第二章 有理数及其运算 单元测试-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024新教材）

第二章 有理数及其运算 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二章（有理数及其运算）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．的相反数是（    ）． A． B． C． D． 2．如果向东走3步记为+3，那么向西走2步记为（　　） A． B． C． D． 3．下列四个数中最小的是（   ） A．0 B．2 C． D． 4．今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》《第二十条》在网络上持续 引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国年春节档电影票房达亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 5．下列各数中：，负有理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．若数轴上表示和5的两点分别是点A和B，则点A和点B之间的距离（　　） A． B． C．7 D．3 7．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（       ） A． B． C． D． 8．若，则（    ） A．2 B．7 C．8 D．9 9．有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 10．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如图所示，这样捏合到第8次后，就可以拉出（    ）根细面条． A．16 B．32 C．64 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．计算 ，的倒数是 ． 12．近似数万精确到 位． 13．比较大小（填入或者） （1） ；     （2） 14．从数，，，，中任意选取两个数相乘，其积的最大值是 ，最小值是 ． 15．对有理数a、b定义一种新运算△，规定，则 ． 16．已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为2．点A在原点的左侧且与原点O的距离为3，那么点B对应的数之和是 ． 17．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料的导热率）与温度的关系如表： 温度 100 150 200 250 300 导热率 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 根据表格中两者的对应关系，若温度为，则导热率为 ． 18．a、b、c都是质数，且满足，则 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．计算： (1) (2) (3) (4) 20．将下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并用“”把这些数连接起来． 5，，，，0，． 21．把下列各数填入相应的大括号里： ，3.1416，0，，，， (1)有理数集合：{                     } (2)整数集合：{                  } (3)分数集合：{                   } (4)非正整数集合：{                      } 22．某检修小组乘汽车沿翠竹路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天从八中出发到收工时所走路线（单位：千米）为： (1)问收工时，是前进还是后退？距八中多远？ (2)若每千米耗油升，从八中出发到收工时共耗油多少升？ 23．探索规律： (1)请猜想： ； (2)请猜想： ； (3)请用上述规律计算： 24．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_______________；式子的几何意义是______________________________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________；的最小值为________，此时满足的条件是________． 25．已知：b是最小的正整数，且a、b满足． (1)请求出a、b、c的值； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：；（写出化简过程） (3)在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 26．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题． 例：三个有理数，，满足，求的值． 解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则：； ②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则：， 综上述：的值为或-． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，是有理数，当时，求值． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 有理数及其运算 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二章（有理数及其运算）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．的相反数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，根据相反数的定义：数字相同符号相反的两个数互为相反数，据此即可求解，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故选：． 2．如果向东走3步记为+3，那么向西走2步记为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．根据正数和负数表示相反意义的量，向东走记为正，可得向西走的表示方法． 【详解】解：若向东走3步记作，则向西走2步记作， 故选：B． 3．下列四个数中最小的是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了对有理数进行大小比较的能力，根据正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的数反而小进行比较即可． 【详解】， 故选：C． 4．今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》《第二十条》在网络上持续 引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国年春节档电影票房达亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：亿， 故选：B． 