第二十三章 旋转（A卷提升卷单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第二十三章 旋转（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列图形中，由原图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 2．（本题3分）下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） 科克曲线笛卡尔心形线 阿基米德螺旋线赵爽弦图 A．科克曲线 B．笛卡尔心形线 C．阿基米德螺旋线 D．赵爽弦图 3．（本题3分）将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（ ） A．   B．   C．   D．   4．（本题3分）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（　　）      A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2） 6．（本题3分）如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（   ） A．150° B．120° C．90° D．60° 7．（本题3分）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（  ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是(    ) A．68° B．20° C．28° D．22° 9．（本题3分）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2） 10．（本题3分）如图所示，在等边△ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕着点B逆时针旋转60º，得到△BAE，连接ED，则下列结论中：①AE∥BC；②∠DEB=60º；③∠ADE=∠BDC，其中正确结论的序号是（  ） A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）如图，，、、在一条直线上，且和是一对对应顶点，如果，那么将绕着点顺时针旋转 度与重合． 12．（本题3分）如图，和关于点成中心对称，则下列结论中正确的有 个． ①；②；③；④． 13．（本题3分）如图，将绕点旋转得到，若，，，则 ． 14．（本题3分）如图，P为正方形ABCD内一点，且BP=2，PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′，则AP= ． 15．（本题3分）如图，将△ABC绕着点A旋转，使点B恰好落在BC边上，得△AB'C，如果∠BAB'＝32°，且AC'∥BC，那么∠B'AC＝ 度． 16．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数，若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转得到△DEF，其中A、B、C分别和D、 E、F对应，则旋转中心的坐标是 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）如图，绕点顺时针旋转得到，，求的度数． 18．（本题4分）如图所示，点D是等边△ABC内一点，DA＝13，DB＝19，DC＝21，将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，求△DEC的周长．    19．（本题6分）如图，是边长为的小正方形组成的方格，线段的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为和． (1)画出该平面直角坐标系； (2)画出线段关于原点成中心对称的线段； (3)画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可） 20．（本题6分）如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，使点落在边上的点处，连接交于点，连接． (1)求证：平分； (2)取中点，连接，求证：． 21．（本题8分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE． （1）求证：△AEB ≌△ADC； （2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数． 22．（本题10分）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得． (1)请判断的形状，并说明理由． (2)求的度数． 23．（本题10分）将旋转一定的角度后得到，如图所示，如果，． (1)指出其旋转中心和旋转的角度 (2)求的长度； (3)BE与的位置关系如何？说明理由． 24．（本题12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A'B'C． （1）如图1，当AB∥CB'时，设A'B'与CB相交于点D，求证：△A'CD是等边三角形． （2）若E为AC的中点，P为A'B'的中点，则EP的最大值是多少，这时旋转角θ为多少度． 25．（本题12分）阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且，，，求∠APB的度数． 小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题． (1)请你计算图1中∠APB的度数． (2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，，，求∠APB的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 旋转（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列图形中，由原图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键，据此解答即可. 【详解】、是由图形通过轴对称得到的； 、是由图形通过轴对称得到的； 、是通过轴对称和旋转得到的； 、是由图形通过顺时针旋转得到的. 故选：. 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、性质都不改变. 2．（本题3分）下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） 科克曲线笛卡尔心形线 阿基米德螺旋线赵爽弦图 A．科克曲线 B．笛卡尔心形线 C．阿基米德螺旋线 D．赵爽弦图 【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； B．笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3．