第5章 平面直角坐标系（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版）

第5章 平面直角坐标系（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．在电影院里，如果用表示3排10号，那么7排8号可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．若点在 y 轴上，则点，的坐标为(        ) A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点关于x轴的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“馬”的坐标为，“車”的坐标为，则“炮”的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的位置是（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．在平面直角坐标系中，点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．在平面直角坐标系中，将点沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．点在第二象限内，且到轴轴的距离分别为和，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．如图，平面直角坐标系中，，若，且点在轴正半轴上，则点的坐标为（      ） A． B． C． D． 10．如图，点A在y轴正半轴及x轴正半轴上交替运动，点A从原点出发，依次跳动至点，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．如果点和点关于x轴对称，那么的值是 ． 12．已知点在平面直角坐标系中第一象限内，若点P到x轴的距离为3，则点P到y轴的距离为 ． 13．点向右平移1个单位，所得到的点的坐标为 ． 14．若点在第四象限，则m的取值范围是 . 15．点和关于轴对称，则 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，轴，顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，如果要使与全等，那么点在第二象限的坐标为 ． 17．坐标平面内一点，点O是原点，点P是x轴上一个动点，如果为等腰三角形，那么符合条件的动点P坐标为 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线l与轴交于点，与轴交点于，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，按此规律进行下去，则点的横坐标是 ．    三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从到记为，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中（ ， ），（ ， ），D→ ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置； (3)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程． 20．如图1是路桥区地图的一部分，其示意图如图2．分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，已知黄石公园A的坐标为． (1)分别写出路桥区政府B，街心公园C的坐标； (2)连接，平移线段，使点A和点B重合，在图2中画出点C的对应点D，并写出点D的坐标． 21．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形，并写出的坐标________； (2)已知点，请在轴上找到一点且的值最小（作图）． 22．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在y轴上，求出点A的坐标； (2)若点A在x轴上方且到x轴的距离为5，求出点A的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴的正半轴上，线段的垂直平分线分别交轴，轴于点，，垂足为，且， (1)求线段的长； (2)求点D的坐标． 24．已知：在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为1． (1)求点的坐标； (2)若轴，且点到轴的距离与点到轴的距离相等，直接写出点和点的坐标； (3)若轴，且，求出D点的坐标． 25．如图，在直角坐标系中，有一点自处向上运动个单位至，然后向左运动个单位至处，再向下运动个单位至处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至乃处，，如此继续运动下去，设    (1)依次写出、、、、、的坐标：______． (2)计算的值，直接写出的值； (3)当时，写出的特征，直接写出的坐标． 26．在平面直角坐标系中，若点与轴的距离为个单位长度（），将点向右平移个单位长度得到点，则我们将点叫作点的“距移点”．例如：点与轴的距离为为个单位长度，将点向右平移个单位长度得到点，则我们将点叫作点的“距移点”．再如，点与轴的距离为为个单位长度，将点向右平移个单位长度得到点，则我们将点叫作点的“距移点”． 请根据“距移点”的定义回答下列问题． (1)点的“距移点”坐标为__________； (2)点的“距移点”是其本身，__________． (3)位于第二象限的点的“距移点”在轴上，__________； (4)若点与其“距移点”，关于轴对称，则__________． (5)如图，点，与原点构成，动点从点出发，沿着最终回到点并停止运动，在点的运动过程中，其“距移点”也随之运动，请在下图中画出的完整运动路线图，并在路线图顶点处用，，，，，等大写英文字母标记出来． 27．平面直角坐标系中，为等边三角形，点，为中点，，点在射线上运动，连接．    (1)如图1，当点与点O重合时，点在轴上，且，则________；点坐标为____________；________； (2)如图2，当点在如图位置时，，点在轴上，且，求出点坐标（用含的式子表示）； (3)如图3，将绕点逆时针旋转得到，当点运动时，求的最小值． 28．【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C是x轴上的一个动点．当点C在x轴上移动时，始终保持是等腰直角三角形，且（点A、C、P）按逆时针方向排列）；当点C移动到点O时，得到等腰直角三角形（此时点P与点B重合）． 【初步探究】 （1）写出点B的坐标________． （2）点C在x轴上移动过程中，当等腰直角三角形的顶点P在第四象限时，连接．求证：． 【深入探究】 （3）当点C在x轴上移动时，点P也随之运动．经过探究发现，点P的横坐标总保持不变，请直接写出点P的横坐标：________． 【拓展延伸】 （4）点C在x轴上移动过程中，当为等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 平面直角坐标系（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．在电影院里，如果用表示3排10号，那么7排8号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用有序实数对表示位置，理解题意，弄清排，号的顺序是解题的关键． 根据用表示3排10号，可将7排8号用有序实数对表示出来． 【详解】解：用表示3排10号， 排8号可以表示为， 故选：B． 2．若点在 y 轴上，则点，的坐标为(        ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标的特征，记住坐标轴上点的坐标的特征是解题的关键． 根据y轴上点的横坐标为0求出a，再求出点P的坐标即可解答． 【详解】解：∵点在 y 轴上， ， 点， 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点关于x轴的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质以及平移的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 直接利用平移的性质得出对应点坐标，再利用关于轴对称点的性质得出答案． 【详解】解：∵将点向右平移2个单位后， ∴平移后的坐标为， ∴得到的点关于轴的对称点坐标是． 故选：B． 4．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“馬”的坐标为，“車”的坐标为，则“炮”的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据“馬”和“車”的坐标建立坐标系，进而得到“炮”的坐标即可． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系， ∴炮”的坐标为， 故选：C． 5．以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的位置是（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知点的坐标判断其所在象限．掌握解二元一次方程组的方法和各象限内点的坐标特点是解题关键． 求出该二元一次方程组的解，再根据各象限内点的坐标特点选择即可． 【详解】解：， 由①得，③， 把③代入②得，， 解得， 把代入①，得， 原方程组的解为， 点在第四象限． 故选：D． 6．在平面直角坐标系中，点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．根据各个象限的点的坐标的符号特点判断即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点位于第二象限． 故选：B． 7．在平面直角坐标系中，将点沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【详解】点沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为 故选：B． 8．点在第二象限内，且到轴轴的距离分别为和，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点的坐标．熟知点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值；点到轴的距离为点的横坐标的绝对值是解题的关键．本题先得到的横纵坐标可能的值，进而根据点在第二象限的符号特点可得具体坐标． 【详解】解：设， 根据题意得：，， ∵点在第二象限内， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A． 9．如图，平面直角坐标系中，，若，且点在轴正半轴上，则点的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形性质，能根据所给点的坐标得出及的长是解题的关键． 根据所给点的坐标可得出的长，进而得出的长，最后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：点坐标为，点坐标为， ，． 又， ． 在中，， 点的坐标为． 故选：． 10．如图，点A在y轴正半轴及x轴正半轴上交替运动，点A从原点出发，依次跳动至点，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查规律探索，根据已知的点坐标，对点分组找出规律是解题的关键． 根据已知点的坐标特征，将连续的4个点看成一组，由第1组，第2组确定组内点的位置特征、点坐标与组序数的联系；以此类推，，故点是第506组的第4个点，则在y轴上，其非零坐标即横坐标为． 【详解】解：根据题意，将连续的4个点A看成一组， 第1组：，，，，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为1，后两个点的非零坐标为2；其中，，； 第2组：，，，，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为3，后两个点的非零坐标为4；其中，，； …… 以此类推，，则点是第506组的第4个点，则在轴上，其非零坐标即横坐标为1012， 故点的坐标是， 故选：C． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．如果点和点关于x轴对称，那么的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查两点关于x轴对称的点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标相同． 两点关于x轴对称，纵坐标应互为相反数． 【详解】解：点和点关于x轴对称， ， ∴， 故答案为：6． 12．已知点在平面直角坐标系中第一象限内，若点P到x轴的距离为3，则点P到y轴的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查各象限内点的坐标特点，点到坐标轴的距离． 根据点P在第一象限，且到x轴的距离为3，可得，求解得到m的值，从而得到点P的坐标，进而即可解答． 【详解】解：∵点在第一象限，且到x轴的距离为3， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为，到y轴的距离为3． 故答案为：3 13．点向右平移1个单位，所得到的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标系中点的平移规律．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移规律可得答案． 【详解】解：将点向右平移1个单位， 即横坐标加1，纵坐标不变． ∴所得到的点的坐标为． 故答案为：． 14．若点在第四象限，则m的取值范围是 . 【答案】/ 【分析】本题考查了点所在的象限求参数，根据平面直角坐标系中，第四象限内的点的纵坐标小于0即可求解． 【详解】 解：点在第四象限，， 解得， 故答案为： 15．点和关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，可得，，据此求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点和关于轴对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，轴，顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，如果要使与全等，那么点在第二象限的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，性质勾股定理，坐标与图形，是综合性较强，难度较大的综合题，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解决本题的关键．因为与有一条公共边，由与全等，点在第二象限时，得，，，进而证明（）得，从而判定得点的横坐标为设点坐标为，由，的坐标为，点的坐标为利用勾股定理计算，即可得出答案． 【详解】解：与有一条公共边，令交于点， ∵要使与全等，点在第二象限时， ∴，，， ∵， ∴（） ∴， ∵， ∴ ∴， 点的横坐标为 设点坐标为， ∵，的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴ 解得或（舍去） ∴点坐标为， 故答案为：． 17．坐标平面内一点，点O是原点，点P是x轴上一个动点，如果为等腰三角形，那么符合条件的动点P坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查坐标与图形，分三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点P是x轴上一个动点， ∴设， ∴，， 当时，则：， ∴， ∴； 当时，则：， 解得：（舍掉）或， ∴， 当时，则：， 解得：； ∴； 故答案为：或或． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线l与轴交于点，与轴交点于，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，按此规律进行下去，则点的横坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形等，过作于A，过作于B，过作于C，根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，可得的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，进而可得的横坐标为，由此可解． 【详解】解：如图所示，过作于A，则，      即的横坐标为， ∵， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， 过作于B，则， 即的横坐标为， 过作于C， 同理可得，，， 即的横坐标为， 同理可得，的横坐标为， 由此可得的横坐标为， ∴点的横坐标是． 故答案为：． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从到记为，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中（ ， ），（ ， ），D→ ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置； (3)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)甲虫走过的路线长为 【分析】本题考查了正负数和点坐标规律的探索，理解题意题意是解题的关键． （1）根据规定及实例可知记为，记为，记为； （2）按题目所示平移规律分别向右向上平移个格点，再向右平移个格点，向下平移个格点；向左平移个格点，向上平移个格点；向左平移个向下平移两个格点即可得到点的坐标，在图中标出即可； （3）根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长． 【详解】（1）解：规定：向上向右走为正，向下向左走为负， 可得记为，记为，记为； 故答案为，，． （2）点位置如图所示： （3）据已知条件可知：表示为：，记为，记为； 该甲虫走过的路线长为． 