第22章《二次函数》（章节培优检测卷）-2024-2025学年人教版数学九年级上册同步培优过关必刷卷

2024-2025学年人教版数学九年级上册同步培优过关必刷章节卷 第22章《二次函数》 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.49（较难）题目来源：全国各地名校真题 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2023秋•微山县期末）抛物线上部分点的横坐标纵坐标的对应值如表，则下列说法中错误的是　　 1 2 3 2.5 A．当时，随的增大而减小 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时， D．方程的负数解满足 2．（2分）（2023秋•兴隆县期末）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2分）（2024•北戴河区一模）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点，都在轴上，平行于轴的直线与两条抛物线相交于，，，四点，若，，，则的长度为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2分）（2024•当阳市模拟）已知抛物线，，是常数且经过，下列四个结论： ①若此抛物线顶点在第四象限，则； ②若抛物线经过，则对称轴为直线； ③若二次函数的图象与轴只有一个公共点，则； ④若，此抛物线与轴交于，，，两点，当时，有．其中正确的结论是　　 A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 5．（2分）（2024•路桥区二模）已知二次函数，，为常数，的最小值分别为，，　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则， 6．（2分）（2024•永修县二模）下列图象中，函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 7．（2分）（2024春•安庆期末）如图所示，在菱形中，，，为正三角形，点、分别在菱形的边．上滑动，且、不与．、重合．当点、在、上滑动时，的面积最大值是　　 A． B． C． D． 8．（2分）（2024•平顶山三模）如图，抛物线与轴交于点，，对称轴为直线，若点的坐标为，则下列结论：①点的坐标为；②；③；④点，，，在抛物线上，当时，则，其中正确的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2分）（2024•盐城一模）在平面直角坐标系中，，、，为抛物线上任意两点，其中设抛物线的对称轴为直线，若对于，都有，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 10．（2分）（2024•苏州一模）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024•朝阳区校级开学）已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点的横坐标在和之间，则下列结论正确的是　　． ①； ②； ③； ④关于的方程有实根． 12．（2分）（2024•二道区校级模拟）二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如表： 0 1 2 3 0 0 有如下结论： ①抛物线的开口向上；（2）抛物线的对称轴是直线；（3）抛物线与轴的交点坐标为；④由抛物线可知的解集是．其中正确的是 　　． 13．（2分）（2024•凉州区二模）将二次函数用配方法化成的形式为　　． 14．（2分）（2024春•海淀区校级期末）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标为，若函数值，则自变量的取值范围是 　　． 15．（2分）（2024•江南区校级开学）如图，是二次函数的图象，其对称轴是直线，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号有 　　． 16．（2分）（2024•朝阳区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段在对称轴上，，则四边形周长的最小值为 　　． 17．（2分）（2024•永昌县校级模拟）大棚果蔬产业的大力发展使得蔬菜产业逐步向科学化种植、规模化发展、产业化经营模式转变．如图是蔬菜大棚的截面示意图，其形状近似看作抛物线．其中大棚的跨径，最顶端点到保温墙的水平距离为，到地面的距离为．现要使得高度为的机械农具在不碰到棚顶的情况下工作（农具宽度忽略不计），则农具活动范围的宽度为 　　． 18．（2分）（2024•江岸区校级二模）抛物线，，，为常数）交轴于点，且．下列4个结论：①；②抛物线过点；③；④抛物线上有点，，，，当时，．其中结论正确的是 　　（填写序号）． 19．（2分）（2024•泗阳县二模）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数，使得，则称函数和符合“特定规律”．已知函数与符合“特定规律”，则应满足的条件为 　　． 20．（2分）（2024•胶州市校级二模）如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则，正确的有 　　． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2023秋•康平县期末）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为（元，日销量为（件，日销售利润为（元． （1）求与的函数关系式； （2）求日销售利润（元与销售单价（元的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 22．