辽宁省名校联盟（东北三省三校）2024-2025学年高三上学期9月联合考试数学试卷

绝密★启用前 辽宁省名校联盟2024年高三9月份联合考试 数学 命题人：大连市第二十四中学 王辉 审题人：大连市第二十四中学 李响 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（ ） A. B. C. D.2 2.已知命题p：，，命题q：，则（ ） A. p和q都是真命题 B.和q都是真命题 C. p和都是真命题 D.和都是真命题 3.已知M，N为全集U的非空真子集，且M，N不相等，若，则（ ） A. B. C. D. 4.如图，有一个无盖的盛水的容器，高为H，其可看作将两个完全相同的圆台面积较大的底面去掉后对接而成.现从顶部向该容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为，则下列函数图像中最有可能是图像的是（ ） A B C D 5.已知等比数列的公比为q，则“”是“（）”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.若定义在上的偶函数在上单调递增，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7.已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图像关于直线对称，则（ ） A.–2 B.–1 C.2 D.1 8.已知函数，则当时，方程的不同的实数解的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知且，则（ ） A. B. C. D. 10.已知幂函数的图像经过点，下列结论正确的有（ ） A. B.是偶函数 C. D.若，则 11.表示不超过x的最大整数，例如，，，已知函数，下列结论正确的有（ ） A.若，则 B. C.设，则 D.所有满足（m，）的点组成的区域的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若，则a的取值范围是____________. 13.数列共有5项，前三项成等差数列，且公差为d，后三项成等比数列，且公比为q.若第1项为1，第2项与第4项的和为18，第3项与第5项的和为35，则____________. 14.已知a，b，c均为正数，，则的最大值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 已知数列是首项为3，公比为9的等比数列，数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前n项和. 16.（15分） 定义三阶行列式运算：，其中（i，）.已知，关于x的不等式的解集为M. （1）求M； （2）已知函数不存在最小值，求a的取值范围. 17.（15分） 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）设，当时，记在区间上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围. 18.（17分） 已知为数列的前n项和，为数列的前n项和，，，. （1）求的通项公式； （2）若，求n的最大值； （3）设，证明：. 19.（17分） 已知函数（e是自然对数的底数）. （1）若，求的极值； （2）若，，，求a； （3）利用（2）中求得的a，若，数列满足，且，证明：. 辽宁名校联盟高三9月联考数学 参考答案及解析 一、选择题 1.C【解析】由题意得.故选C项. 2.A【解析】对于p，取，则，所以p是真命题，对于q，利用分析法易得q是真命题.故选A项. 3.B【解析】由，得，又M，N不相等，所以，从而.故选B项. 4.D【解析】由题意得水面高度随时间增加而增加，结合容器的形状，水面高度增加的速度由快到慢再到快，由平均变化率的概念可知D项正确.故选D项. 5.D【解析】若，，则，但，充分性不成立；若，则，但，必要性不成立.综上，“”是“（）”的既不充分也不必要条件.故选D项. 6.B【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，，又，在上单调递增，所以.故选B项. 7.C【解析】因为函数的图像关于直线对称，且的图像由的图像向左平移一个单位长度得到，所以为偶函数，因为，所以，所以）是以8为一个周期的偶函数，所以，由，得.故选C项. 8.A【解析】由题意得当1时，，令，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递减，当时，，单调递增，易得当x从1的右侧无限趋近于1时，当，当时，，且.当时，，令，则，所以单调递减，由，得时，，单调递增，当时，，单调递减，又0，且当时，，当x从1的左侧无限趋近于1时，.