精品解析：湖南省益阳市桃江县第一中学2010-2011学年高二上学期10月月考理科数学试题

桃江一中2010年下学期高二十月月考 数学（理科）试卷 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 A. 16，16，16 B. 12，27，9 C. 8，30，10 D. 4，33，11 4. 如右图所示的程序是用来（ ） A. 计算的值 B. 计算的值 C. 计算的值 D. 计算的值 5. 已知某简单组合体的三视图如图所示，根据图中所示数据（单位：cm）可得该几何体的表面积为（ ） A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. 300πcm2 6. 已知函数在区间具有单调性，且，则方程在区间上（ ） A. 至少有一实根 B. 至多有一实根 C. 没有实根 D. 有且只有一实根 7. 已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 8. 如果直线与圆有两个不同的交点，则点与圆的位置关系为（ ） A. P在圆外 B. P在圆上 C. P在圆内 D. P与圆的位置不确定 二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分） 9. 1与4的①等差中项为______；②等比中项为______. 10. 将十进制3344化为七进制等于______. 11. 计算：__________. 12. 设O是内部一点，且，则与面积之比为______. 13. 对于函数，给出下列四个命题：①该函数是以为最小正周期的周期函数；②当且仅当时，该函数取得最小值是-1；③该函数的图象关于直线对称；④当且仅时，.其中正确命题的序号是_______(请将所有正确命题的序号都填上) 14. 数列的前n项和为__________. 15. 锐角中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，设，则的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共6题，共75分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 若等比数列的公比，前项和为，已知，求的通项公式． 17. 如图，长方体中，，，点P为的中点． （1）求证：直线平面PAC； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 18. 已知函数． （1）确定a的值，使为奇函数. （2）求证：不论a为何实数，总是为增函数. （3）当为奇函数时，求的值域. 19. 已知中，，，. （1）求外接圆面积. （2）求的值. 20. 已知直线：，：，且满足，垂足为C. （1）求m的值及点C的坐标. （2）设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求的外接圆方程. 21. 设数列的前项和为，为等比数列，且 （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桃江一中2010年下学期高二十月月考 数学（理科）试卷 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数满足根号下被开方数正，对数真数为正即可. 【详解】根据题意知道， 解得，即. 故选：D. 2. 先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数，结合古典概型的概率计算，即可求解. 【详解】由题意，先后抛掷硬币三次，构成的基本事件为：{正正正}，{正正反}，{正反正}，{反正正}，{正反反}，{反正反}，{反反正}，{反反反}，共有8种情况， 其中，至少一次正面向上所包含的基本事件为：{正正正}，{正正反}，{正反正}，{反正正}，{正反反}，{反正反}，{反反正}，共7种情况， 所以至少一次正面朝上的概率是. 故选：D. 3. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 A. 16，16，16 B. 12，27，9 C. 8，30，10 D. 4，33，11 【答案】C 【解析】 【详解】这三种型号的轿车依次应抽取 选C. 点睛：在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N. 4. 如右图所示的程序是用来（ ） A. 计算的值 B. 计算的值 C. 计算的值 D. 计算的值 【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图，依次模拟其运行过程，从而得解. 【详解】依题意，，， 第一次循环，，， 第二次循环，，， 第九次循环，，， 第十次循环，，， 不满足，退出循环，此时. 故选：C. 5. 已知某简单组合体的三视图如图所示，根据图中所示数据（单位：cm）可得该几何体的表面积为（ ） A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. 300πcm2 【答案】A 【解析】 【分析】组合体为一个球和一个长方体组合而成，分别求出表面积，再求和即可. 【详解】组合体为一个半径为5cm的球和长宽高分别为10cm,10cm,15cm的长方体组合而成. 分别求出球的表面积为cm2, 长方体的表面积为cm2. 再求和, 可得该几何体的表面积为 cm2 故选：A. 6. 已知函数在区间具有单调性，且，则方程在区间上（ ） A. 至少有一实根 B. 至多有一实根 C. 没有实根 D. 有且只有一实根 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为,在区间具有单调性， 但是的连续不知道， 因此根据零点存在性定理可知在区间至多只有一实根. 故选：B. 7. 已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，再利用累乘法计算可得； 【详解】解：由，得， 即，则，，，…，， 由累乘法可得，所以， 又，符合上式，所以. 故选：D． 8. 如果直线与圆有两个不同的交点，则点与圆的位置关系为（ ） A. P在圆外 B. P在圆上 C. P在圆内 D. P与圆的位置不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与圆有两个不同的交点，知道它们相交.借助，得到,进而得到点与圆的位置关系. 【详解】直线与圆有两个不同的交点，则它们相交. 根据，得到，即.则点与圆的位置关系为P在圆外. 故选：A. 二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分） 9. 1与4的①等差中项为______；②等比中项为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】运用等差中项和等比中项公式计算即可. 【详解】1与4的等差中项为；1与4的等比中项为. 故答案为：；. 10. 将十进制3344化为七进制等于______. 【答案】12515（7） 【解析】 【分析】将3344除以7，得到余数，再将商数除以7，得到余数，以此类推，最后到商数为0截止，然后将余数从后往前排成一列数，即可求解. 【详解】解：， ， ， ， . 将十进制3344化为七进制为：12515（7）. 故答案为：12515（7）. 11. 计算：__________. 【答案】4 【解析】 【详解】 12. 设O是内部一点，且，则与面积之比为______. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，借助向量线性运算结合题意可得为中点，再利用三角形面积公式计算即可得解. 【详解】取中点，有，即有， 故为中点，则. 故答案为：. 13. 对于函数，给出下列四个命题：①该函数是以为最小正周期的周期函数；②当且仅当时，该函数取得最小值是-1；③该函数的图象关于直线对称；④当且仅时，.其中正确命题的序号是_______(请将所有正确命题的序号都填上) 【答案】③④ 【解析】 【详解】画出函数图像如下图加粗部分所示，由图可知，函数的最小正周期为，当时，函数值也为，故①②错误.由图可知是对称轴，③正确，由图可知，④正确. 点睛：本题主要考查新定义函数图像的理解，考查数形结合的数学思想方法.根据题目所给函数的解析式可知，两个函数，取的是两个函数图像相比较较小的一个为函数的解析式，由此可以画出函数的图像，根据图像，逐一验证个命题是否正确即可得出题目要求的结论. 14. 数列的前n项和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用等比数列前n项和公式得到，然后可直接求出前n项和. 【详解】观察数列得到， 所以前n项和 . 故答案为：. 15. 锐角中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，设，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，结合已知可得，再利用锐角三角形，结合余弦函数的性质求出范围. 【详解】在锐角中，由正弦定理得：，而， 则，又，解得， 因此，即， 所以的取值范围是． 故答案为： 三、解答题（本大题共6题，共75分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 若等比数列的公比，前项和为，已知，求的通项公式． 【答案】或 【解析】 【详解】试题分析：借助题设条件运用等比数列的知识建立方程组求解. 试题解析： 由题可知 由（2）得，解得或 因为，所以或 当时，代入（1）得，通项公式 当时，代入（1）得，通项公式 考点：等比数列的有关知识的综合运用． 【易错点晴】分类整合思想是中学数学中很重要的数学思想和方法.本题以等比数列的基础知识为背景,设置了求该等比数列的通项公式的问题,其目的重在考查分类整合思想和解方程组的运算求解能力.解答时充分借助题设条件先建立关于首项和公比的方程组,通过解方程组求出了首项和公比,特别是数列的公比则有三个值,因此要分三种情形分别求出对应的数列通项公式,也就是说满足题设的数列的通项公式有三个. 17. 如图，长方体中，，，点P为的中点． （1）求证：直线平面PAC； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明：设和交于点，连接， 由于分别是，的中点， 故，平面，平面，所以直线平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）直接利用三角形的中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理得到结论． （2）设的中点为，连接,说明就是直线与平面所成角，进而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的中点为，连接， 则，，， 平面，所以平面， 所以就是直线与平面所成角． 在中，，， 所以． 于是直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知函数． （1）确定a的值，使为奇函数. （2）求证：不论a为何实数，总是为增函数. （3）当为奇函数时，求的值域. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义，即可求得参数值； （2）根据增函数的定义证明； （3）由奇函数的定义求得，然后利用指数函数性质求值域． 【小问1详解】 ∵为奇函数， ∴， 即， 解得， ∴当时，为奇函数． 【小问2详解】 函数的定义域为R， 设任意，， ∴． 故有不论a为何实数值，为增函数． 【小问3详解】 ∵为奇函数，∴，即 解得：，∴， 又∵∴ ∴ ∴   所以的值域为. 19. 已知中，，，. （1）求外接圆面积. （2）求的值. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据面积求出，进而求出角，由余弦定理，求出的长，再由正弦定理求出外接球的直径，进而求解； （2）结合（1）求出，，再利用两角和的余弦公式及二倍角公式求解即可. 【小问1详解】 依题意，， 解得，因为,所以或． 当时，由余弦定理得， 所以， 所以外接圆直径，其外接圆半径为2，面积为； 当时，由余弦定理得， 所以， 所以外接圆半径为，其外接圆半径为，面积为． 【小问2详解】 由（1）知或， 当时，，此时， 所以是直角三角形， ∴，； 当时，，由正弦定理得，， ∴，因为，所以， ． 20. 已知直线：，：，且满足，垂足为C. （1）求m的值及点C的坐标. （2）设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求的外接圆方程. 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得两直线的斜率，结合，求得，得出直线的方程，联立方程组，求得交点坐标. （2）由（1）中的直线方程，求得，，得到的外接圆是以为直径的圆，求得圆心坐标和半径，即可求解. 【小问1详解】 解：显然，可得，， 由，可得，即，解得， 所以直线：，直线：， 联立方程组，解得，所以点． 【小问2详解】 解：由直线：，直线：，可得，， 所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心，半径， 所以的外接圆方程是． 21. 设数列的前项和为，为等比数列，且 （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列前项和. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用的关系求得，根据等比数列的基本量计算，求得； （2）根据（1）中所求，利用错位相减法即可求得结果. 【小问1详解】 对数列，由，， 当时，，也满足， 故； 对数列，设其公比为，， 由可得，解得， 故. 【小问2详解】 因为， 故 ， 故， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $