专题04 一次函数的应用重难点题型专训（5大题型+18道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题05 一次函数的应用重难点题型专训（大题型+18道拓展培优） 题型一 方案分配问题 题型二 最大利润问题 题型三 行程问题 题型四 几何问题 题型五 其他综合性问题 【经典例题一 方案分配问题】 1．一家电信公司给顾客提供两种上网计费方式．方式A：以每分钟0.1元的价格按上网所用时间计费；方式B：除收每月基本费用20元外，再以每分钟0.05元的价格按上网所用的时间计费． (1)设上网所用时间为分钟，选择方式A时，计费为元，选择方式B时计费为元，请分别写出，与之间的关系式： (2)小王准备在两种上网方式中选择一种，请你帮他选择上网方案． 2．周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． 3．某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； (2)求出与的函数关系式； (3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 4．某运输公司安排甲、乙两种货车18辆恰好一次性将256吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表： 货车 类型 载重量 （吨/辆） 运往A地的成本 （元/辆） 运往B地的成本 （元/辆） 甲种 16 1200 900 乙种 12 1000 750 (1)求甲、乙两种货车各用了多少辆？ (2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．当t为何值时，w最小？最小值是多少？ 5．学校准备举行社团活动，需要向商家购买 A、B两种型号的文化衫50件．已知170元恰好可以买到一件A型文化衫和5件B型文化衫；159元恰好可以买到3件A型文化衫和2件B型文化衫． (1)求A、B两种型号的文化衫每件的价格分别为多少元？ (2)若用于购买A，B两种型号文化衫的金额不少于1500元但不超过1530元，请问一共有几种购买方案？ (3)试问在（2）的条件下，学校采用哪种购买方案花费最少？最少是多少元？ 6．央视春晚是当之无愧的顶级晚会，龙年春晚分会场之一花落长沙，长沙首次站在春晚的舞台，向全世界释放千年古城的魅力，展示青春朝气的风采，为了让社区群众有更好的观看体验，某街道办计划购买A、B两种晚会道具布置社区街道，A道具和B道具共购买55支，且A道具不少于B道具的2倍，已知A道具每支9元，B道具每支6元． (1)采购组计划将预算经费450元全部用于购买两种道具，可购买A道具和B道具各多少支? (2)规划组认为有比450元更省钱的购买方案，请求出购买总数不变的情况下，两种道具总费用的最小值． 【经典例题二 最大利润问题】 7．某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元、12元，这两种苹果的销售额y（元）与销售量之间的关系如图所示． (1)求出甲种苹果销售额与销售量x之间的函数关系式； (2)求点B的坐标，并写出点B表示的实际意义； (3)若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1700元，求a的值． 8．花溪牛肉粉肉烂酥嫩、粉滑绵韧、汤清味浓、辣烫鲜香，以其独特的风味受到人们的喜爱；恋爱豆腐果，又叫臭豆腐，是一种用黄豆发酵制成的豆制品，闻起来臭，吃起来香．因表面有一层白霜，看起来像长满胡须的老伯，故又称“老人头”．贵阳某小吃店出售花溪牛肉粉和恋爱豆腐果两种特色小吃．已知售出1份花溪牛肉粉和2份恋爱豆腐果的利润为10元，售出3份花溪牛肉粉和1份恋爱豆腐果的利润为20元． (1)求这两种小吃的利润分别为多少元? (2)已知该店每天一共可售出300份小吃，且可售出的花溪牛肉粉数量不超过恋爱豆腐果的一半，则售出花溪牛肉粉多少份时，获得最大利润?并求出最大利润． 9．贵阳黔灵山公园自从2024年1月1日免费开放以来，公园内的大熊猫馆人气火爆，其中国宝“海浜”“星宝”憨态可掬，获得不少市民喜爱，公园的文创超市售有相应的熊猫抱枕和熊猫挂件．已知每个熊猫抱枕的成本为30元，每个熊猫挂件成本为7元，每个熊猫抱枕售价比熊猫挂件售价贵30元，购买8个熊猫抱枕和18个熊猫挂件共花费500元． (1)求熊猫抱枕和熊猫挂件的单价分别为多少元？ (2)为了迎接暑假，该超市准备投入成本不超过16200元购进熊猫抱枕和熊猫挂件共1000个．如果最后全部售完，则该超市应该购进多少个熊猫抱枕，才可以获得最大利润？最大利润是多少？ 10．4月23日是世界读书日，某书店计划在“世界读书日”前夕，同时购进，两类图书，这两类图书的进价和售价如下表： 类型 进价（元本） 售价（元本） 36 38 45 50 该书店计划用4500元购进这两类图书（每类图书都要购进），设购进类图书本，类图书本． (1)求关于的函数关系式； (2)进货时，类图书的购进数量不少于60本，若书店全部售完这些图书可获利元，求关于的函数关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？ 11．习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元． (1)A，B两类图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店计划用4500元全部购进两类图书，设购进A类x本，B类y本． ①求y关于x的关系式； ②进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？ 12．某果商到果园收购甲、乙两种水果到市场去卖，已知甲、乙两种水果的收购价和零售价如下表所示： 品名 甲水果 乙水果 收购价/（元/） 4.8 4 零售价/（元/） 7.2 5.6 (1)若他收购甲、乙两种水果共花1800元，求收购甲、乙两种水果各多少千克？ (2)若该果商第二次收购甲、乙两种水果共，且收购甲种水果的数量不大于乙种水果数量的2倍，为使利润最大，则应收购甲种水果多少千克？最大利润为多少元？ 【经典例题三 行程问题】 13．【情景再现】周末，李科同学骑车去市图书馆阅览图书．出门匆忙，骑行一段路后，发现借书证落在同学张强家了，于是又返同学张强家中取借书证，并停留了一段时间，之后再继续骑车向图书馆出发，最后到达图书馆． 【学以致用】聪明的李科同学，以所用的时间t为横轴，以离家的距离s为纵轴建立平面直角坐标系，对周末活动做以下示意图，并受到数学老师夸赞． 【解决问题】根据图中提供的信息回答下列问题： (1)张强家到图书馆是 　　米，李科全程的骑行时间是 　　分钟； (2)在整个去图书馆的途中哪个时间段李科骑车速度最慢？最慢的速度是多少米/分？ (3)本次去图书馆的行程中，李科一共骑行了多少米？ 14．快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发行在同一条公路上，途中快车休息1小时后提速行驶比慢车提前小时到达目的地，慢车没有休息整个行驶过程中保持匀速不变．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为千米，慢车行驶的路程为千米，图中折线表示与x之间的函数关系，线段表示与x之间的函数关系． 请解答下列问题： (1)快车休息前的速度是______千米/时、慢车的速度是______千米/时； (2)求图中线段EC所表示的与x之间的函数表达式； (3)线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义． 15．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段表示货车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地距离（千米）与（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： (1)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ (2)求线段对应的函数解析式． (3)求货车从甲地出发后多长时间与轿车相遇． 16．已知A，B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发半小时后，乙车从A地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回A地．两车之间的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题： (1)甲车的速度是_____千米/时，乙车的速度是______千米/时，______ (2)求乙车返回过程中、y与x之间的函数关系式． (3)当甲、乙两车相距100千米时，直接写出甲车的行驶时间． 17．在一条直线上依次有，，三港口，甲，乙两船分别从，港口同时出发，匀速驶向港，在两船行驶的过程中，甲，乙两船距港的路程（单位：千米）与乙船行驶的时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)直接写出甲船的速度和，两港之间的路程； (2)求甲船从港到港的过程中与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)乙船行驶多长时间两船相距的路程为15千米？请直接写出答案． 18．五一假期，小明骑车到关门山游玩，他从家出发1小时达到水洞，逗留一段时间后继续骑车到关门山．小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往关门山．如图是他们离家路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题： (1)小明出发______小时后爸爸驾车出发；小明从水洞到关门山的平均速度为______，小明爸爸驾车的平均速度为______； (2)小明从家出发多长时间被爸爸追上？ (3)小明从水洞到关门山时，他离家路程与骑车时间之间的关系式为______（直接写结果） 【经典例题四 几何问题】 19．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为．点在轴的负半轴上，连接、，三角形的面积为5． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发以每秒2个单位的速度沿轴负半轴方向运动，设点的运动时间为秒，连接，三角形的面积为，用含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)在(2)的条件下，为何值时把三角形的面积分成两部分？ 20．如图，直线：与x轴相交于点A，直线：经过点，与x轴交于点，与y轴交于点C，与直线相交于点D． (1)求直线的函数关系式； (2)点P是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点P的坐标； (3)设点Q的坐标为，是否存在m的值使得最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 21．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，动点B在第一象限，连结． (1)如图，当时，以为直角边且在x轴上方作等腰直角三角形，使，求点C的坐标和直线的函数表达式． (2)以为直角边作等腰直角三角形，使，连结，若的面积为，求点B的坐标． (3)以为边作等腰直角三角形，当点P落在直线上时，请直接写出a的值． 22．一次函数的图象与的图象交于点，且点的横坐标为，与轴、轴分别交于点、点． (1)求的值与的长； (2)若点为线段上一点，且，求点的坐标． 23．已知函数的图象与经过点，点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)若在直线上存在点C，使，求出点C的坐标． 24．如图，正比函数与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴负半轴交于点，且． (1)求这两个函数的解析式； (2)求线段的长度； (3)求的面积． 【经典例题五 其他综合性问题】 25．某跨海大桥东西走向，双向四条车道，在旅游旺季经常拥堵，交警部门为了缓解交通压力，他们对该路段的汽车流量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到以下表格，发现时间和汽车流量的变化规律符合一次函数的特征． 时间x 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆/分钟） 200 320 440 560 680 自西向东交通量（辆/分钟） 500 440 380 320 260 (1)请用一次函数分别表示与x、与x之间的函数关系． (2)如图，交警希望启用“潮汐式”通行方式来缓解交通压力，根据汽车流量情况改变车道的行车方向：大流量方向的汽车可在该路段借用相邻的对向机动车道通行，对向机动车道实行双向通行．单位时间内交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使用“潮汐式”通行方式以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置“潮汐式”通行方式以缓解交通拥堵（在何时间段借用何方向机动车道通行），并说明理由． 26．云南的生活是美好中国带露珠的花朵，其中“云花”的年产量就高达180亿枝．已知某经销商购买甲种“云花”的费用（元）与重量（千克）之间的关系如图所示．购买乙种“云花”的价格为42元/千克． (1)求与之间的函数解析式（解析式也称表达式）； (2)该经销商计划一次性购进甲、乙两种“云花”共100千克，且要求甲种“云花”不少于60千克，但又不超过85千克．请你帮该经销商设计一种方案，应如何分配甲、乙两种“云花”的购买量，才能使经销商花费总金额和（元）最少？最少花费多少元？ 27．我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的办法收费，即一个月用水以内（包括）的用户，每吨收水费a元；一个月用水超过的用户，水仍按每吨a元收费，超过的部分，按每吨b元（）收费．设一户居民月用水，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)求a的值；若某户居民上月用水，应交水费多少元？ (2)求b的值，并写出当时，y与x之间的函数表达式； (3)若某户居民八月份应缴水费29元，则该户居民八月份用水量是多少？ 28．在北方冬季，对某校一间坐满学生，门窗关闭的教室空气中二氧化碳的总量进行检测，得到的部分数据如下： 教室连续使用时间 5 10 15 20 二氧化碳的总量 0.6 1.1 1.6 2.1 经研究发现，该教室空气中二氧化碳的总量是教室连续使用时间的一次函数． (1)求y与x的函数解析式；（不要求写出自变量x的取值范围） (2)根据有关资料推算，当该教室空气中二氧化碳的总量达到时，学生会稍感不适，请通过计算说明，该教室门窗关闭后连续使用多长时间学生会开始稍感不适． 29．某储水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的．每日从凌晨4点到8点只进水，不出水；8点到12点既进水又出水；14点至次日凌晨只出水不进水．经测定，水塔中储水量与时间的函数关系如图． (1)求每小时的进水量； (2)当时，求y与x的函数关系式； (3)当时，求y与x的函数关系式． 30．学校综合实践活动小组针对货物销售量最大化开展项目化学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：在保证获利的前提下，怎样使得销售量最大化 驱动问题：数学来源于生活，也服务于生活．请你运用所学数学知识帮助玩具店王老板的玩具销售量最大化 分步探究： 任务一：市场调查 某玩具店王老板以元/个的价格新购进一种新益智玩具，项目组同学帮王老板调查了附近五家玩具店近期该种益智玩具的售价与日销售量情况，记录如下： 玩具店 售价（元/个） 日销售量（个） B 61 280 E 60 300 A 59 320 D 58 340 C 56 380 任务二：模型建立 (1)根据调查记录表中的信息可知，该益智玩具的日销售量（个）是销售定价（元）的______函数（选填“一次”“正比例”“反比例”），与的函数关系式是_______； 任务三：问题解决 (2)玩具店王老板考虑房租、运费、人工费等方面开支，销售这种益智玩具的利润率不得低于，当这种益智玩具每个销售定价为多少元时，每天的销售量最大？最大销售量为多少个？ 1．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且，，三点不在同一条直线上当的周长最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．有一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法正确的是（    ） A．小汽车共行驶120km B．小汽车行驶了到达目的地 C．小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时 D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 3．某生物兴趣小组观察一种植物的生长情况，得到这种植物的高度（厘米）与观察时间（天）的函数关系图象如图所示．照此计算，该植物的高度超过厘米至少需要经过(    ) A．天 B．天 C．天 D．天 4．甲、乙两人在笔直的人行道上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离米与甲出发后步行的时间分之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为米/分；②乙走完全程用了分钟；③乙用分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有米．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度，为了了解其沸点，小聪先在锅中倒入一些这种食用油并均匀加热，然后测量锅中油温，得到了时间（）与油温（）对应关系如下表： 时间（） … 10 20 30 40 … 油温（） … 30 50 70 90 … 当加热到时食用油沸腾了，那么该食用油的沸点温度是（    ） A． B． C． D． 6．甘肃天水的麻辣烫因其独特风味和文化背景在网络上引发广泛讨论．五一假期，美食爱好者小曲自驾车到离家的天水旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了行驶路程与油箱余油量之间的部分数据： 行驶路程x（km） 0 50 100 150 200 … 油箱余油量y（L） 45 41 37 33 29 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶，耗油8L C．油箱余油量与行驶路程之间的关系式为 D．当小曲一家到达景点时，油箱中剩余油 7．如图1，在长方形中，E为边上一点，点P是长方形中边上的动点，点P从点B出发沿着B→C→D→E的路线向点E匀速运动．若P点的运动速度为，则随着时间t的变化，的面积也随之变化，变化情况如图2所示，当 s时，的面积为． 8．如图，一次函数 的图象分别与 轴， 轴交于点 ，，以线段为边在第一象限内作等腰 ，，则过 ， 两点的直线解析式为 ． 9．某周末，小明到彩云湖公园画画写生，小明家到彩云湖公园的路程为千米，步行20分钟后，在家的小明妈妈发现小明画画的某工具没拿，立即通知小明等着自己把工具送过去，小明妈追上小明把工具给了小明后立即以原速返回，同时小明以原来倍的速度前往目的地，如图是小明与小明妈距家的路程（千米）与小明所用时间（分钟）之间的函数图象，则小明妈返回家的时间比小明到达目的地早 分钟．    10．小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为 ． 11．如图所示，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，， 则过B、C两点直线的解析式为 ． 12．春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 13．随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售中心决定购进A型和B型两款新能源汽车共30辆，设购进A型新能源汽车a辆，销售完这两款新能源汽车可获得的总利润为w万元． A，B两款新能源汽车的进价和售价如下表所示： 型号 A B 进价（万元/辆） 16 24 售价（万元/辆） 20 30 (1)求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； (2)B型汽车的数量不超过A型汽车的数量的2倍．如何制定进货方案，才能使该汽车销售中心获得的利润最大，最大利润是多少？ 14．某校科技小组借助小型飞行器探究气温与海拔高度的关系．一天，甲飞行器所在海拔高度（单位：）与上升时间（单位：）满足一次函数关系，部分数值如表： 上升时间(单位：） … 5 15 … 海拔高度（单位：） … 10 20 … 乙飞行器从海拔的高度，以的速度上升，两个飞行器同时起飞并始终保持上升状态． (1)分别求出甲、乙两个飞行器所在位置的海拔高度（单位：）与上升时间(单位：）之间的函数关系式； (2)①求甲飞行器的初始高度； ②在某时刻甲、乙两个飞行器能否位于同一高度？如果能，求此时两个飞行器的高度；如果不能，请说明理由； (3)若甲飞行器因为电量不足，上升后，减速为继续匀速上升，乙飞行器的速度保持不变，设两个飞行器的高度差为（单位：）．请直接写出：当，h最多为多少米？ 15．某工厂要招聘、两个工种的工人共30人，工种工人每人每月工资为1500元，工种工人每人每月工资为2000元．设招聘工种工人人，每月应付，两个工种工人工资共元． (1)请求出与之间的函数关系式； (2)若每月应付，两个工种工人工资不超过50000元，求工种工人至少招多少人； (3)若招聘的工种工人数不少于工种工人数的2倍，求招多少工种工人可使每月所付工资最少． 16．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象与x轴交于点B，点是两函数图象的交点． (1)求函数的关系式； (2)若，求的度数； (3)求四边形的面积； (4)在y轴上，是否存在一点Q，使以点Q、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 17．物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示.