精品解析：浙江省衢州一中2011-2012学年高二上学期期末文科数学试题

衢州一中2011学年度第一学期期末检测试卷 高二数学（文科） 一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角是（ ） A 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　) A. 4 B. －4 C. － D. 3. 若抛物线焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为 A. B. C. D. 4. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 7. 若椭圆与双曲线（，，，均为正数）有共同焦点，，是两曲线的一个公共点，则等于（ ） A. B. C 或 D. 或 8. 设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　　） A. 若与所成的角相等，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 9. 已知是椭圆上的一动点，且与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 10. 设函数的导函数为，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共2．8分） 11. 抛物线的准线方程为______. 12. 在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为______． 13. 一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_________． 14. 若圆和关于直线对称，则的方程是______． 15. 在三棱锥中，则直线与所成角的大小为______． 16. 已知函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围是____________ 17. 设分别为椭圆的左,右焦点，点在椭圆上.若,则点的坐标是______. 三、解答题：（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 18. 已知关于的方程：． （1）当何值时，方程表示圆； （2）若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 19. 如图，已知平面，，是正三角形，． （1）设是线段的中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 20. 如图所示，，分别为椭圆：的左、右两个焦点，，为两个顶点，已知椭圆上的点到，两点的距离之和为4. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于，，求的面积. 21. 已知，． （1）如果函数的单调递减区间为，求函数的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数的图象在点处的切线方程； （3）若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 22. 设直线与抛物线交于、两点，已知当直线经过抛物线的焦点且与轴垂直时，的面积为（为坐标原点）． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）当直线经过点且与轴不垂直时，若在轴上存在点，使得为等边三角形，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衢州一中2011学年度第一学期期末检测试卷 高二数学（文科） 一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解. 【详解】因为的斜率， 所以其倾斜角为30°. 故选：A. 2. 双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　) A. 4 B. －4 C. － D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将双曲线方程化为标准形式，利用虚轴长是实轴长的倍列方程，解方程求得的值. 【详解】依题意，双曲线的标准方程为，即，由于虚轴长是实轴长的倍，所以，即，也即.故选C. 【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线实轴和虚轴的概念，属于基础题. 3. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D． 4. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线垂直可求得的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若直线与直线垂直，则， 即，解得或， 因为，所以，“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件. 故选：A. 5. 过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值． 解答：解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4， 设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2， 由抛物线的定义知： |AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8． 故选C． 6. 由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值． 【详解】切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得， 圆心到直线的距离为， 圆的半径为1， 故切线长的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查圆切线方程，点到直线的距离，是基础题． 7. 若椭圆与双曲线（，，，均为正数）有共同的焦点，，是两曲线的一个公共点，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和双曲线的定义可求. 【详解】由曲线方程及其对称性，不妨设在第一象限，分别为左右焦点，则， 所以，即. 故选：B. 8. 设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　　） A. 若与所成的角相等，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：A项中两直线还可能相交或异面,错误； B项中两直线还可能相交或异面,错误； C项两平面还可能是相交平面，错误； 故选D. 9. 已知是椭圆上的一动点，且与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，根据点在椭圆可得，故可得. 【详解】椭圆长轴的两顶点为， 设，则由题设可得即， 故，故即，故， 故选：B 10. 设函数的导函数为，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，根据题意，利用导数求得函数为上的单调递减函数，得到，进而得到大小关系. 【详解】根据题意，构造函数， 可得， 因为，所以， 所以函数为上的单调递减函数，所以， 又因为， 因为，可得， 所以. 故选：D. 二．填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共2．8分） 11. 抛物线的准线方程为______. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是 考点：抛物线方程 12. 在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由渐近线求得，即可求离心率 【详解】因焦点在轴上，一条渐近线方程为，所以， 所以，所以 故答案为： 13. 一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由三视图还原几何体，根据几何体的组合构成，利用相应面积公式求其表面积. 【详解】由几何体的三视图知，该几何体由一个棱长为的正方体和一个底面边长为，高为的正四棱锥组合而成，如图所示． ∴正四棱锥的斜高为，故该几何体的表面积． 故答案为：. 14. 若圆和关于直线对称，则的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，从而确定圆和关于线段的中垂线对称，根据中点坐标公式和垂直关系斜率乘积为求出答案. 【详解】的圆心为，半径为1， ，圆心为，半径为1， 两圆的半径相等， 故圆和关于线段的中垂线对称， 设直线，将代入，，解得， 故线段的中垂线的斜率为1， 的中点坐标为，故线段的中垂线方程为，即， 综上，的方程为 故答案为： 15. 在三棱锥中，则直线与所成角的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件可得，故可得直线与所成角的大小. 【详解】 取的中点为，连接， 因为，，同理， 平面，故平面， 而平面，故，故直线与所成角为， 故答案为：. 16. 已知函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围是____________ 【答案】 【解析】 【详解】由题意，，则，解得-1＜a＜7，经检验当a=-1时，的两个根分别为，所以符合题目要求，时，,在区间无实根，所以． 17. 设分别为椭圆的左,右焦点，点在椭圆上.若,则点的坐标是______. 【答案】 【解析】 【详解】椭圆+y2=1焦点在x轴上，a=，b=1，c= ∴焦点坐标F1（﹣，0）F2（，0）， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x1+，y1），=（x2﹣，y2）， ∵，，由点A，B在椭圆上， 解得：x1=0，y1=±1，∴点A的坐标是（0，±1，）． 故答案为（0，±1）． 三、解答题：（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 18. 已知关于的方程：． （1）当为何值时，方程表示圆； （2）若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用圆的一般式的条件求解即可； （2）利用弦长公式计算参数即可. 【小问1详解】 由圆的一般方程性质可知： 解得， 所以当时，方程表示圆. 小问2详解】 由，得， 所以该圆圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 根据弦长公式可知： 解得. 19. 如图，已知平面，，是正三角形，． （1）设是线段的中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，根据三角形中位线性质，我们易得四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定定理可得平面． （2）取中点，连接，结合正三角形的性质，及线面垂直的性质，由已知中平面，是正三角形，我们可由线面垂直的判定定理得到平面，则为直线与平面所成的角，解三角形即可得到答案． 【详解】证明：（1）取中点，连接，，因为是线段的中点，所以且，又且，所以且， 四边形为平行四边形， ，因为平面，平面， 平面 （2）取中点，连接， 是正三角形， 又平面，平面，，又，平面， 平面 为直线与平面所成的角， 设，则，，， 所以，所以直线与平面所成角的余弦值； 20. 如图所示，，分别为椭圆：的左、右两个焦点，，为两个顶点，已知椭圆上的点到，两点的距离之和为4. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于，，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由椭圆的定义可得，再将点代入椭圆的方程可得的值，即可求解； （2）求出直线的方程，与椭圆的方程联立，设，，由韦达定理可得，，进而可得，利用即可求解. 【详解】（1）由椭圆的定义可得，所以， 又因为点在椭圆上，所以，解得：， 所以椭圆的方程为， （2）由椭圆的方程可得，，， 所以， 所以直线的方程为， 设，，由 可得， 所以，， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由椭圆的定义和椭圆过的点求椭圆的方程，第二问的关键点是利用可以简化计算过程. 21. 已知，． （1）如果函数的单调递减区间为，求函数的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数的图象在点处的切线方程； （3）若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）求g（x）的导数，利用函数g（x）单调减区间为（，1），即是方程g'（x）＝0的两个根．然后解a即可．（2）利用导数的几何意义求切线方程．（3）将不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，转化为含参问题恒成立，然后利用导数求函数的最值即可． 【详解】（1）由题意的解集是： 即两根分别是，1． 将或代入方程得．∴． （2）由（1）知：，∴， ∴点处的切线斜率， ∴函数的图象在点处的切线方程为：，即． （3）∵，即：对上恒成立 可得对上恒成立 设，则 令，得或（舍） 当时，；当时， ∴当时，取得最大值∴．的取值范围是． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数和函数单调性，最值之间的关系，考查学生的运算能力．对含有参数恒成立问题，则需要转化为最值恒成立． 22. 设直线与抛物线交于、两点，已知当直线经过抛物线的焦点且与轴垂直时，的面积为（为坐标原点）． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）当直线经过点且与轴不垂直时，若在轴上存在点，使得为等边三角形，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出以及原点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式得出的面积，即可求出的值，于此得出抛物线的方程； （Ⅱ）设点、，的中点为，设点，直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，计算，列出韦达定理，可求出线段中点的坐标，由题意得出以及，可得出关于的关系式，然后代入可求出实数的取值范围. 【详解】（Ⅰ）由条件可得，点到距离为，， ，得，因此，抛物线的方程为； （Ⅱ）设点、，的中点为， 又设，直线的方程为， 将直线的方程与抛物线的方程联立，得. ，由韦达定理得，. 所以，从而. 为正三角形，，. 由，得，所以. 由，得， 即， ，，从而. ，，从而，因此，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查抛物线方程求解，考查等边三角形的存在性问题，在解决这个问题时，要抓住三线合一以及底边中线与边长之间的等量关系这两个条件来转化，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$