（6分）（2023秋•成都期末）某校准备用32米长的围栏修建一边靠墙的矩形菜地，已知墙体的最大可用长度为16米，在与墙平行的一边，要留一扇2米宽的门，设的长为米，矩形菜地的面积为平方米． （1）请用含有的代数式表示，并写出自变量的取值范围； （2）如果该矩形菜地的面积为140平方米，则的长． 23．（8分）（2024•烈山区三模）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，以点为顶点的抛物线经过点． （1）求点，的坐标； （2）求，的值； （3）平移抛物线至，点，分别平移至点，，连接，且轴，如果点在轴上，且新抛物线过点，求抛物线的函数解析式． 24．（8分）（2023秋•江南区月考）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离成为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：与刹车后行驶时间（单位：之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车与测速仪相距； （3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 25．（8分）（2023秋•沿河县月考）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于26元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价3元，则平均每天销售数量为 　　件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ （3）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为最大？最大利润是多少？ 26．（8分）（2024•深圳模拟）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立平面直角坐标系如图所示． （1）求抛物线表示的二次函数的表达式； （2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）已知点在点的正上方，且．运动员带球向点的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，且恰好在点与点之间进球（包括端点），求的取值范围． 27．（8分）（2024•青秀区校级开学）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． （1）求抛物线的解析式； （2）若点位于线段上方，求△面积的最大值； （3）若图象的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． 28．（8分）（2024•辽宁模拟）在平面直角坐标系中，若某函数的图象与矩形对角线的两个端点相交，则定义该函数为矩形的“友好函数”． （1）如图，矩形，轴，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”，求一次函数的解析式； （2）已知第一象限内矩形的两条边的长分别为2和4，且它的两条边分别平行轴和轴，经过点和点的反比例函数是矩形的“友好函数”，求矩形距原点最近的顶点坐标； （3）若是矩形的“友好函数”且经过，两点，点的坐标为，点的坐标为，轴． ①若的图象与矩形有且只有两个交点，求的取值范围； ②点，是图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学九年级上册同步培优过关必刷章节卷 第22章《二次函数》 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.49（较难）题目来源：全国各地名校真题 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2023秋•微山县期末）抛物线上部分点的横坐标纵坐标的对应值如表，则下列说法中错误的是　　 1 2 3 2.5 A．当时，随的增大而减小 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时， D．方程的负数解满足 解：由表格可知，或2时，对应的函数值都是， 对称轴，故错误， 对称轴右侧，随的增大而减小， 时，随的增大而减小， 故正确， 根据对称性可知，时，与时的函数值相同，函数值为，故正确， 根据表格可知抛物线与轴的一个交点在与之间，故正确． 故选：． 2．（2分）（2023秋•兴隆县期末）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 解：①，、同号，故，原结论错误； ②当时，由图象可知，即，原结论错误； ③由对称轴可知， ，原结论正确； ④当时，由图象可知，即，整理得，原结论正确． 所以，正确的结论有2个． 故选：． 3．（2分）（2024•北戴河区一模）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点，都在轴上，平行于轴的直线与两条抛物线相交于，，，四点，若，，，则的长度为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 解：分别作出两条抛物线的对称轴，，交于点，， 四边形是矩形， ， ，，， ，， ， ， 故选：． 4．（2分）（2024•当阳市模拟）已知抛物线，，是常数且经过，下列四个结论： ①若此抛物线顶点在第四象限，则； ②若抛物线经过，则对称轴为直线； ③若二次函数的图象与轴只有一个公共点，则； ④若，此抛物线与轴交于，，，两点，当时，有．其中正确的结论是　　 A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 解：①把点代入，得， ， 此抛物线顶点在第四象限， ， ， 故①正确； ②抛物线经过，， 抛物线对称轴为直线， 故②正确； ③当时， 函数的图象与轴只有一个公共点， △， ， ， 即， ； 故③错误； ④， ， 二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，，，两点，且， ，故④正确； 综上，正确的结论是①②④． 故选：． 5．（2分）（2024•路桥区二模）已知二次函数，，为常数，的最小值分别为，，　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则， 解：由两函数表达式可知， 函数的对称轴 为， 函数的对称轴为直线， 二次函数，，为常数，的最小值分别为，， 两函数图象均开口向上，两函数均在对称轴上取到最小值， 则有，， 若，则有， 解得：或（舍去）， 将代入，得：， 故选：． 6．（2分）（2024•永修县二模）下列图象中，函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 解：函数的对称轴为轴， 、抛物线开口向上，则，与轴交于正半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； 、抛物线开口向上，则，与轴交于负半轴，则，即，但是对称轴不是轴，不符合题意； 、抛物线开口向下，则，与轴交于负半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； 、抛物线开口向下，则，与轴交于正半轴，则，即，二者一致，且对称轴是轴，符合题意； 故选：． 7．（2分）（2024春•安庆期末）如图所示，在菱形中，，，为正三角形，点、分别在菱形的边．上滑动，且、不与．、重合．当点、在、上滑动时，的面积最大值是　　 A． B． C． D． 解：如图，连接， 四边形为菱形，为正三角形， ，， ， ， ， 又， 和为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， 是定值， 作于点，则，， ， 由“垂线段最短”可知：当正三角形的边与垂直时，边最短， 的面积会随着的变化而变化，且当最短时，正三角形的面积会最小， 又，则此时的面积就会最大， ． 故选：． 8．（2分）（2024•平顶山三模）如图，抛物线与轴交于点，，对称轴为直线，若点的坐标为，则下列结论：①点的坐标为；②；③；④点，，，在抛物线上，当时，则，其中正确的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①对称轴为直线，且点的坐标为， 点的坐标为， 故结论①正确； ②抛物线开口向上，， 由图象可知当时，， 故结论②错误； ③对称轴为直线， ， ， 故结论③错误； ④抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，则， 故结论④正确， 综上所述，正确的结论有2个． 故选：． 9．（2分）（2024•盐城一模）在平面直角坐标系中，，、，为抛物线上任意两点，其中设抛物线的对称轴为直线，若对于，都有，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 解：①当时，恒成立． ②当时，恒不成立． ③当，时， 抛物线的对称轴为直线，若对于，都有， 当，且时，对称轴为直线， 满足条件的值为：． 故选：． 10．（2分）（2024•苏州一模）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 解：抛物线的开口方向向下， ． 抛物线的对称轴为直线， ， ，． ，， ， ①的结论正确； 抛物线经过点， ， ， ． ， ②的结论正确； 抛物线的对称轴为直线， 点关于直线对称的对称点为， ， 当时，随的增大而减小． ， ． ③的结论不正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线一定经过点， 抛物线与轴的交点的横坐标为，1， 方程的两根为，， ④的结论正确； 直线经过点， ， ． ， ， ， ． 函数 ， ， 当时，函数有最大值， ⑤的结论不正确． 综上，结论正确的有：①②④， 故选：． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024•朝阳区校级开学）已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点的横坐标在和之间，则下列结论正确的是　②④　． ①； ②； ③； ④关于的方程有实根． 解：由所给函数图象可知， ，，， ．故①错误； 抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点的横坐标在和之间， 抛物线与轴的另一个交点的横坐标在0和1之间． 又抛物线开口向下， 当时，函数值小于零， 即．故②正确； 抛物线的对称轴为直线， ， 即， 又， ．故③错误； 抛物线的顶点坐标为， 抛物线的图象与直线有交点， 关于的方程有实根．故④正确． 结论正确的是②④． 故答案为：②④． 12．（2分）（2024•二道区校级模拟）二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如表： 0 1 2 3 0 0 有如下结论： ①抛物线的开口向上；（2）抛物线的对称轴是直线；（3）抛物线与轴的交点坐标为；④由抛物线可知的解集是．其中正确的是 　①②④　． 解：抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即， ， 抛物线开口向上，所以①正确； 抛物线的对称轴是直线，所以②正确； 抛物线与轴的交点坐标为，所以③错误； 抛物线与轴交于点，，且抛物线开口向上， 当时，， 的解集是，所以④正确． 故答案为：①②④． 13．