精品解析：湖南省邵阳市邵阳县第二高级中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题

入学考试数学试卷 一、单选题（8小题，每题5分，共40分） 1. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先求出复数 的共轭复数，然后可求出共轭复数对应的点所在的象限. 【详解】因为，所以， 所以在复平面对应的点位于第四象限. 故选：D 2. 设向量，若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，由，得， 所以. 故选：C 3. 若正三棱锥的所有棱长均为 ，则该三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正三棱锥的各个面都是边长为 的等边三角形，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】正三棱锥的所有棱长均为 ， 则正三棱锥的各个面都是边长为 的等边三角形， 等边三角形的高为， 则该三棱锥的表面积为. 故选：. 4. 若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ） A. “甲站排头”与“乙站排头” B. “甲站排头”与“乙站排尾” C. “甲站排头”与“乙不站排头” D. “甲不站排头”与“乙不站排头” 【答案】A 【解析】 【分析】利用互斥事件的概念，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A，因为“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，所以选项A正确， 对于选项B，因为“甲站排头”与“乙站排尾”可以同时发生，所以选项B不正确， 对于选项C，因为“甲站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生，所以选项C不正确， 对于选项D，因为“甲不站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生，所以选项D不正确， 故选：A. 5. 在中，，则角 的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】因为， 由正弦定理，即，所以， 又，所以 ，则. 故选：A 6. 已知， ，三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点 与， ，三点共面，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点 与， ，三点共面，可得，从而可得答案. 【详解】因为， ，三点不共线，点 与， ，三点共面， 又， 所以，解得. 故选：A. 7. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标表示，求出 的值. 【详解】向量，且， 所以，解得 ， 故选：B. 8. 两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由古典概型的计算公式即可求解. 【详解】两名男生，一名女生记为 两名男生，一名女生排成一排可能为：，故总可能数， 女生站在中间的可能为：，故可能数 ， 则女生站在中间的概率. 故选：A. 二、多选题（3小题，每题6分，共18分） 9. 复数，下列说法正确的是（ ） A. 的实部为2 B. 的虚部为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接根据复数的概念及模的计算得答案. 【详解】因为， 所以实部为2，虚部为3，，. 故选：ACD. 10. 小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（ ） A. 抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B. 同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C. 从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D. 小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【答案】ACD 【解析】 【分析】在四个选项中分别列出小明与小华获胜的情况，由此判断两人获胜是否为等可能事件． 【详解】解：对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平 对于B，恰有一枚正面向上包括 正，反反，正 两种情况，而两枚都正面向上仅有 正，正 一种情况， 所以游戏不公平 对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平 对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：（6,6），（6,8），（8,6），（8,8）；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平． 故选：ACD． 【点睛】本题考查等可能事件的判断，考查运算求解能力，是基础题． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得 与所成的角为 C. 直线 与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若，则P的轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量 ，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D. 【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则 对于B，，使得 与所成的角 满足： ， 因为，故，故， 而，B错误； 对于C，平面的法向量 ， 所以直线 与平面所成角的正弦值为：， 因为，故 故， 而，， 故即 的取值范围为，C正确； 对于D，，由， 可得，化简可得， 在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为 ，D正确； 故选：ACD. 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. 已知、、、的平均值为m，则、、、的平均值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平均数的定义求解即可 【详解】由题意得， 所以、、、的平均值为 . 故答案为： 13. 已知，，与的夹角为．则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以 ．答案：． 14. 在三棱锥中，，，D为AC的中点，平面ABC，且，则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知，利用余弦定理可得，再由正弦定理可得的外接圆的半径为，结合立体图形，设三棱锥的外接球球心到平面的距离为 ，设外接球的半径为 ，在中和直角梯形中，由等量关系建立方程组，解出 ，即可得到三棱锥外接球的表面积. 【详解】在中，，， 由余弦定理得， 所以，设的外接圆的半径为， 则由正弦定理得，解得 结合图形分析： 因为D为AC的中点，平面ABC，且， 在 中，，， 又，则圆心到点的距离为， 另设三棱锥的外接球球心到平面的距离为 ，设外接球的半径为 ， 则中，，即， 直角梯形中，，即， 解得 ，，所以. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：球的性质：①球的任何截面均为圆面；②球心和截面圆心的连线垂直于该截面. 四、解答题（5小题，共77分） 15. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数，单位：分）的频率分布直方图如图所示． （1）求这次测试数学成绩的众数； （2）求这次测试数学成绩的中位数． （3）延伸探究：若本例的条件不变，求数学成绩的平均分． （4）若本例条件不变，求80分以下的学生人数． 【答案】（1）75分 （2）73.3分 （3）72分 （4）56 【解析】 【分析】（1）根据众数的知识求得正确答案. （2）根据中位数的知识求得正确答案. （3）根据平均数的知识求得正确答案. （4）根据频率分布直方图来求得正确答案. 【小问1详解】 由题图知，众数为 分. 【小问2详解】 设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，， 因此中位数位于第四个矩形内，则，解得分． 故这次测试数学成绩的中位数约为分． 【小问3详解】 数学成绩的平均分为分. 【小问4详解】 因为分的频率为， 所以分以下的学生人数为． 16. 已知非零向量满足,且. (1)求; (2)当时,求和向量与的夹角的值. 【答案】(1);(2)1，. 【解析】 【分析】 (1) 根据，得到，再将代入求解. (2)利用求向量模的公式求解;利用向量的夹角公式，求的值. 【详解】(1)∵，且， ∴，则， ∴; (2)， ∴; ∴， ∵0≤θ≤π， ∴. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积综合运算及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 17. 如图，在正方体中，是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据线线平行，即可根据线面平行的判定求证， （2）利用等体积法，结合锥体的体积公式即可求解. 【小问1详解】 连接 交于，连接，如图， 因为在正方体中，底面 是正方形，则是 的中点， 又是的中点，则是的中位线，故， 又面，面，所以平面． 【小问2详解】 因为正方体中， 平面， 所以． 18. 记的内角， ，的对边分别为 ，，，已知，，． （1）求角 的大小； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解； （2）利用余弦定理得到，再将两边平方，即可求出，最后由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以， 即，即， 显然 ，所以，又，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，即， 又，所以， 解得， 所以. 19. 在长方体中，点E，F分别在，上，且 ， ． （1）求证：平面 平面AEF； （2）当 ，，求平面 与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 为长方体 平面 平面∴ 又 ，且 ， 平面， 平面 平面AEF 平面平面 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可； （2）应用空间向量法求二面角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，建立以D为原点，以DA，DC，分别为x，y，z轴的空直角坐标系， 则 ， 则 设平面的法向量为．则，即 令，则 ． ． 设平面 的法向量为 ，则， 令 ，则 ，所以平面 的法向量为 ， 设平面与平面 的夹角为， 则， 所以平面与平面 的夹角的余弦值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 入学考试数学试卷 一、单选题（8小题，每题5分，共40分） 1. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设向量，若，则 （ ） A. B. C. D. 3. 若正三棱锥的所有棱长均为 ，则该三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 若干人站成一排，其中为互斥事件的是（ ） A. “甲站排头”与“乙站排头” B. “甲站排头”与“乙站排尾” C. “甲站排头”与“乙不站排头” D. “甲不站排头”与“乙不站排头” 5. 在中，，则角 的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 已知 ， ， 三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点 与 ， ， 三点共面，则 的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（3小题，每题6分，共18分） 9. 复数，下列说法正确的是（ ） A. 的实部为2 B. 的虚部为 C. D. 10. 小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（ ） A. 抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B. 同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C. 从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D. 小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱 的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得 与所成的角为 C. 直线 与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若，则P的轨迹的长度为 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. 已知、、、的平均值为m，则、、、的平均值为________． 13. 已知，，与的夹角为．则__________． 14. 在三棱锥中，，，D为AC的中点，平面ABC，且，则三棱锥外接球的表面积为______． 四、解答题（5小题，共77分） 15. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数，单位：分）的频率分布直方图如图所示． （1）求这次测试数学成绩的众数； （2）求这次测试数学成绩的中位数． （3）延伸探究：若本例的条件不变，求数学成绩的平均分． （4）若本例条件不变，求80分以下的学生人数． 16. 已知非零向量满足,且. (1)求; (2)当时,求和向量与的夹角 的值. 17. 如图，在正方体中， 是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 18. 记的内角 ， ， 的对边分别为 ，，，已知，，． （1）求角 的大小； （2）求的面积． 19. 在长方体中，点E，F分别在，上，且 ， ． （1）求证：平面 平面AEF； （2）当 ，，求平面 与平面的夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $