第二十二章 二次函数（B卷培优卷单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第二十二章 二次函数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）二次函数的图象经过的象限为（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、三象限 3．（本题3分）对于二次函数y＝2(x﹣3)2+2的图象，下列叙述正确的是(　　) A．顶点坐标：(﹣3，2) B．对称轴是直线y＝3 C．当x＞3时，y随x增大而增大 D．当x＝0时，y＝2 4．（本题3分）下列二次函数中，顶点坐标为（－5,0），且开口方向、形状与y＝－x2的图象相同的是（ ） A．y＝（x－5）2 B．y＝x2－5 C．y＝－（x＋5）2 D．y＝（x＋5）2 5．（本题3分）将抛物线向右平移1个单位，再向下平移3个单位后得到的抛物线为（      ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，是函数y＝ax2+bx+c的图象，则函数y＝ax+c，y＝，在同一直角坐标系中的图象大致为（　　）    A．   B．   C．   D．   7．（本题3分）如图是二次函数的部分图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 8．（本题3分）二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，下列结论中：①abc＞0；②2a＋b=0；③b2－4ac＞0；④a－b＋c＞0；⑤3a＋c＜0．正确的个数是(     ) ． A．2 B．3 C．4 D．5 9．（本题3分）如图，正方形的边长为，点，点同时从点出发，速度均，点沿向点运动，点沿向点运动，则的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是（ ） A．B．C． D． 10．（本题3分）已知抛物线y＝3x2+bx+c与直线y＝﹣1只有一个公共点M，与平行于x轴的直线l交此抛物线A，B两点若AB=4，则点M到直线l的距离为（  ） A．11 B．12 C． D．13 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）函数是关于x的二次函数，则m= 12．（本题3分）二次函数与轴有一个交点，则的值为 . 13．（本题3分）二次函数的最小值是 ． 14．（本题3分）如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 ．    15．（本题3分）火车进站刹车后滑行的距离(米)与滑行的时间(秒)的函数关系式是，要使火车刚好停在站台位置上，火车必须在离站台 米远处开始刹车． 16．（本题3分）如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）已知二次函数y＝﹣2x+6．用配方法求函数图象的顶点坐标和对称轴． 18．（本题4分）已知点是抛物线上的点，且点在第一象限内，求的值． 19．（本题6分）如图是抛物线形拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4米，水位上升3米，就达到警戒线CD，这时水面CD宽4米．若洪水到来时水位以每小时0.25米的速度上升，那么水过警戒线后多少小时淹到拱桥顶？ 20．（本题6分）已知抛物线． (1)求证：无论为何值时此抛物线与轴总有两个不同的交点； (2)若、是抛物线与轴交点的横坐标且，求的值． 21．（本题8分）已知二次函数y＝x2﹣x﹣． （1）在平面直角坐标系内，画出该二次函数的图象； （2）根据图象写出：①当x　 　时，y＞0； ②当0＜x＜4时，y的取值范围为　 　． 22．（本题10分）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米． (1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）； (2)若苗圃的面积为，求x的值； (3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？ 23．（本题10分）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，经试销发现，该种洗手液每天的销售单价与销售量的对应关系如表所示： 销售单价（元/瓶） 16 17 18 19 20 销售量（瓶） 200 180 160 140 120 根据表中数据，解答下列问题： （1）从表中可以发现，该洗手液的销售单价每增加1元，销售量减少 瓶； （2）当销售单价为多少元时，才能使当天销售这款“免洗洗手液”的利润最大，最大利润为多少元？ 24．（本题12分）如图，抛物线与轴交于两点，． （1）求，的值． （2）观察函数的图象，直接写出当取何值时，． （3）设抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（本题12分）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； （3）点是二次函数第四象限图象上一点，过点作轴的垂线，交直线于点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、是反比例函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、中自变量x的指数为-2，不是二次函数，不符合题意. 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的定义．熟记二次函数的一般形式是解题的关键． 2．（本题3分）二次函数的图象经过的象限为（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、三象限 【答案】C 【分析】根据二次函数的各项的系数即可判断二次函数的图象位置． 【详解】解：∵二次函数，二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点为， ∴二次函数的图象经过第三、四象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据二次函数的各项的系数的符号确定二次函数的图象位置． 3．（本题3分）对于二次函数y＝2(x﹣3)2+2的图象，下列叙述正确的是(　　) A．顶点坐标：(﹣3，2) B．对称轴是直线y＝3 C．当x＞3时，y随x增大而增大 D．