（本题3分）将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（ ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转. 【详解】解：观查选项中的图形，只有D选项为△ABO绕O点旋转了180°. 【点睛】本题考查了旋转的定义. 4．（本题3分）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的性质，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 5．（本题3分）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（　　）      A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2） 【答案】B 【分析】由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC=A′C′，CO=C′O，由A的坐标就可以求出结论． 【详解】∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′， ∴△ABO≌△A′B′O′,∠AOA′=90°， ∴AO=A′O. 作AC⊥y轴于C,A′C′⊥x轴于C′，    ∴∠ACO=∠A′C′O=90°. ∵∠COC′=90°， ∴∠AOA′−∠COA′=∠COC′−∠COA′， ∴∠AOC=∠A′OC′. 在△ACO和△A′C′O中， ， ∴△ACO≌△A′C′O(AAS)， ∴AC=A′C′,CO=C′O. ∵A(−2,5)， ∴AC=2，CO=5， ∴A′C′=2,OC′=5， ∴A′(5,2) 故选B 【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键． 6．（本题3分）如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（   ） A．150° B．120° C．90° D．60° 【答案】A 【分析】先确定旋转角，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：旋转角∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+90°=150°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正确理解旋转角是解题的关键． 7．（本题3分）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案． 【详解】解：设=x°. 根据旋转的性质，得∠C=∠= x°，=AC, =AB. ∴∠=∠B. ∵，∴∠C=∠CA=x°. ∴∠=∠C+∠CA=2x°. ∴∠B=2x°. ∵∠C+∠B+∠CAB=180°，， ∴x+2x+108=180. 解得x=24. ∴的度数为24°. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质. 8．（本题3分）如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是(    ) A．68° B．20° C．28° D．22° 【答案】D 【分析】利用矩形的性质、旋转的性质及多边形内角和定理即可求得． 【详解】∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°， ∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α， ∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°， ∵∠2=∠1=112°，且∠ABC=∠D′=90°， ∴， ∴∠BAB′=90°-68°=22°， 即∠α=22°． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，多边形的内角和定理等知识，矩形性质的运用是关键． 9．（本题3分）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2） 【答案】C 【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标． 【详解】过点A作于点C． 在Rt△AOC中， ． 在Rt△ABC中， ． ∴　． ∵OA＝4，OB＝6，AB＝2， ∴． ∴． ∴点A的坐标是． 根据题意画出图形旋转后的位置，如图， ∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为； 将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）． 10．（本题3分）如图所示，在等边△ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕着点B逆时针旋转60º，得到△BAE，连接ED，则下列结论中：①AE∥BC；②∠DEB=60º；③∠ADE=∠BDC，其中正确结论的序号是（  ） A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 【答案】A 【分析】由旋转的性质和等边三角形的性质易证∠BAE=∠ABC，，即可得AE∥BC，①正确；证明△BDE是等边三角形，可得②正确; 根据已知条件不能够证明③正确． 【详解】∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=∠C=60°. ∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴∠BAE=∠C=60°. ∴∠BAE=∠ABC， ∴AE∥BC， 所以①正确； ∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴∠DBE=60°，BD=BE. ∴△BDE为等边三角形， ∴∠DEB=60º； 所以②正确. 根据已知条件不能够证明③正确． 故选A. 【点睛】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）如图，，、、在一条直线上，且和是一对对应顶点，如果，那么将绕着点顺时针旋转 度与重合． 【答案】 【分析】根据∠BCE=130°可知：∠ACE=50°，由于两三角形全等，故只需要旋转50°即可重合． 【详解】解：∵∠BCE=130°， ∴∠ACE=180°−∠BCE=50°， ∵△ACD≌△ECB， ∴△ACD绕着C点顺时针旋转50度即可与△ECB重合． 故答案为50 【点睛】本题考查了全等三角形与旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形与旋转的性质． 12．（本题3分）如图，和关于点成中心对称，则下列结论中正确的有 个． ①；②；③；④． 【答案】4 【分析】根据中心对称的性质，逐个进行判断即可． 