桌面长为160，（小球P与木块Q大小厚度忽略不计）同时从A出发向B沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板ｌ如此反复，直到木块Q到达l，同时停止.设小球的运动时间为，木块Q与小球之间的距离为，图②是y与x的部分函数关系图象，结合图象回答下列问题. (1)小球P第一次到达挡板l的时间是______ s，小球P的速度为______； (2)求图②中a的值及木块Q的运动速度； (3)小球P第一次返回时，求y与x的函数关系式； (4)当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，直接写出x的值. 18．某物流公司计划租用这两种车辆运输物资．已知用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，某物流公司计划租用这两种车辆运输物资，根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次．物流公司计划共租用辆车，请写出总租车费用（元）与租用型车数量（辆）的函数关系式． (3)如果汽车租赁公司的型车只剩了辆，型车还有很多．在（）的条件下，请选出最省钱的租车车方案，并求出最少租车费用． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一次函数的应用重难点题型专训（大题型+18道拓展培优） 题型一 方案分配问题 题型二 最大利润问题 题型三 行程问题 题型四 几何问题 题型五 其他综合性问题 【经典例题一 方案分配问题】 1．一家电信公司给顾客提供两种上网计费方式．方式A：以每分钟0.1元的价格按上网所用时间计费；方式B：除收每月基本费用20元外，再以每分钟0.05元的价格按上网所用的时间计费． (1)设上网所用时间为分钟，选择方式A时，计费为元，选择方式B时计费为元，请分别写出，与之间的关系式： (2)小王准备在两种上网方式中选择一种，请你帮他选择上网方案． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据题意，直接写出，与之间的关系式即可； （2）分别计算当、、时的取值范围，从而得到在不同的取值区间选择哪种上网方式计费更少． 【详解】（1）根据题意得： ，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 当上网时间为400分钟时，，两种上网方式计费相同，任选一种即可； 当上网时间超过400分钟时，应该选择种上网方式； 当上网时间少于400分钟时，应该选择种上网方式． 2．周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． 【答案】(1)， (2)选择乙方案更划算，见解析 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，正确求出一次函数的解析式是解题关键． （1）根据甲、乙收费方案即可求解； （2）令，分别求出，，即可进行判断． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）选择乙方案更划算 理由：当时， ， ． ∵， ∴选择乙方案更划算． 3．某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； (2)求出与的函数关系式； (3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 【答案】(1)元，千克 (2) (3)从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式和不等式组，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意直接得出结论； （2）根据题意和表格中的数据，可以得到与的函数关系式； （3）根据（2）中的函数关系式和的取值范围，利用一次函数的性质，即可得到怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省． 【详解】（1）解：从甲养殖场调运鸡蛋千克，则从乙养殖场调运鸡蛋千克， 则从甲养殖场调运鸡蛋的运费为：， 故答案为：元，千克； （2）解：根据题意得：， 与的函数关系式为：； （3）解：由（2）知，， ， 随的增大而增大， ，， ， 当时，取得最小值， 此时， 答：当从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋时，每天的总运费最省． 4．某运输公司安排甲、乙两种货车18辆恰好一次性将256吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表： 货车 类型 载重量 （吨/辆） 运往A地的成本 （元/辆） 运往B地的成本 （元/辆） 甲种 16 1200 900 乙种 12 1000 750 (1)求甲、乙两种货车各用了多少辆？ (2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．当t为何值时，w最小？最小值是多少？ 【答案】(1)甲种货车用了10辆，乙种货车用了8辆 (2)当为4时，最小，最小值是18200元 【分析】（1）设甲种货车用了辆，则乙种货车用了辆，根据18辆货车恰好一次性运输256吨物资，可列出关于的一元一次方程，解之可得出使用甲种货车的数量，再将其代入中，即可求出使用乙种货车的数量； （2）利用总运输成本每辆甲种货车运往地的成本前往地的甲种货车的数量每辆乙种货车运往地的成本前往地的乙种货车的数量每辆甲种货车运往地的成本前往地的甲种货车的数量每辆乙种货车运往地的成本前往地的乙种货车的数量，可得出关于的函数关系式，由运往地的物资不少于160吨，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出，结合（1）的结论，可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）设甲种货车用了辆，则乙种货车用了辆， 根据题意得：， 解得：， （辆． 答：甲种货车用了10辆，乙种货车用了8辆； （2）前往地的甲、乙两种货车共12辆，且前往地的甲种货车为辆， 前往地的乙种货车为辆，前往地的甲种货车为辆，乙种货车为辆． 根据题意得：， 即． 前往地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨， ， 解得：， 又甲种货车共用了10辆， ． ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值（元． 答：当为4时，最小，最小值是18200元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 5．学校准备举行社团活动，需要向商家购买 A、B两种型号的文化衫50件．已知170元恰好可以买到一件A型文化衫和5件B型文化衫；159元恰好可以买到3件A型文化衫和2件B型文化衫． (1)求A、B两种型号的文化衫每件的价格分别为多少元？ (2)若用于购买A，B两种型号文化衫的金额不少于1500元但不超过1530元，请问一共有几种购买方案？ (3)试问在（2）的条件下，学校采用哪种购买方案花费最少？最少是多少元？ 【答案】(1)A型号的价格为35元/件，B型号的价格为27元/件 (2)共有4种购买方案 (3)购买A型号19件，B型号31件时，费用最少，最小费用为1502元 【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的应用．关键是熟练掌握总价与单价和数量关系，列出方程组、不等式组和函数解析式． （1）设A型号文化衫售价x元，B型号文化衫售价y元，根据170元恰好可以买到一件A型文化衫和5件B型文化衫；159元恰好可以买到3件A型文化衫和2件B型文化衫，列出方程组求解即可； （2）设购买A型号文化衫m件，则购买B型号文化衫件，根据购买A，B两种型号文化衫的金额不少于1500元但不超过1530元，列出不等式组，求出m的取值范围，再根据m只能取整数，即可得出购买方案； （3）根据购买总费用为，当m越小，费用越小，故取，故当购买A型号19件，B型号31件时，费用最少，此时，最小费用为，即可． 【详解】（1）设A型号的价格为x元/件，B型号的价格为y元/件， 依题意得：， 解得，． 答：A型号的价格为35元/件，B型号的价格为27元/件． （2）设A型号买m件，则B型号买件， 依题意得：， 即：， 解得，， ∵m为正整数， ∴． 故共有4种购买方案： 方案一：购买A型号19件，B型号31件； 方案二：购买A型号20件，B型号30件； 方案三：购买A型号21件，B型号29件； 方案四：购买A型号22件，B型号28件． （3）购买总费用为， ∵， ∴m越小，费用越小， ∴当时，总费用最少， 最小费用为：． 故方案一总费用最少，最少为1502元． 6．央视春晚是当之无愧的顶级晚会，龙年春晚分会场之一花落长沙，长沙首次站在春晚的舞台，向全世界释放千年古城的魅力，展示青春朝气的风采，为了让社区群众有更好的观看体验，某街道办计划购买A、B两种晚会道具布置社区街道，A道具和B道具共购买55支，且A道具不少于B道具的2倍，已知A道具每支9元，B道具每支6元． (1)采购组计划将预算经费450元全部用于购买两种道具，可购买A道具和B道具各多少支? (2)规划组认为有比450元更省钱的购买方案，请求出购买总数不变的情况下，两种道具总费用的最小值． 【答案】(1)购买A道具40支，B道具15支； (2)购买两种道具总费用的最小值为441元． 【分析】本题考查的是二元一次不定方程的整数解、一次函数的应用，正确列出二元一次方程组、掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组得到答案； （2）设购买A道具m支，购买B道具支，购买两种道具总费用为w，根据题意求出m的范围，列出w关于m的一次函数解析式，根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设购买A道具x支，购买B道具y支， 由题意得：， 解得：， 答：购买A道具40支，B道具15支； （2）解：设购买A道具m支，购买B道具支，购买两种道具总费用为w， 由题意得：， 解得：， 由题意的：， ∵， ∴w随m的最大而增大， ∵， ∴当时，w取最小值，此时， 答：购买两种道具总费用的最小值为441元． 【经典例题二 最大利润问题】 7．某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元、12元，这两种苹果的销售额y（元）与销售量之间的关系如图所示． (1)求出甲种苹果销售额与销售量x之间的函数关系式； (2)求点B的坐标，并写出点B表示的实际意义； (3)若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1700元，求a的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为，点表示的实际意义是当销售量为时，甲和乙的销售额相同，都是1200元 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）根据图象可知：甲种苹果销售额与销售量符合正比例函数，然后根据图象中的数据，即可计算出甲种苹果销售额与销售量之间的函数关系式； （2）求出段对应的函数解析式，然后与（1）中的函数关系式联立方程组，然后即可得到点的坐标，再写出点表示的实际意义即可； （3）根据利润（售价进价）销售量，然后列出相应的方程，求解即可． 