精品解析：山东省济宁市第一中学2024-2025学年高三上学期质量检测（一）数学试题

济宁市第一中学 2024-2025学年度第一学期质量检测（一） 高三数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 随机变量，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（ ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 48 6. 已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为2，则（ ）． A. B. 1 C. D. 5 7. 已知定义在上函数的导函数为，若，且，，则的解集为（ ） A B. C. D. 8. 已知函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确是（ ） A. 将一组数据的每一个数据减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同 B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 C. 设随机变量，，则 D. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 10. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在上的函数满足，且，若，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 是周期函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 函数恒过定点______. 13. 已知，，，则______. 14. 若曲线与总存在关于原点对称的点，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，． （1）若函数在上单调递减，求a的取值范围： （2）若直线与的图象相切，求a的值． 16. 已知展开式二项式系数和为a，展开式的奇数项的二项式系数和为b，且，则在的展开式中，求解下列问题： （1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项． 17. 某高校有东，西两个阅览室，甲同学每天晚自习选择其中一个阅览室学习，第一天晚自习选择东阅览室的概率是．如果第一天去东阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为；如果第一天去西阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为； （1）记甲同学前两天去东阅览室的总天数为X，求X的分布列及数学期望； （2）如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去哪个阅览室的可能性更大？请说明理由． 18. 粮食安全始终是关系我国国民经济发展､社会稳定和国家自立全局性重大战略问题.化肥的施用对粮食增产增收起到了重要作用，研究粮食产量与化肥施用量的关系，是做到合理施用化肥，使其最大程度地促进粮食增产的前提.某研究团队收集了10组某作物亩化肥施用量和亩产量的数据，，2，3，…，10，其中（单位：公斤）表示亩化肥施用量，（单位：百公斤）表示该作物亩产量.并对这些数据作了初步处理，得到了一些统计量的值如右表所示：表中，，，2，3，…，10.通过对这10组数据分析，发现当亩化肥施用量在合理范围内变化时，可用函数模拟该作物亩产量y关于亩化肥施用量x的关系. 38.5 15 17.5 47 （1）根据表中数据，求y关于x的经验回归方程； （2）实际生产中，在其他生产条件相同的条件下，出现了亩施肥量为30时，该作物亩产量仅约为510的情况，请给出解释； （3）合理施肥､科学管理，能有效提高该作物的投资效益（投资效益=产出与投入比）.经试验统计可知，该研究团队的投资效益服从正态分布，政府对该研究团队的奖励方案如下：若，则不予奖励；若，则奖励10万元；若，则奖励30万元.求政府对该研究团队的奖励金额的数学期望. 附：①，；②对于一组数据（，2，3，…，n），其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；③若随机变量X服从正态分布，则，，. 19. 已知函数，且恒成立． （1）求实数的值； （2）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 济宁市第一中学 2024-2025学年度第一学期质量检测（一） 高三数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后可求. 【详解】，， 故， 故选：D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】特称量词的否定是只否定结论，特称全称互换即可. 【详解】运用特称量词的否定，只否定结论，特称全称互换.则命题“”的否定是“”. 故选：D. 3. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质可求参数的值，从而可判断两者之间的关系 【详解】因为是幂函数且在上是减函数， 故，故， 故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件， 故选：B. 4. 随机变量，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式可求，进而根据二项分布的概率公式即可求解. 【详解】因为，所以， 解得，所以. 故选：B. 5. 某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（ ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】设最后两人为丁和戊，然后分甲、乙在丁、戊之间和丁、戊在甲、乙一侧时讨论即可. 【详解】设剩下的两人分别为丁和戊， ①甲、乙在丁、戊之间，将甲、乙捆绑成一个元素， 丁、戊两人有种排法，甲、乙内部有种排法，丙有4个位置可站， 则共有种； ②丁、戊在甲、乙一侧时，丁、戊可选择甲、乙左侧或右侧，则有种排法， 丁、戊排列有种排法， 甲、乙之间排列也有种排法， 丙有3个位置可站， 则该种情况共有种， 则总共有种不同安排方法. 故选：C. 6. 已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为2，则（ ）． A. B. 1 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据残差计算公式计算即可. 【详解】由题意得，得, 故选：C. 7. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数得出其单调性，进而由单调性解不等式即可. 【详解】构造函数，， ，即函数在上单调递减， 等价于，解得. 即的解集为. 故选：D 8. 已知函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段求出函数值域，再根据函数值域为，求参数的取值范围. 【详解】当时，， 所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以，. 当时，， 若即，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，. 又函数的值域为，所以，（）； 若即，函数在上单调递增，所以，. 又函数的值域为，所以（）. 综上可知：或. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将一组数据的每一个数据减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同 B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 C. 设随机变量，，则 D. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助方差的性质即可判断A；根据线性相关系数的性质即可判断B；利用正态分布的对称性即可判断C；利用残差的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后， 新数据的方差与原数据方差相同，故A正确； 对B：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，，故B错误； 对C：根据正态分布的对称性知，故C正确； 对D：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄， 其模型的拟合效果越好，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养. 11. 已知定义在上的函数满足，且，若，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 是周期函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的等式，结合赋值法推导出函数及对称轴，再逐项分析计算得解. 【详解】由，得， 则，即，因此是周期为4的周期函数，C正确； 令，得，则，因此，A错误； 由，得，则， 因此图象关于直线对称，B正确； 由，得图象关于直线对称， 因此直线及均为图象的对称轴， 从而，令，得， 即，则， 故 ，D正确. 故答案为：BCD 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 函数恒过定点______. 【答案】 【解析】 【分析】令，根据对数的性质，即可得出结果. 【详解】令，则，所以， 即函数恒过定点. 故答案为： 13. 已知，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用条件概率公式和相互独立事件的概率公式代入计算即可得到答案. 【详解】根据题意可知，，， 所以代入已知条件得，， 所以可得. 故答案为： 14. 若曲线与总存在关于原点对称的点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过分析可知，方程有解，从而构造函数求得的值域即可求解. 【详解】若曲线与总存在关于原点对称的点， 则上的点关于原点的对称点在曲线上， 所以方程有解， 令，则方程有解， 即方程有解， 令，则，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，当趋于0时，趋于负无穷，当趋于正无穷时，趋于0， 所以的值域为， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，． （1）若函数在上单调递减，求a的取值范围： （2）若直线与的图象相切，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性与导数的正负，得出导函数的恒成立关系，利用分离参数和基本不等式即可求解； （2）利用导数的几何意义及切点的位置关系，建立方程组即可求解. 【小问1详解】 记在上单调递减， 对恒成立， ，而， 当且仅当即时，等号成立， 所以当时，取得最小值为. 所以a的取值范围为 小问2详解】 设直线与的图象相切于， ， 由题意可知， 代入， ，左边式子关于单调递减且时，左边 16. 