【详解】解：①∵和关于点成中心对称， ∴，故①正确，符合题意； ②∵和关于点成中心对称， ∴，故②正确，符合题意； ③∵和关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④∵和关于点成中心对称， ∴，故④正确，符合题意； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了中心对称的性质，解题的关键是掌握成中心对称的两个图形，对应边相等，对应角相等，对应点到对称中心距离相等． 13．（本题3分）如图，将绕点旋转得到，若，，，则 ． 【答案】2 【分析】先根据含角的直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质即可得． 【详解】解：在中，，，， ， 由旋转的性质得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 14．（本题3分）如图，P为正方形ABCD内一点，且BP=2，PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′，则AP= ． 【答案】1 【分析】根据旋转性质可得∠APB=∠CP'B=135°、∠ABP=∠CBP'、BP=BP'、AP=CP'，由∠ABP+∠PBC=90°知△BPP'是等腰直角三角形，进而根据∠CP'B=135°可得∠PP'C=90°，由此可利用勾股定理即可CP的值，则AP的长也可求出． 【详解】∵△BP'C是由△BPA旋转得到， ∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'， ∵∠ABP+∠PBC=90°， ∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°， ∴△BPP'是等腰直角三角形， ∴∠BP'P=45°， ∵∠APB=∠CP'B=135°， ∴∠PP'C=90°， ∵BP=2， ∴PP′==2， ∵PC=3， ∴CP'===1， ∴AP=CP′=1， 故答案为1． 15．（本题3分）如图，将△ABC绕着点A旋转，使点B恰好落在BC边上，得△AB'C，如果∠BAB'＝32°，且AC'∥BC，那么∠B'AC＝ 度． 【答案】42 【分析】先利用旋转的性质得到，，再根据等腰三角形性质和三角形内角和定理计算出，接着利用平行线的性质得到，然后计算即可. 【详解】绕着点旋转，使点恰好落在边上，得， ，， ， ， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等. 16．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数，若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转得到△DEF，其中A、B、C分别和D、 E、F对应，则旋转中心的坐标是 ． 【答案】（1，－1） 【分析】根据旋转后对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心判断即可． 【详解】解：如图所示，分别作线段AD、BE的垂直平分线，交于点Q，Q即为旋转中心， 由A（1，2），D（4，－1），E（4，2），B（－2，2）知， 线段BE的垂直平分线为x=1，△ADE为等腰直角三角形，E在AD垂直平分线上，AD中点坐标为（2.5，0.5）， 设线段AD垂直平分线解析式为y=kx+b，则： ，解得：， 则线段AD的垂直平分线为y=x－2， ∴Q（1，－1）， 故答案为：（1，－1）． 【点睛】本题考查了坐标与图形的旋转变化及求线段垂直平分线解析式的方法．解题关键是理解旋转中心是对应点连线垂直平分线的交点． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）如图，绕点顺时针旋转得到，，求的度数． 【答案】 【分析】运用旋转的性质，根据对应角相等，对应边的夹角为旋转角，即可求解． 【详解】根据旋转的性质可得AC与AB是对应边，∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°， ∵∠PAC=20°， ∴∠CAE=∠BAP=40°， ∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=100°． ． 【点睛】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应角分别相等，掌握旋转的性质是解题的关键． 18．（本题4分）如图所示，点D是等边△ABC内一点，DA＝13，DB＝19，DC＝21，将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，求△DEC的周长．    【答案】53. 【分析】先根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC，再根据旋转的性质得到AD=AE，CE=BD=19，∠DAE=∠BAC=60°，则可判断△ADE为等边三角形，从而得到DE=AD=13，然后计算△DEC的周长． 【详解】∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC， ∵△ABD 绕点 A 逆时针旋转到△ACE 的位置， ∴AD=AE，CE=BD=19，∠DAE=∠BAC=60°， ∴△ADE 为等边三角形， ∴DE=AD=13， ∴△DEC 的周长=DE+DC+CE=13+21+19=53． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质． 19．（本题6分）如图，是边长为的小正方形组成的方格，线段的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为和． (1)画出该平面直角坐标系； (2)画出线段关于原点成中心对称的线段； (3)画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据其中一个点的坐标，即可确定原点位置； （2）根据中心对称的性质，即可画出线段A1B1； （3）根据平行四边形的判定即可画出图形． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：如图，平行四边形即为所求答案不唯一． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，平行四边形的判定，中心对称的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． 20．（本题6分）如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，使点落在边上的点处，连接交于点，连接． (1)求证：平分； (2)取中点，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线性质，得到；根据等腰三角形的性质，得到，等量代换得到即可． （2）如图，过点B作，证明，后证明，得到，继而得到是中位线得证． 