精品解析：辽宁省盘锦市第一完全中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

盘锦市第一完全中学2024—2025学年度第一学期九年级期初质量检测数学试卷 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意，选项正确； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 故选：C． 2. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为：． 【详解】、是一元一次方程，不是一元二次方程，此选项不符合题意； 、等号左边是分式，不是整式，不是一元二次方程，此选项不符合题意； 、中有个未知数，不是一元二次方程，此选项不符合题意； 、是一元二次方程，此选项符合题意； 故选：． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 从一副扑克牌中任意抽出一张的花色是红桃 B. 从一个只有红球的盒子中摸出一个黑球 C. 任意多边形的外角和是 D. 小希走到一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件．熟练掌握必然事件的定义是解题的关键． 根据必然事件的定义进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，从一副扑克牌中任意抽出一张的花色是红桃是随机事件，故A不符合要求； 从一个只有红球的盒子中摸出一个黑球是不可能事件，故B不符合要求； 任意多边形的外角和是是必然事件，故C符合要求； 小希走到一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯是随机事件，故D不符合要求； 故选：C． 4. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选D． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题的关键是记住“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”． 5. 抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（ ） A. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 【答案】D 【解析】 【分析】由平移前后的解析式，结合平移法则即可得解； 【详解】解：抛物线通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线， 故选择：D 【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键． 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组. 根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， 解得：且． 故选：B 7. 如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则∠的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据旋转的性质可得，，进而由三角形内角和定理即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， 故选：． 8. 为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，列出方程即可． 【详解】解：第一轮传播人数为：，第二轮又增加，由题意，得：； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 9. 如图，四边形ABCD为的内接四边形，已知，则的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 80° D. 100° 【答案】C 【解析】 【分析】由圆内接四边形的对角互补可得∠A=40°，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠BOD的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A=180°-∠BCD=180°-140°=40°， ∴∠BOD=2∠A=80°， 故选C． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质和同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，解题的关键是利用圆内接四边形的性质求出∠A的度数． 10. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．根据二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴，，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；，，判断，由此即可判断②；求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断③；利用图象法即可判断④． 【详解】解：二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴， ，， 对称轴为直线 ，， 故①正确； ，， ， 故 故②错误； 二次函数的图象与轴的一个交点坐标为； 二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为； 时，； 将代入中，则 故③正确； 由函数图象可知，当当时，，故④正确； 故正确的个数为：个 故选：C 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则实数的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将，代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 12. 抛物线上有两点，，则与的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据抛物线的解析式可求出对称轴，根抛物线的增减性解题是关键． 【详解】解：∵，在对称轴y轴的左侧，y随x的增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 13. 一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号之和是3的倍数的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：根据题意列出表格如下： 第一次 第二次 1 2 3 4 1 3 4 5 2 3 右 5 6 3 4 5 右 7 4 5 6 7 右 由表可知，一共有12种情况，和是3的倍数的有4种情况， ∴和是3的倍数的概率， 故答案为：． 14. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，建立平面直角坐标系求出函数式子是解题的关键． 建立平面直角坐标系求出函数式子，再代入数据运算求解即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过水面，纵轴通过中点且通过点， 如图所示： 则通过画图可得知为原点，则抛物线以轴为对称轴，且经过，两点,可知， ∴，， 由图可得：抛物线顶点坐标为， ∴设二次函数的顶点式为：， 把代入可得：， 解得：， ∴， 把代入可得：， 解得：， ∴此时水面宽度为， ∴比原先的宽度增加了， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，，点E在边上运动，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，，当的长最小时的长是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】过点E作交于点M，过点F作交的延长线于点N，延长交的延长线于点G，根据题意证明出，得到，，然后设，表示出，，然后利用勾股定理表示出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作交于点M，过点F作交的延长线于点N，延长交的延长线于点G， ∴， ∵将线段绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； ∵， ∴四边形，是矩形， ∴设，则，， ∴，， ∴， ∴当时，有最小值， ∴当的长最小时的长是3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线求解． 