专题07 一次函数的应用（6大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（沪科版）

专题07 一次函数的应用 目录 【题型一 分配方案问题】 1 【题型二 最大利润问题】 2 【题型三 行程问题】 3 【题型四 几何图形问题】 4 【题型五 分段收费问题】 5 【题型六 实际情境问题】 6 【题型一 分配方案问题】 例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【变式训练】 1．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金（单位：元/辆） 400 280 则最节省费用的租车方案是（    ） A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆 C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆 2．（19-20八年级上·陕西西安·阶段练习）某公司为用户提供上网服务的两种收费方式如下表： 收费标准/方式 基础费用（单位：元/月） 单价（单位：元/分） A 0 0.1 B 20 0.05 若设用户每月上网的时间为x分钟，A，B两种收费方式的费用分别为（元）、（元），则当每月上网时间多于400分钟时，选择 种方式省钱（填“A”或“B”）． 【题型二 最大利润问题】 例题：（23-24八年级下·广西桂林·期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【变式训练】 1．（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元 C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润 2．（23-24八年级下·河北唐山·期末）某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为 ．(其中) 【题型三 行程问题】 例题：（23-24八年级下·河北石家庄·期末）甲、乙两人以相同路线前往距离单位的培训中心参加学习．图中，分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程）随时间（分）变化的函数图像，以下说法中错误的是（   ） A．乙比甲提前12分钟到达 B．甲的平均速度为15千米/小时 C．乙走了后遇到甲 D．乙出发6分钟后追上甲 【变式训练】 1．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期末）已知甲车从A地出发前往B地，同时乙车从B地出发前往A地，两车离A地距离y（千米）和行驶时间x（小时）的关系如图，则两车相遇时，甲车行驶的时间是：（    ） A．1小时 B．小时 C．小时 D．小时 2．（23-24八年级下·湖南常德·期末）通信员跟随队伍沿直线行军，出发后，发现一份文件遗忘在了营地．通信员返回拿到后再追队伍，在此过程中，通信员的速度保持不变．队伍出发时间为，通信员到营地的距离与队伍到营地的距离之和为，y与x的函数图象如图所示，则通讯员追上队伍时， ． 【题型四 几何图形问题】 例题：（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，函数的图象与轴交于点，与函数的图象交于点，其中点为函数图象上点，且其纵坐标为2，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，正方形的面积为16，动点从点出发沿折线做匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，下列图象能表示与之间函数关系的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，四边形是边长为的正方形，点为的中点，点为上的一个动点，连接，，当点满足的值最小时，直线的表达式为 ． 【题型五 分段收费问题】 例题：（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）从地向地打长途电话，通话3分钟以内收费2.4元，3分钟后通话时间每增加1分钟加收1元．若通话时间为(单位：分钟，且为整数)，则通话费用(单位：元)与通话时间(单位：分钟)的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东滨州·期末）为鼓励居民节约用水，某地区将出台新的居民用水收费标准：若每月每户居民用水不超过立方米，则按每立方米元计算；若每月每户居民用水超过立方米，则超过部分按每立方米元计算（不超过部分仍按每立方米元计算）．现假设该地区某户居民某月用水立方米，水费为元，则与的函数关系用图象表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）【中考新考法  填空双空题】某旅游风景区门票价格为a元/人，对团体票规定：10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分每张门票打八折．已知门票费用y（元）与游客人数x（人）是一次函数关系．若一个25人的旅游团的门票费用为2200元，则 ；当团体人数为6人时，门票费用为 元． 【题型六 实际情境问题】 例题：（23-24六年级下·山东青岛·期末）漏刻（如图）是我国古代一种计时工具，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国人民智慧的创造性应用．李明同学根据漏刻的原理进行了研究，他发现水位（cm）与时间（min）的之间的关系是．下表是李明同学研究过程中记录的部分数据，但其中一个的值记录有误，请你找出错误的值为（    ） （min） … 2 3 5 6 （cm） … 2.0 2.4 3.0 3.6 A．2.0 B．2.4 C．3.0 D．3.6 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）梅梅制作的简易沙漏形水钟如图所示：高的矿泉水瓶子内部盛满水，假定水从瓶盖的小孔均匀漏出，将矿泉水瓶子视为圆柱体．用（分）表示漏水时间，表示漏水瓶水面下降的高度，记录部分数据如下表所示，估计漏水瓶漏完水需用时 分． 分 2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加m/s，则小球的速度v（m/s）与时间t（s）的函数关系式是 ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值： 码数 28 32 44 46 长度 19 21 27 28 根据小明的数据，可以得出该品牌42码鞋子的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，其图像如图所示，则不挂物体时弹簧的长度是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）把一个长，宽的长方形的长减少，宽不变，长方形的面积为，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距的同一桌客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与之间的函数图像如图所示，则下列说法中不正确的是（    ） A．慧慧比聪聪晚出发15秒 B．慧慧提速后的速度为30厘米/秒 C． D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为 5．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，点 P是矩形边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x， 的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（     ）    A．   B．   C．   D．   二、填空题 6．（23-24八年级下·山东临沂·期末）现有甲、乙两个工程队分别同时开挖两条600米长的隧道，所挖隧道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的函数关系如图所示．现有下列说法：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后．每天挖50米：③当或6时，甲、乙两队所挖隧道长度都相差100米：④甲队比乙队提前1天完成任务．其中正确的有 ．    7．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．已知华氏温度（）与摄氏温度（）之间的关系满足如表： 摄氏（单位℃） 华氏（单位℉） 若火星上的平均温度大约为，则此温度换算成华氏温度约为 ． 8．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，某物理兴趣小组在研究光的镜面反射时，为了更加直观的显示光的反射规律，于是把光的入射与反射路径画在了平面直角坐标系中，一束光线从点出发，经轴上的点反射，沿射线方向反射出去，则反射光线所在的直线的函数表达式是 ． 9．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）海拔每升高100米，气温下降约，某地地面温度为，海拔升高x（百米）后温度为，则y关于x的函数表达式为 ． 10．（23-24八年级下·山东临沂·期末）已知，，将直线绕原点旋转，当直线与线段有公共点时，则的取值范围是 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一点，且的面积为6，请直接写出点P的坐标． 12．（2023·陕西西安·一模）“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀运实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．漏到圆柱容器中， 时间：（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 (1)表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：在如图2所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； (2)请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式； (3)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到12厘米时是几点？ 13．（23-24八年级下·山东德州·期末）某专卖店购进A，B两种礼盒进行销售，两种礼盒的进价、售价如表所示．现计划购进两种礼盒共100个，其中A种礼盒不少于60个．设购进A种礼盒x个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利y元． 进价（元/个） 售价（元/个） A 160 220 B 120 160 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ 14．（23-24八年级下·广西南宁·期末）某公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 12元/瓶 4元/瓶 售价 18元/瓶 6元/瓶 (1)设甲种型号的果汁有x万瓶，公司所获利润为W元，如果该公司四月份投入成本不超过216万元，应该怎样安排甲、乙两种型号果汁的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润． (2)“五一”黄金周期间，为扩大销量，该公司对乙种型号果汁进行优惠，优惠方案如下： 方案一：购买乙种型号果汁一律打9折； 方案二：购买168元会员卡后，乙种型号果汁一律8折． 某超市到该公司购买乙种型号果汁，请帮该超市设计出合适的购买方案． 15．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）某商场计划购进A、B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示： 类型/价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A 60 90 B 80 115 若购进A种台灯盏，A、B两种台灯全部售完后总利润为元． (1)求与之间的关系式： (2)若商场规定B种台灯的进货数量不超过A种台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最大？最大利润为多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一次函数的应用 目录 【题型一 分配方案问题】 1 【题型二 最大利润问题】 3 【题型三 行程问题】 6 【题型四 几何图形问题】 9 【题型五 分段收费问题】 13 【题型六 实际情境问题】 15 【题型一 分配方案问题】 例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800米， 故选：C． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金（单位：元/辆） 400 280 则最节省费用的租车方案是（    ） A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆 C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆 【答案】A 【分析】设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7辆，要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于，客车总数不能小于6，可得客车总数为6，，根据题意列出一次函数和一元一次不等式，找到x的取值范围，再结合一次函数的增减性即可求解． 【详解】解：设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7辆， 要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于，客车总数不能小于6， ∴客车总数为6，， 由题意可得，， 整理可得， 由题意，， 解得， ∵， ∴， ∵中，，y随x的增大而增大， ∴x取最小值时，即，y有最小值， 即当租甲种车4辆，租乙种车2辆，费用最少， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的实际应用，利用题中的不等关系找到x的取值范围是解题的关键． 2．（19-20八年级上·陕西西安·阶段练习）某公司为用户提供上网服务的两种收费方式如下表： 收费标准/方式 基础费用（单位：元/月） 单价（单位：元/分） A 0 0.1 B 20 0.05 若设用户每月上网的时间为x分钟，A，B两种收费方式的费用分别为（元）、（元），则当每月上网时间多于400分钟时，选择 种方式省钱（填“A”或“B”）． 【答案】B 【分析】先由表格中数据分别表示出、关于x的函数表达式，分别令=、＞、＜求解，即可做出判断． 【详解】解：由题意可知：=0.1x，=20+0.05x， 当=时，由0.1x=20+0.05x得：x=400，两种收费方式一样省钱； 当＞时，由0.1x＞20+0.05x得：x＞400，B种方式省钱； 当＜时，由0.1x＜20+0.05x得：x＜400，A种方式省钱， ∴当每月上网时间多于400分钟时，选择B种方式省钱， 故答案为：B． 【点睛】本题考查一次函数的应用、解一元一次方程、解一元一次不等式，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键． 【题型二 最大利润问题】 例题：（23-24八年级下·广西桂林·期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出的范围． 设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，根据在同一时期内，型饮水机的销售量不小于型饮水机销售量的3倍可得：，而，由一次函数性质可得答案． 【详解】解：设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台， 根据题意得：． 解得：， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大值为(元)， 答：该商场在这一时期内销售这两种饮水机能获得的最大利润是元． 故选：B． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元 C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润 【答案】C 【分析】根据函数图象分别求出当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为，当时，产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断． 【详解】A、根据图①可得第25天的销售量为200件， 故此选项正确，不符合题意； B、设当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 当时，， 故此选项正确，不符合题意； C、当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 当时，日销售利润为（元）； 当时，日销售利润为（元）， ∴第20天和第30天销售利润不相等， 故此选项错误，符合题意； D、当时，日销售利润为（元）， 当时，日销售利润为（元）． ∴第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润， 故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式． 2．（23-24八年级下·河北唐山·期末）某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为 ．(其中) 【答案】9 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设商场获得的利润为，根据总利润等于两种服装的利润之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，结合商场获利最大利润为4950元，进行求解即可． 【详解】解：设商场获得的利润为，由题意，得： ， 整理，得：， ∵， 当，即：时，随的增大而减小， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：（舍去）； 当时，即：时，随的增大而增大， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：； 故答案为：9． 【题型三 行程问题】 例题：（23-24八年级下·河北石家庄·期末）甲、乙两人以相同路线前往距离单位的培训中心参加学习．图中，分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程）随时间（分）变化的函数图像，以下说法中错误的是（   ） A．乙比甲提前12分钟到达 B．甲的平均速度为15千米/小时 C．乙走了后遇到甲 D．乙出发6分钟后追上甲 【答案】C 【分析】本题考查学生从函数图象中获取信息的能力，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质；观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程；由图象找出甲乙两人到达培训中心所用时间；根据平均速度路程所用时间计算甲的平均速度；乙第一次遇到甲时，所走的距离为速度乘以时间，可得乙多久遇到甲． 【详解】解：乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到达，A选项说法正确，故此选项不符合题意； 根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度千米/时；B选项说法正确，故此选项不符合题意； 设乙出发x分钟后追上甲，则有：，解得，D选项说法正确，故此选项符合题意； 乙第一次遇到甲时，所走的距离为：，C选项说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期末）已知甲车从A地出发前往B地，同时乙车从B地出发前往A地，两车离A地距离y（千米）和行驶时间x（小时）的关系如图，则两车相遇时，甲车行驶的时间是：（    ） A．1小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答时求出一次函数的解析式是关键． 先求得两直线的解析式，联立求解即可． 【详解】解：设乙车的解析式为， 把代入，得． 解得． ∴乙车的解析式为， 设甲车的解析式为， 把代入，得． 解得， ∴甲车的解析式为， 解方程． 解得， 答：两车相遇时，甲车行驶的时间是小时． 故选：B． 2．（23-24八年级下·湖南常德·期末）通信员跟随队伍沿直线行军，出发后，发现一份文件遗忘在了营地．通信员返回拿到后再追队伍，在此过程中，通信员的速度保持不变．队伍出发时间为，通信员到营地的距离与队伍到营地的距离之和为，y与x的函数图象如图所示，则通讯员追上队伍时， ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数在行程问题中的应用，一元一次方程在在行程问题中的应用；由图象得通讯员返回的速度是队伍行军速度的倍数为：，根据路程=速度×时间得出关于的一元一次方程即可求解；理解横纵坐标的实际意义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，通讯员返回的速度是队伍行军速度的倍数为： ， ， 解得：； 故答案：． 【题型四 几何图形问题】 例题：（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，函数的图象与轴交于点，与函数的图象交于点，其中点为函数图象上点，且其纵坐标为2，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，设直线与x轴交于D，先求出，得到，再分别求出B、C的坐标，再根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，设直线与x轴交于D， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴， 联立，解得， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，正方形的面积为16，动点从点出发沿折线做匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，下列图象能表示与之间函数关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，利用分类讨论的思想解题是关键．分别求出点在正方形三边时的函数解析式，进而判断图象即可． 【详解】解：正方形的面积为16， ，， 设点运动的路程为，的面积为， 当点在边上时，， ； 函数图象随的增大而增大； 当点在边上时，的高恒为4， ； 函数图象为平行于轴的线段； 当点在边上时，， ， 函数图象随的增大而减小， 只有B选项图象符合， 故选：B． 2．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，四边形是边长为的正方形，点为的中点，点为上的一个动点，连接，，当点满足的值最小时，直线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形，一次函数的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，，关于直线对称，连接交于点，连接，，得到；当点，，三点共线时，的值最小；根据正方形的性质，求出点，；设直线的解析式为：，求出函数解析式，此即为直线的解析式． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，关于直线对称， 连接交于点，连接，， ∴， 当点，，三点共线时，的值最小； ∵， ∴点，， ∵点为的中点， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴； 由于点最小时，点P在直线上， ∴直线的表达式为：． 故答案为：． 【题型五 分段收费问题】 例题：（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）从地向地打长途电话，通话3分钟以内收费2.4元，3分钟后通话时间每增加1分钟加收1元．若通话时间为(单位：分钟，且为整数)，则通话费用(单位：元)与通话时间(单位：分钟)的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的应用，本题采取分段收费，不超3分钟，收费2.4元，超过3分钟，收费为元，由此建立付话费元与时间的函数关系式． 【详解】解：依题意得，， 整理得：． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东滨州·期末）为鼓励居民节约用水，某地区将出台新的居民用水收费标准：若每月每户居民用水不超过立方米，则按每立方米元计算；若每月每户居民用水超过立方米，则超过部分按每立方米元计算（不超过部分仍按每立方米元计算）．现假设该地区某户居民某月用水立方米，水费为元，则与的函数关系用图象表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出与之间的函数关系式，根据函数的特点解答即可，根据数量关系，找出关于的函数关系式是解题的关键． 【详解】根据题意可知当时，与的函数关系式为； 当时，与的函数关系式为， 故与的函数关系式为：， 观察各选项图象，只有选项符合， 故选：． 2．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）【中考新考法  填空双空题】某旅游风景区门票价格为a元/人，对团体票规定：10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分每张门票打八折．已知门票费用y（元）与游客人数x（人）是一次函数关系．若一个25人的旅游团的门票费用为2200元，则 ；当团体人数为6人时，门票费用为 元． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的应用，先分情况列出函数关系式，再把，代入相应的解析式可得的值，再进一步求解可得人的费用． 【详解】解：由题意可得：当时，， 当时，， 当，， ∴， 解得：， 当时，， 故答案为：， 【题型六 实际情境问题】 例题：（23-24六年级下·山东青岛·期末）漏刻（如图）是我国古代一种计时工具，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国人民智慧的创造性应用．李明同学根据漏刻的原理进行了研究，他发现水位（cm）与时间（min）的之间的关系是．下表是李明同学研究过程中记录的部分数据，但其中一个的值记录有误，请你找出错误的值为（    ） （min） … 2 3 5 6 （cm） … 2.0 2.4 3.0 3.6 A．2.0 B．2.4 C．3.0 D．3.6 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的应用．将、3、5、6分别代入中，即可判断． 【详解】解：A、将代入中， 即，故本选项不符合题意； B、将代入中， 即，故本选项不符合题意； C、将代入中， 即，故本选项符合题意； D、将代入中， 即，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）梅梅制作的简易沙漏形水钟如图所示：高的矿泉水瓶子内部盛满水，假定水从瓶盖的小孔均匀漏出，将矿泉水瓶子视为圆柱体．用（分）表示漏水时间，表示漏水瓶水面下降的高度，记录部分数据如下表所示，估计漏水瓶漏完水需用时 分． 分 【答案】 【分析】本题考查一次函数函数解实际应用题，根据表格中的数据，可知与满足一次函数关系，利用待定系数法求出表达式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：由表中数据可知，与满足一次函数关系，设， 将和代入 得，解得， ， 当时，，解得， 估计4分钟后漏水瓶会漏完水， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加m/s，则小球的速度v（m/s）与时间t（s）的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数实际应用，求一次函数解析式．根据题意列出当静止开始运动的表达式即为本题答案． 【详解】解：∵小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加m/s， ∴，即， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值： 码数 28 32 44 46 长度 19 21 27 28 根据小明的数据，可以得出该品牌42码鞋子的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，根据待定系数求出一次函数解析式，然后再将代入函数解析式，求出y的值即可． 【详解】解：设与的一次函数解析式为， 点，在该函数图象上， ∴， 解得， 即与的函数解析式为， 当时，， 故选：C． 2．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，其图像如图所示，则不挂物体时弹簧的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．设弹簧的长度y与物体质量x之间的关系为，利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】解：设弹簧的长度y与物体质量x之间的关系为， 观察图象得：当时，；当时，，则 ，解得：， ∴弹簧的长度y与物体质量x之间的关系为， 当时，． 即不挂物体时弹簧的长度为． 故选：D 3．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）把一个长，宽的长方形的长减少，宽不变，长方形的面积为，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，长方形的面积，得出与的函数关系式是解题关键．根据长方形的面积公式即可求解． 【详解】， 整理，得， 故选：B 4．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距的同一桌客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与之间的函数图像如图所示，则下列说法中不正确的是（    ） A．慧慧比聪聪晚出发15秒 B．慧慧提速后的速度为30厘米/秒 C． D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息是解题关键．根据图像信息求出运动速度进而判断选项A，B，C；分别求得以及各段的函数解析式，结合函数图像即可判断D选项． 【详解】解：根据题意，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍，结合图像可知，慧慧比聪聪晚出发15秒，故选项A正确，不符合题意； ∵当秒时，，当秒时，厘米， 故慧慧提速前的速度是厘米/秒， ∵慧慧发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴慧慧提速后速度为30厘米/秒，故选项B正确，不符合题意； 故提速后慧慧行走所用时间为：秒， ∴秒， ∴， 则聪聪的速度为厘米/秒 ∴秒，故选项C正确，不符合题意； 设段对应的函数表达式为， 将点代入，可得 可得， ∴可有， 当时，聪聪和慧慧之间距离最大值为厘米； 当时，设， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， ∴聪聪和慧慧之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 设段对应的函数表达式为， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， 当时，聪聪和慧慧之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 当时，聪聪和慧慧之间距离最大值为厘米． 综上所述，从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为150厘米，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 5．