5．下列各数中：，负有理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数分类，解题关键是掌握负有理数包括负整数和负分数．根据负有理数的分为负整数和负分数，逐一进行判断即可得到答案． 【详解】 ∴负有理数有 故选：B． 6．若数轴上表示和5的两点分别是点A和B，则点A和点B之间的距离（　　） A． B． C．7 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离．解决问题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离的计算方法．连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． 用较大的数减去较小的数即得（方法不唯一）． 【详解】根据较大的数减去较小的数得：． ∴在数轴上，表示5和的两点之间的距离是7． 故选：C． 7．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，根据数轴可知：，，然后一一判断即可． 【详解】解：根据数轴可知：，， ．∵，∴原式子不成立，故该选项不符合题意； ．∵，，∴，∴原式子不成立，故该选项不符合题意； ．∵，∴原式子不成立，故该选项不符合题意； ．∵，∴，∴原式子成立，故该选项符合题意； 故选：D． 8．若，则（    ） A．2 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质列式求出m、n，然后代入计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 所以，． 故选：D． 9．有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了化简绝对值问题，根据，此时，a可以看作一个式子，a是正数或0，则把绝对值变成括号，如果a是负数，则绝对值变括号，前面加负号．据此化简即可． 【详解】解：由数轴得，， = ． 故选：B． 10．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如图所示，这样捏合到第8次后，就可以拉出（    ）根细面条． A．16 B．32 C．64 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，能够根据题意列出式子是解题的关键．由图可知，第一次捏合是，即，第二次是，即，第三次是，即，即可得到答案． 【详解】解：第一次捏合后面条根，即根， 第二次捏合后面条根，即根， 第三次捏合后面条根，即根， 故第8次捏合后面条为根， 故选D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．计算 ，的倒数是 ． 【答案】 2024 【分析】本题考查的是绝对值与倒数的含义，根据绝对值与倒数的含义可得答案． 【详解】解：， ∵， ∴的倒数是， 故答案为：， 12．近似数万精确到 位． 【答案】千 【分析】本题考查了近似数，对于一个小数，我们在计算精确度时，是看其小数点后的最后一位数字．从小数点后的第一位开始，记作十分位、百分位、千分位、万分位，然后依此类推，熟练掌握精确度的确定方法是解题的关键． 【详解】解：近似数万精确到千位， 故答案为：千． 13．比较大小（填入或者） （1） ；     （2） 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，掌握正数大于负数、两负数比较大小的方法是解题的关键． 根据正数大于负数、两个负数比较大小、绝对值大的反而小判断即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴． 故答案为：，． 14．从数，，，，中任意选取两个数相乘，其积的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算即可求解，解题的关键是几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 【详解】积的最大值是，积的最小值为， 故答案为：，． 15．对有理数a、b定义一种新运算△，规定，则 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算．由于定义一种新运算：，那么按照法则代入数字计算即可求解． 【详解】解：∵定义一种新运算：， ∴ ． 故答案为：0． 16．已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为2．点A在原点的左侧且与原点O的距离为3，那么点B对应的数之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，解决问题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，绝对值的化简．设点B对应的数为，根据题意得点A的坐标，根据数轴上A，B两点之间的距离为2，得到，解得x，即可求得点B对应的数之和． 【详解】设点B对应的数为， ∵点A在原点的左侧且与原点O的距离为3， ∴点A表示的数为 ∵数轴上A，B两点之间的距离为2， ∴， ∴， ∴，或， 则点B对应的数之和是． 故答案为：． 17．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料的导热率）与温度的关系如表： 温度 100 150 200 250 300 导热率 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 根据表格中两者的对应关系，若温度为，则导热率为 ． 【答案】0.45 【分析】本题考查实数计算中的规律，发现每增加100，增加0.1是解题的关键．根据表格中的数据，发现每增加100，增加0.1，进而解决问题． 【详解】解：由表格中的数据可知， 当温度每增加时， 导热率增加． 又， ， ． 即温度为时，导热率为． 故答案为：0.45 18．a、b、c都是质数，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了质数，奇数与偶数，绝对值，掌握所有的质数中只有2是偶数是解题关键．先假设a、b、c都是奇数，判断出与已知矛盾，得出a、b、c中必有两个偶数，从而令，求出的值，代入计算即可． 【详解】解：若a、b、c都是奇数，则也是奇数， 那么为偶数，与已知矛盾， a、b、c中必有一个偶数， a、b、c都是质数， 中必有一个偶数2， 令，则， 若b、c都是奇数，则也是奇数， 那么偶数，与已知矛盾， b、c中必有一个偶数2， 令，则， ， ， 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的加减法法则，运算律即可求解； （2）根据有理数的加减乘除法法则即可求解； （3）根据带有乘方的有理数的混合运算即可求解； （4）根据有理数的除法，乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握实数运算法则，运算律是解题的关键． 20．