精品解析：天津市南开中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题

南开中学15-16高一数学期中考 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知数列，，，，…，则可能是这个数列的（ ） A. 第6项 B. 第7项 C. 第10项 D. 第11项 4. 等差数列{an}中，若，则. A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 若等比数列的前项之和为，则等于 A. 3 B. 1 C. 0 D. 6. 正项等比数列的公比，且成等差数列，则的值（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知，则数列的最大项（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 8. 设无穷项等差数列公差为，前n项和为，则下列四个说法中正确的个数是（ ） ①若，则数列有最大项；②若数列有最大项，则； ③若数列是递增数列，则对任意的，均有； ④若对任意的，均有，则数列是递增数列. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 在中，，若最大边的边长为，则最小边的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，首项，且满足，则等于 . A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．． 11. 在中，，则值为___________. 12. 等差数列中，若, ，则__________. 13. 设等比数列的前n项和为，若，则的值为__________ 14. 在数列中，，则数列的通项公式为__________ 15. 在数列中，，则数列中的最大项的________ . 16. 在数列中，，则数列通项__________ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足． （1）求角C的大小． （2）若，面积为，求边长c的值． 18. 解关于变量的不等式：． 19. 已知数列为等差数列，且；设数列的前项和为，且. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若为数列的前项和，求 20. 已知公差的等差数列满足，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项的和； （3）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南开中学15-16高一数学期中考 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得答案. 【详解】由正弦定理得，解得. 故选：A. 2. 在中，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】运用余弦定理可解. 【详解】，即，解得（负值舍去）. 故选：C. 3. 已知数列，，，，…，则可能是这个数列的（ ） A. 第6项 B. 第7项 C. 第10项 D. 第11项 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：数列，，，，…， 即，，，，…， 所以数列的通项公式为， 所以，解得. 故选：B. 考点：数列的概念及简单表示法. 4. 在等差数列{an}中，若，则. A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80, 所以. 5. 若等比数列的前项之和为，则等于 A. 3 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：， 由已知n=1时，=3+a， ， 由其为等比数列，所以由3+a=2，a=－1，选D． 考点：本题主要考查等比数列的前n项和公式． 点评：基本题型，利用求，要特别注意检验n=1的情况． 6. 正项等比数列的公比，且成等差数列，则的值（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据条件求，再根据等比数列的性质，得，即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以， 即，，解得：， . 故选：B 7. 已知，则数列的最大项（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】令，根据导数求出的单调递增和单调递减区间，求出取得极大值时的值，求出数列的最大项. 【详解】令，所以， 所以在上递增，在上递减， 所以时，函数取得极大值即最大值， 因为，， 所以数列的最大项为或. 故选：C. 8. 设无穷项等差数列的公差为，前n项和为，则下列四个说法中正确的个数是（ ） ①若，则数列有最大项；②若数列有最大项，则； ③若数列是递增数列，则对任意的，均有； ④若对任意的，均有，则数列是递增数列. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式可得,可看作关于的二次函数,由二次函数的性质逐个验证即可 【详解】由等差数列的求和公式可得, 对于①,若,由二次函数的性质可得数列有最大项,故①正确； 对于②,若数列有最大项,则对应抛物线开口向下,则有,故②正确； 对于③,若对任意,均有,对应抛物线开口向上,则有,故数列是递增数列,故③正确； 对于④,若数列是递增数列,则对应抛物线开口向上,则,但无法确定恒成立,故④错误； 故正确的有3个, 故选:C 【点睛】本题考查等差数列的求和公式的应用,考查数列的函数性质的应用 9. 在中，，若最大边的边长为，则最小边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分为锐角、为钝角讨论，求出，利用正切的两角和的展开式求出可判断出，从而找到最小角、边，再由正弦定理可得答案. 