（2分）（2024•凉州区二模）将二次函数用配方法化成的形式为　　． 解：， 故答案为：． 14．（2分）（2024春•海淀区校级期末）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标为，若函数值，则自变量的取值范围是 　　． 解：二次函数的图象与轴的交点坐标为，对称轴为直线， 当时，， 抛物线开口向上， 函数值，自变量的取值范围是， 故答案为：． 15．（2分）（2024•江南区校级开学）如图，是二次函数的图象，其对称轴是直线，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号有 　①②④　． 解：抛物线与轴有两个交点， △，①正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ，，，，②正确； ， ，伞错误； 方程没有实数根， ，④正确； ，， ，⑤错误． 故答案为：①②④． 16．（2分）（2024•朝阳区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段在对称轴上，，则四边形周长的最小值为 　　． 解：在中， 令，则， ， 令，解得或， ， ， 四边形的周长， 最小时，四边形周长最小， ， 抛物线的对称轴为直线， 作点关于函数对称轴直线的对称点，则， 将上移2个单位长度得，则四边形是平行四边形， ， ， 当、、三点共线时，最小，周长也最小， 此时，， 最小为，即最小为， 四边形周长的最小值为是． 故答案为：． 17．（2分）（2024•永昌县校级模拟）大棚果蔬产业的大力发展使得蔬菜产业逐步向科学化种植、规模化发展、产业化经营模式转变．如图是蔬菜大棚的截面示意图，其形状近似看作抛物线．其中大棚的跨径，最顶端点到保温墙的水平距离为，到地面的距离为．现要使得高度为的机械农具在不碰到棚顶的情况下工作（农具宽度忽略不计），则农具活动范围的宽度为 　9　． 解：如图，建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点， 可设抛物线大棚的函数表达式． 将代入得，， ． 抛物线大棚的函数表达式为． 将代入， ． ，． 又， ． 而， 农具活动范围的宽度为． 故答案为：9． 18．（2分）（2024•江岸区校级二模）抛物线，，，为常数）交轴于点，且．下列4个结论：①；②抛物线过点；③；④抛物线上有点，，，，当时，．其中结论正确的是 　①②③④　（填写序号）． 解：①， ， ， ． ①的结论正确； ②， ， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线关于直线对称， 抛物线，，，为常数）交轴于点，与关于对称， 抛物线过点． ②的结论正确； ③抛物线，，，为常数）交轴于点，且， ， ， ， ， ． ③的结论正确； ④抛物线，，，为常数）交轴于点，， 当时，， 抛物线上有，，， ． ， 点，在点的右侧， 点，在轴的下方， ． ④的结论正确． 综上，结论正确的是：①②③④． 故答案为：①②③④． 19．（2分）（2024•泗阳县二模）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数，使得，则称函数和符合“特定规律”．已知函数与符合“特定规律”，则应满足的条件为 　　． 当时，， ， 令， 则， △， 解得：． 20．（2分）（2024•胶州市校级二模）如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则，正确的有 　②③④　． 解：①观察图象可知：，，， ，故①错误； ②对称轴为直线，， 可得，， 点，点， 当时，，即， ，故②正确； ③抛物线的对称轴为直线，即， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ④当时，函数有最小值， 由，可得， 若为任意实数，则，故④正确； 故答案为：②③④． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2023秋•康平县期末）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为（元，日销量为（件，日销售利润为（元． （1）求与的函数关系式； （2）求日销售利润（元与销售单价（元的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 解：（1）根据题意得，， 故与的函数关系式为； （2）根据题意得，， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 答：当为12时，日销售利润最大，最大利润960元． 22．（6分）（2023秋•成都期末）某校准备用32米长的围栏修建一边靠墙的矩形菜地，已知墙体的最大可用长度为16米，在与墙平行的一边，要留一扇2米宽的门，设的长为米，矩形菜地的面积为平方米． （1）请用含有的代数式表示，并写出自变量的取值范围； （2）如果该矩形菜地的面积为140平方米，则的长． 解：（1）由题可得： 化简可得：， 根据题意有：， 解得：， 即：，； （2）当时，可得， 解得（舍去），， 答：的长为10米． 23．（8分）（2024•烈山区三模）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，以点为顶点的抛物线经过点． （1）求点，的坐标； （2）求，的值； （3）平移抛物线至，点，分别平移至点，，连接，且轴，如果点在轴上，且新抛物线过点，求抛物线的函数解析式． 解：（1）当时，， 当时，，解得：， ，； （2）设， 点为抛物线的顶点， 抛物线的顶点式为：， 抛物线过点， ， 解得：， ， ，； （3）轴，点在轴上， 设，， 点，分别平移至点，， 点，向下平移的距离相同， ， 解得：， 由（2）得， ，解得：， 抛物线的函数解析式为：， 抛物线过点， ，解得：， 新抛物线的解析式为：，． 24．