将下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并用“”把这些数连接起来． 5，，，，0，． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简多重符号和绝对值，先计算出，，的结果，再在数轴上表示出各数，最后根据数轴上左边的数小于右边的数用大于号将各数连接起来即可． 【详解】解：，，， 数轴表示如下所示： ∴． 21．把下列各数填入相应的大括号里： ，3.1416，0，，，， (1)有理数集合：{                                           } (2)整数集合：{                                             } (3)分数集合：{                                             } (4)非正整数集合：{                                         } 【答案】(1)，3.1416，0，，， (2)，0 (3)3.1416，，， (4)，0 【分析】本题主要考查了有理数的分类以及定义． （1）根据有理数的定义求解即可． （2）根据整数的定义求解即可． （3）根据分数的定义求解即可． （4）根据非正整数的定义求解即可． 【详解】（1）解：有理数集合：{，3.1416，0，，，} 故答案为：，3.1416，0，，， （2）整数集合：{，0} 故答案为：，0 （3）分数集合：{3.1416，，，} 故答案为：3.1416，，， （4）非正整数集合：{ ，0} 故答案为：，0 22．某检修小组乘汽车沿翠竹路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天从八中出发到收工时所走路线（单位：千米）为： (1)问收工时，是前进还是后退？距八中多远？ (2)若每千米耗油升，从八中出发到收工时共耗油多少升？ 【答案】(1)收工时，是前进，距八中千米 (2)升 【分析】本题考查了正负数的实际应用，以及有理数的运算在实际问题中的应用．注意计算的准确性． （1）计算即可求解； （2）计算除总路程即可求解； 【详解】（1）解： ∴收工时，是前进，距八中千米 （2）解：∵千米 升 ∴从八中出发到收工时共耗油升 23．探索规律： (1)请猜想： ； (2)请猜想： ； (3)请用上述规律计算： 【答案】(1)225 (2) (3)1200 【分析】本题主要考查了整式的加减，有理数的混合运算，数字的变化规律，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键． （1）利用题干中的计算找出规律，即可得出结论； （2）利用题干中的计算找出规律，即可得出结论； （3）将所求算式加上后利用（2）中的规律运算，再减去， 【详解】（1）解：由规律得，， 故答案为：225； （2）解：由规律得，， 故答案为：； （3）解： ． 24．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_______________；式子的几何意义是______________________________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________；的最小值为________，此时满足的条件是________． 【答案】(1)，数轴上表示数的点与数的点之间的距离 (2)或5 (3)7 (4)8；16； 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据的几何意义求解可得； （3）根据绝对值的性质得一元一次方程进行解答便可； （4）当时化简绝对值方程便可求得的最小值．当时便可求得的最小值． 【详解】（1）数轴上表示数2的点与数的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离； 故答案为：，数轴上表示数的点与数的点之间的距离； （2）等式的几何意义是表示到数2的距离为3的点， 则的值为或5； 故答案为：或5； （3）表示的点在与5之间移动时， ， 故答案为：7； （4）当时，的值最小， 的最小值为8； 当时，有最小值为：； 故答案为：8；16；． 25．已知：b是最小的正整数，且a、b满足． (1)请求出a、b、c的值； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：；（写出化简过程） (3)在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，5 (2)当时，；当时， (3)不变， 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，绝对值的计算，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；以及数轴上两点之间距离的计算方法． （1）根据最小的正整数时1，即可得出b的值，根据绝对值和平方的非负性，即可得出a和c是值； （2）根据题意进行分类讨论，①当时，②当时即可求解； （3）先得出t秒后，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为，再得出和的表达式，计算即可． 【详解】（1）解：∵最小的正整数是1， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：，1，5； （2）解：①当时，， ∴ ， ②当时，， ∴ ； （3）解：∵，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动， ∴t秒后，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不变，恒为2． 26．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题． 例：三个有理数，，满足，求的值． 解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则：； ②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则：， 综上述：的值为或-． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，是有理数，当时，求值． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则； （1）根据绝对值的意义和，确定、的值，再计算； （2）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （3）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：因为，，且， 所以，或，． 则或， 即的值为或； （2）已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （3）因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个正数一个负数， 设，，， 则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$