专题1.9 二次函数中考压轴题分类专题（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.9 二次函数中考压轴题分类专题（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【训练中考压轴题意义】 ‌了解中考命题趋势和知识重难点‌：通过训练历年中考数学真题，学生可以快速了解中考数学的命题趋势、试题分布以及知识重难点，从而对自己的知识储备进行全方位的查漏补缺  ‌提高解题速度和精确度‌：通过严格控制做题时间，用中考的时间要求自己，可以更加客观地训练解题速度和精确度，帮助学生适应考试节奏。 ‌认识中考题型和命题风格‌：中考真题令学生认识到中考的题型、命题风格、各知识版块分值分布，考查的重点及难易程度，对学生的帮助是最大的。 ‌检验复习方向和效果‌：真题成为检验复习方向以及复习效果的得力工具，通过定期模拟考试，学生可以了解自己的不足，进而调整复习策略。  ‌提高应试能力‌：通过反复做真题，学生能够适应考试的紧张氛围，掌握答题技巧，了解考点要求，提高解题能力和应变能力。  ‌权威性和准确性‌：真题的权威性和准确性远高于模拟题，因为它们来自于同一个命题组，考察点、风格以及难度等都很接近，通过对真题进行分析研究，可以总结出命题的规律。  ‌综合性‌：中考真题是命题组成员辛苦劳动的结晶，含金量高，出的题目在保证基础得分的同时，还具有一定的选拔作用，有助于提高学生的综合解题能力。 综上所述，训练数学中考真题对于提高学生的数学成绩和应试能力具有不可替代的作用，是备考过程中不可或缺的一部分。 第二部分【题型展示与方法点拨】 题型目录 【题型1】二次函数与面积问题 【题型2】二次函数与定值问题 【题型3】二次函数与最值问题 【题型4】二次函数与存在性问题 【题型5】二次函数与新定义、课堂活动问题 【题型6】二次函数与三角形综合问题 【题型7】二次函数与四边形综合问题 【题型8】二次函数与利润问题 【题型9】二次函数与实际问题 【题型1】二次函数与面积问题 【例1】（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【变式1】（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【变式2】（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【题型2】二次函数与定值问题 【例2】（2023·福建·中考真题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，且，求证：三点共线； (3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【变式1】（2023·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．    (1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上． ①________； ②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． (2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 【变式2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【题型3】二次函数与最值问题 【例3】（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． (1)若，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； (3)当，且时，分析并确定整数a的个数． 【变式1】（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．   (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； (3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 【变式2】（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．   (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 【题型4】二次函数与存在性问题 【例4】（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．   (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型5】二次函数与新定义、课堂活动问题 【例5】（2024·四川·中考真题）【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．    【变式1】（2024·辽宁·中考真题）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． (1)求函数的“升幂函数”的函数表达式； (2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值． 【变式2】（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C． (1)（Ⅰ）列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 （Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中； （Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式； (2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为________； ②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示） 方案二：设C点坐标为 ①此时点B的坐标为________； ②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示） (3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值． 【题型6】二次函数与三角形综合问题 【例6】（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．   (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2022·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． (1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标； (2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小； (3)若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2024·湖南长沙·中考真题）已知四个不同的点，，，都在关于x的函数（a，b，c是常数，）的图象上． (1)当A，B两点的坐标分别为，时，求代数式的值； (2)当A，B两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由； (3)当时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：，．请问是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：表示一条长度等于的m倍的线段）． 【题型7】二次函数与四边形综合问题 【例7】（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 【变式1】（2024·甘肃·中考真题）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． (3)点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接，，求的最小值． 【变式2】（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【题型8】二次函数与利润问题 【例8】（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． (1)求两种客房每间定价分别是多少元？ (2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 【变式1】（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【变式2】（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【题型9】二次函数与实际问题 【例9】（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 【变式1】（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 (1)根据上表，请确定抛物线的表达式； (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 【变式2】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．     (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.9 二次函数中考压轴题分类专题（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【训练中考压轴题意义】 ‌了解中考命题趋势和知识重难点‌：通过训练历年中考数学真题，学生可以快速了解中考数学的命题趋势、试题分布以及知识重难点，从而对自己的知识储备进行全方位的查漏补缺  ‌提高解题速度和精确度‌：通过严格控制做题时间，用中考的时间要求自己，可以更加客观地训练解题速度和精确度，帮助学生适应考试节奏。 ‌认识中考题型和命题风格‌：中考真题令学生认识到中考的题型、命题风格、各知识版块分值分布，考查的重点及难易程度，对学生的帮助是最大的。 ‌检验复习方向和效果‌：真题成为检验复习方向以及复习效果的得力工具，通过定期模拟考试，学生可以了解自己的不足，进而调整复习策略。  ‌提高应试能力‌：通过反复做真题，学生能够适应考试的紧张氛围，掌握答题技巧，了解考点要求，提高解题能力和应变能力。  ‌权威性和准确性‌：真题的权威性和准确性远高于模拟题，因为它们来自于同一个命题组，考察点、风格以及难度等都很接近，通过对真题进行分析研究，可以总结出命题的规律。  ‌综合性‌：中考真题是命题组成员辛苦劳动的结晶，含金量高，出的题目在保证基础得分的同时，还具有一定的选拔作用，有助于提高学生的综合解题能力。 综上所述，训练数学中考真题对于提高学生的数学成绩和应试能力具有不可替代的作用，是备考过程中不可或缺的一部分。 第二部分【题型展示与方法点拨】 题型目录 【题型1】二次函数与面积问题 【题型2】二次函数与定值问题 【题型3】二次函数与最值问题 【题型4】二次函数与存在性问题 【题型5】二次函数与新定义、课堂活动问题 【题型6】二次函数与三角形综合问题 【题型7】二次函数与四边形综合问题 【题型8】二次函数与利润问题 【题型9】二次函数与实际问题 【题型1】二次函数与面积问题 【例1】（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)当时，实验田的面积S最大，最大面积是 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． （1）解：， ， ， ； （2）， ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，矩形实验田的面积能达到； （3）， 当时，有最大值． 【变式1】（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】(1)； (2)能， (3)的最大值为800，此时 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ； （3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 解：（1）∵篱笆长， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵墙长42m， ∴， 解得，， ∴； 又矩形面积 ； （2）解：令，则， 整理得：， 此时，， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为； ∴ ∴ ∵， ∴； （3）解： ∵ ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800 【变式2】（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最小值为 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）可求，设，由，得，则 ，解得，（舍去），故； （3）分当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，得到这个面积是关于m的二次函数，进而求最值即可． 解：（1）解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图： 由得抛物线对称轴为直线， ∵两点关于抛物线对轴对称， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （3）存在，理由： 当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时， 设点，则点，设直线交轴于点， 设直线表达式为：， 代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得 则， 则， 则 ， 即存在最小值为； 当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时， 同上可求直线表达式为：， 令，得 则， 则， 则 即存在最小值为； 当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求， 即存在最小值为， 综上所述，的面积是否存在最小值，且为． 【题型2】二次函数与定值问题 【例2】（2023·福建·中考真题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，且，求证：三点共线； (3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的面积为定值，其面积为2 【分析】（1）将代入，即可解得； （2），中点为，且，可求出过两点所在直线的一次函数表达式，为抛物线上的一点，所以，此点在，可证得三点共线； （3）设与分别关于直线对称，则关于直线对称，且与的面积不相等，所以的面积不为定值；如图，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值；故的面积为定值，由（2）求出，此时的面积为2． 解：（1）解：因为抛物线经过点， 所以 解得 所以抛物线的函数表达式为； （2）解：      设直线对应的函数表达式为， 因为为中点，所以． 又因为，所以，解得， 所以直线对应的函数表达式为． 因为点在抛物线上，所以． 解得，或． 又因为，所以． 所以． 因为，即满足直线对应的函数表达式，所以点在直线上，即三点共线； （3）解：的面积为定值，其面积为2． 理由如下：（考生不必写出下列理由） 如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线．设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等，所以的面积不为定值．      如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值． 又因为中存在面积为定值的三角形，故的面积为定值． 在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为，求得，此时的面积为2． 【点拨】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键． 【变式1】（2023·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．    (1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上． ①________； ②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． (2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 【答案】(1)①1；②；③是，值为1 (2)或 【分析】（1）①当，，可知不在二次函数图象上，将代入，求解值即可；②由①知，二次函数解析式为，设菱形的边长为，则，，由菱形的性质得，，，则轴，，根据，即，计算求出满足要求的解即可；③如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，由正方形的性质可知，为、的中点，，，则，证明，则，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，计算求解即可1； （2）由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解；①当在轴右侧时，，同理（1）③，，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，解得；②当在轴左侧时，求解过程同（2）①；③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时，同理可求，当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时，由正方形、二次函数的性质可得，． 解：（1）①解：当，， ∴不在二次函数图象上， 将代入，解得， 故答案为：1； ②解：由①知，二次函数解析式为， 设菱形的边长为，则，， 由菱形的性质得，，， ∴轴， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去），（舍去），， ∴菱形的边长为； ③解：如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，    由正方形的性质可知，为、的中点，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 由题意知，，，，则，， 设，则，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧， ∴， ∴， ∴是定值，值为1； （2）解：由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解； ①当在轴右侧时， ∵， 同理（1）③，，， 由题意知，，，，则，， 设，则，， ∴，，，， ∴，， ∴， 化简得， ∵ ∴； ②当在轴左侧时， 同理可求； ③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时， 同理可求， 当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时， 由正方形、二次函数的性质可得，； 综上所述，或． 【点拨】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，正方形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，． 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式； （2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案； （3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值． 解：（1）∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴ 即 （2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 联立与得到 ， 解得， 则 （3）解：由（1）可得，，与联立得到，， 解得， 此时 ∴点C的坐标为， ∵点M的横坐标为m，且在上， ∴ 即点M的坐标为 设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 与联立得到， ， 整理得到， 则， 即， 即， 即为定值． 【题型3】二次函数与最值问题 【例3】（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． (1)若，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； (3)当，且时，分析并确定整数a的个数． 【答案】(1) (2)2或1 (3)整数a有4个 【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程． 根据题意代入化简得，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可； 结合题意得到，代入二次函数中化简得，利用二次函数的性质求得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离； 结合已知得等式化简得，结合的范围求得a的可能值，即可得到整数a的个数． 解：（1）有题意知 ， 当时，y取得最小值8； （2）∵点在双曲线上， ∴， ∴ ， ∵， ∴，化解得，解得或， 则点或， ∴点P到y轴的距离为2或1； （3） ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，化简得， ∴， 则整数a有4个． 【变式1】（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．   (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； (3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可； （2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可； （3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可． 解：（1）由题意可知，设抛物线的表达式为， 将代入上式得：， 所以抛物线的表达式为； （2）作点O关于直线的对称点E，连接， ∵，，， ∴， ∵O、E关于直线对称， ∴四边形为正方形， ∴， 连接，交于点D，由对称性， 此时有最小值为的长， ∵的周长为， ，的最小值为10， ∴的周长的最小值为； （3）由已知点，，， 设直线的表达式为， 将，代入中，，解得， ∴直线的表达式为， 同理可得：直线的表达式为， ∵， ∴设直线表达式为， 由（1）设，代入直线的表达式 得：， ∴直线的表达式为：， 由，得， ∴， ∵P，D都在第一象限， ∴ ， ∴当时，此时P点为. ． 【点拨】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键． 【变式2】（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．   (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值是，此时的P点坐标是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解． 解：（1）设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， ∴直线l的解析式为； （2）设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 把A，B两点坐标代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）解：∵  ，   ∴． ∵在中， ∴． ∵轴，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 设点P的坐标为，则， ∴． ∵， ∴当时，有最大值是，此时最大， ∴， 当时，，   ∴， ∴的最大值是，此时的P点坐标是． 【点拨】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． 【题型4】二次函数与存在性问题 【例4】（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在，点的坐标为：或 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键． （1）将点D的坐标代入抛物线表达式，求得a的值即可； （2）由题意得：，当x=1时，，即可判断点是否在抛物线上； （3）分为直角、为直角、为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标． 解：（1）将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：． （2）由题意得：， 当时，， 故点在抛物线上． （3）存在，理由如下： ①当为直角时，如图1，过点作且，则为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ∴，， ∴点， 当时，，即点在抛物线上， ∴点即为点； ②当为直角时，如图2， 同理可得：， ∴，， ∴点， 当时，， ∴点在抛物线上， ∴点即为点； ③当为直角时，如图3， 设点， 同理可得：， ∴且，解得：且， ∴点， 当时，， 即点不在抛物线上； 综上，点的坐标为：或． 【变式1】（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①该二次函数的解析式为：；， ②存在，P点横坐标为：或或 【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得； （2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，； ②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即可． 解：（1）∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ， ， ∴，． （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∵解得， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为：， 当时，， 解得，， ∴， ． ②设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴直线的表达式为：， 当点P在点A右侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，， ∴点P横坐标为或； 当点P在点A左侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，（舍去）， ∴点P横坐标为， 综上所述，P点横坐标为：或或． 【点拨】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式．熟练掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键． 【变式2】（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．   (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 解：（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：    此时； ②当在第一象限，在第四象限时，   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点拨】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 【题型5】二次函数与新定义、课堂活动问题 【例5】（2024·四川·中考真题）【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．    【答案】（1）2；；（2）①；②或 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 【变式1】（2024·辽宁·中考真题）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． (1)求函数的“升幂函数”的函数表达式； (2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)①或；②；③或 【分析】（1）根据“升幂函数”的定义，可得，即可求解， （2）设，根据“升幂点”的定义得到，由，在点上方，得到，即可求解， （3）①由，，点与点重合，得到，即可求解，②由，得到对称轴为，、关于对称轴对称，结合，则，得到，进而得到，，由点在点的上方，得到点在点的上方，，解得：， ，当，，，当， ，，即可求解，③根据②中结论得到，，，将，，代入，得到，，，结合图像可得，当时，直线与函数的图象有3个交点，当时，直线与函数的图象有2个交点，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，结合，可得，当时，，解得：，由，得到，解得：，即可求解， 解：（1）根据题意得：， 故答案为：， （2）设点，则， ∵，在点上方， ∴， 解得：， ∴； （3）①根据题意得：，则， ∵点与点重合， ∴，解得：或， ②根据题意得：， ∴对称轴为，、关于对称轴对称， ∵，则， ∴，解得：， ∴，， ∵点在点的上方， ∴，解得：， ∴， 当，点在点右侧时，，， 当，点在点左侧时，，， ∴， ③∵， ∴，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， 当时，直线与函数的图象有3个交点， 当时，直线与函数的图象有2个交点， 直线与函数交于、两点，，即：， ∴，，， 直线与函数交于、两点，，即：， ∴，，， ∵， ∴，整理得：， 当时， ，解得：或（舍）， ∴， ∴，解得：， ∴， 或． 【点拨】本题考查了，求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数综合，根据系数关系，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质，将题目所给条件进行转化． 【变式2】（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C． (1)（Ⅰ）列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 （Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中； （Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式； (2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为________； ②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示） 方案二：设C点坐标为 ①此时点B的坐标为________； ②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示） (3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值． 【答案】(1)图见解析，； (2)方案一：①；②；方案二：①；②； (3)a的值为或． 【分析】（1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可； （2）根据图形写出点或点B的坐标，再代入求解即可； （3）先求得，，的顶点坐标为，再求得顶点距线段的距离为，得到的顶点距线段的距离为，得到的顶点坐标为或，再分类求解即可． 解：（1）描点，连线，函数图象如图所示， 观察图象知，函数为二次函数， 设抛物线的解析式为， 由题意得， 解得， ∴y与x的关系式为； （2）方案一：①∵，， ∴， 此时点的坐标为； 故答案为：； ②由题意得， 解得， 故答案为：； 方案二：①∵C点坐标为，，， ∴， 此时点B的坐标为； 故答案为：； ②由题意得， 解得， 故答案为：； （3）解：根据题意和的对称轴为， 则，，的顶点坐标为， ∴顶点距线段的距离为， ∴的顶点距线段的距离为， ∴的顶点坐标为或， 当的顶点坐标为时，， 将代入得，解得； 当的顶点坐标为时，， 将代入得，解得； 综上，a的值为或． 【点拨】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 【题型6】二次函数与三角形综合问题 【例6】（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．   (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得的坐标，根据勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，进而根据得出，连接，设交轴于点，则得出是等腰直角三角形，进而得出，则点与点重合时符合题意，，过点作交抛物线于点，得出直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解； （3）勾股定理求得，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解． 解：（1）∵抛物线与轴交于点和点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）由，当时，，则 ∵，则，对称轴为直线 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时，，则 ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴ 连接，设交轴于点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又 ∴ ∴ ∴点与点重合时符合题意， 如图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：， ∴ 综上所述，或； （3）解：∵，， ∴ ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中 ∴， ①当时，，解得：或 ②当时，，解得： ③当时，，解得：或（舍去） 综上所述，或或或． 【点拨】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式1】（2022·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． (1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标； (2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小； (3)若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线顶点 (2)时，△BFE与△DEC的面积之和最小 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出a，b的值即可； （2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．首先证明∠DCB=90°，利用面积法求出CH，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题； （3）如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x=5，M（6，-3）．设P（5，m），分三种情形：当BP=BM时，当PB=PM时，当BM=PM时，分别构建方程求解即可． 解：（1）∵y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）， ， ∴， 抛物线的解析式为； 由 抛物线顶点； （2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥ BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T． ， ， ， ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， 与 的面积之和 ， S有最小值，最小值为，此时， 时，△BFE与△DEC的面积之和有最小值． （3）存在，如图2， ，，的对称轴为直线， 将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N． 抛物线的对称轴为直线， 设 ， 当 时， ， ， ， 当 时， ， 解得， ， ， 当 时， ， 解得， ， 综上所述，满足条件的的坐标为 ． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，中心对称变换等知识，解题的关键是学会根据二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【变式2】（2024·湖南长沙·中考真题）已知四个不同的点，，，都在关于x的函数（a，b，c是常数，）的图象上． (1)当A，B两点的坐标分别为，时，求代数式的值； (2)当A，B两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由； (3)当时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：，．请问是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：表示一条长度等于的m倍的线段）． 【答案】(1) (2)此函数图象与x轴的公共点个数为两个，理由见解析 (3)存在两个m的值符合题意；当时，此时该函数的最小值为；当时，此时该函数的最小值为 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与x轴交点问题、直角三角形存在性问题等，熟练掌握相关知识和分类讨论是解题关键. （1）将代入得到关于、的关系式，再整体代入求解即可; （2）解方程求解，再根据的正负分类讨论即可； （3）由内角之比可得出这是一个的直角三角形，再将线段表示出来，利用特殊角的边角关系建立方程即可. 解：（1）将，代入得 ， ②-①得，即． 所以． （2）此函数图象与x轴的公共点个数为两个． 方法1：由，得． 可得或． 当时，，此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方，此时该函数图象与x轴有两个公共点； 当时，，此抛物线开口下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方，此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点． 方法2：由，得． 可得或． 所以抛物线上存在纵坐标为的点，即一元二次方程有解． 所以该方程根的判别式，即． 因为，所以． 所以原函数图象与x轴必有两个公共点． 方法3：由，可得或． 当时，有，即， 所以． 此时该函数图象与x轴有两个公共点． 当时，同理可得，此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点． （3）因为，所以该函数图象开口向上． 由，得，可得． 由，得，可得． 所以直线均与x轴平行． 由（2）可知该函数图象与x轴必有两个公共点，设，． 由图象可知，即． 所以的两根为，，可得． 同理的两根为，，可得． 同理的两根为，，可得． 由于，结合图象与计算可得，． 若存在实数，使得，这三条线段组成一个三角形， 且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为30°，60°的直角三角形，所以线段不可能是该直角三角形的斜边． ①当以线段为斜边，且两锐角分别为30°，60°时，因为， 所以必须同时满足：，． 将上述各式代入化简可得，且， 联立解之得，，解得符合要求． 所以，此时该函数的最小值为． ②当以线段为斜边时，必有，同理代入化简可得 ，解得． 因为以线段为斜边，且有一个内角为60°，而， 所以，即， 化简得符合要求． 所以，此时该函数的最小值为． 综上所述，存在两个m的值符合题意； 当时，此时该函数的最小值为； 当时，此时该函数的最小值为． 【题型7】二次函数与四边形综合问题 【例7】（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．设直线的表达式为，解方程组得到直线的表达式为，则，求得，求得于是得到，解方程得到，根据平移的性质得到，将代入，解方程即可； （3）过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且，求得抛物线的顶点，得到，推出，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 解：（1）抛物线过点 得 解得 抛物线的表达式为 顶点； （2）解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为． 设直线的表达式为 由题意知 解得 直线的表达式为 的面积为12 ， ， 解得（舍） 点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点 将代入 得 解得． （3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且 抛物线的顶点 ， 易得 当时， 点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小 最近距离即边上的高，高为： 面积的最小值为． 