所以函数的部分图像大致如图所示： 对于方程，设，则由，知一元二次方程的判别式一定大于0，又由两根之积为，得关于t的方程一定有一正根一负根，故结合的图像可知原方程一定有4个不同的实数解.故选A项. 二、选择题 9.BD【解析】由且，得0，解得，同理得，故A项错误，B项正确；对于C项，，当且仅当时，取等，故C项错误；对于D项，，故D项正确.故选BD项. 10.BCD【解析】设幂函数，由，得，所以，所以无意义，故A项错误；，所以是偶函数，故B项正确；由，得，故C项正确；因为是偶函数，且在上单调递减，所以由，得，即且解得且，故D项正确.故选BCD项. 11.ABD【解析】对于A项，若，则，则，，所以，故A项正确.对于B项，设，，，，则，又，所以，所以，所以故B项正确.对于C项，由题意得表示x轴，直线及曲线所围成区域的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数（不含x轴上的点），设函数和，可得函数和互为反函数，即两个函数的图像关于直线对称，由函数对称性可得y轴，直线及曲线围成的区域与以x轴，直线及曲线围成的区域所包含的整点一样多，如图所示： 则表示边长为20的正方形内整点的个数之和，其中有两个，且不含坐标轴上的点，所以整点的个数为，故C项错误.对于D项，当时，，，此时组成区域的面积为1；当时，，，此时组成区域的面积为1；当时，，，此时组成区域的面积为1；当时，，，此时组成区域的面积为1；当时，，，此时组成区域的面积为.综上，点组成区域的面积为，故D项正确.故选ABD项. 三、填空题 12.【解析】由题意，若，则无意义；若，得，此时，即，即，解得或.综上，a的取值范围是. 13.5【解析】由题意得该数列的项分别为1，，，，，又即从而，即，即，解得所以. 14.【解析】由题意，当且仅当时取等号，下面求的最大值. 解法一：设，则，代入，得，即，所以，从而得，即，又当，时，，所以的最大值为. 解法二：由，设，，，则，其中，，当时，取得最大值为. 解法三：设，，由，得，即，当且仅当，时取等. 解法四：数形结合，设，画出的图像，表示圆心在坐标原点，半径为的圆在第一象限内的部分，平移直线至与圆相切，此时直线的纵截距最大，即为所求. 四、解答题 15.解：（1）由题意得， （2分） 所以. （3分） 由， 得当时，， （5分） 所以，即. （6分） 又当时，也符合， 所以. （7分） （2）设， 则， （8分） （9分） 两式作差得， （10分） 即， （12分） 所以. （13分） 16.解：（1）， （3分） 所以且， （5分） 又， 所以原不等式的解集. （6分） （2）由（1）知， 所以 （7分） 所以当时，； （9分） 当时，. （10分） ①当，即时，，所以不存在最小值； （12分） ②当，即时，，因为不存在最小值，所以， 解得. （14分） 综上，a的取值范围是. （15分） 17.解：（1）由，得， （2分） 所以，所以， （4分） 所以，所以， （5分） 所以曲线在处的切线方程为，即. （6分） （2）由（1）可得， （7分） ， （8分） 因为，所以， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， （9分） 所以的最小值. （10分） 又，，所以， 从而的最大值， （12分） 所以设，则， （13分） 由，知，所以单调递增， 因为，， 所以的取值范围为. （15分） 18.（1）解：由，得，所以数列为等差数列， 所以，所以. （1分） 又，所以， 设的公差为d，即解得 （3分） 所以的通项公式是. （4分） （2）解：由（1）知，所以 （5分） ， （6分） ，（8分） 令，得， 设，则数列是递增数列. 又，， 所以n的最大值为5. （10分） （3）证明：由（2）知， 设，则， 所以是递增数列， 所以成立. （12分） 又， （13分） 所以当时，由，得， （14分） 所以 （16分） 综上，. （17分） 19.（1）解：由题意得， 则. （1分） 令，得， （2分） 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， （3分） 所以有极大值，无极小值. （4分） （2）解：因为，所以，从而，， 所以，即. （6分） 设，注意到， 所以，即为的极大值点. （7分） 由，令，得. （8分） 检验：当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以成立. 综上，. （9分） （不检验要扣1分） （3）证明：由（2）得，从而（）， 则 （10分） 令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，， （11分） 因为，所以，，…，， （12分） 令（）， 则， 所以在上单调递减，且， （13分） 因为， 又，所以， 所以，即， （14分） 所以， 即， 所以， 所以， （16分） 又， 所以， 即. （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $$