专题05 整式中的应用、规律、新定义型的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（北师大版2024）

专题05 整式中的应用、规律、新定义型的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、整式的加减实际应用问题 1 类型二、单项式的规律探究问题题 5 类型三、整式中的数字类规律探究问题 7 类型四、整式中的图形类规律探究问题 11 类型五、整式加减中的新定义型问题 15 压轴能力测评（15题） 19 解题知识必备 1. 整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【要点提示】（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 压轴题型讲练 类型一、整式的加减实际应用问题 例题：（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）某超市在元旦期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 低于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠，折后可使用30元优惠券 不低于500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠，折后可使用40元优惠券 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款______元． (2)若顾客在该超市一次性购物元，当低于500元但不低于200元时，他实际付款______元，当不低于500元时，他实际付款______元．（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示；两次购物王老师实际共付款多少元？ 【答案】(1) (2)， (3)元 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查列代数式，解答此类问题的关键是明确题意，列出形应的代数式. （1）根据题意可以求得甲顾客一次性购物元实际付款额； （2）根据题意可以用相应的代数式表示出题目中的问题； （3）根据题意可以求得丙顾客两次购物实际付款额. 【详解】（1）由题意可得： (元) ， 故答案为:； （2）由题意可得，当 时, 他实际付款: 元， 当时，他实际付款：元， 故答案为: ，； （3）由题意可得,元 , 即丙顾客两次购物实际付款合计元. 【变式训练1】（23-24七年级上·山东滨州·期中）对于任意两个数，的大小比较，有下面的方法：当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形的周长和图2中长方形的周长； (2)在（1）的条件下，若，用“作差法”比较的大小． 【答案】(1)， (2) 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，根据整式加减混合运算的运算顺序和运算法则计算即可． （1）根据长方形的周长公式进行计算即可； （2）求出的值，再判断其正负即可． 【详解】（1）， ； （2）， ， 因为， 所以， 所以， 所以． 【变式训练2】（23-24七年级上·天津和平·期中）如图，要围一个长方形菜园，共中一边是墙（墙足够长），其余的三边，，用篱笆，已知长为米，的长比少米．    (1)用，表示的长； (2)若安装篱笆的造价是每米元，当，的取值发生变化时，总造价发生变化吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)总造价不发生变化，篱笆总长为与，无关； 【知识点】整式加减的应用 【分析】（1）根据多项式加减直接列式求解即可得到答案； （2）计算出篱笆总长，即可得到答案； 【详解】（1）解：∵长为米，的长比少米， ∴， （2）解：由题意可得， 篱笆总长为：， ∴总价为：， ∴总造价不发生变化，篱笆总长为与，无关． 【点睛】本题考查多项式加减混合运算，解题的关键是根据题意及图形列代数式． 【变式训练3】（23-24七年级上·安徽滁州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形．其较短一边长为． (1)从图中可知，这5块完全相同的小长方形中，每块小长方形较长边的长是_______cm（用含的代数式表示）． (2)分别计算阴影，的周长（用含，的代数式表示）． (3)阴影与阴影的周长差会不会随着的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)阴影的周长为，阴影的周长为 (3)阴影与阴影的周长差不会随着的变化而变化，理由见解析 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式、整式加减法的应用； （1）利用大长方形的长减去形状、大小完全相同的小长方形的宽的3倍即可得； （2）先分别求出阴影的长与宽，再根据长方形的周长公式计算即可得的周长； （3）根据整式的加减法法则计算即可得． 【详解】（1）解：由图可知，每块小长方形较长边的长是， 故答案为：； （2）解：由图可知，阴影的长为，宽为， 阴影的长为，宽为， 则阴影的周长为， 阴影的周长为； （3）解：阴影与阴影的周长差为 ， 所以阴影与阴影的周长差不会随着的变化而变化． 类型二、单项式的规律探究问题题 例题：（23-24八年级下·青海西宁·开学考试）按一定规律排列的单项式：，第2024个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了与单项式有关的规律探索，观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】解：∵， ∴系数的规律为，指数的规律为n， ∴第n个单项式为：， 当时，单项式为， 故答案为：． 