已知展开式的二项式系数和为a，展开式的奇数项的二项式系数和为b，且，则在的展开式中，求解下列问题： （1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，用n表示出a，b并求出n，再利用二项式系数的性质求解作答. （2）由（1）的结论，求出二项式展开式的通项，再列出不等式即可求解作答. 【小问1详解】 依题意，，于是，即，解得， 所以展开式中第4项的二项式系数最大， 即. 【小问2详解】 由（1）知，展开式的通项公式为， 设第项的系数的绝对值最大，因此， 整理得，解得，而，则，即系数的绝对值最大的项是第3项， 所以系数的绝对值最大的项为. 17. 某高校有东，西两个阅览室，甲同学每天晚自习选择其中一个阅览室学习，第一天晚自习选择东阅览室的概率是．如果第一天去东阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为；如果第一天去西阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为； （1）记甲同学前两天去东阅览室的总天数为X，求X的分布列及数学期望； （2）如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去哪个阅览室的可能性更大？请说明理由． 【答案】（1）分布列见解析， （2）第一天去西阅览室的可能性更大，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设“第i天去东阅览室”，“第j天去西阅览室”， 则与对立，与对立，由题意得，，然后根据独立事件的乘法公式耱出相应的概率，从而可求得X的分布列及数学期望， （2）先利用全概率公式求出甲同学第二天去西阅览室的概率，然后利用条件概率公式求出甲同学第二天去西阅览室的条件下，第一天分别去两个阅览室的概率，比较可得答案. 【小问1详解】 设“第i天去东阅览室”，“第j天去西阅览室”， 则与对立，与对立 由题意得， 则X的分布列为 X 0 1 2 P 所以 【小问2详解】 由全概率公式得 所以 所以 所以 所以如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去西阅览室的可能性更大 18. 粮食安全始终是关系我国国民经济发展､社会稳定和国家自立的全局性重大战略问题.化肥的施用对粮食增产增收起到了重要作用，研究粮食产量与化肥施用量的关系，是做到合理施用化肥，使其最大程度地促进粮食增产的前提.某研究团队收集了10组某作物亩化肥施用量和亩产量的数据，，2，3，…，10，其中（单位：公斤）表示亩化肥施用量，（单位：百公斤）表示该作物亩产量.并对这些数据作了初步处理，得到了一些统计量的值如右表所示：表中，，，2，3，…，10.通过对这10组数据分析，发现当亩化肥施用量在合理范围内变化时，可用函数模拟该作物亩产量y关于亩化肥施用量x的关系. 38.5 15 17.5 47 （1）根据表中数据，求y关于x的经验回归方程； （2）实际生产中，在其他生产条件相同的条件下，出现了亩施肥量为30时，该作物亩产量仅约为510的情况，请给出解释； （3）合理施肥､科学管理，能有效提高该作物的投资效益（投资效益=产出与投入比）.经试验统计可知，该研究团队的投资效益服从正态分布，政府对该研究团队的奖励方案如下：若，则不予奖励；若，则奖励10万元；若，则奖励30万元.求政府对该研究团队的奖励金额的数学期望. 附：①，；②对于一组数据（，2，3，…，n），其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；③若随机变量X服从正态分布，则，，. 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）（元）. 【解析】 【分析】（1）将非线性方程两边取对转化为线性方程，再应用最小二乘法求相关系数，即可得回归方程； （2）根据回归方程估计亩施肥量为30的产量，结合实际情况判断原因； （3）利用正态分布的三段区间及对称性求、，进而求期望. 【小问1详解】 对两边取对数得：，即， 由表中数据得：，， ， 所以，则， 所以y关于x的经验回归方程为. 【小问2详解】 由（1）得，当时，所以， 所以当亩化肥施用量为30kg时，估计粮食亩产量应约为1500kg. 出现亩施肥量为30kg，亩产量仅约为510kg的情况，可能是因为施肥过量，导致作物有部分被烧坏，从而导致产量下降. 【小问3详解】 因为，， 所以， ， 设政府对该研究团队的奖励金额为，则（元）. 19. 已知函数，且恒成立． （1）求实数的值； （2）证明：． 【答案】（1）1 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）令，求得，设，利用导数判断单调递增，进而求得，设，利用导数判断函数的单调性，结合，即可求解. （2）由（1）转化为，即证，设，利用导数得到单调性，转化为，令，利用导数求得函数的单调性，结合，即可求解； 【小问1详解】 令， 则， 设，则对任意恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以存在唯一实数， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以， 因为， 所以，且． 所以， 设，则， 所以在上单调递增，上单调递减， 所以，而依题意必有，所以，此时， 所以若不等式恒成立，则正实数的值为1． 【小问2详解】 由（1）知，当时，对任意恒成立． 所以，当且仅当时等号成立， 则， 所以要证明， 只需证， 即证． 设，则， 则在上单调递增，上单调递减， 所以，即， 又由在恒成立，在上单调递减， 所以，即， 所以要证， 只需证，即， 令，可得， 则在上单调递减，上单调递增， 所以当时，， 即恒成立， 所以． 【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$