【详解】（1）设甲种苹果销售额与销售量之间的函数关系式是， 点在该函数图象上， ， 解得， 即甲种苹果销售额与销售量之间的函数关系式是； （2）当时，设乙对应的函数解析式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即当时，乙对应的函数解析式为， 由可得， 即点的坐标为，点表示的实际意义是当销售量为时，甲和乙的销售额相同，都是1200元； （3）由图象可得， 甲种苹果的销售单价为：（元， 当时，乙苹果的销售单价为：（元，当时，乙种苹果的销售单价为：（元， 由题意可得：， 解得， 即的值为． 8．花溪牛肉粉肉烂酥嫩、粉滑绵韧、汤清味浓、辣烫鲜香，以其独特的风味受到人们的喜爱；恋爱豆腐果，又叫臭豆腐，是一种用黄豆发酵制成的豆制品，闻起来臭，吃起来香．因表面有一层白霜，看起来像长满胡须的老伯，故又称“老人头”．贵阳某小吃店出售花溪牛肉粉和恋爱豆腐果两种特色小吃．已知售出1份花溪牛肉粉和2份恋爱豆腐果的利润为10元，售出3份花溪牛肉粉和1份恋爱豆腐果的利润为20元． (1)求这两种小吃的利润分别为多少元? (2)已知该店每天一共可售出300份小吃，且可售出的花溪牛肉粉数量不超过恋爱豆腐果的一半，则售出花溪牛肉粉多少份时，获得最大利润?并求出最大利润． 【答案】(1)每份花溪牛肉粉的利润为6元，每份恋爱豆腐果的利润为2元； (2)售出花溪牛肉粉100份时，获得最大利润，最大利润为1000元． 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每份花溪牛肉粉的利润为x元，每份恋爱豆腐果的利润为y元，根据“售出1份花溪牛肉粉和2份恋爱豆腐果的利润为10元，售出3份花溪牛肉粉和1份恋爱豆腐果的利润为20元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设售出花溪牛肉粉m份，利润为w元，则售出恋爱豆腐果份，列出关于的函数关系式，由可售出的花溪牛肉粉数量不超过恋爱豆腐果的一半，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）设每份花溪牛肉粉的利润为x元，每份恋爱豆腐果的利润为y元， 则，解得． 答：每份花溪牛肉粉的利润为6元，每份恋爱豆腐果的利润为2元； （2）设售出花溪牛肉粉m份，利润为w元，则售出恋爱豆腐果份，由题意得， 又∵可售出的花溪牛肉粉数量不超过恋爱豆腐果的一半， ∴，即， ∵4>0，∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为元， 答：售出花溪牛肉粉100份时，获得最大利润，最大利润为1000元． 9．贵阳黔灵山公园自从2024年1月1日免费开放以来，公园内的大熊猫馆人气火爆，其中国宝“海浜”“星宝”憨态可掬，获得不少市民喜爱，公园的文创超市售有相应的熊猫抱枕和熊猫挂件．已知每个熊猫抱枕的成本为30元，每个熊猫挂件成本为7元，每个熊猫抱枕售价比熊猫挂件售价贵30元，购买8个熊猫抱枕和18个熊猫挂件共花费500元． (1)求熊猫抱枕和熊猫挂件的单价分别为多少元？ (2)为了迎接暑假，该超市准备投入成本不超过16200元购进熊猫抱枕和熊猫挂件共1000个．如果最后全部售完，则该超市应该购进多少个熊猫抱枕，才可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)熊猫抱枕的单价为40元，熊猫挂件的单价为10元 (2)该超市应该购进400个熊猫抱枕，才可以获得最大利润，最大利润是5800元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设熊猫抱枕的单价为x元，熊猫挂件的单价为y元，根据每个熊猫抱枕售价比熊猫挂件售价贵30元，购买8个熊猫抱枕和18个熊猫挂件共花费500元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进熊猫抱枕m个，则购进熊猫挂件个，根据该超市准备投入成本不超过16200元购进熊猫抱枕和熊猫挂件共1000个．列出一元一次不等式，解得，则m的最大值为400，再设获得利润为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）设熊猫抱枕的单价为x元，熊猫挂件的单价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：熊猫抱枕的单价为40元，熊猫挂件的单价为10元； （2）设购进熊猫抱枕m个，则购进熊猫挂件个， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大值为400， 设获得利润为w元， 由题意得：， ， 随m的增大而增大， 当时，w有最大值， 答：该超市应该购进400个熊猫抱枕，才可以获得最大利润，最大利润是5800元． 10．4月23日是世界读书日，某书店计划在“世界读书日”前夕，同时购进，两类图书，这两类图书的进价和售价如下表： 类型 进价（元本） 售价（元本） 36 38 45 50 该书店计划用4500元购进这两类图书（每类图书都要购进），设购进类图书本，类图书本． (1)求关于的函数关系式； (2)进货时，类图书的购进数量不少于60本，若书店全部售完这些图书可获利元，求关于的函数关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当购进A类图书60本，B类图书52本时书店所获利润最大，最大利润为380元 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意列出函数解析式是关键． （1）根据题意，列出函数解析式即可； （2）根据题意先确定自变量的取值范围，再根据一次函数性质确定最大值即可． 【详解】（1）解：由题意得 500， ； （2）解：由题意得 ， ，， ， ， 随的增大而减小， 当时，的值最大，为， 此时． 答：当购进类图书60本，类图书52本时书店所获利润最大，最大利润为380元． 11．习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元． (1)A，B两类图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店计划用4500元全部购进两类图书，设购进A类x本，B类y本． ①求y关于x的关系式； ②进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1)，B两类图书每本的进价分别是元和元 (2)①；②购进A类图书本，B类图书本，最大利润为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是设未知数，找准等量关系，列出方程求解． （1）设A，B两类图书每本的进价分别是元，元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）由（1）直接列出y关于x的关系式即可； ②根据题意表示出利润的表达式，由①可得，将其代入利润的表达式，结合一次函数性质判定其增减性，再结合的取值范围即可解题． 【详解】（1）解：设A，B两类图书每本的进价分别是元，元， 根据题意则有， 由得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ，B两类图书每本的进价分别是元和元； （2）解：①由（1）可得：， 整理得：； 设利润为元， ②由题可知：， 由①可知：， ， ， 随的增大而减小， ， 时有最大利润为：（元）， （本）， 此时购进A类图书本，B类图书本，最大利润为元． 12．某果商到果园收购甲、乙两种水果到市场去卖，已知甲、乙两种水果的收购价和零售价如下表所示： 品名 甲水果 乙水果 收购价/（元/） 4.8 4 零售价/（元/） 7.2 5.6 (1)若他收购甲、乙两种水果共花1800元，求收购甲、乙两种水果各多少千克？ (2)若该果商第二次收购甲、乙两种水果共，且收购甲种水果的数量不大于乙种水果数量的2倍，为使利润最大，则应收购甲种水果多少千克？最大利润为多少元？ 【答案】(1)收购甲水果，乙水果； (2)收购甲种水果，乙种水果，能使获得利润最大，最大为1280元． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用和一次函数解决实际问题． （1）设收购甲水果，乙水果，根据收购甲水果和乙水果两种水果共用去了元钱，列方程求解； （2）设批发甲种水果，则批发乙种水果，获得利润y元，则可得到y关于x的函数解析式，由题意有，求得x的取值范围，根据一次函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：设收购甲水果，乙水果， 由题意得：， 解得：， 乙水果， 答：收购甲水果，乙水果； （2）解：设收购甲种水果，则收购乙种水果，获得利润y元， 则， ∵由题意有， 解得， ∵y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，为， 此时． 答：收购甲种水果，乙种水果，能使获得利润最大，最大为1280元． 【经典例题三 行程问题】 13．【情景再现】周末，李科同学骑车去市图书馆阅览图书．出门匆忙，骑行一段路后，发现借书证落在同学张强家了，于是又返同学张强家中取借书证，并停留了一段时间，之后再继续骑车向图书馆出发，最后到达图书馆． 【学以致用】聪明的李科同学，以所用的时间t为横轴，以离家的距离s为纵轴建立平面直角坐标系，对周末活动做以下示意图，并受到数学老师夸赞． 【解决问题】根据图中提供的信息回答下列问题： (1)张强家到图书馆是 　　米，李科全程的骑行时间是 　　分钟； (2)在整个去图书馆的途中哪个时间段李科骑车速度最慢？最慢的速度是多少米/分？ (3)本次去图书馆的行程中，李科一共骑行了多少米？ 【答案】(1)1500，4 (2)从开始到6分钟的速度最慢，速度是 (3)小华一共骑行的路程是： 【分析】（1）根据图象可以直接求得； （2）求得各段的速度，然后进行比较即可； （3）求得各段的路程，然后求和即可． 【详解】（1）小华到学校的路程是，在书店停留的时间是． 故答案为：1500，4； （2） 从开始到6分钟的速度是＝， 从6分钟到8分钟的速度是：； 从12分钟到14分钟的速度是：． 则从开始到6分钟的速度最慢，速度是； （3）小华一共骑行的路程是：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，正确根据图象理解运动过程是关键． 14．快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发行在同一条公路上，途中快车休息1小时后提速行驶比慢车提前小时到达目的地，慢车没有休息整个行驶过程中保持匀速不变．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为千米，慢车行驶的路程为千米，图中折线表示与x之间的函数关系，线段表示与x之间的函数关系． 请解答下列问题： (1)快车休息前的速度是______千米/时、慢车的速度是______千米/时； (2)求图中线段EC所表示的与x之间的函数表达式； (3)线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义． 【答案】(1)75，60； (2)； (3)，在3.75小时，快车与慢车行驶的路程相等，均为225千米． 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度； （2）根据函数图象中的数据可以求得点E和点C的坐标，从而可以求得与x之间的函数表达式； （3）根据图象可知，点F表示的是快车与慢车行驶的路程相等，从而以求得点F的坐标，并写出点F的实际意义． 【详解】（1）解：甲、乙两地相距300千米，快车休息前的速度为：（千米/小时）， 慢车的速度为：（千米/小时）， 答：快车的速度为75千米/小时，慢车的速度为60千米/小时， 故答案为：75，60； （2）由题意可得， 点E的横坐标为：， 则点E的坐标为， 快车从点E到点C用的时间为：（小时）， 则点C的坐标为， 设线段所表示的与x之间的函数表达式是，，得，即线段所表示的与x之间的函数表达式是； （3）设点F的横坐标为a， 则， 解得，， 则， 即点F的坐标为，点F代表的实际意义是在3.75小时时，快车与慢车行驶的路程相等，均为225千米． 15．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段表示货车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地距离（千米）与（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： (1)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ (2)求线段对应的函数解析式． (3)求货车从甲地出发后多长时间与轿车相遇． 【答案】(1)千米 (2) (3)小时 【分析】本题考查一元一次函数的图象和应用，求出函数的解析式是解题的关键， （1）先求出货车图象的解析式，根据图象得到轿车到达乙地的时间，代入函数的解析式可求出货车此时距甲地的时间，即可求得答案； （2）根据待定系数法进行求解即可； （3）根据相遇时两车与甲地距离相等建立方程，即可求出答案． 【详解】（1）解：设货车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系为， 根据题意得， 解得， ∴， 根据图象可得轿车到达乙地时， 此时货车距甲地的距离千米， ∴货车距乙地千米； （2）解：设线段对应的函数解析式为：， 根据题意得， 解方程组得，， ∴线段对应的函数解析式为； （3）当货车与轿车距甲地的距离相等时，两车相遇， 故， 解得小时． 16．已知A，B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发半小时后，乙车从A地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回A地．两车之间的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题： (1)甲车的速度是_____千米/时，乙车的速度是______千米/时，______ (2)求乙车返回过程中、y与x之间的函数关系式． (3)当甲、乙两车相距100千米时，直接写出甲车的行驶时间． 【答案】(1)，， (2) (3)当甲、乙两车相距100千米时，甲车的行驶时间是小时． 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息是解题的关键． （1）根据函数图象求得甲的速度，根据题意求得乙的速度，进而求得的值； （2）先求解时，两车相距的路程，再待定系数法求解析式即可； （3）将代入（2）中解析式求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 甲车的速度为：（千米/时）， 乙车的速度为：（千米/时）， ∴， （2）解：当时，， 设乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， 即乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是； （3）解：相遇之间两车最大相距的距离为千米， 相遇后，当时，， 解得， 答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车的行驶时间是小时． 17．在一条直线上依次有，，三港口，甲，乙两船分别从，港口同时出发，匀速驶向港，在两船行驶的过程中，甲，乙两船距港的路程（单位：千米）与乙船行驶的时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)直接写出甲船的速度和，两港之间的路程； (2)求甲船从港到港的过程中与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)乙船行驶多长时间两船相距的路程为15千米？请直接写出答案． 【答案】(1)甲船的速度为，，两港之间的路程为 (2) (3)乙船行驶小时或小时或小时，两船相距的路程为15千米． 【分析】本题考查的是一次函数的图象及一次函数的应用，解答此题时要注意运用分类讨论的思想，不要漏解． （1）从图中可以计算出结论即可； （2）设甲船从港到港的过程中与的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （3）先根据一次函数的图象求出乙的速度，再根据甲在乙船前和乙船后，及甲船已经到了而乙船正在行驶，三种情况进行解答即可． 【详解】（1）从图中可以得出甲船的速度为：， ，两港之间的路程为， 故答案为：120； （2）从图中可以得出甲船从A到B所需要的时间为：， ， 设甲船从港到港的过程中与的函数关系式为， ，解得：， 甲船从港到港的过程中与的函数关系式为； （3）乙船的速度为：， 设乙船行驶小时两船相距的路程为15千米， 甲船追上乙船之前，两船相距的路程为15千米，则： ， 解得：， 甲船追上乙船之后且甲船到达C地之前，两船相距的路程为15千米，则： ， 解得：， 甲船到达C地之后，两船相距的路程为15千米，则： ， 解得：， 综上所述，乙船行驶小时或小时或小时，两船相距的路程为15千米． 18．五一假期，小明骑车到关门山游玩，他从家出发1小时达到水洞，逗留一段时间后继续骑车到关门山．小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往关门山．如图是他们离家路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题： (1)小明出发______小时后爸爸驾车出发；小明从水洞到关门山的平均速度为______，小明爸爸驾车的平均速度为______； (2)小明从家出发多长时间被爸爸追上？ (3)小明从水洞到关门山时，他离家路程与骑车时间之间的关系式为______（直接写结果） 【答案】(1) (2)明从家出发小时被爸爸追上 (3) 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用； （1）根据图象中数据，即可得出结论； （2）设小明出发被爸爸追上，根据两人的路程相等列出方程求解即可； （3）设小明从水洞到关门山时，他离家路程s与骑车时间t之间的关系式为，用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】（1）由图象得，小明出发1.5小时后爸爸驾车出发； 小明从水洞到关门山的平均速度为， 小明爸爸驾车的平均速度为 （2）设小明出发被爸爸追上， 则 解得： ∴小明从家出发小时被爸爸追上 （3）小明从水洞到关门山时，他离家路程与骑车时间之间的关系式为 则，解得： ∴与骑车时间之间的关系式为 【经典例题四 几何问题】 19．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为．点在轴的负半轴上，连接、，三角形的面积为5． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发以每秒2个单位的速度沿轴负半轴方向运动，设点的运动时间为秒，连接，三角形的面积为，用含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)在(2)的条件下，为何值时把三角形的面积分成两部分？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标和线段长度的关系、三角形的面积公式，还考查了分类讨论的思想，解题的关键是根据题意找出线段长度，代入公式求解． （1）由坐标可知线段的长度，再根据三角形的面积公式即可求出坐标； （2）分情况讨论，用表示出两种情况下的长度，再根据面积公式即可求出结果； （3）分别表示出和的面积，然后利用面积比求出值即可． 【详解】（1）解：设点坐标为， 由题意可知：， ， 解得， 点在轴的负半轴上， ， 点坐标为． （2）当点在上运动时，即， 由题意可知，，， ， 当点在上运动时，即， 由题意可知，，， ， 综上所述，． （3）当点在上运动时， 由题意可知，，， 当时，即， 解得，， 当时，即， 解得，， 当点在上运动时，不满足把三角形的面积分成两部分， 综上所述，或． 20．如图，直线：与x轴相交于点A，直线：经过点，与x轴交于点，与y轴交于点C，与直线相交于点D． (1)求直线的函数关系式； (2)点P是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点P的坐标； (3)设点Q的坐标为，是否存在m的值使得最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把点，点代入直线，求出、的值即可； （2）解由直线和直线的解析式所构成的方程组，所得的解即可得出点坐标，据此求出的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标即可得到答案； （3）作直线，作点关于直线的对称点，连接，利用待定系数法求出其解析式，根据点在直线上求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点，点在直线：上， ∴， 解得：， ∴直线的函数关系式为； （2）解：联立， 解得：， ∴点的坐标为； 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴点P的坐标为或； （3）解：如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， ∴直线垂直平分， ∴， ∴，此时的最小值为， 则点即为所作，其坐标为， ∵， ∴， ∵， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴当的值为时，的值最小． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定一次函数的解析式，轴对称最短路线问题，两直线的交点坐标，直线与坐标轴的交点，垂直平分线的性质，两点之间线段最短等知识．通过作出辅助线，利用轴对称的性质求解是解题的关键． 21．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，动点B在第一象限，连结． (1)如图，当时，以为直角边且在x轴上方作等腰直角三角形，使，求点C的坐标和直线的函数表达式． (2)以为直角边作等腰直角三角形，使，连结，若的面积为，求点B的坐标． (3)以为边作等腰直角三角形，当点P落在直线上时，请直接写出a的值． 