【变式训练1】（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）按一定规律排列的数依次为：，，，，…，其中，按此规律排列下去，第10个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式中的规律探究，根据已有单项式，得到第个单项式为：，进而求出第10个数即可． 【详解】解：观察可得：第个单项式为：， ∴第10个数是； 故答案为：． 【变式训练2】（23-24七年级上·浙江台州·期中）一组按规律排列的式子：，，，，…根据你发现的规律：写出第6个式子是 ，第个式子是 ．（为正整数） 【答案】 【分析】本题考查单项式规律的探究．观察可得：每一个式子都是分数形式，其中第奇数个式子为负，第偶数个式子为正；分母为，分子为，由此即可得出答案． 【详解】解：∵，，，、……， 第n个式子是， ∴第6个式子是， 故答案为：；． 【变式训练3】（24-25七年级上·全国·假期作业）观察下列关于的单项式：，，，， (1)直接写出第个单项式：___________； (2)第个单项式的系数和次数分别是多少？ (3)系数的绝对值为的单项式的次数是多少？ 【答案】(1) (2)系数是，次数是 (3) 【知识点】单项式的系数、次数、单项式规律题 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的单项式，探索出单项式的一般规律是解题的关键． （1）根据所给的式子，直接写出即可； （2）通过观察可得第个单项式为，当时，即可求解； （3）由题意可得，求出，再由（2）的规律求解即可． 【详解】（1）解：第5个单项式为， 故答案为：； （2）解：，，，， 第个单项式为， 第20个单项式为， 第20个单项式的系数是，次数是41； （3）解：系数的绝对值为2023， ∴ ， 次数为． 类型三、整式中的数字类规律探究问题 例题：（23-24七年级上·河北保定·期中）观察下列各式： 第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：． … 根据其规律，解答下列问题： (1)　　． (2)第n个式子为　　． (3)利用以上规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数计算中的规律问题，掌握“裂项”规律是解题关键，此题旨在考查学生的举一反三能力． （1）观察各等式左右两边的变化规律，即可求解； （2）第n个式子左边为：，右边为：； （3）利用所得规律即可“裂项”求解． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）解：第n个式子为： 故答案为：； （3）解：原式 ． ． 【变式训练1】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）试探索代数式与的关系． (1)当，时，分别求代数式与的值； (2)当，时，分别求代数式与的值； (3)从上述计算中，你发现了什么规律？ 当，时，请利用你发现的规律求代数式 的值． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了代数式的求值，从而发现规律是解决此题的关键． （1）把，分别代入与计算即可； （2）把，分别代入与计算即可； （3）由（1）（2）总结可得，再利用规律计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ． （2）当时， ， ； （3）归纳可得：； 当时，． 【变式训练2】（22-23六年级上·山东威海·期末）观察下面的等式： ； ； ； ； ． 回答下列问题： (1)填空：______； (2)设满足上面特征的等式最左边的数为a，请你直接写出此时的等式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，探索规律，能够通过所给的式子找到规律是解题的关键． （1）利用题干中等式的特征解答即可； （2）根据题目中给出的已知等式得出规律，写出等式最左边的数为a时的等式即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：； ； ； ； ； …… ． 【变式训练3】（23-24七年级上·湖北随州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第（取正整数）个等式：______（用含的等式表示）； (2)利用以上规律计算的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了数字的变化类、有理数的混合运算等知识点，明确题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）根据题目中给出的等式的规律，即可写出第n个等式； （2）先根据（1）得到的等式规律，然后运用乘法分配律解答即可． 【详解】（1）解： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 第n个等式：． 故答案为：． （2）解：由（1）的规律化解原式： ． 类型四、整式中的图形类规律探究问题 例题：（2024·安徽宣城·一模）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①，正方形的个数为8，周长为18． (1)推测第4个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________； (2)推测第n个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；（都用含n的代数式表示）． 【答案】(1)23，48 (2)， 【分析】本题主要考查了根据图示寻找规律，这类题型在中考中经常出现，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）依次数出，2，3，4时正方形的个数，算出图形的周长； （2）根据规律以此类推，可得出第个图形中，正方形的个数为及周长． 【详解】（1）解：（1）因为时，正方形有8个，即，周长是18，即， 时，正方形有13个，即，周长是28，即， 时，正方形有18个，即，周长是38，即， 时，正方形有23个，即，周长是48，即． （2）解：由（1）可知，时，正方形有个，周长是． 【变式训练1】（23-24七年级上·四川达州·期末）找规律： (1)小马利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … … 请问：当小马输入数据8时，输出的数据是（    ） (2)一张长方形桌子可坐6人，按下图方式讲桌子拼在一起．    ①2张桌子拼在一起可坐______人，3张桌子拼在一起可坐____人，n张桌子拼在一起可坐______人． ②一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人． 【答案】(1) (2)①；②共可坐112人 【分析】本题主要考查数字规律的运算，理解表格信息，图示信息，找出数量关系，掌握含有乘方的有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据表格信息，可得分子为，分母为，为大于零的整数，由此即可求解； （2）根据题意，把代入，可得5张桌子拼在一起可以坐的人数，再计算8大张桌子的人数，即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息，可得分子为，分母为，为大于零的整数， ∴输入时，输出的结果为， ∴当输入时，输出的结果为， 故答案为：； （2）解：①根据题意，2张桌子拼在一起可以坐8人，3张桌子拼在一起可以坐10人， ∴张桌子拼在一起可以坐：人， 故答案为：； ②当时，即5张桌子拼在一起时可以坐（人）， ∴8张大桌子可以坐（人）， ∴共可以坐112人． 【变式训练2】（2024七年级上·江苏·专题练习）观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为y． ①填表： n 1 2 3 4 5 … y            1 3 13 … ②当时， ． ③你能发现n与y之间的关系吗？ 【答案】①见解析；②57；③ 【分析】本题考查了图形类规律探索，找出一般规律是解题关键． ①根据已知图形数出黑点个数是解题关键； ②根据题意得出一般规律：图n黑点的个数是：，据此即可求解； ③根据②作答即可． 【详解】解：①由图形可知，时，；，， 填表如下： n 1 2 3 4 5 … y            1 3 7    13 21   … ②由题意可知，图1黑点的个数是：1； 图2黑点的个数是：； 图3黑点的个数是：； … 观察可知，图n黑点的个数是：， 即时，， 故答案为：57； ③由②可知，n与y之间的关系为． 【变式训练3】（2024·安徽马鞍山·二模）【观察思考】 用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有____________个圆形棋子； （2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）不能，理由见解析 【分析】本题主要考查数与形结合的规律，以及列代数式相关知识，发现每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个是解本题的关键． （1）观察得到每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，即可得出答案； （2）根据（1）中规律表示出第n个图形中的棋子数，即可得解； （3）由（2）中的规律可知，，解方程并分析即可解题． 【详解】（1）解：由图知，第1个图形中有个圆形棋子， 第2个图形中有个圆形棋子， 第3个图形中有个圆形棋子， 第4个图形中有个圆形棋子， ，依此类推， 第6个图形中有个圆形棋子， 故答案为：． （2）解：由（1）中规律可知，第个图形中有个圆形棋子， 故答案为：． （3）解：不能，理由如下： 由题知，，解得，不为整数． 2024个圆形棋子不能按照题中的规律一次性摆放． 类型五、整式加减中的新定义型问题 例题：（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）定义：若，则称 与是关于的相关数． (1)若与是关于的相关数，则______． (2)若与是关于 的相关数，，的值与无关，求的值． 【答案】(1)3 (2)8 【分析】（1）根据相关数的定义得到，从而得到a的值； （2）根据相关数的定义得到，从而，根据B的值与m无关得到，求出n的值，从而得到B的值． 本题考查了合并同类项，新定义问题，掌握与m无关就合并同类项后让m前面的系数等于0是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴ ∴ ∵B的值与m无关， ∴， ∴， ∴． 答：B的值为8． 【变式训练1】（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）定义：若，则称a与b是关于数n的平均数．比如3与是关于的平均数，7与13是关于10的平均数． (1)填空：2与_______是关于的平均数，______与是关于2的平均数； (2)现有与（k为常数），且a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，求n的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题： （1）根据所给的定义列式计算即可； （2）先根据整式的加减计算法则求出，再根据a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，得到，则，再由，即可求出答案． 【详解】（1）解：设2与m是关于的平均数， ∴， ∴； 设n与是关于2的平均数， ∴， ∴； 故答案为：；； （2）解：∵与， ∴ ， ∵a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）阅读理解题 我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”，如多项式，，，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9 (1)已知多项式，，则关于的“雅常值”是______； (2)多项式是多项式的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式，求多项式 (3)已知多项式（为常数），，是的“雅常式”，求关于的“雅常值” 【答案】(1)1 (2) (3)4 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可． （1）计算即可求解； （2）由题意得，据此即可求解； （3）计算，令含未知数的项的系数为零即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴关于的“雅常值”是1 故答案为： （2）解：多项式是的“雅常式”且“雅常值”是3， ， . （3）解： . 