专题05 有理数的运算单元过关（培优版）-2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（人教版2024）

专题05 有理数及其运算单元过关（培优版） 考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．若一个数的倒数仍是这个数，那么这个数是（    ） A．0 B．1或-1 C．1 D．-1 2．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行的速度将接近第二宇宙速度，也就是每秒11200米，其中数据11200用科学记数法表示为（      ） A． B． C． D． 3．数轴上，点表示，将点沿数轴平移3个单位长度到点，则点所表示的数为（    ） A．3 B．2 C． D．2或 4．纽约与北京的时差为-13h（负数表示同一时刻比北京晚的时数），小明10月1日在北京乘坐早晨8：00的航班飞行约20h到达纽约，此时纽约时间是（     ） A．10月1日7时 B．10月1日15时 C．10月2日15时 D．10月2日7时 5．下列各式计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如下图，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…，则第2022次输出的结果是（    ） A． B． C．6 D．8 7．有一个数字游戏，第一步：取一个自然数，计算得，第二步：算出的各位数字之和得，计算得，第三步算出的各位数字之和得，计算得；以此类推，则的值为（　　） A．80 B．200 C．210 D．14 8．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取n＝26，则 若n＝898，则第898次“F运算”的结果是（    ） A．488 B．1 C．4 D．8 9．大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 10．共享单车已经成为许多城市中的重要交通工具，在北京上班的李雷，周一到周五要骑共享单车在单位宿舍与办公室之间进行两个往返，每个单程用时10分钟；周末和节假日回家（连续假日时，只需往返一次），从宿舍到家单程骑行要50分钟．有，，，四家共享单车公司，其收费规则如下表所示，其中，使用半小时为一次；使用不足半小时，按一次计费．如果不考虑押金和服务等因素，仅从用车付费的角度，且只使用一个公司的单车，则李雷在2021年2月26日（周五）到7月13日（周二）期间，用（    ）公司的共享单车最划算（注：清明、端午各有三天假期，五一有五天假期）． 公司 计费 付费优惠 1元/次 没有 1.5元/次 周末和节假日骑行免费 1.5元/次 每月可以抽到一张奖券，用此券免费不计次连续骑行一周 1.5元/次 每骑行付费一次，下次骑行免费 A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．-2是 的倒数． 12．2021年3月5日召开了第十三届全国人民代表大会第四次会议，在《政府工作报告》中指出：我国经济运行总体平稳，2020年国内生产总值达到101598600000000元．将101598600000000用科学记数法表示为 ． 13．计算：，，，，，….归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是 ． 14．观察以下图案和算式，解答问题： （1） ； （2） ； （3）请猜想 ． 15．若，则 ． 16．观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）= 评卷人 得分 三、解答题 17．计算： （1）12+（﹣13）+8+（﹣7）； （2）（﹣）×÷（﹣2）； （3）﹣5+2×（﹣3）﹣（﹣12）÷（﹣2）； （4）﹣12014+|﹣5|×（﹣）﹣（﹣4）2÷（﹣8）． 18．如表是苏州市地铁收费标准： 分段 乘坐里程（公里） 单程票票价 1 0＜里程≤6 2元 2 6＜里程≤11 3元 3 11＜里程≤16 4元 4 16＜里程≤23 5元 5 23＜里程≤30 6元 6 里程20公里以上，每9公里分段 加1元 备注：普通乘客刷卡乘车可享受单程票票价9.5折优惠 小明的妈妈每天乘坐地铁上下班，单程12公里，每月按22天上下班计算． （1）求小明的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费； （2）地铁公司有三种计次月票可供选择，A月票60元/20次，B月票85元/30次，C月票130元/50次．月票仅限当月使用，每次不限里程，月底清零，小明的妈妈每月用于上下班的地铁交通费最少是多少元？请说明理由． 19．我们规定“☼”是一种数学运算符号，两数A、B通过“☼”运算是，即A☼B=，例如：5☼3=， （1）求：2☼1的值； （2）求：（4☼5）☼（-1）的值． 20．周末，小西去图书馆看书，她在一本医学书上看到了一个关于身高与遗传的预测公式，忽略环境与营养等因素，男孩子成年后的身高，女孩子成年后的身高，其中a为父亲身高，b为母亲身高，（单位：）． (1)已知小西爸爸身高，妈妈身高．