【答案】(1)； (2) (3)6， 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数的解析式求解、与等腰直角三角形有关的全等问题，构造“一线三垂直”型全等是解题关键. （1）作轴于轴于，证得即可求解； （2）由的面积为可得，分类讨论当点的横坐标小于3时，当点的坐标大于3时，两种情况即可求解； （3）分类讨论①当时，②当时，③当时，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：如图，作轴于轴于， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为； （2）解： 的面积为， ，即， ， 当点的横坐标小于3时， 分别过点作直线的垂线，垂足分别为， 同理可证， 点的横坐标为， ， ， 点的坐标为， ，解得， ； 当点的坐标大于3时，如图， 同理可得，点的坐标为， ，解得， 点的坐标为：． （3）解：①当时，由（2）可知与重合， 点的坐标为或， 当点落在直线上时，或，解得：或（舍去）； ②当时，过点作轴的垂线，垂足为，过点作于点， 同理可证明， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当点落在直线上时，， 解得：； ③当时，如图， 设点的坐标为， 则， ， 显然，故此时不成立； 综上可知， 或． 22．一次函数的图象与的图象交于点，且点的横坐标为，与轴、轴分别交于点、点． (1)求的值与的长； (2)若点为线段上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）求出点坐标，代入可得的值，进而由一次函数解析式求出点坐标，即可由勾股定理求出的长； （）求出，设，则，可得，即可得，据此即可求解； 本题考查了一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何问题，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为， ∴把代入得，， ∴点的坐标为， 把代入得， ， 解得， ∴一次函数， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．已知函数的图象与经过点，点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)若在直线上存在点C，使，求出点C的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）设直线与轴交点为，求出点坐标，根据求解即可； （3）根据题意可知是线段的中点，或A是线段的三等分点，且C点在A点的左侧，结合点A、B的坐标求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点，点， ，解得：． 这个一次函数的解析式为：． （2）解：设直线与轴交点为，令，则， 点坐标为 ， （3）解：如图， 在直线上，且， ①是线段的中点， ，． 的坐标为， ； ②A是线段的三等分点，且C点在A点的左侧， 的坐标为， ， 综上所述，或． 24．如图，正比函数与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴负半轴交于点，且． (1)求这两个函数的解析式； (2)求线段的长度； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数图形与性质，勾股定理，几何图形面积的计算，掌握一次函数与几何图形的综合是解题的关键． （1）把点代入正比例函数可得正比例函数解析式，运用勾股定理可得，可得，运用待定系数法可得一次函数解析式； （2）运用勾股定理即可求解； （3）数形结合，根据三角形面积计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴代入正比例函数得，， 解得，， ∴正比例函数解析式为：， ∴， ∵， ∴，即， 把点代入一次函数解析式得， ， 解得，， ∴一次函数解析式为：； （2）解：根据题意，， ∴的长度为：； （3）解：根据图示可得，． 【经典例题五 其他综合性问题】 25．某跨海大桥东西走向，双向四条车道，在旅游旺季经常拥堵，交警部门为了缓解交通压力，他们对该路段的汽车流量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到以下表格，发现时间和汽车流量的变化规律符合一次函数的特征． 时间x 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆/分钟） 200 320 440 560 680 自西向东交通量（辆/分钟） 500 440 380 320 260 (1)请用一次函数分别表示与x、与x之间的函数关系． (2)如图，交警希望启用“潮汐式”通行方式来缓解交通压力，根据汽车流量情况改变车道的行车方向：大流量方向的汽车可在该路段借用相邻的对向机动车道通行，对向机动车道实行双向通行．单位时间内交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使用“潮汐式”通行方式以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置“潮汐式”通行方式以缓解交通拥堵（在何时间段借用何方向机动车道通行），并说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出，时的范围，进行分析即可． 【详解】（1）解：设， 把代入，得： ，解得： ∴， 把代入，得： ，解得：， ∴． （2）解：． 当时，即，解得； 当时，即，解得． ∴8时到9时，自西向东的车可借用自东向西的车道通行； 18时到20时，自东向西的车可借用自西向东的车道通行． 26．云南的生活是美好中国带露珠的花朵，其中“云花”的年产量就高达180亿枝．已知某经销商购买甲种“云花”的费用（元）与重量（千克）之间的关系如图所示．购买乙种“云花”的价格为42元/千克． (1)求与之间的函数解析式（解析式也称表达式）； (2)该经销商计划一次性购进甲、乙两种“云花”共100千克，且要求甲种“云花”不少于60千克，但又不超过85千克．请你帮该经销商设计一种方案，应如何分配甲、乙两种“云花”的购买量，才能使经销商花费总金额和（元）最少？最少花费多少元？ 【答案】(1) (2)购买甲种“云花”85千克，乙种“云花”15千克时，才能使经销商花费总金额和w（元）最少，最少为4730元． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）分当，当，两种情况利用待定系数法求解即可； （2）分当时，当时，两种情况列出w关于x的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当，设， 把代入中得：，解得， ∴； 当，设， 把，代入中得：，解得， ∴； 综上所述，； （2）解：当时， 由题意得，， ∵， ∴w随x增大而增大， ∴当时，w最小，最小值为； 当时， 由题意得，， ∵， ∴w随x增大而减小， ∴当时，w最小，最小值为； ∵， ∴当时，w最小，最小值为； ∴， ∴购买甲种“云花”85千克，乙种“云花”15千克时，才能使经销商花费总金额和w（元）最少，最少为4730元． 27．我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的办法收费，即一个月用水以内（包括）的用户，每吨收水费a元；一个月用水超过的用户，水仍按每吨a元收费，超过的部分，按每吨b元（）收费．设一户居民月用水，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)求a的值；若某户居民上月用水，应交水费多少元？ (2)求b的值，并写出当时，y与x之间的函数表达式； (3)若某户居民八月份应缴水费29元，则该户居民八月份用水量是多少？ 【答案】(1)a的值为1.5，某户居民上月用水8t，应交水费12元 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，从函数图像上获取信息，求出一次函数解析式是解题的关键． （1）先根据图像求出a的值，进而即可求解； （2）根据图像求出b的值，即可求出一次函数解析式， （3）把代入一次函数解析式，求出对应自变量的值即可． 【详解】（1）解：由图像知用水量时应缴水费15元， 所以， ， 答：a的值为1.5，某户居民上月用水，应交水费12元； （2）设，解得， 当时，y与x之间的函数表达式为， 即； （3）∵， ∴， ∴， 解得， 答：该户居民八月份用水量是． 28．在北方冬季，对某校一间坐满学生，门窗关闭的教室空气中二氧化碳的总量进行检测，得到的部分数据如下： 教室连续使用时间 5 10 15 20 二氧化碳的总量 0.6 1.1 1.6 2.1 经研究发现，该教室空气中二氧化碳的总量是教室连续使用时间的一次函数． (1)求y与x的函数解析式；（不要求写出自变量x的取值范围） (2)根据有关资料推算，当该教室空气中二氧化碳的总量达到时，学生会稍感不适，请通过计算说明，该教室门窗关闭后连续使用多长时间学生会开始稍感不适． 【答案】(1) (2)66分钟 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题． （1）可根据待定系数法列方程，求函数关系式； （2）根据有关资料推算，当该教室空气中二氧化碳总量达到时，学生将会稍感不适，即时，x的取值． 【详解】（1）设， 由已知，得 ， 解得， ∴． （2）在中，当时，（分钟）． ∴该教室连续使用66分钟学生将会开始稍感不适． 29．某储水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的．每日从凌晨4点到8点只进水，不出水；8点到12点既进水又出水；14点至次日凌晨只出水不进水．经测定，水塔中储水量与时间的函数关系如图． (1)求每小时的进水量； (2)当时，求y与x的函数关系式； (3)当时，求y与x的函数关系式． 【答案】(1)每小时的进水量为5立方米 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题关键是理解图像中横纵坐标代表的意义并结合题意分析图像的每个分段函数． （1）由“4点到8点只进水时，水量从5立方米上升到25立方米”即能求每小时的进水量； （2）由图像可得，时，对应的函数图像是线段，两端点坐标为和，用待定系数法即可求出函数关系式； （3）先求出出水速度，再求解析式． 【详解】（1）∵凌晨4点到早8点只进水，水量从5立方米上升到25立方米， ∴立方米/时， ∴每小时的进水量为5立方米． （2）当时，对应的函数图像是线段，设其函数关系式为， 将点、代入， 可得， 解得， ∴当时，与之间的函数关系式为； （3）∵8点到12点既进水又出水时，每小时水量上升立方米， ∴每小时出水量为：立方米， 当时，由． 30．学校综合实践活动小组针对货物销售量最大化开展项目化学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：在保证获利的前提下，怎样使得销售量最大化 驱动问题：数学来源于生活，也服务于生活．