是的雅常式， ， ， ， 关于的“雅常值”是4. 【变式训练3】（23-24七年级上·江苏·周测）定义一种新运算“”：，比如：． (1)_____________；_____________； (2)当时，是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出一组的具体值加以说明； (3)若，比较与的大小． 【答案】(1)16， (2)不成立，说明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整式的加减，解题的关键是： （1）直接根据新定义，代入计算即可； （2），假设分别代入计算即可发现结论；； （3）化简和，再计算，根据结果分类讨论即可． 【详解】（1）解：； ； （2），假设 则：； ； 故不成立； （3） ； ； 当时，； 当时，； 当时，． 压轴能力测评（15题） 一、填空题 1．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）对两个有理数，定义新运算：．若，则的值为 ． 【答案】3 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题为新定义问题，考查了整式的加减等知识．根据新定义得到，结合即可求出． 【详解】解：由新定义得， 因为， ∴． 故答案为：3 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知，，，……，若符合前面式子的规律，则 ． 【答案】419 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解决此类探究性问题，解题的关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律． 观察可得，等式的前面为加法算式，前面加数与后面加数的分母为算式的序数加1，分母为分子的平方减1，据此规律解答即可． 【详解】，，，， ， ， ，， ， 故答案为：419． 3．（22-23七年级上·广东广州·期中）观察下面的一列单项式：，，，，…根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第n个单项式为 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】第个：，第个：，第个：，第个：，据此找出第个单项式即可求解． 【详解】解：由题意可知 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：； 第7个单项式为， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了探究单项式规律问题，找出规律是解题的关键． 4．（2024·湖北随州·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，写出第4个等式为 ，第n个等式为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 根据题意推导一般性规律即可． 【详解】解：由题意知，第4个等式为，第n个等式为， 故答案为：，． 5．（24-25七年级上·山东临沂·开学考试）古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把“形”与“数”联系在一起，下图是用“形”来表示“数”、请你认真观察：第1幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，第3幅图的点数为9，依次排下去，第10幅图的点数为 ，第n幅图的点数为 ． 【答案】 37 / 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形类的规律题．根据第1，2，3幅图的点数，可得到规律，即可求解． 【详解】解：第1幅图的点数为， 第2幅图的点数为， 第3幅图的点数为， 依次排下去， 第10幅图的点数为， 第n幅图的点数为． 故答案为：37； 二、解答题 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）有一列单项式：． (1)写出第99个，第2024个单项式； (2)写出第个，第个单项式． 【答案】(1)第99个单项式为，第2024个单项式为 (2)第个单项式为，第个单项式为 【知识点】单项式规律题 【分析】（1）根据题意得出规律：系数是连续的整数，次数和系数相同，即可得出答案； （2）根据（1）的规律解答即可． 【详解】（1）根据题意，得：第99个单项式为，第2024个单项式为； （2）第个单项式为，第个单项式为． 【点睛】本题考查了整式的规律探寻，找到规律是解题的关键． 7．（23-24六年级上·山东威海·期末）定义：若，则称与是关于的平衡数．例如：，所以1与2是关于3的平衡数；，所以10与是关于5的平衡数． (1)与是关于______的平衡数；与______是关于2的平衡数； (2)若，，判断与是否是关于3的平衡数，并说明理由． 【答案】(1)； (2)与是关于3的平衡数，理由见解析 【知识点】整式的加减运算、有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法、整式的加减，熟练掌握相关运算法则，理解题中新定义是解答的关键． （1）根据题中新定义和有理数的加法运算法则、整式的加减运算法则求解即可； （2）根据题中新定义和整式的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的平衡数， ∵， ∴与是关于2的平衡数， 故答案为：；； （2）解：与是关于3的平衡数，理由为： ， ∴与是关于3的平衡数． 8．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）观察下列各式：，，． (1)按照发现的规律填空：________； (2)你发现的规律是：________；（n为正整数） (3)用规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】本题考查离散值的变化规律，运用规律计算是关键． （1）根据所给算式的特点写出即可； （2）写出发现的规律通式即可； （3）运用规律计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴． 故答案为：； （2）． 故答案为：； （3）原式 9．（23-24七年级上·广东湛江·期中）按如下规律摆放三角形： (1)图有______个三角形，图有______个三角形，图有______个三角形． (2)按上述规律排列下去，第个图形中有多少个三角形？ (3)按上述规律排列下去，第个图形中有多少个三角形？ 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【知识点】图形类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（）观察图形即可求解； （）根据（）中的规律即可求解； （）把代入（）中的结果计算即可求解； 本题考查了图形的变化规律类问题，代数式求值，通过图形，找到变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由图形可得，图有个三角形，图有个三角形，图有个三角形， 故答案为：，，； （2）解：∵时，有个三角形，即个三角形， 时，有个三角形，即个三角形， 时，有个三角形，即个三角形， ∴第个图形中有个三角形； （3）解：当时，， ∴第个图形中有个三角形． 10．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）学校餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式： (1)当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐_______人，第二种摆放方式能坐_______人； (2)当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐_______人，第二种摆放方式能坐_______人； (3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有50张这样的餐桌，若你是老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？ 【答案】(1)22；14 (2)； (3)选择第一种方式；理由见解析 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索 【分析】本题考查规律型-数字问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． （1）旁边2人除外，每张桌可以坐4人，由此即可解决问题；旁边4人除外，每张桌可以坐2人，由此即可解决问题； （2）根据（1）中所得规律列式可得； （3）分别求出两种情形坐的人数，即可判断． 【详解】（1）解：当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐（人）， 第二种摆放方式能坐（人）； （2）解：第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人， 即有n张桌子时是； 第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人， 即． （3）解：选择第一种方式．理由如下； 第一种方式：50张桌子一共可以坐（人）； 第二种方式：50张桌子一共可以坐（人）； ∵， ∴选择第一种方式． 11．（23-24七年级上·四川达州·期末）观察下面的三行单项式 ，，，，… ，，，，… ，，，，… 根据你发现的规律，完成以下各题： (1)第行第个单项式为 ；第行第个单项式为 ． (2)第行第个单项式为 ． (3)取每行的第个单项式，令这三个单项式的和为．计算当时，的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、数字类规律探索、单项式规律题、整式的加减运算 【分析】本题考查数字的变化规律，能够通过所给例子，找到式子的规律，利用有理数的混合运算解题是关键． （1）观察所给的与式子可得的特点，第个数是，的特点，第个数是； （2）观察式子的特点，可得第个数是，即可求出解； （3）先求出，再将代入求出，最后再求即可． 【详解】（1）解：的特点，第个数是， 第个单项式是； 的特点，第个数是， 第个单项式是， 故答案为：，． （2）解：的特点，第个数是， 故答案为：． （3）解：的第个单项式是，的第个单项式是，的第个单项式是， ， 当时，， ． 12．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）阅读材料：以下给出求的值的方法． 解：设（1） 将等式两边同时乘2得：（2） 将（2）式和（1）式左右两边分别相减，可得： 此时，即． 请你仿照此法计算： (1)，结果用含幂的表达式给出； (2)（其中为正整数），结果使用含的表达式给出． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律． （1）根据所给的解答方式进行求解即可； （2）仿照所给的解答方式进行求解即可． 【详解】（1）解：设，将等式两边同时乘以3得： ， 将下式减去上式得 即； （2）解：设，将等式两边同时乘以3得： ， 将下式减去上式得， 即． 13．（23-24七年级上·四川资阳·期末）定义：如果整式与整式的和是一个常数，则称，为数的“绝佳整式”．如：与为数5的“绝佳整式”． (1)已知整式与整式为数2的“绝佳整式”，若，求整式； (2)已知关于的整式与为数的“绝佳整式”，求的值； (3)已知一个能被4整除的三位数的百位数字、十位数字、个位数字分别为，且关于的整式与为数的“绝佳整式”，求这个三位数． 【答案】(1) (2) (3)224或404或440 【知识点】整式的判断、整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是进行整式的加减计算． （1）根据“绝佳整式”的定义列式计算即可求解； （2）根据“绝佳整式”的定义得到，，依此计算即可求； （3）分两种情况：①当时；②当时，进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：整式与整式为数2的“绝佳整式”，， ； （2）与为数的“绝佳整式”， ， ； （3）①当时，由题意，得： ， 为十位数字和个位数字，且这个三位数能被4整除， 或， 这个三位数为404或440． ②当时，由题意，得：， ． 为百位数字和十位数字，且这个三位数能被4整除， 或 这个三位数为224或404． 综上所述，这个三位数为224或404或440． 14．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由．②求的“友好数”为__________． (2)若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数且，设的“友好数”为的倒数的“友好数”为的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 【答案】(1)①与3不是互为“友好数”，理由见解析；② (2) (3) 【知识点】相反数的定义、数字类规律探索、整式的加减运算 【分析】本题考查数字规律，整式的加减： （1）①根据“友好数”的定义即可求解；②根据“友好数”的定义即可求解； （2）有理数与互为“友好数”，与互为相反数，可知，，化简代数式即可求解； （3）根据题意计算出，由此即可找出数字规律求解． 【详解】（1）解：①与3不是互为“友好数”，理由如下： ∵， ∴与3不是互为“友好数”； ②∵， ∴， ∴的“友好数”为； 故答案为： （2）解：∵有理数与互为“友好数”，与互为相反数， ∴， ∴ （3）解：解：由题意得，当时，它的友好数， ∴， ∴这组数从开始4次一循环， ∵， ∴的值为． 15．（23-24九年级上·江西吉安·期末）九年级某班在学习了教材页的数学活动后，某数学小组经讨论组织了一次综合与实践活动，经历了如下过程： 将大小相同的标准小等边三角形按如图所示的方式进行摆放，根据图形中的规律，解决如下问题： 问题提出 （1）在下列三个图中，标准小等边三角形的个数分别是：图1中共有_______个，图2中共有_______个，图3中共有_______个； 操作发现 （2）按此规律摆放下去，猜想第四个图形中，共有标准小等边三角形的数为_______个； 数学思考 （3）按以上规律摆放下去，是否存在最后两个图形标准小等边三角形的个数总数为个的情况？如果存在，求最后这个图形中标准小等边三角形的个数；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）4，9，；（2）；（3）存在最后两个图形标准小等边三角形的个数总数为个的情况，且最后这个图形中标准小等边三角形的个数为个 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）根据图形求解作答即可； （2）根据，计算求解即可； （3）根据题意推导一般性规律，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，图1中共有4个，图2中共有9个，图3中共有个； 故答案为：4，9，； （2）解：由题意知，第四个图形中，共有标准小等边三角形的数为个，   故答案为：； （3）解：∵图1中共有 个， 图2中共有个， 图3中共有个； 图4中共有个； …… ∴图中共有个， 依题意得，， ∵， ∴， ∴存在，最后这个图形中标准小等边三角形的个数为个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 整式中的应用、规律、新定义型的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、整式的加减实际应用问题 1 类型二、单项式的规律探究问题题 5 类型三、整式中的数字类规律探究问题 7 类型四、整式中的图形类规律探究问题 11 类型五、整式加减中的新定义型问题 15 压轴能力测评（15题） 19 解题知识必备 1. 整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【要点提示】（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 压轴题型讲练 类型一、整式的加减实际应用问题 例题：（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）某超市在元旦期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 低于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠，折后可使用30元优惠券 不低于500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠，折后可使用40元优惠券 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款______元． (2)若顾客在该超市一次性购物元，当低于500元但不低于200元时，他实际付款______元，当不低于500元时，他实际付款______元．（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示；两次购物王老师实际共付款多少元？ 【变式训练1】（23-24七年级上·山东滨州·期中）对于任意两个数，的大小比较，有下面的方法：当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形的周长和图2中长方形的周长； (2)在（1）的条件下，若，用“作差法”比较的大小． 【变式训练2】（23-24七年级上·天津和平·期中）如图，要围一个长方形菜园，共中一边是墙（墙足够长），其余的三边，，用篱笆，已知长为米，的长比少米．    (1)用，表示的长； (2)若安装篱笆的造价是每米元，当，的取值发生变化时，总造价发生变化吗？为什么？ 【变式训练3】（23-24七年级上·安徽滁州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形．其较短一边长为． (1)从图中可知，这5块完全相同的小长方形中，每块小长方形较长边的长是_______cm（用含的代数式表示）． (2)分别计算阴影，的周长（用含，的代数式表示）． (3)阴影与阴影的周长差会不会随着的变化而变化？请说明理由． 类型二、单项式的规律探究问题题 例题：（23-24八年级下·青海西宁·开学考试）按一定规律排列的单项式：，第2024个单项式是 ． 【变式训练1】（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）按一定规律排列的数依次为：，，，，…，其中，按此规律排列下去，第10个数是 ． 【变式训练2】（23-24七年级上·浙江台州·期中）一组按规律排列的式子：，，，，…根据你发现的规律：写出第6个式子是 ，第个式子是 ．（为正整数） 【变式训练3】（24-25七年级上·全国·假期作业）观察下列关于的单项式：，，，， (1)直接写出第个单项式：___________； (2)第个单项式的系数和次数分别是多少？ (3)系数的绝对值为的单项式的次数是多少？ 类型三、整式中的数字类规律探究问题 例题：（23-24七年级上·河北保定·期中）观察下列各式： 第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：． … 根据其规律，解答下列问题： (1)　　． (2)第n个式子为　　． (3)利用以上规律计算：． 【变式训练1】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）试探索代数式与的关系． (1)当，时，分别求代数式与的值； (2)当，时，分别求代数式与的值； (3)从上述计算中，你发现了什么规律？ 当，时，请利用你发现的规律求代数式 的值． 【变式训练2】（22-23六年级上·山东威海·期末）观察下面的等式： ； ； ； ； ． 回答下列问题： (1)填空：______； (2)设满足上面特征的等式最左边的数为a，请你直接写出此时的等式． 【变式训练3】（23-24七年级上·湖北随州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第（取正整数）个等式：______（用含的等式表示）； (2)利用以上规律计算的值． 类型四、整式中的图形类规律探究问题 例题：（2024·安徽宣城·一模）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①，正方形的个数为8，周长为18． (1)推测第4个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________； (2)推测第n个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；（都用含n的代数式表示）． 【变式训练1】（23-24七年级上·四川达州·期末）找规律： (1)小马利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … … 请问：当小马输入数据8时，输出的数据是（    ） (2)一张长方形桌子可坐6人，按下图方式讲桌子拼在一起．    ①2张桌子拼在一起可坐______人，3张桌子拼在一起可坐____人，n张桌子拼在一起可坐______人． ②一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人． 【变式训练2】（2024七年级上·江苏·专题练习）观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为y． ①填表： n 1 2 3 4 5 … y            1 3 13 … ②当时， ． ③你能发现n与y之间的关系吗？ 【变式训练3】（2024·安徽马鞍山·二模）【观察思考】 用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有____________个圆形棋子； （2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由． 类型五、整式加减中的新定义型问题 例题：（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）定义：若，则称 与是关于的相关数． (1)若与是关于的相关数，则______． (2)若与是关于 的相关数，，的值与无关，求的值． 【变式训练1】（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）定义：若，则称a与b是关于数n的平均数．比如3与是关于的平均数，7与13是关于10的平均数． (1)填空：2与_______是关于的平均数，______与是关于2的平均数； (2)现有与（k为常数），且a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，求n的值． 【变式训练2】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）阅读理解题 我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”，如多项式，，，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9 (1)已知多项式，，则关于的“雅常值”是______； (2)多项式是多项式的“雅常式”且“雅常值”是3，已知多项式，求多项式 (3)已知多项式（为常数），，是的“雅常式”，求关于的“雅常值” 【变式训练3】（23-24七年级上·江苏·周测）定义一种新运算“”：，比如：． (1)_____________；_____________； (2)当时，是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出一组的具体值加以说明； (3)若，比较与的大小． 压轴能力测评（15题） 一、填空题 1．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）对两个有理数，定义新运算：．若，则的值为 ． 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知，，，……，若符合前面式子的规律，则 ． 3．（22-23七年级上·广东广州·期中）观察下面的一列单项式：，，，，…根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第n个单项式为 ． 4．（2024·湖北随州·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，写出第4个等式为 ，第n个等式为 ． 5．（24-25七年级上·山东临沂·开学考试）古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把“形”与“数”联系在一起，下图是用“形”来表示“数”、请你认真观察：第1幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，第3幅图的点数为9，依次排下去，第10幅图的点数为 ，第n幅图的点数为 ． 二、解答题 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）有一列单项式：． (1)写出第99个，第2024个单项式； (2)写出第个，第个单项式． 7．（23-24六年级上·山东威海·期末）定义：若，则称与是关于的平衡数．例如：，所以1与2是关于3的平衡数；，所以10与是关于5的平衡数． (1)与是关于______的平衡数；与______是关于2的平衡数； (2)若，，判断与是否是关于3的平衡数，并说明理由． 8．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）观察下列各式：，，． (1)按照发现的规律填空：________； (2)你发现的规律是：________；（n为正整数） (3)用规律计算：． 9．（23-24七年级上·广东湛江·期中）按如下规律摆放三角形： (1)图有______个三角形，图有______个三角形，图有______个三角形． (2)按上述规律排列下去，第个图形中有多少个三角形？ (3)按上述规律排列下去，第个图形中有多少个三角形？ 10．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）学校餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式： (1)当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐_______人，第二种摆放方式能坐_______人； (2)当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐_______人，第二种摆放方式能坐_______人； (3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有50张这样的餐桌，若你是老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？ 11．（23-24七年级上·四川达州·期末）观察下面的三行单项式 ，，，，… ，，，，… ，，，，… 根据你发现的规律，完成以下各题： (1)第行第个单项式为 ；第行第个单项式为 ． (2)第行第个单项式为 ． (3)取每行的第个单项式，令这三个单项式的和为．计算当时，的值． 12．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）阅读材料：以下给出求的值的方法． 解：设（1） 将等式两边同时乘2得：（2） 将（2）式和（1）式左右两边分别相减，可得： 此时，即． 请你仿照此法计算： (1)，结果用含幂的表达式给出； (2)（其中为正整数），结果使用含的表达式给出． 13．（23-24七年级上·四川资阳·期末）定义：如果整式与整式的和是一个常数，则称，为数的“绝佳整式”．如：与为数5的“绝佳整式”． (1)已知整式与整式为数2的“绝佳整式”，若，求整式； (2)已知关于的整式与为数的“绝佳整式”，求的值； (3)已知一个能被4整除的三位数的百位数字、十位数字、个位数字分别为，且关于的整式与为数的“绝佳整式”，求这个三位数． 14．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由．②求的“友好数”为__________． (2)若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数且，设的“友好数”为的倒数的“友好数”为的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 15．（23-24九年级上·江西吉安·期末）九年级某班在学习了教材页的数学活动后，某数学小组经讨论组织了一次综合与实践活动，经历了如下过程： 将大小相同的标准小等边三角形按如图所示的方式进行摆放，根据图形中的规律，解决如下问题： 问题提出 （1）在下列三个图中，标准小等边三角形的个数分别是：图1中共有_______个，图2中共有_______个，图3中共有_______个； 操作发现 （2）按此规律摆放下去，猜想第四个图形中，共有标准小等边三角形的数为_______个； 数学思考 （3）按以上规律摆放下去，是否存在最后两个图形标准小等边三角形的个数总数为个的情况？如果存在，求最后这个图形中标准小等边三角形的个数；如果不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$