请你根据预测公式帮助小西计算她成年后的身高． (2)小西好奇，也计算了表弟小轩的身高，已知小轩妈妈身高，小轩爸爸身高，你认为小西和表弟小轩谁更高呢？高多少？ 21．探索规律． (1)观察上面的图，发现： 图①空白部分小正方形的个数是 图②空白部分小正方形的个数是 图③空白部分小正方形的个数是______＋______． (2)像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：______． (3)运用规律计算：． 22．你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值 ① ② ③．． (1)由此我们可以得到：___________． (2)请你利用上面的结论，再完成下面的计算：； 23．已知某粮库原有粮食120吨，上周粮库进出粮食的记录如下（单位：吨）：（运进记为正数，运出记为负数） 星期 一 二 三 四 五 六 日 进出记录 ＋32 －30 －20 ＋26 －24 ＋52 －26 (1)上周星期______粮库剩余的粮食最多，有______吨 (2)若运进的粮食为购进的，购买价格为每吨1800元，运出的粮食为卖出的，卖出的价格为每吨2100元，求这一周的利润是多少元？ 24．综合探究 2023年“十一黄金周”假期，恰逢中秋国庆双节，文化和旅游行业的消费恢复势头强劲．某风景区在黄金周8天假期内，每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 变化/万人 a (1)9月29日至10月3日这五天中，到该风景区的旅客人数最多的是哪一天？最少的是哪一天？它们相差多少万人？（直接写出答案） (2)若9月28日的旅客人数为2万人，10月6日到该风景区的旅客人数与9月28日的旅客人数持平． ①________； ②此风景区一方面给广大市民提供一个休闲游玩的好去处；另一方面拉动了内需，促进了消费．若在此风景区每人平均消费200元，请求出“十一黄金周”8天假期所有游客的总消费是多少万元？ 25．小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小明把记作，记作． (1)直接写出计算结果，_____， _____； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 _____．（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③； ④对于任何正整数n，都有． (3)小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数，），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示） (4)请利用（3）问的推导公式计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数及其运算单元过关（培优版） 考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．若一个数的倒数仍是这个数，那么这个数是（    ） A．0 B．1或-1 C．1 D．-1 【答案】B 【分析】根据倒数的定义即可求解． 【详解】解：设这个数为a，根据题意得：a＝， 0没有倒数， ， ， 则这个数是1或−1． 故选：B． 【点睛】此题考查了倒数，两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数，熟练掌握倒数的定义是解本题的关键． 2．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行的速度将接近第二宇宙速度，也就是每秒11200米，其中数据11200用科学记数法表示为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．数轴上，点表示，将点沿数轴平移3个单位长度到点，则点所表示的数为（    ） A．3 B．2 C． D．2或 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的特征及平移的性质，关键是确定点A的平移方向． 【详解】解：当点沿数轴向右平移3个单位长度得到：； 当点沿数轴向左平移3个单位长度得到：； 故选D． 4．纽约与北京的时差为-13h（负数表示同一时刻比北京晚的时数），小明10月1日在北京乘坐早晨8：00的航班飞行约20h到达纽约，此时纽约时间是（     ） A．10月1日7时 B．10月1日15时 C．10月2日15时 D．10月2日7时 【答案】B 【分析】根据题意列出算式，进行解答即可． 【详解】解：， 即此时纽约时间是10月1日15时，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． 5．下列各式计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的混合运算的法则分别计算即可判断． 【详解】解：A.−3＋3＝0，故此选项错误，不合题意； B.−4＋（−2）×＝−4＋（−1）＝−5，故此选项正确，符合题意； C.−9÷（−1）＝9×＝6，故此选项错误，不合题意； D.−6÷2×3＝−3×3＝−9，故此选项错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 6．如下图，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…，则第2022次输出的结果是（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】通过计算发现从第二次输出结果后，所得的结果以，，，，，循环出现，所以第2022次输出的结果即可确定． 【详解】解：解：第一次输出的结果是， 第二次输出的结果是， 第三次输出的结果是， 第四次输出的结果是， 第五次输出的结果是， 第六次输出的结果是， 第七次输出的结果是， 第八次输出的结果是， …… ∴从第二次输出结果后，所得的结果以，，，，，循环出现， ∵， ∴第2022次输出的结果是， 故选：B． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算发现输出结果的循环规律是解题的关键． 7．有一个数字游戏，第一步：取一个自然数，计算得，第二步：算出的各位数字之和得，计算得，第三步算出的各位数字之和得，计算得；以此类推，则的值为（　　） A．80 B．200 C．210 D．14 【答案】B 【分析】本题考查数字变化类规律探究，有理数的运算，理解题意，探究出结果的变化规律是解题的关键． 通过计算前面几步的数值可以得到整个游戏数字的出现规律，从而得到所求答案． 【详解】解：由题意知：，； ，；，；，；； 由上可知，，，，是按照80、200、14、，80、200、14三个数的组合重复出现的数列， ， ． 故选：B． 8．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取n＝26，则 若n＝898，则第898次“F运算”的结果是（    ） A．488 B．1 C．4 D．8 【答案】D 【分析】按新定义的运算法则，分别计算出当n=898时，第一、二、三、四、五次运算的结果，发现循环规律即可解答． 【详解】解：由题意可知，当n＝898时，历次运算的结果是： ＝449，3×449＋5＝1352，＝169，3×169＋5＝512，＝1，1×3＋5＝8，＝1，… 故512→1→8→1→8→…，即从第五次开始1和8出现循环，奇数次为1，偶数次为8， 故当n＝898时，第898次“F运算”的结果是8. 故选：D． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，整数的奇偶性新定义，通过若干次运算得出循环规律是解题的关键． 9．大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，每种情况下分析乘坐人员的情况，可得其乘坐方式的数目． 【详解】解：根据题意，分2种情况讨论： ①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭， 可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车， 有种乘坐方式； ②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上， 需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上， 对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车， 有种乘坐方式； 则共有种乘坐方式； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，关键是依据题意，分析“乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭”的可能情况． 10．共享单车已经成为许多城市中的重要交通工具，在北京上班的李雷，周一到周五要骑共享单车在单位宿舍与办公室之间进行两个往返，每个单程用时10分钟；周末和节假日回家（连续假日时，只需往返一次），从宿舍到家单程骑行要50分钟．有，，，四家共享单车公司，其收费规则如下表所示，其中，使用半小时为一次；使用不足半小时，按一次计费．如果不考虑押金和服务等因素，仅从用车付费的角度，且只使用一个公司的单车，则李雷在2021年2月26日（周五）到7月13日（周二）期间，用（    ）公司的共享单车最划算（注：清明、端午各有三天假期，五一有五天假期）． 公司 计费 付费优惠 1元/次 没有 1.5元/次 周末和节假日骑行免费 1.5元/次 每月可以抽到一张奖券，用此券免费不计次连续骑行一周 1.5元/次 每骑行付费一次，下次骑行免费 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算2021年2月26日（周五）到7月13日（周二）的工作日与假期的天数，获得骑行的次数与时间，然后计算不同方案所需总费用，进行比较即可． 【详解】解：这段时间有20周，19个周末（含假清明、五一，端午），不足半小时的次数有个，还有个50分钟（回家、返公司）的单程． ∴若用公司的车，约需付费：（元）； 若用公司的车，约需付费：（元）； 若用公司的车，大体认为在4.5个月的周期里，可以免单4.5周，计费的工作日不超过天，周末加法定假日不超过15个，大约需付费不超过：（元）； 若用公司的车，约需付费：（元）． 综上所述，选用公司的车最省钱，也就是最划算． 故选D． 【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用．解题的关键与难点在于理解题意． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．-2是 的倒数． 【答案】/-0.5 【分析】根据倒数的性质进行解答，即可得出答案． 【详解】解：的倒数是； 故填． 【点睛】本题考查了倒数的概念，倒数是指的乘积等于1的两个数，掌握它的定义是解决此题的关键． 12．2021年3月5日召开了第十三届全国人民代表大会第四次会议，在《政府工作报告》中指出：我国经济运行总体平稳，2020年国内生产总值达到101598600000000元．将101598600000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】将小数点点在最左边第一个非零数字的后面确定a，数出整数的整数位数，减去1确定n，写成即可 【详解】∵101598600000000=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值大于10的大数的科学记数法，将小数点点在最左边第一个非零数字的后面确定a，数出整数的整数位数，减去1确定n，是解题的关键． 13．计算：，，，，，….归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是 ． 【答案】3 【分析】根据题目中给出的式子的结果，可以发现结果的个位数字的变化特点，从而可以求得的个位数字． 【详解】∵， ∴计算结果中的个位数字依次以1，3，7，5循环出现， ∵， ∴的个位数字是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现结果的个位数字的变化特点，写出所求式子的个位数字． 14．观察以下图案和算式，解答问题： （1） ； （2） ； （3）请猜想 ． 【答案】 25 100 n2 【分析】（1）直接相加即可得； （2）通过规律发现从1开始，有几个奇数相加，和就为几的平方求解即可； （3）根据（2）发现的规律表示出来即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：25； （2）， ， ， ， ， 共有10个奇数相加， ∴； 故答案为：100； （3）由（2）可得： 共有n个奇数相加， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查发现规律列代数式，有理数的加法，理解题意，找出规律是解题关键． 15．若，则 ． 【答案】2 【分析】根据有理数的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键． 16．观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）= 【答案】 【分析】先根据已知等式探索出变形规律，然后根据规律进行变形，计算有理数的乘法运算即可． 【详解】解：由已知等式可知：， ， ， 归纳类推得：，其中n为正整数， 则， 因此， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是有理数运算的规律题，根据已知等式探索出运算规律并应用是解题关键． 评卷人 得分 三、解答题 17．计算： （1）12+（﹣13）+8+（﹣7）； （2）（﹣）×÷（﹣2）； （3）﹣5+2×（﹣3）﹣（﹣12）÷（﹣2）； （4）﹣12014+|﹣5|×（﹣）﹣（﹣4）2÷（﹣8）． 【答案】（1）0；（2）；（3）-17；（4）-7． 【分析】（1）利用有理数的加减运算法则计算即可； （2）利用有理数的乘除运算法则计算即可； （3）利用有理数的运算法则计算即可； （4）先计算乘方再利用有理数的运算法则计算即可； 【详解】解：（1）12+（﹣13）+8+（﹣7）； =12-13+8-7 =0 （2）（﹣）×÷（﹣2）； =（﹣）××（﹣） = （3）﹣5+2×（﹣3）﹣（﹣12）÷（﹣2）； =-5-6-6 =-17 （4）﹣12014+|﹣5|×（﹣）﹣（﹣4）2÷（﹣8）． =-1-8-16÷（﹣8） =-7 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算、有理数的乘除混合运算以及含乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．如表是苏州市地铁收费标准： 分段 乘坐里程（公里） 单程票票价 1 0＜里程≤6 2元 2 6＜里程≤11 3元 3 11＜里程≤16 4元 4 16＜里程≤23 5元 5 23＜里程≤30 6元 6 里程20公里以上，每9公里分段 加1元 备注：普通乘客刷卡乘车可享受单程票票价9.5折优惠 小明的妈妈每天乘坐地铁上下班，单程12公里，每月按22天上下班计算． （1）求小明的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费； （2）地铁公司有三种计次月票可供选择，A月票60元/20次，B月票85元/30次，C月票130元/50次．月票仅限当月使用，每次不限里程，月底清零，小明的妈妈每月用于上下班的地铁交通费最少是多少元？