专题01 绝对值与相反数重难点题型（十一大题型）-2024-2025学年七年级数学上册《重难点题型•高分突破》（苏科版2024新教材）

专题01 绝对值与相反数重难点题型（十一大题型） 【题型01求一个数的绝对值】 【题型02 绝对值的意义】 【题型03 求一个数的相反数】 【题型04 化简多重符号】 【题型05 判断是否互为相反数】 【题型06 利用相反数的性质求字母参数的值】 【题型07 化简绝对值】 【题型08 绝对值非负性的应用】 【题型09 利用绝对值比较负有理数的大小】 【题型10 绝对值的其他应用】 【题型11 解绝对值的方程】 【题型01求一个数的绝对值】 1．的绝对值是（） A． B．8 C． D． 2．绝对值等于4的数有（   ） A．4 B． C．2和 D．4和 3． ． 【题型02 绝对值的意义】 4．对任何有理数a，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．绝对值不大于2.5的整数共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 6．若，则m的值是（   ） A． B．6 C． D．或6 7．如果数轴上的点A对应有理数为，那么与A点相距6个单位长度的点所对应的有理数为（    ） A．5 B． C．5或 D．8 8．若，，则的值是 ． 9．绝对值是它本身的数是 ；绝对值不大于的整数有 ． 10．代数式的最小值是 ． 【题型03 求一个数的相反数】 11．3的相反数是（   ） A．3 B． C． D． 12．如果a的相反数是8，则a的值为（    ） A． B．8 C． D． 【题型04 化简多重符号】 13．化简的结果是（　　） A．7 B． C． D． 14．化简得（    ） A． B． C． D． 15．已知m与n互为相反数，且m与n之间的距离为6，且．则 ． 16．（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 17．若x是最大负整数，则 ． 【题型05 判断是否互为相反数】 18．下列各对数中，互为相反数的（    ） A．和2 B．和 C．和 D．和 19．下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．6和 C．和 D．7和 20．下列各对数中，是互为相反数的是（    ） A．与B．与 C．与 D．与 21．数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，则m为（   ） A． B．2 C．1 D． 【题型06 利用相反数的性质求字母参数的值】 22．若a与互为相反数，则a 的值 ． 23．已知与互为相反数，则x等于 ． 24．已知与互为相反数，则 【题型07 化简绝对值】 25．有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（   ） ； ； ； ． A．个 B．个 C．个 D．个 26．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ）    A． B． C． D． 27．若，那么的取值不可能是（　　） A． B．0 C．1 D．2 28．有理数a，b，c，d使，则的最大值是 ． 【题型08 绝对值非负性的应用】 29．若，则等于（    ） A． B． C．1 D．不能确定 30．已知，则 ． 31．若，则 ． 32．若，则 ． 33．若，则 ． 【题型09 利用绝对值比较负有理数的大小】 34．有理数，，，中，绝对值最大的数是 . 35．绝对值不大于6的整数有 个． 36．用“”或“”连接 ． 37．比较大小： ．（填“”、“”或“”） 38．比较大小： ． 39．比较大小： （填“＜”，“＞”或“＝”）． 【题型10 绝对值的其他应用】 40．如图所示，观察数轴，请回答：    (1)点与点的距离为 ，点与点的距离为 ； (2)点与点的距离为 ，点与点的距离为 ；发现：在数轴上，如果点与点分别表示数，，则他们之间的距离可表示为 （用，表示） 41．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ； (3)若x表示一个有理数，且，则 ； (4)当 时，的最小值是 ． 42．若规定这样一种运算：，例如：. (1)计算：； (2)记，，请探究与的大小关系. 43．数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，如2与3的距离可表示为，2与的距离可表示为 (1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是 　　；数轴上表示和的两点之间的距离是 　　； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 　　；如果，则x为 　　； (3)数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简． (4)当代数式取最小值时，x的值为 　　． 44．阅读与理解： 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题，同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为________与________在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：的最小值是________； （3）若，则_________； 【拓展应用】 （4）已知a，b两个数在数轴上的位置如图所示，化简：_________．    45．先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 46．阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时可令和，分别求得，（称与2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式； 综上，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【题型11 解绝对值的方程】 47．若，则x的值是（   ） A． B．或1 C．1 D．或 48．若x为实数，，则x的绝对值为（    ） A．2 B．3 C． D． 49．方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 50．若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 51．【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观． 同时我们知道，数轴上表示x，y的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：    【概念理解】 （1）表示数x和__________所对应的两点之间的距离： （2）当x逐渐变大时，式子的值如何变化？ 【继续推理】 （3）若，求x的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 绝对值与相反数重难点题型（十一大题型） 【题型01求一个数的绝对值】 【题型02 绝对值的意义】 【题型03 求一个数的相反数】 【题型04 化简多重符号】 【题型05 判断是否互为相反数】 【题型06 利用相反数的性质求字母参数的值】 【题型07 化简绝对值】 【题型08 绝对值非负性的应用】 【题型09 利用绝对值比较负有理数的大小】 【题型10 绝对值的其他应用】 【题型11 解绝对值的方程】 【题型01求一个数的绝对值】 1．的绝对值是（） A． B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的概念，关键是掌握绝对值的意义．负有理数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案． 【详解】解：的绝对值是8． 故选：B 2．绝对值等于4的数有（   ） A．4 B． C．2和 D．4和 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的概念和性质，正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值是正数． 【详解】解：由题意可知，绝对值等于4的数是， 故选：D． 3． ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的意义进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为：11． 【题型02 绝对值的意义】 4．对任何有理数a，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：A、当时，，则此时不成立，故A选项不符合题意； B、一定成立，故B选项符合题意； C、当时，，则此时不成立，故C选项不符合题意； D、当时，，，则此时不成立，故D选项不符合题意； 故选：B． 5．绝对值不大于2.5的整数共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】根据绝对值、整数的定义直接求得结果． 【详解】解：根据题意得：绝对值不大于2.5的整数有0，±1，±2，共5个， 故选C． 【点睛】此题主要考查了绝对值的定义．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 6．若，则m的值是（   ） A． B．6 C． D．或6 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 7．如果数轴上的点A对应有理数为，那么与A点相距6个单位长度的点所对应的有理数为（    ） A．5 B． C．5或 D．8 【答案】C 【分析】由点A对应有理数为，另一点与A距离为6，即列式或 再计算即可． 【详解】解：∵点A对应有理数为，与A点相距6个单位长度的点所对应的数为： 或 故选：C． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，有理数的加减运算，解题的关键是熟悉数轴上与一个点的距离相等的点有两个，距离为0除外． 8．若，，则的值是 ． 【答案】4或－2 【分析】根据绝对值的性质求出a的值，代入求解即可； 【详解】∵， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 故答案是：4或－2． 【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，准确计算是解题的关键． 9．绝对值是它本身的数是 ；绝对值不大于的整数有 ． 【答案】 正数和0 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【详解】解：绝对值是它本身的数是正数和0；绝对值不大于3．1的整数有：． 故答案为：正数和0；． 10．代数式的最小值是 ． 【答案】4 【分析】根据绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图所示： 由绝对值的几何意义可知，就是要在数轴上求一点x，使它到-1、2、3这三个点的距离和最小， 所以当x=2时，|x+1|+|x-2|+|x-3|=4，故此时有最小值，最小值是4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了绝对值与数轴，解题的关键是理解绝对值的几何意义． 【题型03 求一个数的相反数】 11．3的相反数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的知识，解题的关键是熟练掌握相反数的定义．只有符号不同的两个数互为相反数．正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义，即可获得答案． 【详解】解：3的相反数是． 故选：B． 12．如果a的相反数是8，则a的值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据“只有符号不同的两个数互为相反数”，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 【题型04 化简多重符号】 13．化简的结果是（　　） A．7 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题已考察相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．根据相反数的定义即可求得答案． 【详解】解：， 故选：A． 14．化简得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”，如的相反数是，的相反数是，这时是一个整体，在整体前面添负号时，要用括号．解题的关键是理解相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【详解】解： ， 故选：B． 15．已知m与n互为相反数，且m与n之间的距离为6，且．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，解题关键是由相反数的含义得到和数轴上两点之间的距离．先根据m，n互为相反数，可得：，然后根据，且m与n在数轴上所对应的点之间的距离是6，可得：，求出的值即可． 【详解】解：∵m，n互为相反数， ∴， ∵，且m与n在数轴上所对应的点之间的距离是6， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 【答案】 5 12 3.2 27 【分析】本题主要考查了正负号的化简，熟练掌握相反数的定义，是解决问题的关键． 根据正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，逐步化简正负号，即得（方法不唯一）． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 故答案为：（1）5；（2）12；（3）3.2；（4）；（5）27；（6）． 17．若x是最大负整数，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查有理数的相反数，多重括号的化简，结果正负与“”号的个数有关，当负号“”个数为奇数个时，结果为负；当“”号个数为偶数个时，结果为正，据此解答即可． 【详解】解：， 为最大负整数， 因此原式， 故答案为：1． 【题型05 判断是否互为相反数】 18．下列各对数中，互为相反数的（    ） A．和2 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查相反数，掌握多重符号的化简是解题的关键． 根据相反数的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、不互为相反数，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 19．下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．6和 C．和 D．7和 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的绝对值和相反数，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 先化简A、B、D三项中的相关数据，再根据相反数的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A．和2不互为相反数，故本选项不符合题意； B．6和互为相反数，故本选项符合题意； C．和不互为相反数，故本选项不符合题意； D．7和不互为相反数，故本选项不符合题意． 故选：B． 20．下列各对数中，是互为相反数的是（    ） A．与B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴与相等，不是互为相反数，故A不符合题意； B．∵， ∴与相等，不是互为相反数，故B不符合题意； C．∵，， ∴与互为相反数，故C符合题意； D．与不互为相反数，故D不符合题意． 故选：C． 21．数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，则m为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出m和1互为相反数是解决问题的关键． 由数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，可得m和1互为相反数，由此即可求得的值． 【详解】解：∵数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等， ∴m和1互为相反数， ∴． 故选：D． 【题型06 利用相反数的性质求字母参数的值】 22．若a与互为相反数，则a 的值 ． 【答案】1 【分析】此题考查了相反数的性质， 根据互为相反数的两个数的性质，可列方程求出a的值， 【详解】根据题意得：， 解得：． 故答案为：1． 23．已知与互为相反数，则x等于 ． 【答案】1 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0列式计算即可． 【详解】∵与互为相反数， ∴ 解得． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相反数的性质，熟练掌握互为相反数的两个数的和为0是解题的关键． 24．已知与互为相反数，则 【答案】 【分析】根据互为相反数的两数和为0，列出方程，解法方程即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了相反数的意义，根据题意列出方程是解题的关键． 【题型07 化简绝对值】 25．有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（   ） ； ； ； ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负、根据数轴化简绝对值，从数轴上确定、、的符号和大小（绝对值大小）是解答本题的关键． 由数轴确定、、的符号和大小，根据绝对值的知识点进行辨别即可． 【详解】解：由题可知，，且， ，故不正确； ，，故不正确； ，故正确； ，故正确； 因此，正确的是，有个， 故选：B． 26．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上数的表示特征，绝对值的性质．根据数轴上数的表示可知，左边的数都小于右边的数，判断出，然后去掉绝对值符号计算即可． 【详解】解：根据数轴上数的表示可知，， ∴， ∴原式， 故选：C． 27．若，那么的取值不可能是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，由，可得：①，，②，，③，，④，；分别计算即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴有四种情况：①，，②，，③，，④，； ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，； 综上所述，的值为：或0． 故选：C． 28．有理数a，b，c，d使，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】根据绝对值的运用判断出有理数，，，中负数的个数，然后分别讨论求出最大值．本题主要考查了绝对值的运用，采用分类讨论的思想进行解题． 【详解】解： ， 有理数，，，中负数为奇数个． ①若有理数，，，有一个负三个正， 则； ②若有理数，，，有三个负一个正， 则； 所以的最大值是2． 故答案为：2． 【题型08 绝对值非负性的应用】 29．若，则等于（    ） A． B． C．1 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入计算即可得解． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值非负数，根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0求出x、y的值是解题的关键． 30．已知，则 ． 【答案】2 【分析】根据绝对值具有非负性可得，，解出a、b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， 解得：，， 则， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键 31．