【详解】， 若为锐角，则由， 所以， 此时 ， 因为，所以，所以为钝角，可得， 因为，所以为最小角，边长最小， 由正弦定理得，解得； 若为钝角，则由， 所以， 此时 ，因为，所以为钝角， 这样内角和大于，故不是钝角， 综上所述，. 故选：A. 10. 已知数列的前项和为，首项，且满足，则等于 . A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据和与项的关系可得，从而列举归纳可得. 【详解】当时， ， 所以，， ， 所以可归纳出 . 故选：D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．． 11. 在中，，则值为___________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据题意，由于，则可知，那么根据余弦定理可知，因此可知答案 考点：正弦定理 点评：解决的关键是根据已知的边和角，结合正弦定理来得到求解，属于基础题． 12. 等差数列中，若, ，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，把两条件式相加得，再结合等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为, ， 所以两式相加得，即， 所以. 故答案为： 13. 设等比数列的前n项和为，若，则的值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，公比，根据，由 求得的值，从而求得的值． 【详解】解：由题意可得，公比，根据，及可得， 化简可得．则. 故答案为：. 14. 在数列中，，则数列的通项公式为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的定义可得答案. 【详解】由已知得，且， 所以是以为首项，以2为公比的等比数列， 则，可得. 故答案为：. 15. 在数列中，，则数列中的最大项的________ . 【答案】6或##7或6 【解析】 【分析】利用作商法判断数列的单调性即可求出其最大项. 【详解】， 令，解得， 即时，， 当时，， 所以或最大， 所以或. 故答案为：6或7. 16. 在数列中，，则数列的通项__________ 【答案】 【解析】 【分析】讨论，，且，结合等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，可得所求通项． 【详解】分情况讨论． 若，可得，即； 若，可得，即有， 则，可得； 若且，则， 当时，， 时上式成立，于是，上式对和同样成立， 故答案为：，． 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且满足． （1）求角C的大小． （2）若，的面积为，求边长c的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理边化角，然后整理即可； （2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求边长c的值． 【小问1详解】 由正弦定理得，又， ， ，又， ； 【小问2详解】 由已知可得， ， ， . 18. 解关于变量的不等式：． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①当时，不等式为：，解可得的范围，②若，的两个根为3和，结合一元二次不等式的解集，讨论的取值范围，分别分析可得不等式的解集，综合即可得答案． 【详解】根据题意，， 分2种情况讨论： ①当时，不等式为：，解可得，此时不等式的解集为； ②若，的两个根为3和， 当时，不等式的解集为，，； 当时， 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为，． 综合可得：当时，不等式的解集为，，； 当时，不等式的解集为； 当，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当，不等式的解集为，． 19. 已知数列为等差数列，且；设数列的前项和为，且. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若为数列的前项和，求 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知等式可推出的首项和公比，从而可得到通项公式； （Ⅱ）写出数列的通项公式及前n项的和的公式，可用倍乘相减法求出数列前n项的和. 详解】解:（Ⅰ）由又则又所以 当时，由可得即，所以是以为首项，为公比的等比数列，于是 （Ⅱ）由题易知数列为等差数列，公差，可得， 从而， ∴， ∴， =. 从而. 20. 已知公差等差数列满足，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项的和； （3）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）首先，成等差数列，所以按基本量列然后这三项成等比数列，所以，最后转化为首先和公差的方程，再结合，求解首项和公差； （2）根据上一问的结果，先列数列的通项公式，然后进行常数分离，根据裂项相消法求和； （3）同样根据第一问的结果得到数列的通项公式，第二步，因为是递减数列，所以，转化为，即，问题转化为求数列的最大值，数列求最大值，第一步先判断数列的单调性，然后根据单调性求最大值，即求得的范围． 【详解】解：（1）由成等比，得， 即， 又，， 又，则，， 所以； （2）， ； （3）， 因为数列是单调递减数列， 所以恒成立（）， 即，即， 即， 设， 则 ， 当时，，当时，， 所以， 当或时，，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$