当x＝0时，y＝2 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：由二次函数y＝2（x﹣3）2+2可知，开口向上．对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，2），当x＞3时，y随x增大而增大，故A、B错误，C正确； 令x＝0，则y＝20，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性． 4．（本题3分）下列二次函数中，顶点坐标为（－5,0），且开口方向、形状与y＝－x2的图象相同的是（ ） A．y＝（x－5）2 B．y＝x2－5 C．y＝－（x＋5）2 D．y＝（x＋5）2 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式：y=a(x-m)2+k，即可得到答案． 【详解】顶点坐标为（－5,0），且开口方向、形状与y＝－x2的图象相同的二次函数解析式为：y＝－（x＋5）2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，掌握二次函数的顶点式y=a(x-m)2+k，其中(m，k)是顶点坐标，是解题的关键． 5．（本题3分）将抛物线向右平移1个单位，再向下平移3个单位后得到的抛物线为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数平移规律“上加下减，左加右减”即可求解． 【详解】将抛物线先向右平移1个单位，得到， 再向下平移3个单位，得到的抛物线是，即． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键． 6．（本题3分）如图，是函数y＝ax2+bx+c的图象，则函数y＝ax+c，y＝，在同一直角坐标系中的图象大致为（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a＜0，c＜0，b24ac＞0，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下， ∴a＜0， ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象交y轴的负半轴， ∴c＜0， ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴一次函数y＝ax+c，图象经过第二、三、四象限， 反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 7．（本题3分）如图是二次函数的部分图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】观察函数图象在y=-1上和上方部分的x的取值范围便可． 【详解】解：由函数图象可知，当y≥-1时，二次函数不在y=-1下方部分的自变量x满足：-1≤x≤3， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 8．（本题3分）二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，下列结论中：①abc＞0；②2a＋b=0；③b2－4ac＞0；④a－b＋c＞0；⑤3a＋c＜0．正确的个数是(     ) ． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】①根据抛物线开口向下可得a＜0，对称轴在y轴右侧，得b＞0，抛物线与y轴正半轴相交，得c＞0，进而即可判断； ②根据抛物线对称轴是直线x=1，即-=1，可得b=-2a，进而可以判断； ③根据抛物线与x轴有两个交点可得结论； ④当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，即可判断； ⑤根据b=-2a，可得3a+c＜0，即可判断． 【详解】解：①根据抛物线开口向下可知： a＜0， 因为对称轴在y轴右侧， 所以b＞0， 因为抛物线与y轴正半轴相交， 所以c＞0， 所以abc＜0， 所以①错误； ②因为抛物线对称轴是直线x=1， 即-=1， 所以b=-2a， 所以b+2a=0， 所以②正确； ③∵抛物线与x轴有两个交点 ∴b2－4ac＞0 故③正确； ④当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0， 故④错误； ⑤因为抛物线对称轴是直线x=1， 即-=1， 所以b=-2a， 当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0， ∴3a＋c＜0 故⑤正确， ∴正确的有：②③⑤共3个， 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数图象和性质． 9．（本题3分）如图，正方形的边长为，点，点同时从点出发，速度均，点沿向点运动，点沿向点运动，则的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】研究两个动点到正方形各顶点时的相对位置，分段讨论函数解析式，根据函数图象即可得出结论． 【详解】解：根据两个动点的运动状态可知 （1）当0≤t≤1时，，此时抛物线开口向上； （2）当1≤t≤2时，，此时抛物线的开口向下． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、三角形面积公式以及分类讨论的数学思想，根据题意求出函数关系式是关键，注意分类讨论． 10．（本题3分）已知抛物线y＝3x2+bx+c与直线y＝﹣1只有一个公共点M，与平行于x轴的直线l交此抛物线A，B两点若AB=4，则点M到直线l的距离为（  ） A．11 B．12 C． D．13 【答案】B 【分析】根据题意可知，抛物线的顶点M（），则抛物线解析式为：，由AB=4，利用抛物线的对称性，得点A的横坐标为，代入解析式，求出纵坐标，然后求出点M到直线l的距离. 【详解】解：∵抛物线y＝3x2+bx+c与直线y＝﹣1只有一个公共点M， ∴点M为抛物线的顶点，其坐标为：（，）， 则抛物线解析式为：， ∵抛物线与平行于x轴的直线l交此抛物线A，B两点，且AB=4， ∴点A的横坐标为：，点B的横坐标为：， 把代入抛物线，得： ， ∴直线l为：， ∴点M到直线l的距离为：11﹣（﹣1）=12； 故选择：B. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及抛物线与直线的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确求出直线l的方程. 