特训01 解一元二次方程-因式分解法-十字相乘法（贯穿中学代数几何应用）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训01 解一元二次方程-因式分解法-十字相乘法（贯穿中学代数几何应用） 1. 因为一些原因，本篇主要以十字相乘法因式分解练习十字相乘法解一元二次方程(可加＝0改成方程)； 2. 本篇可能可以短时间提高分解十字相乘法能力，但还要长期在不同的情境的代数应用和几何应用题中去夯实它； 3. 最后篇章有8道与十字相乘法有关的一元二次方程的应用题。 1．分解因式： (1)； (2)． 2．用十字相乘法解方程： (1)； (2)． 3．分解因式：x2﹣7x+12 = ． 4． 5． 6． 7．分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 8．分解因式： (1) (2) (3) (4) 9． 10．多项式分解因式得 11．因式分解：． 12．因式分解：． 13．用十字相乘法分解因式： (1)； (2)； (3)． 14． 15．因式分解： 16．运用十字相乘法分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 17．用十字相乘法分解下列因式． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 18．分解因式： （1） （2） （3） 19．分解因式． （1）；            （2）； （3）；                 （4）． 20．因式分解 （1） （2） 21．下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 22．要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 23．多项式分解因式为，其中，，为整数，则的取值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 24．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 25．已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 26．在因式分解的学习中我们知道对二次三项式可用十字相乘法方法得出，用上述方法将下列各式因式分解： (1)__________． (2)__________． (3)__________． (4)__________． 27．【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3） 分解因式：． 一元二次方程应用题： 一、解答题 1．周末小明所在的数学兴趣小组组织了一次同学聚会，前来参会的每位同学都通过握手礼貌问候．经过统计后发现共握手了36次，请你帮小明计算出参加聚会的同学共有多少人？ 2．某公园在绿化时，工作人员想利用如图所示的直角墙角（两边足够长）和长为米的篱笆围成一个矩形场地，其中边，为篱笆．如果矩形场地的面积是平方米，求矩形场地的长和宽各是多少米？ 3．2023年10月，我市组织初中男子篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）共安排66场比赛，那么有多少个球队参加比赛？ 4．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求主干长出了多少个支干？ 5．已知中，，点P从点A开始沿边以每秒的速度移动，点Q从点C开始沿以每秒的速度移动，如果分别从A、C两点同时出发，经几秒时间使的面积等于？ 6．某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示的图形、所用的篱笆长为36米，设垂直于墙的一边长为x米． (1)当花圃的面积为162平方米时，求此时的长； (2)修改（1）的方案，篱笆材料的平行于墙一边留出1米用其他材料做的门，新围成的花圃的面积为170平方米，求此时的长度． 7．在一块长为，宽为的矩形地面上，修建等宽的道路，剩余部分种上草坪．    (1)如图①，测得草坪的面积是，求道路的宽度； (2)后来要在这块矩形地面上，重新进行规划，打算修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图②所示，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的二分之一，道路的宽度应设计为多少？ 8．某商场4月份以每个50元的价格销售某种品牌的玩具，4月份一共销售了40个．商场在5月份和6月份都进行了涨价，且玩具销售额逐月增加，若6月份的玩具销售额为2880元．（销售额销售单价销售数） (1)求从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率． (2)经过市场调查发现，每个玩具的销售价格每增加5元，月销售量减少1个，且6月份每个玩具的价格小于100元．求6月份每个玩具的销售价格． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训01 解一元二次方程-因式分解法-十字相乘法（贯穿中学代数几何应用） 1. 因为一些原因，本篇主要以十字相乘法因式分解练习十字相乘法解一元二次方程(可加＝0改成方程)； 2. 本篇可能可以短时间提高分解十字相乘法能力，但还要长期在不同的情境的代数应用和几何应用题中去夯实它； 3. 最后篇章有8道与十字相乘法有关的一元二次方程的应用题。 1．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）利用十字相乘法因式分解即可． 【解析】（1）解：原式； （2）原式． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 2．用十字相乘法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）． 【解析】（1）解： ， 或， 或； （2）解：， ， 或， 或． 【点睛】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键． 3．分解因式：x2﹣7x+12 = ． 【答案】(x-4)(x-3) 【分析】因为（-3）×（-4）=12，（-3）+（-4）=-7，所以利用十字相乘法分解因式即可． 【解析】解：x2-7x+12=（x-3）（x-4）． 故答案为：（x-3）（x-4）． 【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 4． 【答案】 【解析】试题分析：常数项-36=-9×4，一次项系数-5=-9+4，由此即可进行因式分解. 试题解析：p2-5p-36=(p+4)(p-9). 5． 【答案】 【解析】试题分析：观察常数项及一次项系数，-18=-2×9，-2+9=7，由此即可进行因式分解. 试题解析：m2+7m-18=(m-2)(m+9). 6． 【答案】 【解析】试题分析：观察可知，原式=x2+x(2y+9y)+2y·9y，据此即可进行因式分解. 试题解析：x2+11xy+18y2=(x+2y)(x+9y). 7．分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解因式即可； （3）首先提取公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可； （4）利用十字相乘法分解因式即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握利用十字相乘法分解因式． 8．分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）根据十字相乘法因式分解即可； （3）将作为一组，作为一组，利用分组分解法因式分解即可； （4）将作为一个整体先因式分解，再将所得结果因式分解即可 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查的是因式分解的提公因式法、十字相乘法以及分组分解法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律． 9． 【答案】 【解析】试题分析：观察所给二次三项式，可得：a2x2+7ax-8=(ax)2+(8-1)x+(-8)×1，由此即可得. 试题解析：原式=(ax)2+(8-1)x+(-8)×1=（ax-1）(ax+8). 10．多项式分解因式得 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法和十字相乘法分解因式，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【解析】， 故答案为：． 11．因式分解：． 【答案】 【分析】根据十字相乘法分解即可． 【解析】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题的关键． 12．因式分解：． 【答案】 【分析】根据十字相乘法可进行求解． 【解析】解：． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 13．用十字相乘法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】用十字相乘法分解因式求解即可． 【解析】（1）原式． （2）原式 ． （3）原式 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 14． 【答案】 【解析】试题分析：观察可知为了凑xy的系数，x2前面的系数与y2前面的系数应该拆分成：，由此即可进行因式分解. 试题解析：5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y). 【点睛】本题主要考查abx2+（ac+bd）x+cd型二次三项式的因式分解，解决此类问题的关键是要观察所给式子的特征，正确地进行拆分. 15．因式分解： 【答案】 【分析】根据完全平方公式及十字相乘法可进行因式分解． 【解析】解：． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 16．运用十字相乘法分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）直接运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可； （2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）； （3）同（2）； （4）把()当作一个整体，运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可 【解析】（1）． （2）． （3）． （4）． 【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键． 17．用十字相乘法分解下列因式． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）把6分成-6与-1的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （2）把-15分成-5与3的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （3）把3分成1与的3积，把10分成-2与-5的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （4）把b看作常数，把分成-3b与2b的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （5）把y看作常数，把12分成4与3的积，把分成3y与-5y的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （6）把看作一个整体，把-10分成-5与2的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可． 【解析】解：（1） = （2） = （3） = （4） = （5） = （6） = 【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解二次项系数及常数项是解题关键．有时要把某个字母看作常数或把某个多项式看作一个整体. 18．分解因式： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】通过提公因式和公式法及十字相乘法求解． 【解析】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【点睛】本题考查因式分解，解题关键是因式分解多种方法综合运用，注意分解要彻底． 19．分解因式． （1）；            （2）； （3）；                 （4）． 【答案】（1）（x-y）（x+y）；（2）3（x-y）2；（3）（a-6）（a+2）；（4）a（a-2）2 【分析】（1）用提公因式法分解因式； （2）先提3，然后利用公式法分解因式； （3）利用十字相乘法因式分解； （4）先提a，然后利用公式法分解． 【解析】解：（1）原式=x（x-y）+y（x-y）=（x-y）（x+y）； （2）原式=3（x2-2xy+y2）=3（x-y）2； （3）原式=（a-6）（a+2）； （4）原式=a（a2-4a+4）=a（a-2）2． 【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法． 20．因式分解 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据平方差公式分解； （2）将看作一个整体，先将括号展开化简，再利用十字相乘法逐步分解． 【解析】解：（1） = =； （2） = = = = 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握平方差公式，十字相乘法，解题时要注意整体思想的运用． 21．下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据十字相乘法进行分解，即可作出判断． 【解析】解：A、，故此选项正确； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，熟练掌握十字相乘的结构特征是解题的关键． 22．要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据把-6分解成两个因数的积，m等于这两个因数的和，分别分析得出即可． 【解析】解：∵-1×6=-6，-6×1=-6，-2×3=-6，-3×2=-6， ∴m=-1+6=5或m=-6+1=-5或m=-2+3=1或m=-3+2=-1， ∴整数m的值有4个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，对常数16的正确分解是解题的关键． 23．多项式分解因式为，其中，，为整数，则的取值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】把12分解为两个整数的积的形式，a等于这两个整数的和． 【解析】解：时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； ∴的取值有个． 故选：D． 【点睛】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出m、n之积为12，m、n之和为a是解题的关键． 24．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出、之积为，、之和为是解题的关键．把分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【解析】解：时，； 时，； 时，； 时，； 的取值有4个． 故选：． 25．已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 【答案】8 【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解．把分成两个整数的积，则等于这两个数的和，进而得到答案． 【解析】解：当时，， 当时，， 同理可求：，，， 综上所述：的取值是、、或，共8个． 故答案为：8． 26．在因式分解的学习中我们知道对二次三项式可用十字相乘法方法得出，用上述方法将下列各式因式分解： (1)__________． (2)__________． (3)__________． (4)__________． 【答案】(1)(x-y)(x+6y) (2)(x-3a)(x-a-2) (3)(x+a-3b)(x-a-2b) (4)(20182x2+1)(x-1) 【分析】（1）将-6y2改写成-y·6，然后根据例题分解即可； （2）将3a2+6a改写成，然后根据例题分解即可； （3）先化简，将改写，然后根据例题分解即可； （4）将改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可； 【解析】（1）解：原式= =(x-y)(x+6y)； （2）解：原式= =(x-3a)(x-a-2)； （3）解：原式= = = =(x+a-3b)(x-a-2b)； （4）解：原式= = = =(20182x+1)(x-1) ． 【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，熟练掌握二次三项式可用十字相乘法方法得出是解答本题的关键． 27．【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，先把分解成，然后把多项式进行第一次分解因式，再把分解成，分解成，进行第二次分解因式即可． 【解析】解：（1） ， ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴或 或或 ， 整数的值可能是或， 故答案为：或； （3）， ， ， ， ． 一元二次方程应用题： 一、解答题 1．周末小明所在的数学兴趣小组组织了一次同学聚会，前来参会的每位同学都通过握手礼貌问候．经过统计后发现共握手了36次，请你帮小明计算出参加聚会的同学共有多少人？ 【答案】9人 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．设参加同学聚会的人数为x人，已知见面时两两握手一次，那么每人应握次手，所以人共握手次，又知共握手36次，以握手总次数作为等量关系，列出方程求解． 【解析】解：设参加同学聚会的人数为x人， 由题意列方程为 解得，（不合题意，舍去） 答：参加同学聚会的人数为9人． 2．某公园在绿化时，工作人员想利用如图所示的直角墙角（两边足够长）和长为米的篱笆围成一个矩形场地，其中边，为篱笆．如果矩形场地的面积是平方米，求矩形场地的长和宽各是多少米？ 【答案】矩形场地的长为米，宽为米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练根据题意列出式子是解题的关键．