三．解答题（共8小题） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握用配方法、公式法和因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． （1）选用公式法求解此一元二次方程； （2）选用配方法求解此一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根 ， ，； 【小问2详解】 解：整理得， 配方，得，即， 开平方，得， ，． 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，将绕着点O逆时针旋转，得到． （1）请画出并直接写出，，的坐标； （2）求点C旋转到点时，线段在平面内扫过的图形的面积（结果保留）． 【答案】（1）图见解析， （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，勾股定理，扇形面积的计算，熟练掌握旋转的性质、扇形的面积公式是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式计算即可． 【小问1详解】 如图，即为所求． ； 【小问2详解】 由勾股定理得，， ∴线段OC在平面内扫过的图形的面积为． 18. 如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米． （1）求道路的宽度； （2）园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？ 【答案】（1）道路的宽度为1米； （2）最多购进A种花卉240株． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，（1）设道路的宽度为x米，根据“种植花卉的总面积为63平方米，”列方程求解即可； （2）设购进A种花卉m株，则购进B种花卉株，根据“园林部门采购花卉的费用不超过3680元，”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设道路的宽度为x米， 根据题意得：， 解得：，， ∵，故舍去， ， 答：道路的宽度为1米． 【小问2详解】 解：设购进A种花卉m株，则购进B种花卉株， 根据题意得：, 解得：， ∴最多购进A种花卉240株． 19. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y=的图象经过点D，与BC的交点为N． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)若点P在直线DM上，且使△OMP的面积等于2，求点P的坐标． 【答案】（1）y=－，y=-x-1；（2）（－5，4）（3，－4） 【解析】 【分析】（1）由正方形OABC的顶点C坐标，确定出边长，及四个角为直角，根据AD=2DB，求出AD的长，确定出D坐标，代入反比例解析式求出m的值，再由AM=2MO，确定出MO的长，即M坐标，将M与D坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式； （2）设P（x，y），根据△OPM的面积等于2，求出y的值，进而得到x的值，确定出P坐标即可． 【详解】详解：(1)∵正方形OABC的顶点C(0,3)， ∴OA=AB=BC=OC=3, ∵AD=2DB， ∴AD=AB=2， ∴D(−3,2)， 把D坐标代入得：m=−6， ∴反比例解析式为 ∵AM=2MO， ∴ 即M(−1,0)， 把M与D坐标代入y=kx+b中得： 解得：k=b=−1， 则直线DM解析式为y=−x−1； (2)设P(x,y)， ∵△OPM的面积等于2， ∴ 即|y|=4， 解得：y=4 当y=4时，x=−5，当y=−4，x=3， 则P坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法确定函数关系式，正方形的性质以及三角形面积的计算，涉及知识点交点，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 20. 经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，设该种品牌玩具的销售单价为x元，销售量为y（件），销售该品牌玩具获得利润为w元 ． （1）销售量为y与x关系式为 ； （2）若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元； （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）50元或80元 （3）8640元 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，可知销售单价为x元时，就会少售出件玩具，进而表示出销量即可； （2）结合（1）以及获得了10000元销售利润可得方程，解方程即可； （3）易得，结合二次函数的性质分析，即可解答． 【小问1详解】 解：根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具， 可知销售单价为x元时，就会少售出件玩具， 则销量为， 故答案为：； 【小问2详解】 依题意得：， 化简得：， ∴， ∴ ∵， ∴销售价应定为50元或80元 【小问3详解】 ∵该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务 ∴， ∴解得： 而， ∵， ∴开口向下，有最大值， ∴， ∴当时，w随x的增大而增大 ∴时，w最大 ∴元 答：该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元 【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． 21. 如图，是的内接三角形，是的直径，平分交于点D，过点D作交的延长线于点E． （1）写出与的位置关系 ； （2）求证：是切线； （3）若，，求的半径． 【答案】（1）平行 （2） 连接， ∵平分交⊙O于点D， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （3） 【解析】 【分析】（1）由，是的直径，得，则，于是得到问题的答案； （2）连接，由，得，则垂直平分，所以，即可证明是的切线； （3）由，证明四边形是矩形，则，，由勾股定理得，求得，则的半径长为． 【小问1详解】 解：∵交AC的延长线于点E，是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、垂径定理、切线的判定定理、勾股定理、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 22. 【观察发现】 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点，若点到顶点的距离分别为6，8，10，求的度数． 通过观察本题的解决过程完成填空． 为解决本题，可以将绕顶点A逆时针旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，填空：的度数为______； （2）【类比探究】请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知：如图②，中，为上的点且．求证：； （3）【拓展提升】 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，求的值． 