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）函数是关于x的二次函数，则m= 【答案】2 【分析】根据二次函数的定义可得，求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的定义，注意二次项系数不能为0． 12．（本题3分）二次函数与轴有一个交点，则的值为 . 【答案】9 【分析】二次函数的图象与x轴交点个数取决于△，△=0，图象与x轴有且只有一个交点，利用此公式直接求出m的值即可． 【详解】解：∵二次函数y=x2-6x+k的图象与x轴有且只有一个交点， ∴△=b2-4ac=（-6）2-4k=0， ∴k=9． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与x轴交点个数的判定方法，可以与一元二次方程的判别式相结合来解题． 13．（本题3分）二次函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x=1，a＞0，然后知x＜1时，y随x的增大而减小，x＞1时，y随x的增大而增大，再依据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，a=1＞0， ∴x＜1时，y随x的增大而减小，x＞1时，y随x的增大而增大． ∴在内，x=3时，y有最小值，此时． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴是解题的关键． 14．（本题3分）如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 ．    【答案】x＜1或x＞3 【分析】利用函数图象与不等式的关系可以求得不等式的解集. 【详解】数形结合知，二次函数比一次函数高的部分是x＜1或x＞3. 【点睛】利用一次函数图象和二次函数图象性质数形结合解不等式： 形如式不等式，构造函数=，，如果,找出比,高的部分对应的x的值,,找出比,低的部分对应的x的值. 15．（本题3分）火车进站刹车后滑行的距离(米)与滑行的时间(秒)的函数关系式是，要使火车刚好停在站台位置上，火车必须在离站台 米远处开始刹车． 【答案】 【分析】根据滑行的距离(米)与滑行的时间(秒)的函数关系式是，将二次函数的解析式变形为顶点坐标表示的解析式（顶点式）即可求解． 【详解】解：， ∴滑行的时间为秒时，滑行的距离S最大，最大值是米， ∴火车必须在离站台米远处开始刹车，才能使火车刚好停在站台位置上， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是将二次函数的解析式变形为顶点式求最值． 16．（本题3分）如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 ． 【答案】（，2） 【详解】∵点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上， ∴， 解得：， ∴ ∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD， ∴， 当y=2时，， 解得：或（舍去）， ∴点P的坐标． 故答案为：（，2） 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）已知二次函数y＝﹣2x+6．用配方法求函数图象的顶点坐标和对称轴． 【答案】顶点坐标为（2，4）对称轴为x＝2 【分析】根据配方法的步骤把一般式转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标． 【详解】解：y＝﹣2x+6＝（x2﹣4x+4+8）＝（x﹣2）2+4， 所以顶点坐标为（2，4）对称轴为x＝2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，配方法，二次函数的顶点式y＝a（x−h）2＋k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h． 18．（本题4分）已知点是抛物线上的点，且点在第一象限内，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了抛物线与点的关系，代入解析式计算，结合第一象限的条件取舍即可． 【详解】∵点是抛物线上的点， ∴， 解得或 ∵点在第一象限内， ∴． 19．（本题6分）如图是抛物线形拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4米，水位上升3米，就达到警戒线CD，这时水面CD宽4米．若洪水到来时水位以每小时0.25米的速度上升，那么水过警戒线后多少小时淹到拱桥顶？ 【答案】水过警戒线后12小时淹到拱桥顶． 【分析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线解析式为：，确定出点B、D的坐标并代入函数解析式，然后解方程组确定出a，h的值，然后确定出MN的长即可解决问题． 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系， 根据题意设抛物线解析式为： 将B（2，0），D（2，3）代入得， 解得：， ∴ ∴M（0，6）即OM=6m ∴，则（小时）． 答：水过警戒线后12小时淹到拱桥顶． 【点睛】本题考查了二次函数的应用．解题的关键在于求解二次函数解析式． 20．（本题6分）已知抛物线． (1)求证：无论为何值时此抛物线与轴总有两个不同的交点； (2)若、是抛物线与轴交点的横坐标且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）由函数关系式得出判别式的符号，进而得出答案； （2）根据根与系数的关系得到，，由变形得，则，进而得出答案． 【详解】（1）证明：， 由， ， 无论为何值时此抛物线与轴总有两个不同的交点； （2）解：解：根据题意得，， ， ， ， 整理得， 解得：，． 【点睛】此题主要考查了抛物线与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，正确应用根与系数的关系是解题的关键． 21．（本题8分）已知二次函数y＝x2﹣x﹣． （1）在平面直角坐标系内，画出该二次函数的图象； （2）根据图象写出：①当x　 　时，y＞0； ②当0＜x＜4时，y的取值范围为　 　． 【答案】（1）见解析；（2）①x＜﹣1或x＞3；②﹣2≤y＜． 