精品解析：陕西省西北大学附属中学2015-2016学年高二上学期模块质量检测理科数学试题

2015-2016学年度第一学期模块质量检测试卷 高二数学（理）（必修2、必修3） 一、选择题 1. 用斜二测图法画出长为，高为的矩形的直观图，则其直观图面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出矩形面积，再利用直观图面积与原图形面积关系计算即得. 【详解】依题意，矩形面积为， 在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的， 所以所求直观图面积为. 故选：A 2. 已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是 A. α⊥β，且m⊂α B. m⊥n，且n∥β C. α⊥β，且m∥α D. m∥n，且n⊥β 【答案】D 【解析】 【分析】 根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案. 【详解】解：且或或与相交，故不成立； 且或或与相交，故不成立； 且或或与相交，故不成立； 且，故成立； 故选： 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题. 3. 为了了解某地区的名学生的数学成绩，打算从中抽取一个容量为的样本，现用系统抽样的方法，需从总体中剔除个个体，在整个过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽取的概率分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据每个个体被抽取的概率都是相等的、被剔除的概率也都是相等的，分别由剔除的个数和抽取的样本容量除以总体个数即可求解. 【详解】根据系统抽样的定义和方法可知： 每个个体被抽取的概率都是相等的，每个个体被剔除的概率也都是相等的， 所以每个个体被剔除的概率为，每个个体被抽取的概率为， 故选：D. 4. 上春季，某队甲、乙两名篮球运动员都参加了相同的场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，据此你认为甲、乙两名运动员得分的表现（ ） A. 甲比乙好 B. 乙比甲好 C. 甲乙一样好 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由给定的茎叶图，求出甲乙得分的平均数及方差，再比较大小即得. 【详解】依题意，甲得分的平均数， 乙得分的平均数， 甲得分的方差， 乙得分的方差， 显然，说明甲、乙得分的平均水平相当，而甲得分比乙得分更稳定，因此甲比乙好. 故选：A 5. 如图所示算法框图，可输出一个数列，设这个数列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的程序框图，依次计算出即可. 【详解】依题意，. 故选：C 6. 一个多面体的三视图如图所示，则此多面体的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由给定的三视图作出原几何体，再求出表面积. 【详解】作出给定的三视图对应的几何体，如图： 该几何体是直三棱柱，底面是等腰，且， 所以该几何体的表面积. 故选：D 7. 已知长方体中，，为的中点，则点 到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算三棱锥体积与三角形面积，然后用等体积法计算即可. 【详解】由题可知，, 故三棱锥体积为 所以三角形面积为, 设点 到平面的距离为， 得 故选：A 8. 若一组数据，，，方差为，则数据，，，的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数据，，，的方差是，，，，的方差的倍． 【详解】，，，，的方差为， ，，，的方差为． 故选：D． 9. 已知某仪器的使用年限（年）和其维修费用（万元）的统计数据： 使用年限 维修费用 由散点图知对具有线性相关关系，利用线性回归方程估计使用年限为年时，维修费用为（ ）万元. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的数据求出回归直线方程，再进行预测. 【详解】依题意，， ，， 则，， 则关于的线性回归方程为，当时，， 所以估计使用年限为年时，维修费用为13.59万元. 故选：C 10. 如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1 的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是（ ） A. 60° B. 45° C. 90° D. 30° 【答案】C 【解析】 【详解】设正三棱柱棱长为1， 所以,则异面直线AB1和BM所成的角为90°， 故选C． 考点：1、异面直线所称角． 【一题多解】本题主要考查的是异面直线所成的角，属于容易题． 方法一：向量法； 方法二：补正三棱柱为四棱柱，平移BM使得AB1与平移后的直线相交且构成三角形，则通过解三角形求出异面直线所成的角大小； 方法三：坐标法，建立空间直角坐标系，标出向量与的坐标，则 11. 