20．如图1是路桥区地图的一部分，其示意图如图2．分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，已知黄石公园A的坐标为． (1)分别写出路桥区政府B，街心公园C的坐标； (2)连接，平移线段，使点A和点B重合，在图2中画出点C的对应点D，并写出点D的坐标． 【答案】(1)， (2)画图见解析， 【分析】本题考查了坐标与图形，平移等知识，解题的关键是∶ （1）直接利用点A坐标得出原点位置，进而得出各点的坐标． （2）利用平移的性质描出点D，然后连接即可． 【详解】（1）解：根据题意，得路桥区政府B的坐标为，街心公园C的坐标为； （2）解：如图，点D即为所求， ， 由图知D的坐标为． 21．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形，并写出的坐标________； (2)已知点，请在轴上找到一点且的值最小（作图）． 【答案】(1)，画图见解析 (2)，画图见解析 【分析】本题考查直角坐标系中的描点，轴对称作图，最短距离问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据对称点连线被对称轴垂直平分画图，根据图形即可得到的坐标； （2）找到点关于轴的对称点，连接交轴于一点即为点，根据图形求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据对称点连线被对称轴垂直平分分别作、、三点的对称点、、，连接、、，如图所示： 由图形可得：； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于一点即为点，如图所示： 由图可得：． 22．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在y轴上，求出点A的坐标； (2)若点A在x轴上方且到x轴的距离为5，求出点A的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键． （1）由y轴上的点的横坐标为0，可得，从而可解得a的值，再将a的值代入计算，则可得答案； （2）根据点到x轴的距离等于5即为纵坐标的绝对值为5，求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点A在y轴上， ， ， ， ∴点A的坐标为； （2）解：∵点A到x轴的距离为5，点A在x轴上方 ， 解得， ， 即点A的坐标为． 23．如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴的正半轴上，线段的垂直平分线分别交轴，轴于点，，垂足为，且， (1)求线段的长； (2)求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在，在 即，代入数值进行计算求出长，再利用勾股定理求出即可； （2）利用线段垂直平分线的性质得到，在中利用勾股定理求出长即可得到点坐标． 本题考查了坐标与图形性质，垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理正确计算是关键． 【详解】（1）解：如图： 垂直平分，且． ，，，， 设， 在 在 即 即 ， 在中，由勾股定理得： ， （2）解：连接，根据题意， 即， 设，则，由勾股定理得： ，解得：． ． 24．已知：在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为1． (1)求点的坐标； (2)若轴，且点到轴的距离与点到轴的距离相等，直接写出点和点的坐标； (3)若轴，且，求出D点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查直角坐标系，解题的关键是掌握点到坐标轴的距离，点所在象限的特征，当轴时，轴时，点的坐标特点，坐标轴上两点间的距离． （1）根据题意可求得，的值，代入到中即可解题； （2）根据题意可得，，根据点坐标解题即可，注意点坐标不能与点坐标重合； （3）根据题意可得，，根据点坐标解题即可． 【详解】（1）解：点在第四象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为1， ，， 解得：，， 为即； （2）解：由题可知：点坐标为， 轴，且点到轴的距离与点到轴的距离相等， ，，当时，点与点重合， ，； （3）解：由题可知：点坐标为， 轴，且， ，， 或． 25．如图，在直角坐标系中，有一点自处向上运动个单位至，然后向左运动个单位至处，再向下运动个单位至处，再向右运动个单位至处，再向上运动个单位至乃处，，如此继续运动下去，设    (1)依次写出、、、、、的坐标：______． (2)计算的值，直接写出的值； (3)当时，写出的特征，直接写出的坐标． 【答案】(1)，，，，， (2)1008 (3)（m为自然数）， 【分析】本题考查坐标规律，数字规律，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系结合各点横坐标即可得出答案； （2）根据，，进而得出答案；根据，，…，，…，，进而得出答案； （3）观察规律得点，进一步求出结论． 【详解】（1）解：根据平面直角坐标系结合各点横坐标，得： ，，，，，， 故答案为：，，，，，． （2）解：∵，， ∴； ∵，，…，，…， ∵， ∴， ， ∴． （3）解：观察每组中的点的坐标可发现： 第1组中第2个点为中，，记作， 第2组中第2个点为中，，记作， 第3组中第2个点为中，，记作， 总结规律：点， 当时，则（m为自然数）， ， 点，即． 26．在平面直角坐标系中，若点与轴的距离为个单位长度（），将点向右平移个单位长度得到点，则我们将点叫作点的“距移点”．例如：点与轴的距离为为个单位长度，将点向右平移个单位长度得到点，则我们将点叫作点的“距移点”．再如，点与轴的距离为为个单位长度，将点向右平移个单位长度得到点，则我们将点叫作点的“距移点”． 请根据“距移点”的定义回答下列问题． (1)点的“距移点”坐标为__________； (2)点的“距移点”是其本身，__________． (3)位于第二象限的点的“距移点”在轴上，__________； (4)若点与其“距移点”，关于轴对称，则__________． (5)如图，点，与原点构成，动点从点出发，沿着最终回到点并停止运动，在点的运动过程中，其“距移点”也随之运动，请在下图中画出的完整运动路线图，并在路线图顶点处用，，，，，等大写英文字母标记出来． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)见解析． 【分析】（）根据“距移点”的定义进行计算即可； （）根据“距移点”的定义得出点的“距移点”为，进而得出，进而求出答案； （）根据点第二象限， 可得， 再根据点的“距移点”在轴上， 得出，进而得出答案； （）由点与其“距移点”关于轴对称，得出再进行计算即可； （）根据“距移点”的定义，分别求出动点从点出发，在线段，，上时相应的“距移点”的坐标，从而确定“距移点”的位置即可； 本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标特征，平移的性质，象限特点，掌握关于轴、轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】（1）由“距移点”的定义可知，点的“距移点”坐标为，即， 故答案为：； （2）由“距移点”的定义可知，点的“距移点”为， ∵点的“距移点”是其本身， ∴，解得：， 故答案为：； （3）∵点第二象限， ∴， 又∵点的“距移点”在轴上， ∴，解得：， 故答案为：； （4）∵由点与其“距移点”关于轴对称， ∴，解得：， 故答案为：； （5）点的“距移点”为， 当点在上移动时，其“距移点”相应的在上移动， 同理可得当点在上移动时，其“距移点”相应的在上移动， 当点在上移动时，其“距移点”相应的在上移动， 当点在上移动时，其“距移点”相应的在上移动，点的运动路线图详见图示： 27．平面直角坐标系中，为等边三角形，点，为中点，，点在射线上运动，连接．    (1)如图1，当点与点O重合时，点在轴上，且，则________；点坐标为____________；________； (2)如图2，当点在如图位置时，，点在轴上，且，求出点坐标（用含的式子表示）； (3)如图3，将绕点逆时针旋转得到，当点运动时，求的最小值． 【答案】(1)，，； (2)； (3) 【分析】（1）过点A作交于点H，根据等边三角形的性质可得，，进而得到，由，求出，即可求出，根据为中点，结合可得，进而求出，即可得到点Q的坐标，再根据等边三角形的性质即可求出； （2）取中点，连接，利用等边三角形的性质证明，即可得出结论； （3）连接，在上取一点，使，连接，延长交延长线于点，证明，得到，即运动时，与定线夹角始终为，当在点时，点在点，故点运动轨迹为射线， 根据垂线段最短，过作于，当在的位置时，有最小值．证明，得到，由，求出，即可得到的最小值为． 【详解】（1）解：过点A作交于点H，   为等边三角形，， ，， ， ， ， 为中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：取中点，连接， 为等边三角形， 为中点，为中点 ， ， 又， 为等边三角形 ，    在和中， ； （3）解：连接，在上取一点，使，连接，延长交延长线于点 为等边三角形， 又为中点， 在和中， ，即运动时，与定线夹角始终为 当在点时，点在点，故点运动轨迹为射线， 根据垂线段最短，过作于，当在的位置时，有最小值． ． 在和中， ， ，即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 28．【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C是x轴上的一个动点．当点C在x轴上移动时，始终保持是等腰直角三角形，且（点A、C、P）按逆时针方向排列）；当点C移动到点O时，得到等腰直角三角形（此时点P与点B重合）． 【初步探究】 （1）写出点B的坐标________． （2）点C在x轴上移动过程中，当等腰直角三角形的顶点P在第四象限时，连接．求证：． 【深入探究】 （3）当点C在x轴上移动时，点P也随之运动．经过探究发现，点P的横坐标总保持不变，请直接写出点P的横坐标：________． 【拓展延伸】 （4）点C在x轴上移动过程中，当为等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）1；（4）或或或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，，题干中已知A点坐标，即可求得的长度，表示出B点坐标即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，再根据等角的余角相等，得出角，最后利用三角形全等的判定方法进行判定即可. （3）根据（2）的结论也为直角三角形，且，且，即可得出P点的横坐标. （4）先根据题意，确定B点、A点坐标，设出P点和C点坐标，分情况进行讨论，当时，当时，当时，分别利用两点间距离公式求出点P点的坐标，然后分别算出的长，最后利用计算出C点坐标即可． 【详解】解：（1）∵点A的坐标为，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴B点坐标为； （2）证明：在等腰直角三角形中，，，在等腰直角三角形中，，， ， ， ， 在和中， ， ； （3）（已证）， ∴， ∴，P点在过B点且垂直与的垂线上， ∵点B的坐标为， ∴P点的横坐标为1； （4）由题意和（1）可知， 设，， ∴， ， ， 当时，， ∴， 解得:（舍去）或， ∴此时， ∴， ∵点A、C、P按逆时针方向排列， ∴； 当时，， ， 解得：或， ∴此时点P的坐标为或， ∵ ∴此时， ∴， ∵点A、C、P按逆时针方向排列， ∴当点P的坐标为时，点C的坐标为； 当点P的坐标为时，点C的坐标为； 当时，， ∴， 解得：， ∴点坐标为， ∴此时， ∴， ∵点A、C、P按逆时针方向排列， ∴此时点C的坐标为； 综上分析可知：点C的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全的的判定方法，计算两点间距离，动点问题，解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，能够得到相等的线段和角，动点问题要注意分类进行讨论，根据情况确定答案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$