设矩形场地的长为米，则宽为米，根据面积是平方米列式求解即可，注意长大于宽． 【解析】解：设矩形场地的长为米，则宽为米， 由题意得：， 化简得：， 解得：， 当时，； 当时，（不合题意，舍去）； ∴，， 答：矩形场地的长为米，宽为米． 3．2023年10月，我市组织初中男子篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）共安排66场比赛，那么有多少个球队参加比赛？ 【答案】一共有12个球队参赛． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．根据题意赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数为，理解关系即可列出方程． 【解析】解：设一共有个球队参赛， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：一共有12个球队参赛． 4．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求主干长出了多少个支干？ 【答案】主干长出了6个支干 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设主干长出x个支干，则长出个小分支，根据主干、支干和小分支总数是43列出关于x的一元二次方程求解即可． 【解析】解：设主干长出x个支干，则长出个小分支， 根据题意得：， 即， 解得： 或（不合题意舍去）． 答：主干长出了6个支干． 5．已知中，，点P从点A开始沿边以每秒的速度移动，点Q从点C开始沿以每秒的速度移动，如果分别从A、C两点同时出发，经几秒时间使的面积等于？ 【答案】2秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设经x秒时间使的面积等于，根据三角形的面积公式列出方程，即可求解． 【解析】解：设经x秒时间使的面积等于，根据题意得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 答：经2秒时间使的面积等于． 6．某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示的图形、所用的篱笆长为36米，设垂直于墙的一边长为x米． (1)当花圃的面积为162平方米时，求此时的长； (2)修改（1）的方案，篱笆材料的平行于墙一边留出1米用其他材料做的门，新围成的花圃的面积为170平方米，求此时的长度． 【答案】(1)当花圃的面积为162平方米时，的长为9米 (2)当花圃的面积为170平方米时，的长为米或10米 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握“利用图形的面积公式建立一元二次方程”是解本题的关键． （1）设垂直于墙的一边长为x米．则米，再利用面积公式建立方程即可； （2）设垂直于墙的一边长为x米．则米，再利用面积公式建立方程即可． 【解析】（1）∵篱笆长为36米，垂直于墙的一边长为x米， ∴平行于墙的一边长米． 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意． 答：当花圃的面积为162平方米时，的长为9米； （2）∵篱笆长为36米，垂直于墙的一边长为x米， ∴平行于墙的一边长BC为米． 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意． 答：当花圃的面积为170平方米时，的长为米或10米． 7．在一块长为，宽为的矩形地面上，修建等宽的道路，剩余部分种上草坪．    (1)如图①，测得草坪的面积是，求道路的宽度； (2)后来要在这块矩形地面上，重新进行规划，打算修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图②所示，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的二分之一，道路的宽度应设计为多少？ 【答案】(1)道路的宽度为 (2)道路的宽度应设计为 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用： （1）利用平移的性质得到方程，求解即可； （2）设横向道路的宽度为，竖向道路的宽度为，根据草坪的面积是地面面积的四分之一列得方程，解答即可． 【解析】（1）解：设道路的宽度为． 根据题意，得． 整理，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：道路的宽度为． （2）解：设道路的宽度应设计为． 根据题意，得． 整理，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度应设计为． 8．某商场4月份以每个50元的价格销售某种品牌的玩具，4月份一共销售了40个．商场在5月份和6月份都进行了涨价，且玩具销售额逐月增加，若6月份的玩具销售额为2880元．（销售额销售单价销售数） (1)求从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率． (2)经过市场调查发现，每个玩具的销售价格每增加5元，月销售量减少1个，且6月份每个玩具的价格小于100元．求6月份每个玩具的销售价格． 【答案】(1)从月份到月份，玩具销售额的月平均增长率为 (2)月份每个玩具的销售价格是元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用． （1）先计算出4月份的玩具销售额，设从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为x，根据题意列出关于x的一元二次方程求解即可． （2）设6月份每个玩具的销售价格增加x元，则6月份的销售量减少个，根据销售额销售单价销售数列出关于x的一元二次方程求解，解出x再加上原销售价即可． 【解析】（1）解：4月份的玩具销售额为元 设从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（舍去） 答：从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为 （2）设6月份每个玩具的销售价格增加x元，则6月份的销售量减少个 解得，（舍） 答：6月份每个玩具的销售价格是90元 ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$