若，则 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0这两个非负数的值都为0”列出二元一次方程组，从而求出x、y的值即可求解． 【详解】解：由题意得：，解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0，根据这个结论可以求解这类题目． 32．若，则 ． 【答案】 【分析】由绝对值和偶次方可知：，，因为，所以得到和，从而得到和的值，代入算式中即可得到结果． 【详解】∵，，， ∴，， 解得：， ∴， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了两个非负数和为零的问题，理解两个非负数和为零时两个非负数同时为零是解题的关键． 33．若，则 ． 【答案】4 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． 【题型09 利用绝对值比较负有理数的大小】 34．有理数，，，中，绝对值最大的数是 . 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握绝对值的意义及正数比较大小的方法是解决本题的关键．先计算给出数的绝对值，再比较绝对值得结论． 【详解】解：，，的绝对值为，， ∵， ∴绝对值最大的数为， 故答案为：． 35．绝对值不大于6的整数有 个． 【答案】13 【分析】本题主要考查的是有理数大小比较和绝对值，求得符合条件的数是解题的关键． 依次列出绝对值不大于6的整数即可解答． 【详解】解：绝对值不大于6的整数有：，，，，，，0． 绝对值不大于6的整数有13个． 故答案为：13． 36．用“”或“”连接 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值、有理数的大小比较，先化简绝对值，再根据有理数的大小比较方法求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 37．比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】此题考查了比较有理数大小，把两数化简后，根据正数大于负数即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴ 故答案为： 38．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和有理数的大小比较，熟练掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解题关键．先化简绝对值，再根据有理数的大小比较方法求解即可得． 【详解】解：因为，，， 所以， 故答案为：． 39．比较大小： （填“＜”，“＞”或“＝”）． 【答案】＜ 【分析】本题考查了有理数的大小比较，求绝对值，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键 先求出绝对值，再根据有理数大小比较法则解答即可． 【详解】解：∵， 而，， 又∵， ∴． 故答案为：＜． 【题型10 绝对值的其他应用】 40．如图所示，观察数轴，请回答：    (1)点与点的距离为 ，点与点的距离为 ； (2)点与点的距离为 ，点与点的距离为 ；发现：在数轴上，如果点与点分别表示数，，则他们之间的距离可表示为 （用，表示） 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）直接根据数轴上两点间的距离进行计算即可． （2）根据数轴上两点间的距离进行计算，再进行规律总结，即可得到答案． 【详解】（1）解：点与点的距离为， 点与点的距离为， 故答案为：，； （2）解：点与点的距离为，点与点的距离为， 在数轴上，如果点与点分别表示数，，则他们之间的距离可表示为， 故答案为：4，7，． 41．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ； (3)若x表示一个有理数，且，则 ； (4)当 时，的最小值是 ． 【答案】(1)3；4 (2) (3)4 (4)1，5 【分析】本题主要考查了学生对绝对值的综合运用能力，解答时注意运用数形结合的思想，是解题的关键． （1）根据两点间距离公式求解即可； （2）根据已知给出的求两点间距离的公式表示即可； （3）根据x的取值范围，分别判断与的正负，然后根据绝对值的性质求解即可； （4）设点表示的数为1，点表示的数为2，点表示的数为，点表示的数为，则，画出数轴，根据两点间的距离公式解答． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：3；4； （2）根据绝对值的定义有：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 故答案为：； （3）当时，， 则， 故答案为：4； （4）由题意可知表示数轴上x和1的两点之间的距离，表示数轴上x和2的两点之间的距离，表示数轴上x和的两点之间的距离， 设点表示的数为1，点表示的数为2，点表示的数为，点表示的数为， 则， 如图，当点与点重合时，，，， 则，此时， 如图，当点在之间（可与重合，不与重合），，， 则， 如图，当点在点左侧时，，， 则， 如图，当点在之间（可与重合，不与重合），，， 则， 如图，当点在点右侧时，，， 则， 综上所述，当时，有最小值5， 故答案为：1，5． 42．若规定这样一种运算：，例如：. (1)计算：； (2)记，，请探究与的大小关系. 【答案】(1)3 (2)M=N 【分析】（1）利用公式代入计算即可； （2）根据公式分别求出M及N，根据绝对值的性质判断M与N的关系． 【详解】（1）解：∵， ∴==3； （2）∵， ∴M=，=， ∵， ∴M=N． 【点睛】此题考查了新定义计算，绝对值的性质，正确理解新定义的计算公式是解题的关键． 43．数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，如2与3的距离可表示为，2与的距离可表示为 (1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是 　　；数轴上表示和的两点之间的距离是 　　； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 　　；如果，则x为 　　； (3)数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简． (4)当代数式取最小值时，x的值为 　　． 【答案】(1)5，6 (2)，2或 (3)0 (4)2 【分析】本题考查数轴与绝对值几何意义与应用． （1）根据题目所举例子进行计算即可； （2）仿照题干所举例子进行解答即可； （3）根据数轴可知，，，然后根据绝对值的性质进行解答即可； （4）根据绝对值的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：，． 故答案为：5，6； （2）解：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， ，则或， 即或． 故答案为：，2或； （3）解：由数轴可知，，，， 则| ； （4）解：代数式的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示，2，3的三点的距离之和， 显然只有当时，距离之和才是最小， 则取最小值时，x的值为2； 故答案为：2． 44．阅读与理解： 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题，同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为________与________在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：的最小值是________； （3）若，则_________； 【拓展应用】 （4）已知a，b两个数在数轴上的位置如图所示，化简：_________．    【答案】（1）x，4；（2）6；（3）或5；（4） 【分析】（1）依题意，可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离，即可作答； （2）对的取值范围进行分类讨论，再比较，即可作答； （3）结合（2）中的讨论过程，且，即可作答 （4）由a，b两个数在数轴上的位置得，，再结合绝对值的性质进行化简作答即可． 【详解】解：（1）依题意， ∵表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离 ∴可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）当时，则， 当时，则， 当时，则， 综上，的最小值是6； （3）结合（2）中的讨论过程，且， 故当时，则，即； 当时，则，即即 所以，则或5； （4）由a，b两个数在数轴上的位置得，， 那么． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离与绝对值，涉及绝对值的性质内容，正确掌握绝对值的性质是解题的关键． 45．先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)，或 (2)存在，最小值是7 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离以及绝对值的意义． （1）根据两点间的距离公式直接表示出来，然后再根据绝对值的意义求出x即可． （2）分三种情况，当时，当时和当时，按照绝对值的意义求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得：或者．， 故答案为： （2）存在，最小值是7 理由如下： 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴存在最小值，最小值为7． 46．阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时可令和，分别求得，（称与2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式； 综上，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)与4分别为与的零点值 (2)答案见解析 (3)有，6 【分析】（1）利用零点值的定义解答即可； （2）利用题干【材料】的方法解答即可； （3）利用【材料二】中的方法和（2）的结论解答即可． 本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值，相反数，数轴，本题是阅读型题目，正确理解题干中的方法和解题思想是解题的关键． 【详解】（1）解：令和， 求得，， 与4分别为与的零点值． （2）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． ； （3）解：有，理由如下： 由（2）得出：对于任意有理数，有最小值，最小值为6． 【题型11 解绝对值的方程】 47．若，则x的值是（   ） A． B．或1 C．1 D．或 【答案】D 【分析】本题考查解绝对值方程，由绝对值的定义可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或． 故选：D 48．若x为实数，，则x的绝对值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的意义得一元一次方程是正确解决本题的关键． 根据绝对值的意义得两个一元一次方程分别求解即可． 【详解】解：由绝对值的意义得：，或， ①，无解，解②得， 则x的绝对值为， 故答案为：C． 49．方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，得到或，分别解一元一次方程，即可求解， 本题考查了，解绝对值方程，解题的关键是：熟练掌握解绝对值方程． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， 故选：C． 50．若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了含有绝对值的方程．利用绝对值的意义可得，解出的值即可． 【详解】解：， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 故选：C． 51．【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观． 同时我们知道，数轴上表示x，y的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：    【概念理解】 （1）表示数x和__________所对应的两点之间的距离： （2）当x逐渐变大时，式子的值如何变化？ 【继续推理】 （3）若，求x的值． 【答案】（1）；（2）先变小，然后不变，最后变大；（3）或3.5 【分析】本题考查绝对值的性质，绝对值的几何意义，绝对值方程．掌握绝对值的性质是解题关键． （1）根据绝对值的几何意义解答即可； （2）分类讨论：当时，当时和当时，根据绝对值的性质化简判断即可； （3）分类讨论：当时和当时，结合（2）求解即可． 【详解】解：（1）因为数轴上表示x，y的数对应的两点之间的距离为， 所以表示数x和所对应的两点之间的距离， 故答案为：； （2）当时，， 故当x增大时，的值变小； 当时，， 故当x增大时，的值不变； 当时，， 故当x增大时，的值变大； 所以当x逐渐变大时，式子的值先变小，然后不变，最后变大；    （3）由（2）得①当时，， 解得； ②当时，， 解得， 所以x的值为或3.5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$