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，点 P是矩形边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x， 的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（     ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题以动点问题为背景，考查了分类讨论的数学思想以及函数图象的变化规律，理解题意，作出辅助线是解题关键．分三段来考虑点P沿A→D运动，的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，的面积不变；点P沿C→B的路径移动，的面积逐渐减小，同时考虑各段的函数解析式，据此选择即可得． 【详解】解：设矩形的长为a，宽为b，则 当点P在线段上时，，b是定值，y是x的一次函数，    点P沿A→D运动，的面积逐渐变大，且y是x的一次函数， 点P沿D→C移动，的面积不变， 点P沿C→B的路径移动，的面积逐渐减小，同法可知y是x的一次函数， 故选：A． 二、填空题 6．（23-24八年级下·山东临沂·期末）现有甲、乙两个工程队分别同时开挖两条600米长的隧道，所挖隧道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的函数关系如图所示．现有下列说法：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后．每天挖50米：③当或6时，甲、乙两队所挖隧道长度都相差100米：④甲队比乙队提前1天完成任务．其中正确的有 ．    【答案】①②③ 【分析】根据图象的信息，运用工作总量、工作时间和工作效率的数量关系式来解答．本题考查了函数的图象，解题的关键是根据数量关系式来解答． 【详解】解：（米），则甲队每天挖100米，故①符合题意， （米），则乙队开挖2天后，每天挖50米，故②符合题意； 由①得甲队每天挖100米， 当时，（米）， 当时，则 ∴（米， 当或6时，甲、乙两队所挖隧道长度都相差100米，故③符合题意， （天），甲队比乙队提前2天完成任务，故④不符合题意； 其中正确的有：①②③， 故答案为：①②③ 7．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．已知华氏温度（）与摄氏温度（）之间的关系满足如表： 摄氏（单位℃） 华氏（单位℉） 若火星上的平均温度大约为，则此温度换算成华氏温度约为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意和表格中的数据，可以求得（）关于（）的函数表达式，将代入函数解析式，即可得到相应的华氏温度的值； 【详解】解：设（）关于（）的函数表达式为， 把（），（）代入得， ， 解得，， 即（）关于（）的函数表达式为； 当时， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，某物理兴趣小组在研究光的镜面反射时，为了更加直观的显示光的反射规律，于是把光的入射与反射路径画在了平面直角坐标系中，一束光线从点出发，经轴上的点反射，沿射线方向反射出去，则反射光线所在的直线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式的应用．设直线与y轴的交点为E，直线与y轴的交点为F，先求直线的解析式，然后求直线与y轴的交点E的坐标，根据镜面知：E和直线与y轴的交点F关于x轴对称，则可求F的坐标，然后根据待定系数法求反射光线所在的直线的函数表达式即可． 【详解】解：设直线与y轴的交点为E，直线与y轴的交点为F，    设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴直线与y轴的交点E的坐标为， 根据镜面知：E和F关于x轴对称， ∴点F的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为． 故答案为： 9．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）海拔每升高100米，气温下降约，某地地面温度为，海拔升高x（百米）后温度为，则y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某处的气温地面的气温降低的气温．根据地面温度为，海拔每升高100米，气温下降约，可求出与的关系式． 【详解】解：由题意得与之间的函数关系式为：． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·山东临沂·期末）已知，，将直线绕原点旋转，当直线与线段有公共点时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，把点的坐标分别代入求出k的值即可得到答案． 【详解】解：把代入直线得， ， 把代入直线得，， 解得 ∴的取值范围是， 故答案为： 三、解答题 11．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一点，且的面积为6，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)；； (2)3； (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式： （1）先求出点C的坐标，即可求出m的值，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出点B的坐标得到，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）设，再仿照（2）建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴； 把，代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设 ∴， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或． 12．（2023·陕西西安·一模）“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀运实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．漏到圆柱容器中， 时间：（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 (1)表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：在如图2所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； (2)请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式； (3)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到12厘米时是几点？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键． （1）先描点，再连线即可； （2）利用待定系数法求解函数解析式即可； （3）把代入函数解析式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：描出各点，并连接，如图所示： （2）解：由（1）中图象可知该函数为一次函数，设该函数的表达式为， ∵点，在该函数上， ∴， 解得：， ∴y与x的函数表达式为； （3）解：当时，即， 解得：， ， 即圆柱体容器液面高度达到12厘米时是上午． 13．（23-24八年级下·山东德州·期末）某专卖店购进A，B两种礼盒进行销售，两种礼盒的进价、售价如表所示．现计划购进两种礼盒共100个，其中A种礼盒不少于60个．设购进A种礼盒x个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利y元． 进价（元/个） 售价（元/个） A 160 220 B 120 160 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ 【答案】(1)； (2)最大利润为元． 【分析】本题主要考查了列一次函数关系式、一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，等知识点，根据题意建立函数关系式是解答本题的关键． （1）设购进种礼盒x个，则购进种礼盒个，然后根据进价、售价和利润之间的关系列出函数关系式即可； （2）根据不等关系“购进100个礼盒的总费用不超过15000元”和“种礼盒不少于60个”列不等式组求得x的取值范围，再根据一次函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：设购进种礼盒x个，则购进种礼盒个， 由题意得：； （2）解：由题意得：， ∴， ∵中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y最大（元）． 14．（23-24八年级下·广西南宁·期末）某公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 12元/瓶 4元/瓶 售价 18元/瓶 6元/瓶 (1)设甲种型号的果汁有x万瓶，公司所获利润为W元，如果该公司四月份投入成本不超过216万元，应该怎样安排甲、乙两种型号果汁的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润． (2)“五一”黄金周期间，为扩大销量，该公司对乙种型号果汁进行优惠，优惠方案如下： 方案一：购买乙种型号果汁一律打9折； 方案二：购买168元会员卡后，乙种型号果汁一律8折． 某超市到该公司购买乙种型号果汁，请帮该超市设计出合适的购买方案． 【答案】(1)当甲种型号的果汁生产了17万瓶，乙种的果汁生产了3万瓶时，该月公司所获利润最大，最大利润为108万元； (2)当时，选择方案一购买更合算；当时，选择两优惠方案所需费用相同；当时，选择方案二购买更合算． 【分析】（1）根据该公司四月份投入成本不超过216万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之导出x的取值范围，利用总利润每瓶甲种号的果汁的销售利润生产甲种型号的果汁量每瓶乙种型号的果汁的销售利润生种型号的果汁的数量，可找出W关于x的关系式，再利用一次函数的性质，即可解值问题； （2）设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，选择方案一所需费用为元；选择方案而需费用为元，分及 三种情况，可求出y的直范围或y的值，进而可得出结论． 本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式应用以及一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵该公司每月生产甲、乙两种型号的果汁20万瓶，且甲种型号的果汁生产了x万瓶，乙种型号的果汁生产了万瓶， 据题意得： 解得：， ∵公司所获利润为W元， ∴ ∴ ∵ ∴W随x的增大而增大， ∴当时，W取得最大值，最大值为，此时， ∴当甲种型号的果汁生产了17万瓶，乙种的果汁生产了3万瓶时，该月公司所获利润最大，最大利润为108万元； （2）解：设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，则选择方案一所需费用为：元，选择方案二所需费用为：元， 若，则， 当时，选择方案一购买更合算； 若，则， 当时，选择两优惠方案所需费用相同； 若，则，   当时，选择方案二购买更合算． ∴当时，选择方案一购买更合算；当时，选择两优惠方案所需费用相同；当时，选择方案二购买更合算． 15．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）某商场计划购进A、B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示： 类型/价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A 60 90 B 80 115 若购进A种台灯盏，A、B两种台灯全部售完后总利润为元． (1)求与之间的关系式： (2)若商场规定B种台灯的进货数量不超过A种台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)购进A种台灯25盏，B种台灯75盏时，商场获利最大，最大利润为3375元 【分析】此题考查了一次函数的应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用， （1）根据售价减去进价的差乘以销售数量分别求出A、B两种台灯的利润相加即可得到关系式； （2）根据题意列不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求出最值 【详解】（1）解： （2）由题意得，， 解得 ∴ ∵中, ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值 ∴购进A种台灯25盏，B种台灯75盏时，商场获利最大，最大利润为3375元 1 学科网（北京）股份有限公司 $$