专题04 有理数中规律和新定义综合应用（六大题型）-2024-2025学年七年级数学上册《重难点题型•高分突破》（苏科版2024新教材）

专题04 有理数中规律和新定义综合应用（六大题型） 【题型01 数列型规律】 【题型02 裂差型规律】 【题型03 新定义型规律】 【题型04含型规律】 【题型05 定义两个数的运算】 【题型06 定义多个数的运算】 【题型01 数列型规律】 【典例1】如图，第1个图形中小黑点的个数为5，第2个图形中小黑点的个数为9，第3个图形中小黑点的个数为13，…，按照这样的规律，第100个图形中小黑点的个数是（    ）    A．598 B．302 C．499 D．401 【变式1-1】下列图形都是由同样大小的五角星按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个五角星，第②个图形中一共有7个五角星，第③个图形中一共有个五角星，第④个图形中一共有个五角星，……，按此规律排列下去，第个图形中五角星的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】下图是由一些小三角形和小正方形组成的美丽图案，由图形组成规律可知第⑨个图形中小三角形和小正方形共有（    ）个． A．91 B．99 C．101 D．121 【题型02 裂差型规律】 【典例2】小涵同学在做有理数的计算时发现： ；；；； 请根据小涵发现的规律，计算的值（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】观察下列各式：，，，，按照上面的规律，计算式子的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】先阅读下列例题，然后进行解答： 例：计算 解：因为 所以， 请根据你的理解解答下列各题： (1)计算： (2)计算： 【题型03 新定义型规律】 【典例3】符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，…； （2），，…． 利用以上规律计算等于（    ） A．2022 B．2023 C． D． 【变式3-1】定义“!”是一种数学运算符号，并且，，，．…，则的值为（    ） A． B．99! C．100 D．2! 【变式3-2】定义：a 是不为 1 的有理数 我们把称为a 的差倒数，如：2 的差倒数是，1 的差倒数是，已知 是 的差倒数，是的差倒数，……，依此类推，则=（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】定义一种正整数n的“T”运算：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，用n连续除以2，直到结果为奇数停止，并且运算重复进行．例如，当＝18时，运算过程如下： 若n＝21，则第2021次“T”运算的结果是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型04含型规律】 【典例4】观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【变式4-1】观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】分形的概念是由数学家本华·曼德博提出的．如图是分形的一种，第1个图案有2个三角形；第2个图案有4个三角形；第3个图案有8个二角形；第4个图案有16个三角形；……，下列数据中是按此规律分形得到的三角形的个数是（    ） A．126 B．513 C．980 D．1024 【变式4-3】观察下面两行数： 第一行数：1、、9、、25、… 第二行数：0、、8、、24、… 根据第一行数的排列规律，以及这两行数字之间的关系，确定第二行第10个数是（    ） A． B．99 C． D．80 【题型05 定义两个数的运算】 【典例5】定义新运算“⨂”，规定：⨂．如：⨂，则⨂的值是（    ） A．8 B． C．4 D． 【变式5-1】对于有理数a，b，定义，则计算后的结果是（　　） A． B． C．4 D． 【变式5-2】对于任意有理数,定义一种新运算“⊕”，规则如下：，例如：，则的值为（    ） A． B．11 C． D．29 【变式5-3】定义运算“@”的运算法则为．如，那么的运算结果是（    ） A．4 B． C． D．4或8 【题型06 定义多个数的运算】 【典例6】若定义新运算：，请利用此定义计算的值为（　　） A．116 B． C．216 D． 【变式6-1】规定一种新运算“*”，对于任意有理数a和b，有，请你根据定义的新运算，计算的值是（　　） A． B．0 C．2 D．3 【变式6-2】现定义运算“⊕”对于任意两个整数，a⊕b=a+b-1，则1⊕(3⊕5)的结果是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式6-3】定义一种新运算：．例如．则的值为（    ） A． B．9 C．15 D．27 【变式6-4】如果对于任何有理数，定义运算“”如下，如．则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-5】七年级小莉同学在学习完第二章《有理数及其运算》后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．则（    ）． A． B．6 C．24 D．30 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数中规律和新定义综合应用（六大题型） 【题型01 数列型规律】 【题型02 裂差型规律】 【题型03 新定义型规律】 【题型04含型规律】 【题型05 定义两个数的运算】 【题型06 定义多个数的运算】 【题型01 数列型规律】 【典例1】如图，第1个图形中小黑点的个数为5，第2个图形中小黑点的个数为9，第3个图形中小黑点的个数为13，…，按照这样的规律，第100个图形中小黑点的个数是（    ）    A．598 B．302 C．499 D．401 【答案】D 【分析】本题考查图形变化的规律，有理数的混合运算，能发现每个图形中小黑点的个数除去中间一个后，其余的小黑点个数是4的倍数进行解题即可． 【详解】解：由题知： 第1个图形中小黑点的个数为：， 第2个图形中小黑点的个数为：， 第3个图形中小黑点的个数为：， 则第100个图形中小黑点的个数为：， 故选：D． 