已知两点，到直线的距离分别为，，则满足条件的直线共有（ ）条 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为判定以为圆心，2为半径的圆和以为圆心，3为半径的圆的的位置关系即可. 【详解】以为圆心，2为半径的圆为，则直线是圆的切线， 以为圆心，3为半径的圆为，则直线是圆的切线， 而，即两圆相外切，这两圆有3条公切线， 所以满足条件的直线共有3条. 故选：B 12. 有个互不相等的正整数，它们的平均数为，方差为，则这组数据中最大的数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设个互不相等的正整数减去9的差依次为，结合方程组有整数解推理计算即得. 【详解】设个互不相等的正整数减去9的差依次为，且， 依题意，，显然，又， 不妨令，则，解得， ，当且仅当时取等号， 此时，即， 当时，不存在互不相等的整数，使得成立， 所以，符合条件的5个正整数从小到大依次为，即这组数据中最大的数为12. 故选：C 二.填空题： 13. 一个总体分为，两层，其个体数之比为，用分层抽样法用总体中抽取一个容量为的样本.已知层中甲被抽到的概率为，则总体中的个体数是______ 【答案】280 【解析】 【分析】根据分层抽样每个个体抽到的概率相等，即可求出结论. 【详解】由层中甲被抽到的概率为，得层中每个个体抽到的概率都为， 因此总体中每个个体抽到的概率都为，而样本容量为10， 所以总体中的个体数为. 故答案为：280 14. 设正六棱锥的底面边长为，侧棱长为，那么它的体积为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正六棱锥的结构特征求出高，再求出体积即可. 【详解】正六棱锥的底面是正六边形，其边长为，则正六边形外接圆半径为1， 即正六棱锥的侧棱在底面上的射影为1，则正六棱锥的高为， 而底面积， 所以所求体积为. 故答案为： 15. 已知某厂的产量x吨与能耗y吨的几组对应数据: 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5 由以上数据求出的线性回归方程为，那么表中m的值为______ 【答案】3 【解析】 【分析】中心点在线性回归方程上，求解中心点，带入求参数. 【详解】因为， 又因，所以. 故答案为：3. 16. 阅读下列算法语句，则输出结果为_____（用分数表示） 【答案】##0.96875 【解析】 【分析】根据给定的算法语句，确定该程序的功能，列式计算即得. 【详解】该算法语句是从1到5，求的和， 因此, 所以. 故答案为： 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，则这个四棱锥的内切球半径是_____ 【答案】 【解析】 【分析】由题意球心到各个面的距离均相等，利用等体积法求解． 【详解】设球心为，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为 ， ． 故答案为：． 三.解答题 18. 袋中装着分别标有数字，，，，的个形状相同的小球，从袋中有放回的依次取出个小球，记第一次取出的小球所标数字为，第二次为. （1）列举出所有基本事件； （2）求是的倍数的概率； 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用列举法写出所有基本事件. （2）列举出是的倍数的基本事件，再求出概率即可. 【小问1详解】 第一次取出的小球所标数字为，第二次为，则一个基本事件记为， 所以所有基本事件为： . 小问2详解】 由（1）知，试验的所有基本事件数为25， 是的倍数的事件为，共9个， 所以是的倍数的概率为. 19. 对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 合计 （1）求出表中，及图中的值； （2）估计高二年级学生参加社区服务次数的平均数和中位数（保留一位小数）. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频数与频率的统计表和频率分布直方图计算可得结果. （2）利用频率分布直方图估计平均数和中位数.. 【小问1详解】 由内的频数是10，频率是0.25知，，解得M＝40， 由频数之和为40，得，所以； 而a是对应分组的频率与组距的商，所以. 【小问2详解】 服务次数落在的频率依次为， 高二年级学生参加社区服务次数的平均数为， 高二年级学生参加社区服务次数的中位数，则，解得， 所以高二年级学生参加社区服务次数平均数和中位数分别为. 20. 如图，在棱长为的正方体中，，分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）过作棱的平行线交于点，利用线面平行的判定推理即得. （2）连接，利用几何法求出线面角的余弦. （3）利用锥体的体积公式计算即得. 【小问1详解】 在正方体中，过作棱的平行线交于点，连接， 由是棱中点，得是的中点，则，而， 因此四边形是平行四边形，则，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 在正方体中，连接， 由平面，则是与平面所成的角， 而，， 所以与平面所成角的余弦值是. 【小问3详解】 ，而平面， 所以三棱锥的体积. 21. 已知圆，点，为坐标原点. （1）若，求圆过点的切线方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求的值； （3）若圆上存在点，满足，求取值范围. 【答案】（1）或； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，设出切线方程，利用点到直线距离公式计算即得. （2）联立直线与圆的方程，结合韦达定理及给定的数量积计算即得. （3）求出点的轨迹方程，利用两圆有公共点列出不等式求解即得. 【小问1详解】 当时，圆的圆心，半径， 而点到直线的距离为2，因此圆过点的切线斜率存在，设方程为， 则，解得或， 所以所求切线方程为或. 【小问2详解】 由消去得，， 设，则， 由，得，则， 整理得，则，即，解得，满足， 所以. 【小问3详解】 设点，由，得， 整理得，即，因此点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆， 依题意，圆与圆有公共点，即，则， 整理得，解得， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2015-2016学年度第一学期模块质量检测试卷 高二数学（理）（必修2、必修3） 一、选择题 1. 用斜二测图法画出长为，高为的矩形的直观图，则其直观图面积为（ ） A. B. C. D. 2. 已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是 A. α⊥β，且m⊂α B. m⊥n，且n∥β C. α⊥β，且m∥α D. m∥n，且n⊥β 3. 为了了解某地区的名学生的数学成绩，打算从中抽取一个容量为的样本，现用系统抽样的方法，需从总体中剔除个个体，在整个过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽取的概率分别为（ ） A. B. C. D. 4. 上春季，某队甲、乙两名篮球运动员都参加了相同的场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，据此你认为甲、乙两名运动员得分的表现（ ） A. 甲比乙好 B. 乙比甲好 C 甲乙一样好 D. 无法确定 5. 如图所示算法框图，可输出一个数列，设这个数列为，则（ ） A. B. C. D. 6. 一个多面体的三视图如图所示，则此多面体的表面积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知长方体中，，为的中点，则点 到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 若一组数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为（ ） A. B. C. D. 9. 已知某仪器的使用年限（年）和其维修费用（万元）的统计数据： 使用年限 维修费用 由散点图知对具有线性相关关系，利用线性回归方程估计使用年限年时，维修费用为（ ）万元. A. B. C. D. 10. 如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1 的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是（ ） A. 60° B. 45° C. 90° D. 30° 11. 已知两点，到直线的距离分别为，，则满足条件的直线共有（ ）条 A. B. C. D. 12. 有个互不相等的正整数，它们的平均数为，方差为，则这组数据中最大的数等于（ ） A. B. C. D. 二.填空题： 13. 一个总体分为，两层，其个体数之比为，用分层抽样法用总体中抽取一个容量为的样本.已知层中甲被抽到的概率为，则总体中的个体数是______ 14. 设正六棱锥的底面边长为，侧棱长为，那么它的体积为_____ 15. 已知某厂的产量x吨与能耗y吨的几组对应数据: 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5 由以上数据求出的线性回归方程为，那么表中m的值为______ 16. 阅读下列算法语句，则输出结果为_____（用分数表示） 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，则这个四棱锥的内切球半径是_____ 三.解答题 18. 袋中装着分别标有数字，，，，的个形状相同的小球，从袋中有放回的依次取出个小球，记第一次取出的小球所标数字为，第二次为. （1）列举出所有基本事件； （2）求是的倍数的概率； 19. 对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到名学生参加社区服务次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 合计 （1）求出表中，及图中的值； （2）估计高二年级学生参加社区服务次数的平均数和中位数（保留一位小数）. 20. 如图，在棱长为的正方体中，，分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 21. 已知圆，点，为坐标原点. （1）若，求圆过点的切线方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求值； （3）若圆上存在点，满足，求取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$