【分析】（1）先把解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（1，2）；再分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象； （2）①利用函数图象写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可； ②先确定x＝4时，y＝，然后利用函数图象写出当0＜x＜4时对应的函数值的范围． 【详解】解：（1）∵y＝（x﹣1）2﹣2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）； 当x＝0时，y＝x2﹣x﹣＝﹣，则抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣） 当y＝0时， x2﹣x﹣＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0）， 如图， （2）①当x＜﹣1或x＞3时，y＞0； ②当0＜x＜4时，﹣2≤y＜； 故答案为x＜﹣1或x＞3；﹣2≤y＜． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质． 22．（本题10分）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米． (1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）； (2)若苗圃的面积为，求x的值； (3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？ 【答案】(1)（36-3x） (2)8 (3)当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米 【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，即得BC的长为（36-3x）米；（2）根据题意得，，即可解得x的值；（3）设苗圃的面积为w，，由二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米， BC的长为32-3x+4=（36-3x）米， 故答案为：（36-3x）； （2）根据题意得，， 解得，x=4或x=8， ∵当x=4时，36-3x=24>14， ∴x=4舍去， ∴x的值为8； （3）设苗圃的面积为w， ， ∵4<36-3x14， ∴， ∵-3<0，图象开口向下， ∴当时，w取得最大值，w最大为； 答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式． 23．（本题10分）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，经试销发现，该种洗手液每天的销售单价与销售量的对应关系如表所示： 销售单价（元/瓶） 16 17 18 19 20 销售量（瓶） 200 180 160 140 120 根据表中数据，解答下列问题： （1）从表中可以发现，该洗手液的销售单价每增加1元，销售量减少 瓶； （2）当销售单价为多少元时，才能使当天销售这款“免洗洗手液”的利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】 （1）20；（2）单价为21元时，利润最大为500元 【分析】（1）由表知，销售单价每增加1元，销售量减少的瓶数； （2）设每天的销售单价为x元，销售量为y瓶，销售利润为w元，则首先可得出y与x的函数关系式，再根据利润=一件的利润×数量，可得出利润w与销售单价x的函数关系式，从而由二次函数的性质即可求得最大利润． 【详解】（1））由表知，销售单价每增加1元，销售量减少20瓶； 故答案为：20； （2）设每天的销售单价为x元，销售量为y瓶，销售利润为w元 则y=200－20(x－16) 即y=－20x+520 ∴w=(x－16)y=(－20x+520)(x－16)= ∵－20<0 ∴当x=21时，函数有最大值，且最大利润为500元． 所以单价为21元时，利润最大为500元． 【点睛】 本题考查了一次函数二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系，并掌握二次函数的性质是解题的关键． 24．（本题12分）如图，抛物线与轴交于两点，． （1）求，的值． （2）观察函数的图象，直接写出当取何值时，． （3）设抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）＜或＞；（3）存在， 【分析】（1）把，代入，列方程组，从而可得答案； （2）由可得函数图象在轴的上方，结合图象可得答案； （3）由关于对称，连接 交对称轴于 则 则此时的周长最短，再求解的解析式，从而可得答案. 【详解】解（1） 抛物线与轴交于两点，， 解得： （2）由（1）得：抛物线为： 而，， 当时，函数图象在轴的上方，结合图象可得： ＜或＞ （3）存在，理由如下： 如图，抛物线为： 抛物线的对称轴为： 由抛物线的对称性可得：关于对称， 连接 交对称轴于 则 此时的周长最短， 设为： 为： 当时， 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解三角形的最短周长时点的坐标，灵活应用以上知识解题是关键. 25．（本题12分）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； （3）点是二次函数第四象限图象上一点，过点作轴的垂线，交直线于点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1）y=x2-4x+3；（2）或或；（3）最大值为，点， 【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解； （2）分当为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可； （3）利用，即可求解． 【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：； 故二次函数表达式为：； （2）①当为平行四边形一条边时，如图1， 则， 则点坐标为， 当点在对称轴左侧时，即点的位置，点、、、为顶点的四边形为平行四边形， 故：点或； ②当是四边形的对角线时，如图2， 中点坐标为 设点的横坐标为，点的横坐标为2，其中点坐标为：， 即：，解得：， 故点； 综上：点或或； （3）利用待定系数法求得直线的表达式为：， 设点坐标为，则点， ， ，故四边形面积有最大值， 当，其最大值为，此时点，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$