【详解】（1）∵矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，使点落在边上的点处， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴平分． （2）如图，过点B作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是中位线， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，实践中中位线定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 21．（本题8分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE． （1）求证：△AEB ≌△ADC； （2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数． 【答案】（1）见解析；（2）45° 【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得，，再由旋转的性质，可得，，从而得到，再证≌即可； （2）根据题意可得为等边三角形．可得，根据三角形全等可得，然后利用两角之差即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 线段AD绕点A顺时针旋转，得到线段AE， ，． ． ． 在△EAB和△DAC中， ， ≌． 解： ，， 为等边三角形． ， ≌． ． ∴∠BED=∠AEB-∠AED=105°-60°=45°， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 22．（本题10分）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得． (1)请判断的形状，并说明理由． (2)求的度数． 【答案】(1)为等腰三角形．理由见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可知 即可求解； （2）根据旋转的性质得到，进而得到，由（1）得，由，得到，进而得到的度数即可求解． 本题考查了旋转的基本性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：为等腰三角形． 理由如下： ∵绕点A逆时针旋转到的位置， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵绕点A逆时针旋转到的位置，， ∴， ∴， ∴ 由（1）得， ∵，， ∴． ∴， ∴． 23．（本题10分）将旋转一定的角度后得到，如图所示，如果，． (1)指出其旋转中心和旋转的角度 (2)求的长度； (3)BE与的位置关系如何？说明理由． 【答案】(1)点为旋转中心，对应边、的夹角为旋转角即 (2) (3)、的位置关系为：．理由见解析 【分析】（1）根据旋转的性质，点D为旋转中心，对应边BD、AD的夹角为旋转角； （2）根据旋转的性质可得BD=AD，然后根据勾股定理计算即可； （3）延长BE交AC于F，根据旋转可得△BDE和△ADC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DBE=∠DAC，然后求出∠DAC+∠AEF=90°，判断出BE⊥AC． 【详解】（1）解：由题意可知点D为旋转中心，对应边BD、AD的夹角为旋转角，则∠ADB=∠CDE， ∵∠ADB+∠CDE=180°， ∴∠ADB=90°，即旋转角为90°； （2）解：根据旋转的性质可得BD=AD=4cm，CD=2cm， ∴AC===2cm； （3）解：BE、AC的位置关系为：BE⊥AC．理由如下： 延长BE交AC于F． ∵△BDE按顺时针方向旋转一定角度后得△ADC， ∴△BDE≌△ADC， ∴∠DBE=∠DAC． ∵∠DBE+∠BED=90°， ∴∠DAC+∠AEF=90°， ∴∠AFE=180°﹣90°=90°， ∴BE⊥AC， ∴BE、AC的位置关系为：BE⊥AC． 【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理的运用，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 24．（本题12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A'B'C． （1）如图1，当AB∥CB'时，设A'B'与CB相交于点D，求证：△A'CD是等边三角形． （2）若E为AC的中点，P为A'B'的中点，则EP的最大值是多少，这时旋转角θ为多少度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）当AB∥CB′时，∠BCB′＝∠B＝∠B′＝30°，则∠A′CD＝90°﹣∠BCB′＝60°，∠A′DC＝∠BCB′+∠B′＝60°，可证：△A′CD是等边三角形； （2）连接CP，当E、C、P三点共线时，EP最长，根据图形求出此时的旋转角及EP的长． 【详解】（1）证明：∵AB∥CB′， ∴∠B＝∠BC B′＝30°， ∴∠BC A′＝90°﹣30°＝60°， ∵∠A′＝∠A＝60°， ∴△A′CD是等边三角形； （2）如图，连接CP，当△ABC旋转到E、C、P三点共线时，EP最长， 此时θ＝∠ACA1＝120°， ∵∠B′＝30°，∠A′CB′＝90°， 设AC＝a， ∴A′C＝AC＝A′B′＝a， ∵AC中点为E，A′B′中点为P，∠A′CB′＝90° ∴CP＝A′B′＝a，EC＝a， ∴EP＝EC+CP＝a+a＝AC． 【点睛】此题考查了旋转的性质，特殊三角形的判定与性质，相似三角形的判断与性质．关键是根据旋转及特殊三角形的性质证明问题． 25．（本题12分）阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且，，，求∠APB的度数． 小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题． (1)请你计算图1中∠APB的度数． (2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，，，求∠APB的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将△APB逆时针旋转60°得到，根据旋转的性质可知，求证为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理得出，即可求出=； （2）将△APB绕点A顺时针旋转90°，根据旋转的性质可知，求证，用勾股定理逆定理求出，最后求出即可． 【详解】（1）将△APB逆时针旋转60°得到； ∵由△APB旋转60°所得， ∴， ∴，，，， 在中，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，，即， ∴， ∴， ∴； （2）将绕A点顺时针旋转90°得，连接， ∵由旋转所得， ∴， ∴，，，∠=90°， 在△中，，且∠=90°， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理；熟练的运用旋转的性质作出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$