请你运用所学数学知识帮助玩具店王老板的玩具销售量最大化 分步探究： 任务一：市场调查 某玩具店王老板以元/个的价格新购进一种新益智玩具，项目组同学帮王老板调查了附近五家玩具店近期该种益智玩具的售价与日销售量情况，记录如下： 玩具店 售价（元/个） 日销售量（个） B 61 280 E 60 300 A 59 320 D 58 340 C 56 380 任务二：模型建立 (1)根据调查记录表中的信息可知，该益智玩具的日销售量（个）是销售定价（元）的______函数（选填“一次”“正比例”“反比例”），与的函数关系式是_______； 任务三：问题解决 (2)玩具店王老板考虑房租、运费、人工费等方面开支，销售这种益智玩具的利润率不得低于，当这种益智玩具每个销售定价为多少元时，每天的销售量最大？最大销售量为多少个？ 【答案】(1)一次， (2)当这种益智玩具每个销售定价为元时，每天的销售量最大，最大销售量为个 【分析】本题主要考查一次函数，不等式与销售问题的综合运用，利润率的计算方法， （1）根据表格信息可得是一次函数，运用待定系数法即可求解函数解析式； （2）根据利润率利润成本，再根据不等式，函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息可得，日销售量（个）是销售定价（元）的一次函数， 设该一次函数解析式为，把代入得， ， 解得，， ∴与的函数关系式是：， 故答案为：一次，； （2）解：根据题意，这种益智玩具每个销售定价为元，日销售量为， ∴，整理得，， ∵，即随的增大而减小，且， ∴， 解得，， ∴当这种益智玩具每个销售定价为元时，每天的销售量最大，最大销售量为个． 1．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且，，三点不在同一条直线上当的周长最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查平面直角坐标系中一次函数与几何问题的综合，解题关键是根据两点之间线段最短得出直线解析式．如解析图作点关于轴的对称点，连接交轴一点点，根据两点之间线段最短，这时的周长最小，求出直线的解析式为即可求出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴一点点，如图所示： 点、的坐标分别为和， 的坐标是， 设直线的解析式为，将、坐标分别代入， ，解得， 直线的解析式为， 点的坐标为， 故选：C． 2．有一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法正确的是（    ） A．小汽车共行驶120km B．小汽车行驶了到达目的地 C．小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时 D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的图象以及从图象中读取信息的数形结合能力，正确从函数图像中获取所需信息． 根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义进行分析即可解答． 【详解】解：根据题意和图象可知： A.小汽车共行驶：，故选项A说法不正确，不符合题意； B.小汽车中途停留，故选项B说法不正确，不符合题意； C.小汽车出发后前3小时的平均速度为：（千米/时），故选项C说法正确，符合题意； D.小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度不变，故选项D说法错误，不符合题意． 故选：C． 3．某生物兴趣小组观察一种植物的生长情况，得到这种植物的高度（厘米）与观察时间（天）的函数关系图象如图所示．照此计算，该植物的高度超过厘米至少需要经过(    ) A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求出植物的高度（厘米）与观察时间（天）的函数解析式，再求出时，对应的x的值，根据函数的增减性即可解答，解题的关键是熟练掌握一次函数的应用． 【详解】解：根据题意设植物的高度（厘米）与观察时间（天）的函数解析式为， 将，代入得： ， 解得， 故解析式为， 将代入，解得， ∵，故随的增大而增大， 故该植物的高度超过厘米至少需要经过天． 故选：． 4．甲、乙两人在笔直的人行道上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离米与甲出发后步行的时间分之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为米/分；②乙走完全程用了分钟；③乙用分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有米．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，根据函数图象逐项判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：甲步行的速度为米/分，故①正确； 乙走完全程用的时间为(分钟)，故②正确； 乙追上甲用的时间为分钟，故③错误； 乙到达终点时，甲离终点距离是米，故④正确； 综上，正确的结论有个， 故选：． 5．某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度，为了了解其沸点，小聪先在锅中倒入一些这种食用油并均匀加热，然后测量锅中油温，得到了时间（）与油温（）对应关系如下表： 时间（） … 10 20 30 40 … 油温（） … 30 50 70 90 … 当加热到时食用油沸腾了，那么该食用油的沸点温度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一次函数的应用，关键是根据表中数据，求出一次函数解析式．由表中数据发现油温与时间成一次函数关系，根据表中数据，求出一次函数解析式，然后把代入即可． 【详解】解：由表格可知，油温与时间的函数关系是一次函数，油温用y表示，时间用x表示，设油温与时间的函数关系是， 则， 解得 ∴， 当时，． 当时，． 当时，． 故选：C． 6．甘肃天水的麻辣烫因其独特风味和文化背景在网络上引发广泛讨论．五一假期，美食爱好者小曲自驾车到离家的天水旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了行驶路程与油箱余油量之间的部分数据： 行驶路程x（km） 0 50 100 150 200 … 油箱余油量y（L） 45 41 37 33 29 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶，耗油8L C．油箱余油量与行驶路程之间的关系式为 D．当小曲一家到达景点时，油箱中剩余油 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，关键是能准确理解题目中的数量关系，并能列式表达．通过表格给出的信息理解题意，可得此题答案． 【详解】解：∵当时， ∴该车的油箱容量为， 故选项A正确，不符合题意； 由表格可得该车每行驶耗油， 故选项B正确，不符合题意； 由题意可得油箱余油量与行驶路程之间的关系式为 故选项C不正确，符合题意； ∵， ∴当小曲一家到达景点时，油箱中剩余油， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 7．如图1，在长方形中，E为边上一点，点P是长方形中边上的动点，点P从点B出发沿着B→C→D→E的路线向点E匀速运动．若P点的运动速度为，则随着时间t的变化，的面积也随之变化，变化情况如图2所示，当 s时，的面积为． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，动点问题，解题的关键是读懂函数图像与动点之间的关系．由函数图象可知P在上运动了，在上运动了，在上运动了，即可求出它们的长，再结合长方形性质和的面积即可求出在边上的高，从而可求出的值． 【详解】解：由图可知：当点P在上运动时面积逐渐增加，在上运动时面积不变，在上运动时面积逐渐减小， P在上运动了，在上运动了，在上运动了， P点的运动速度为， ，，， 四边形是长方形， ，， ， 的边上的高为：， 当是，， 当时，则， ， ， 故答案为：或． 8．如图，一次函数 的图象分别与 轴， 轴交于点 ，，以线段为边在第一象限内作等腰 ，，则过 ， 两点的直线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 过点C作轴，根据条件证明，先求出，即可求解． 【详解】 过点C作轴 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵一次函数 当时，，当时， ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为 ∴，解得： ∴直线的解析式为 故答案为：． 9．某周末，小明到彩云湖公园画画写生，小明家到彩云湖公园的路程为千米，步行20分钟后，在家的小明妈妈发现小明画画的某工具没拿，立即通知小明等着自己把工具送过去，小明妈追上小明把工具给了小明后立即以原速返回，同时小明以原来倍的速度前往目的地，如图是小明与小明妈距家的路程（千米）与小明所用时间（分钟）之间的函数图象，则小明妈返回家的时间比小明到达目的地早 分钟．    【答案】10 【分析】本题考查一次函数的应用、由函数图像读取信息，路程、速度、时间之间的关系等知识，由图象可知，小明开始的速度为（千米/分钟），休息后以千米/分钟的速度前往目的地，求出休息后所用时间，根据小明妈妈所走路程与时间求出速度，从而得到小明原地等待的时间，进而求出两人的时间差即可． 【详解】解：由图象可知，小明开始的速度为（千米/分钟）， 小明原地休息后，以（千米/分钟）的速度前往目的地， 小明从拿到工具后到公园需要的时间（分钟）， 小明妈妈总共走了（千米），用时分钟， 小明妈妈的速度为（千米/分钟）， 小明在原地等待的时间为（分钟）， （分钟）， 所以小明妈返回家的时间比小明到达目的地早10分钟． 故答案为：10． 10．小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为 ． 【答案】3分钟 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意确定相关点的坐标、求出直线的解析式成为解答本题的关键． 先根据题意求得A、D、E、F的坐标，然后再运用待定系数法分别确定、、的解析式，再分别联立与和求得两次相遇的时间，最后作差即可． 【详解】解： 如图： 根据题意可得，，，， 设的解析式为，则 ， 解得 ∴直线的解析式为， 同理：直线的解析式为：， 直线的解析式为： 联立 ， 解得， 联立 ， 解得 ． ∴两人先后两次相遇的时间间隔为分钟． 故答案为：3分钟． 11．如图所示，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，， 则过B、C两点直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 过作垂直于轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及，利用得到，由全等三角形对应边相等得到，，由求出的长，即可确定出坐标，然后根据待定系数法即可求得过、两点的直线对应的函数表达式． 【详解】解：对于直线，令，得到，即，， 令，得到，即，， 过作轴，可得， ， 为等腰直角三角形，即，， ， ， 在和中， ， ， ，，即， ， 设直线的解析式为把，代入得， ， 解得． 过、两点的直线对应的函数表达式是， 故答案为：． 12．春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等组的应用，根据题意分别列出李明分别在甲乙两超市购买所需费用的解析式，再根据“在乙超市购买更划算”建立关于的一元一次不等式组，求解即可．根据题意列出一次函数关系式和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：设他购买了盒坚果礼盒，为正整数， 则在甲超市购买礼盒所需费用为：， 在乙超市购买礼盒所需费用为： 当购买盒数不超过盒时，， 当购买盒数超过盒时，， ∵李明通过计算后发现在乙超市购买更划算， ∴， 解得：， ∴他至少购买了盒． 故答案为：． 13．随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售中心决定购进A型和B型两款新能源汽车共30辆，设购进A型新能源汽车a辆，销售完这两款新能源汽车可获得的总利润为w万元． A，B两款新能源汽车的进价和售价如下表所示： 型号 A B 进价（万元/辆） 16 24 售价（万元/辆） 20 30 (1)求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； (2)B型汽车的数量不超过A型汽车的数量的2倍．如何制定进货方案，才能使该汽车销售中心获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)购进A型汽车10辆，B型汽车20辆时，才能使销售中心获得的利润最大，最大利润是160万元 【分析】本题考查了一元一次不等式和一次函数的实际应用． （1）根据“利润售价进价”即可求解； （2）根据“B型汽车的数量不超过A型汽车的数量的2倍”得，再根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得 即：w与a的函数关系式为：； （2）由题意，得， 解得：， 又∵ ∴， 由（1）得， ∵ ∴w随a的增大而减小， ∴当时，， ∴， 答：购进A型汽车10辆，B型汽车20辆时，才能使销售中心获得的利润最大，最大利润是160万元 ． 14．某校科技小组借助小型飞行器探究气温与海拔高度的关系．一天，甲飞行器所在海拔高度（单位：）与上升时间（单位：）满足一次函数关系，部分数值如表： 上升时间(单位：） … 5 15 … 海拔高度（单位：） … 10 20 … 乙飞行器从海拔的高度，以的速度上升，两个飞行器同时起飞并始终保持上升状态． (1)分别求出甲、乙两个飞行器所在位置的海拔高度（单位：）与上升时间(单位：）之间的函数关系式； (2)①求甲飞行器的初始高度； ②在某时刻甲、乙两个飞行器能否位于同一高度？如果能，求此时两个飞行器的高度；如果不能，请说明理由； (3)若甲飞行器因为电量不足，上升后，减速为继续匀速上升，乙飞行器的速度保持不变，设两个飞行器的高度差为（单位：）．请直接写出：当，h最多为多少米？ 【答案】(1)甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为，乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为 (2)；能， (3)h最多为 【分析】（1）利用待定系数法求出甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式，根据”路程速度时间“求出乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式； ①将代入甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式，求出对应y的值即可； ②令两函数值相等并解方程求出x的值，再将x的值代入任一函数求出y的值即可； 求出当时，甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式，用绝对值将h表示出来，利用一次函数的增减性和x的取值范围求出h的最大值即可． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度、路程之间的关系及待定系数法求函数表达式、一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为 将和分别代入，得 解得， ∴； 根据题意，得乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为； ∴甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为，乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为 （2）解：①在中，当时，， ∴甲飞行器的初始高度是； ②在某时刻甲、乙两个飞行器能位于同一高度． 当甲、乙两个飞行器位于同一高度时，得，解得， ， ∴此时两个飞行器的高度为； （3）解：当时，甲飞行器所在位置的海拔高度， ∴当时，甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为， ∴ ∵当时，， ∴， ∵， ∴h随x的减小而增大， ∵， ∴当时，h最大，h最大， ∴h最多为． 15．某工厂要招聘、两个工种的工人共30人，工种工人每人每月工资为1500元，工种工人每人每月工资为2000元．设招聘工种工人人，每月应付，两个工种工人工资共元． (1)请求出与之间的函数关系式； (2)若每月应付，两个工种工人工资不超过50000元，求工种工人至少招多少人； (3)若招聘的工种工人数不少于工种工人数的2倍，求招多少工种工人可使每月所付工资最少． 【答案】(1) (2)20人 (3)10人 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用． （1）根据题意和题目中的数据，可以写出与之间的函数关系式； （2）根据每月应付，两个工种工人工资不超过50000元和（1）中的函数解析式，可以列出相应的不等式，然后求解即可； （3）根据招聘的工种工人数不少于工种工人数的2倍，可以求得的取值范围，再根据一次函数的性质，可以求得招多少工种工人可使每月所付工资最少． 【详解】（1）由题意可得， ， 即与之间的函数关系式是； （2）每月应付，两个工种工人工资不超过50000元， ， 解得， 工种工人至少招20人； （3）由（1）知：， 随的增大而减小， 招聘的工种工人数不少于工种工人数的2倍， ， 解得， 当时，取得最小值，此时， 答：招收10名工种工人可使每月所付工资最少． 16．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象与x轴交于点B，点是两函数图象的交点． (1)求函数的关系式； (2)若，求的度数； (3)求四边形的面积； (4)在y轴上，是否存在一点Q，使以点Q、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)或或或． 【分析】（1）将点P坐标分别代入和，从而求得m，n，进而得出结果； （2）可得出，从而得出，进而根据三角形内角和得出结果； （3）可求得和的面积，进而得出结果； （3）分为：及三种情形讨论得出结果． 本题考查了求一次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴，， ∴，． （2）解：当时，， ∴， 由得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）解：当时，Q点在O处，此时， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 当时， 或， ∴或， 综上所述：或或或． 17．物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示.桌面长为160，（小球P与木块Q大小厚度忽略不计）同时从A出发向B沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板ｌ如此反复，直到木块Q到达l，同时停止.设小球的运动时间为，木块Q与小球之间的距离为，图②是y与x的部分函数关系图象，结合图象回答下列问题. (1)小球P第一次到达挡板l的时间是______ s，小球P的速度为______； (2)求图②中a的值及木块Q的运动速度； (3)小球P第一次返回时，求y与x的函数关系式； (4)当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，直接写出x的值. 【答案】(1)16；10 (2)a的值为64，木块Q的运动速度 (3) (4)或 【分析】（1）依据题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是，进而可得小球P的速度为，故可判断得解； （2）依据题意，求出速度和，然后计算出点的速度，计算即可得解； （3）利用待定系数法计算可以得解； （4）依据题意，先求出小球P运动前的函数关系式，然后把代入解析式和（3）中解析式计算即可． 本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 【详解】（1）由题意，观察函数图象，可得， 小球P第一次到达挡板l的时间是， 小球P的速度为， 故答案为：16；； （2）由题意，， 又， ∴， ∴， 答：a的值为64，木块Q的运动速度． （3）由题意，设小球P第一次返回时，， 将，代入得， 解得， ∴． （4）由题意，设小球P运动16s前的函数关系式为， 函数过， ∴， ∴， ∴此时函数为， ,又令， ∴， 又当小球运动到后，结合（3）函数关系式为， ∴令， 解得， 综上，当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，或． 18．某物流公司计划租用这两种车辆运输物资．已知用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，某物流公司计划租用这两种车辆运输物资，根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次．物流公司计划共租用辆车，请写出总租车费用（元）与租用型车数量（辆）的函数关系式． (3)如果汽车租赁公司的型车只剩了辆，型车还有很多．在（）的条件下，请选出最省钱的租车车方案，并求出最少租车费用． 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨； (2)； (3)最省钱的租车方案为租辆型车，辆型车，租车费用最少，最少费用为元． 【分析】（）设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，根据题意列出方程组，解之即可求解； （）用型车和型车的总费用相加即可求解； （）求出的范围，根据一次函数的性质求解即可； 本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确列出方程组和一次函数表达式． 【详解】（1）解：设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨， 由题意得， 解得， 答：辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨； （2）解：由题意得，； （3）解：在一次函数中， ， 随的增大而小； 由题意知，，则当时，总租车费用最少， ∴最少费用为：元， ∴辆， 答：最省钱的租车方案为租辆型车，辆型车，租车费用最少，最少费用为元． 学科网（北京）股份有限公司 $$