【答案】（1） （2）证明：如图，把绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得，，，， 在和中 ， 由勾股定理得， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出，，然后利用勾股定理的逆定理得出，最后根据角的和差即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质得出，，，，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质及勾股定理即可得证； （3）根据勾股定理求出的值，将绕点顺时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质得出，，，，，即可得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合角的和差得出、、、四点共线，然后根据勾股定理及等量代换即可得出答案． 【小问1详解】 解： ，，， 为等边三角形 即 为等边三角形 ， 为直角三角形，且 ； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 解：在中，，， ， 如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接 ，，，， 是等边三角形 ， 、、、四点共线 在中， ． 23. 定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数． 【初步理解】 （1）现有以下两个函数：①；②，其中，_________为函数的轴点函数．（填序号） 【尝试应用】 （2）函数（为常数，）的图象与轴交于点，其轴点函数与轴的另一交点为点.若，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图，函数（为常数，）的图象与轴、轴分别交于，两点，在轴的正半轴上取一点，使得.以线段的长度为长、线段的长度为宽，在轴的上方作矩形.若函数（为常数，）的轴点函数的顶点在矩形的边上，求的值． 【答案】（1）①；（2）或；（3）或或 【解析】 【分析】（1）求出函数与坐标轴的交点，再判断这两个点在不在二次函数图象上即可； （2）求出函数与坐标轴的交点，再由求出点坐标，代入二次函数解析式计算即可； （3）先求出，的坐标，再根据的顶点在矩形的边上分类讨论即可． 【详解】（1）函数交轴于，交轴于， ∵点、都在函数图象上 ∴①为函数的轴点函数； ∵点不在函数图象上 ∴②不是函数的轴点函数； 故答案为：①； （2）函数交轴于，交轴于， ∵函数的轴点函数 ∴和都在上， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴或 当时，把代入得 ，解得， 当时，把代入得 ，解得， 综上，或； （3）函数交轴于，交轴于， ∵，以线段的长度为长、线段的长度为宽，在轴的上方作矩形 ∴，，, ∵函数（为常数，）的轴点函数 ∴和在上 ∴，整理得 ∴ ∴的顶点坐标为， ∵函数的顶点在矩形的边上 ∴可以分三种情况讨论：当与重合时；当在上时；当在上时； 当与重合时，即，解得； 当在上时，，整理得，解得 此时二次函数开口向下，则 ∴整理得：， 由整理得， ∴ 解得， ∴， 当在上时，，整理得，解得 ∴ 此时对称轴左边y随x的增大而增大， ∴ ∴整理得： ∴代入、后成立 ∴， 综上所述，或或 【点睛】本题综合考查一次函数与二次函数，解题的关键是理解轴点函数的定义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盘锦市第一完全中学2024—2025学年度第一学期九年级期初质量检测数学试卷 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 从一副扑克牌中任意抽出一张的花色是红桃 B. 从一个只有红球的盒子中摸出一个黑球 C. 任意多边形的外角和是 D. 小希走到一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯 4. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（ ） A. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 7. 如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则∠的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，四边形ABCD为的内接四边形，已知，则的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 80° D. 100° 10. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则实数的值是_________． 12. 抛物线上有两点，，则与的大小关系为______． 13. 一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号之和是3的倍数的概率为__________． 14. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 15. 如图，在正方形中，，点E在边上运动，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，，当的长最小时的长是_______． 三．解答题（共8小题） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，将绕着点O逆时针旋转，得到． （1）请画出并直接写出，，的坐标； （2）求点C旋转到点时，线段在平面内扫过的图形的面积（结果保留）． 18. 如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米． （1）求道路的宽度； （2）园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y=的图象经过点D，与BC的交点为N． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)若点P在直线DM上，且使△OMP的面积等于2，求点P的坐标． 20. 经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，设该种品牌玩具的销售单价为x元，销售量为y（件），销售该品牌玩具获得利润为w元 ． （1）销售量为y与x关系式为 ； （2）若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元； （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 21. 如图，是的内接三角形，是的直径，平分交于点D，过点D作交的延长线于点E． （1）写出与的位置关系 ； （2）求证：是切线； （3）若，，求的半径． 22. 【观察发现】 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点，若点到顶点的距离分别为6，8，10，求的度数． 通过观察本题的解决过程完成填空． 为解决本题，可以将绕顶点A逆时针旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，填空：的度数为______； （2）【类比探究】请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知：如图②，中，为上的点且．求证：； （3）【拓展提升】 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，求的值． 23. 定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数． 【初步理解】 （1）现有以下两个函数：①；②，其中，_________为函数的轴点函数．（填序号） 【尝试应用】 （2）函数（为常数，）的图象与轴交于点，其轴点函数与轴的另一交点为点.若，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图，函数（为常数，）的图象与轴、轴分别交于，两点，在轴的正半轴上取一点，使得.以线段的长度为长、线段的长度为宽，在轴的上方作矩形.若函数（为常数，）的轴点函数的顶点在矩形的边上，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $