接，且，设点的横坐标为，点的横坐标为，求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作，过点作，交于点，连接、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点在的延长线上，连接，，当时，求点的坐标． 【分析】（1）先求出点的坐标为，代入抛物线，即可求得答案； （2）过点作 于，利用可证得，可得，，，即与的函数关系式为； （3）连，过点作于，过点作轴于，过点作于，交轴于，过点作于，交于，延长交于，可证得，得出，令，，则，再证得，可得，进而可得四边形是矩形，得出，进而可得，再证得，推出，利用解直角三角形可得，即可得出． 【解答】解：（1）对于直线， 令，则， 解得：， 点的坐标为， 抛物线经过点， 将点代入， ， 解得：， 抛物线； （2）如图2，过点作 于， 令，则 ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， 即， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 点在轴负半轴上， ， 即与的函数关系式为； （3）连，过点作于，过点作轴于，过点作于，交轴于，过点作于，交于，延长交于， 对于抛物线， 令，得， 解得：或， ，， ， 对于直线，令，得， ， ， ， ，， ， ， 令，， 则， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 由（2）知， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形． ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 由题知：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，等腰三角形性质，矩形、正方形的判定和性质，解直角三角形等知识点，灵活作出辅助线是解决此题的关键． 47．（2023秋•金湾区校级月考）如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． （1）直接写出抛物线的解析式 　 　； （2）若直线经过，两点，则　　；　　； （3）在抛物线对称轴上找一点，使得的值最小，并求出最小值和此时点的坐标； （4）设点为抛物线对称轴上的一个动点，点为抛物线上的一个动点，是否存在以、、、为顶点的平行四边形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）把点，两点的坐标分别代入抛物线解析式求出和的值即可； （2）利用待定系数法可得和的值； （3）如图1，由（2）知直线的解析式为，再确定抛物线的对称轴方程，设直线与直线相交于点，根据轴对称的最短路径可知：此时的值最小，从而得到此时点的坐标； （4）设，，根据平行四边形的对角线性质，分三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）把点，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式是； （2）把，代入中得：，解得：； 故答案为：1，3； （3）如图1，由（2）知：直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 直线与直线相交于点，则，此时最小， 此时点的坐标为； （4）设，， ①当为平行四边形的对角线时，，， 解得，， ； ②当为平行四边形的对角线时，，， 解得，， ； ③当为平行四边形的对角线时，，， 解得，， ； 综上所述：点坐标为或或． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的性质和判定，轴对称的最短路径问题，数形结合和分类讨论是解题的关键． 48．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）直线与直线交于点．点是线段上的动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点，交直线于点． ①若点在第二象限，且，求的值； ②在平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据抛物线解析式中和交轴于，两点，利用交点式可得抛物线的解析式； （2）①如图1，先利用待定系数法求直线的解析式，联立方程可得交点的坐标，根据，且轴，表示点，，由，列方程可得结论； ②存在，根据正方形的性质得：，，同理根据，得，，分两种情况：在的左侧，在的右侧，根据，列方程可得结论． 【解答】解：（1）抛物线交轴于，两点， ； （2）①如图1， ，， 设的解析式为：， 则， 解得， 的解析式为：， ， 解得：， ， ，且轴， ，， ， ， ， 解得：，； ②存在，由①知：， 四边形是正方形， ，， ，且轴， ，， 分两种情况： 当时，如图2，点在的左侧， ， ， ， 解得：（舍，， ，， ， 当时，点在的右边，如图3， 同理得， 解得：，（舍， 同理得； 综上，点的坐标为：或． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，正方形的性质，二次函数，两函数的交点，图形的面积计算等，与方程相结合，求解点的坐标，难度适中． 49．（2023秋•浑江区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线下方抛物线上的一动点，于点，轴交于点．求线段的最大值和此时点的坐标； （3）点为轴上一动点，点为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】①将，点坐标代入抛物线解析式求出系数，的值，即可得解析式， ②数形结合思想找到和的数量关系，求最大值转化为求最大值问题，利用配方法求最值， ③分类讨论，应用一线三直角模型构造全等三角形，找到线段关系，从而出点坐标． 