【点拨】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键． 【变式1】（2024·甘肃·中考真题）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． (3)点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】（1）根据顶点为．设抛物线，把代入解析式，计算求解即可； （2）根据顶点为．点C为的中点，得到，当时，，得到．结合，垂足为H，得到的长． （3）①根据题意，得，结合四边形是平行四边形，设，结合点F落在抛物线上，得到，解得即可； ②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可． 解：（1）∵抛物线的顶点坐标为． 设抛物线， 把代入解析式，得， 解得， ∴． （2）∵顶点为．点C为的中点， ∴， ∵， ∴轴， ∴E的横坐标为1， 设， 当时，， ∴． ∴． （3）①根据题意，得， ∵四边形是平行四边形， ∴点C，点F的纵坐标相同， 设， ∵点F落在抛物线上， ∴， 解得，(舍去)； 故． ②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，， 则四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， 故当三点共线时，取得最小值， ∵， ∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是， 延长交y轴于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的最小值是． 【点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键． 【变式2】（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 解：（1）∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）存在； 当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 【题型8】二次函数与利润问题 【例8】（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． (1)求两种客房每间定价分别是多少元？ (2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 【答案】(1)种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元； (2)当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 【分析】（）设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，根据题意，列出方程组即可求解； （）设种客房每间定价为元，根据题意，列出与的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键． 解：（1）设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元， 由题意可得，， 解得， 答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元； （2）解：设种客房每间定价为元， 则， ∵， ∴当时，取最大值，元， 答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 【变式1】（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 (2)（） (3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 解：（1）设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． （2）由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：（）． （3） ． ∴当时，w有最大值1840． 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 【变式2】（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】(1)，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 (2)这天售出了64辆轮椅 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 解：（1）由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； （2）当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 【题型9】二次函数与实际问题 【例9】（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 【答案】(1)；(2)的长为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可； （2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可． 解：（1）由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为， 设缆索所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为； （2）∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为， ∵， ∴把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴的长为． 【变式1】（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 (1)根据上表，请确定抛物线的表达式； (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 【答案】(1)抛物线的表达式 (2)水火箭距离地面的竖直高度米 【分析】本题主要考查二次函数的性质， 根据题意可设抛物线的表达式，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为，代入求解即可； 由题意知，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度． 解：（1）根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式， 由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得， 则抛物线的表达式， （2）解：由题意知，则， 那么，水火箭距离地面的竖直高度米． 【变式2】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．     (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)最大值是，此时 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把D的坐标代入直线的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可； （2）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可． 解：（1） ，， ． 又， ． ， 点． 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将点代入，得． ． 将代入，得． （2）延长交y轴于点Q，交于点L．   ，， ． 轴， ，． ， ， ， ． 设点P的坐标为，，则，． ． ． 当时，有最大值，此时． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$