【变式1-1】下列图形都是由同样大小的五角星按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个五角星，第②个图形中一共有7个五角星，第③个图形中一共有个五角星，第④个图形中一共有个五角星，……，按此规律排列下去，第个图形中五角星的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的变化即可写出规律式，进而求解． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第①个图形中一共有4个五角星，即； 第②个图形中一共有7个五角星，即； 第③个图形中一共有个五角星，即； 第④个图形中一共有个五角星，即； ……，按此规律排列下去， 第n个图形中一共有五角星个数为， 第个图形中五角星的个数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的变化类，以及有理数的加法和乘法运算，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律． 【变式1-2】下图是由一些小三角形和小正方形组成的美丽图案，由图形组成规律可知第⑨个图形中小三角形和小正方形共有（    ）个． A．91 B．99 C．101 D．121 【答案】C 【分析】本题考查了图形的规律探究，解题的关键是找出图形变化的规律；通过图形之间的变化，由特殊规律推出一般性的规律，即可得解； 【详解】第1个图形小三角形和小正方形共有（个）， 第2个图形小三角形和小正方形共有（个）， 第3个图形小三角形和小正方形共有（个）， 第4个图形小三角形和小正方形共有（个）， ．．．， 第n个图形小三角形和小正方形共有（个）， 当时，（个）， 故选：C． 【题型02 裂差型规律】 【典例2】小涵同学在做有理数的计算时发现： ；；；； 请根据小涵发现的规律，计算的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，根据题目中的式子的特点，先拆项，然后计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式2-1】观察下列各式：，，，，按照上面的规律，计算式子的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据式子的规律得出，进而化简式子，根据有理数的加减进行计算，最后求绝对值即可求解． 【详解】解：∵，，，，……， ∴， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，找到规律是解题的关键． 【变式2-2】先阅读下列例题，然后进行解答： 例：计算 解：因为 所以， 请根据你的理解解答下列各题： (1)计算： (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先拆分，再抵消法计算即可求解； （2）先拆分，再抵消法计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型03 新定义型规律】 【典例3】符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，…； （2），，…． 利用以上规律计算等于（    ） A．2022 B．2023 C． D． 【答案】B 【分析】由所给算式可知：，，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 故选：B． 【变式3-1】定义“!”是一种数学运算符号，并且，，，．…，则的值为（    ） A． B．99! C．100 D．2! 【答案】C 【分析】此题考查了新定义运算．根据新定义运算，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， 故选：C． 【变式3-2】定义：a 是不为 1 的有理数 我们把称为a 的差倒数，如：2 的差倒数是，1 的差倒数是，已知 是 的差倒数，是的差倒数，……，依此类推，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2017除以3，根据余数的情况确定出与相同的数即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， … ∴每3个数为一周期循环， ∵2017÷3=672……1， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数字的变化类，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【变式3-3】定义一种正整数n的“T”运算：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，用n连续除以2，直到结果为奇数停止，并且运算重复进行．例如，当＝18时，运算过程如下： 若n＝21，则第2021次“T”运算的结果是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，可以写出前几次输出的结果，然后即可发现数字的变化规律，从而可以得到2021次“T”运算的结果． 【详解】解：由题意可得， 当n＝21时， 第1次输出的结果为64， 第2次输出的结果为1， 第3次输出的结果为4， 第4次输出的结果为1， 第5次输出的结果为4， …， ∴从第2次开始，这列数以1，4不断循环出现， ∵（2021﹣1）÷2＝2020÷2＝1010， ∴2021次“T”运算的结果4， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，数字的变化规律，解答本题的关键是总结出得到的数据存在的规律． 【题型04含型规律】 【典例4】观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探索，找出末位数字变化规律，即可求解． 【详解】解：由已知算式可知，末位数字每隔4个数循环一次，并且数字依次为3，9，7，1， ，没有余数， 的末位数字是1， 故选A． 【变式4-1】观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得尾数，，，的规律是4个数一循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴尾数，，，的规律是4个数一循环， ∵， ∴的个位数字是， 又∵， ∴的结果的个位数字与的个位数字相同， ∴的结果的个位数字是． 故选：A． 【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键． 【变式4-2】分形的概念是由数学家本华·曼德博提出的．如图是分形的一种，第1个图案有2个三角形；第2个图案有4个三角形；第3个图案有8个二角形；第4个图案有16个三角形；……，下列数据中是按此规律分形得到的三角形的个数是（    ） A．126 B．513 C．980 D．1024 【答案】D 【分析】根据前面图案中三角形的个数，找出规律，即可求解． 【详解】解：第1个图案有2个三角形，即个； 第2个图案有4个三角形，即个； 第3个图案有8个二角形，即个； 第4个图案有16个三角形，即个； 则第个图案有个三角形， 只有D选项，当时，符合题意，其余选项都不符合题意， 故选：D 【点睛】此题考查了图形类规律的探索问题，解题的关键是根据前面的图案，找出相关规律，即可求解． 【变式4-3】观察下面两行数： 第一行数：1、、9、、25、… 第二行数：0、、8、、24、… 根据第一行数的排列规律，以及这两行数字之间的关系，确定第二行第10个数是（    ） A． B．99 C． D．80 【答案】C 【分析】第一行数第10个数是，第二行数第10个数是比第一行数第10个数少1，即可得答案． 【详解】解：由题意得：第一行数第10个数是，第二行数第10个数是比第一行数第10个数少1，所以第二行数第10个数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是根据数列得出规律，第一行的第n个数是，偶数为负，奇数为正，第二行数比第一行数对应的数少1． 【题型05 定义两个数的运算】 【典例5】定义新运算“⨂”，规定：⨂．如：⨂，则⨂的值是（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是明确有理数的混合运算的计算方法． 根据题目中的新定义运算公式可以求出所求式子的值． 【详解】解：∵⨂， ∴⨂ = = ． 故选A． 【变式5-1】对于有理数a，b，定义，则计算后的结果是（　　） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义下的有理数计算，解题的关键是根据新定义进行计算．原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解∶根据题中的新定义， 得 ． 故选∶C． 【变式5-2】对于任意有理数,定义一种新运算“⊕”，规则如下：，例如：，则的值为（    ） A． B．11 C． D．29 【答案】C 【分析】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，正确理解公式及所求式子中对应的a与b的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 【变式5-3】定义运算“@”的运算法则为．如，那么的运算结果是（    ） A．4 B． C． D．4或8 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是明确有理数的混合运算的计算方法．根据题目中的新定义运算公式可以求出所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选C． 【题型06 定义多个数的运算】 【典例6】若定义新运算：，请利用此定义计算的值为（　　） A．116 B． C．216 D． 【答案】D 【详解】本题主要考查了有理数的混合运算，利用新运算的规定列式运算即可．理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 解： ． 故选：D． 【变式6-1】规定一种新运算“*”，对于任意有理数a和b，有，请你根据定义的新运算，计算的值是（　　） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据新运算的法则，进行计算即可． 【详解】； 故选D． 【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算的法则是解题的关键． 【变式6-2】现定义运算“⊕”对于任意两个整数，a⊕b=a+b-1，则1⊕(3⊕5)的结果是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】根据新定义运算代入，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 3⊕5=3+5-1=7， ∴1⊕(3⊕5)= 1⊕7=1+7-1=7． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算，理解新定义运算是解题的关键． 【变式6-3】定义一种新运算：．例如．则的值为（    ） A． B．9 C．15 D．27 【答案】C 【分析】先求出的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ = = =， ∴ = = = =15． 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义下的有理数运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式6-4】如果对于任何有理数，定义运算“”如下，如．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算计算得出结果即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握运算顺序与计算方法是解题的关键． 【变式6-5】七年级小莉同学在学习完第二章《有理数及其运算》后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．则（    ）． A． B．6 C．24 D．30 【答案】C 【分析】根据新定义先计算，再计算即可求解． 【详解】解：∵． ∴ ∴ =24． 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$