【解答】解：（1）将，代入函数中， 得， 解得， 解析式为， 故抛物线解析式为； （2）当时，， ， ， ， 轴， ， ， ，则当最大时，也最大， 设的解析式为， ， 解得， 解析式为， 设，， ， 当时，最大，则， ，， 故最大值为，点坐标为，； （3）存在，点的坐标为，，，，，． 是以为斜边的等腰直角三角形， 设， ①如图，过点作轴的垂线，再分别过点和点作垂线的垂线，分别交于点和点， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， 解得，（舍去）， ，， ②如图，过点作轴的垂线，再分别过点和点作垂线的垂线，分别交于点和点， 同理：， ，， ， 解得，（舍去）， ，，， ③如图，点和点重合，点和点重合，此时， ④如图，过点作轴的垂线，再分别过点和点作垂线的垂线，分别交于点和点， 同理：， ，， ， 解得，（舍去）， ，，， 综上所述，点的坐标为，，，，，． 【点评】本题主要考查了二次函数应用，求二次函数解析式，等腰三角形的性质以及一线三直角模型的应用，最后一问综合应用对于一般学生比较有难度，比较难答全． 50．（2023秋•惠阳区校级月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，且． （1）求点与点的坐标； （2）求此二次函数的解析式； （3）在轴上是否存在点使是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）令，即可求得点的坐标，由的面积公式可求得的在，进而得到点的坐标； （2）把点的坐标代入抛物线的解析式，可求得的值，确定出抛物线解析式； （3）若是等腰三角形，且点在轴上，故点的位置有三种情况，由等腰三角形的性质分别求得即可 【解答】解：（1）由解析式可知，点的坐标为， ， ， 或， 二次函数与轴的负半轴交于点， 点的坐标为； （2）把点的坐标代入， 得． 解得． 所求二次函数的解析式为． （3）因为是等腰三角形， 所以：①如图1， 当时，点的坐标为， ②如图2，当时，点的坐标为或， ③如图3， 当时，设点的坐标为根据题意，得． 解得． 点的坐标为，， 综上所述，点的坐标为，，，，． 【点评】本题考查了抛物线与坐标轴的关系，等腰三角形的性质，注意当是等腰三角形时，点的位置有三种情况． 51．（2024春•广安区校级月考）如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点、的坐标分别为、，点的坐标为．点是抛物线第一象限上一个动点，设点的横坐标为，连接、、． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当四边形的面积最大时，求的值； （3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）先求出直线的表达式，设点，则点，可得 ，故当时，有最大值6；求出，推出当最大时，也最大，则当最大时，； （3）分是边、是对角线两种情况，利用图象平移的性质和中点公式即可求解． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ； （2）设直线的表达式为， 把点，代入中得： ， 解得：， 直线的表达式为：， 如图所示，过点作轴的平行线交直线于点， 设点，则， ， ， ， ， 当时，有最大值6； ， ， 当最大时，也最大， 当最大时，； （3）在中，当时，， 点， 设点，点，则， Ⅰ．当是边时，点向左平移2个单位向上平移6个单位得到点，同样点向左平移2个单位向上平移6个单位得到点， 故或， 联立①②得： 或， 解得：（舍去）或或或； 故点的坐标为或或； Ⅱ．当是对角线时， 由中点公式得：， 联立①③， 解得：或（舍去）， 故点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏． 52．（2023秋•霞山区校级月考）如图所示，已知抛物线经过点、、，与直线交于，两点 （1）求抛物线的解析式并直接写出点的坐标； （2）点为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点的坐标； （3）点是线段上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点，当为直角三角形时，直接写出点的坐标． 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点的坐标代入可求得的值，然后将与抛物线的解析式联立方程组并求解即可； （2）过点作轴，交直线与点，设，则，则，然后依据，列出的面积与的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可； （3）设直线与轴相交于点，则，设点坐标为，点点坐标为，先证明为等腰直角三角形，然后根据和两种情况求解即可． 【解答】解：（1）抛物线与轴的交点坐标是、， 设该抛物线解析式为， 将点代入函数解析式代入，得， 解得， 该抛物线的解析式为：或． 联立方程组：， 解得（舍去）或， 即点的坐标是； （2）如图所示： 过点作轴，交于点， 设，则． ． ． 当时，的面积的最大值为． ，． （3）设直线与轴相交于点，则，设点坐标为，点点坐标为． ， ． ． 轴， ． 若为直角三角形，则是等腰直角三角形． ①当时，过点作于， ，，， ，解得：（舍去）或， ． ②当，则． ，解得（舍去）或， ． 综上所述，当为直角三角形时，点的坐标为或． 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、待定系数法求二次函数的表达式，等腰直角三角形的判定，分类讨论是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$