（8分）（2023秋•江南区月考）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离成为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：与刹车后行驶时间（单位：之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车与测速仪相距； （3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 解：（1）设， 将，，代入得： ， 解得：， 关于的函数解析式为； （2）根据题意得，， 解得， 答：汽车刹车后，行驶了； （3）不会．理由如下： ， 当时，汽车停下，行驶了， ， 该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 25．（8分）（2023秋•沿河县月考）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于26元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价3元，则平均每天销售数量为 　26　件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ （3）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为最大？最大利润是多少？ 解：（1）（件， 平均每天销售数量为26件， 故答案为：26； （2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天销售数量为件， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，元），，符合题意； 当时，（元，，不符合题意，舍去． 答：每件商品可降价10元； （3）设每件商品降价元，商店每天销售利润为元，且， ， 由题意得： ， ， 当时，有最大值， 此时，不合题意， 当时，有最大值，最大值为1248， 当每件商品降价为14元时，该商店每天销售利润最大，最大为1248元． 26．（8分）（2024•深圳模拟）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立平面直角坐标系如图所示． （1）求抛物线表示的二次函数的表达式； （2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）已知点在点的正上方，且．运动员带球向点的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，且恰好在点与点之间进球（包括端点），求的取值范围． 解：（1）， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线表示的二次函数的表达式为，把点代入，得，解得， 抛物线表示的二次函数的表达式为； （2）当时，， 球不能射进球门； （3）由题意，移动后的抛物线为， 把点代入，得，解得（舍去），， 把点代入，得，解得（舍去），， 的取值范围为． 27．（8分）（2024•青秀区校级开学）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． （1）求抛物线的解析式； （2）若点位于线段上方，求△面积的最大值； （3）若图象的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． （1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为与轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点位于线段上方， 点的横坐标为， ， 过点作轴，交于点， ， ， ， △面积的最大值为； （3）解：图象的最大值与最小值的差为4， ①当点在点上方时， ，且， ， 解得或0（舍去）， ， ②当点在点下方时， 此时点在点左侧，不满足题意， 点在点右侧， ， 解得或（舍去）， 综上所述，的取值范围是或． 28．（8分）（2024•辽宁模拟）在平面直角坐标系中，若某函数的图象与矩形对角线的两个端点相交，则定义该函数为矩形的“友好函数”． （1）如图，矩形，轴，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”，求一次函数的解析式； （2）已知第一象限内矩形的两条边的长分别为2和4，且它的两条边分别平行轴和轴，经过点和点的反比例函数是矩形的“友好函数”，求矩形距原点最近的顶点坐标； （3）若是矩形的“友好函数”且经过，两点，点的坐标为，点的坐标为，轴． ①若的图象与矩形有且只有两个交点，求的取值范围； ②点，是图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求的值． 解：（1）一次函数经过点和点， ． 解得：． ； （2）①如图，当，时， 设点的坐标为则点的坐标为． ． 解得：，（不合题意，舍去）． 点的坐标为，点的坐标为． 矩形的两条边的长分别为2和4， 点的坐标为，点的坐标为， 矩形距原点最近的顶点坐标的坐标为； ②如图当，时， 设点的坐标为则点的坐标为． ． 解得：，（不合题意，舍去）． 点的坐标为，点的坐标为． 矩形的两条边的长分别为2和4， 点的坐标为，点的坐标为， 矩形距原点最近的顶点坐标的坐标为； 综上，矩形距原点最近的顶点坐标为或． （3）①，，且轴， ，， 将和代入得， ， 解得， 顶点坐标为，， 当时，如图， 此时， 解得； 当时，如图， 此时， 解得， 综上，的取值范围为或． ②由①知， ， ， 当时，最小， 当时，最大， 的最大值和最小值的差是3， ， 解得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$