请说明理由． 【答案】（1）167.2元；（2）交通费最少是130元，理由见解析． 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可得出小明的妈妈每次单程票票价为4元，依据乘车时间及一天两次和普通乘客单程票价的折扣，可以计算出小明的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费； （2）根据题意，利用分类讨论的方法，分别求出购买各种月票的较低费用，然后比较大小即可得出结论． 【详解】解：（1）由表格可知， 小明的妈妈每次单程票票价为4元， 故小明的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费为：4×2×22×0.95＝167.2（元）， 即小明的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费是167.2元； （2）小明的妈妈每月用于上下班的地铁交通费最少是130元， 理由：∵小明妈妈一个月需要坐地铁（次）， ∴当选择A月票时较低的费用为：（元）， 当选择B月票时较低的费用为：（元）， 当选择C月票时的费用为130元； ∵， ∴小明的妈妈每月用于上下班的地铁交通费最少是130元． 【点睛】题目主要考查有理数的混合运算的应用，理解题意，列出相应式子，同时进行分类讨论是解题关键． 19．我们规定“☼”是一种数学运算符号，两数A、B通过“☼”运算是，即A☼B=，例如：5☼3=， （1）求：2☼1的值； （2）求：（4☼5）☼（-1）的值． 【答案】（1）1；（2）8 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义先计算（4☼5），再利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵A☼B=， ∴（1）2☼1==1； （2）（4☼5）☼（-1） ☼（-1） =8☼（-1） = =8． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．周末，小西去图书馆看书，她在一本医学书上看到了一个关于身高与遗传的预测公式，忽略环境与营养等因素，男孩子成年后的身高，女孩子成年后的身高，其中a为父亲身高，b为母亲身高，（单位：）． (1)已知小西爸爸身高，妈妈身高．请你根据预测公式帮助小西计算她成年后的身高． (2)小西好奇，也计算了表弟小轩的身高，已知小轩妈妈身高，小轩爸爸身高，你认为小西和表弟小轩谁更高呢？高多少？ 【答案】(1)小西成年后的身高为 (2)小轩更高，小轩比小西高 【分析】本题考查代数式求值，有理数减法运算的应用． （1）将小西爸爸身高，妈妈身高，即a、b值代入，计算即可； （2）将小轩妈妈身高，小轩爸爸身高，即a、b值代入，求出小轩成年后的身高，再用小轩身高-小西身高即可． 【详解】（1）解：因为女孩成年后的身高，小西爸爸身高，妈妈身高， 所以小西同学成年后的身高． 答：小西成年后的身高为． （2）解：因为男孩成年后的身高，小轩妈妈身高，小轩爸爸身高， 所以小轩成年后的身高． 因为， 所以小轩更高，小轩比小西高． 答：小轩更高，小轩比小西高． 21．探索规律． (1)观察上面的图，发现： 图①空白部分小正方形的个数是 图②空白部分小正方形的个数是 图③空白部分小正方形的个数是______＋______． (2)像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：______． (3)运用规律计算：． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查图形类规律探究； （1）结合图形，进行作答即可； （2）根据已有的等式得到，写出一道算式即可； （3）先运用规律，计算括号内，再进行除法计算即可． 【详解】（1）解：图③空白部分小正方形的个数是； 故答案为：； （2）由：，，， ，可得： ， 则：再写出一道算式可以为：；（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）； （3） ． 22．你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值 ① ② ③．． (1)由此我们可以得到：___________． (2)请你利用上面的结论，再完成下面的计算：； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察各个等式得变化规律，即可得到答案； （2）由（1）中得规律可得：，进而即可求解． 【详解】（1）解： … ， 故答案为：； （2）∵ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查含乘方得有理数的混合运算，整式的混合运算，准确找到等式得变化规律是关键． 23．已知某粮库原有粮食120吨，上周粮库进出粮食的记录如下（单位：吨）：（运进记为正数，运出记为负数） 星期 一 二 三 四 五 六 日 进出记录 ＋32 －30 －20 ＋26 －24 ＋52 －26 (1)上周星期______粮库剩余的粮食最多，有______吨 (2)若运进的粮食为购进的，购买价格为每吨1800元，运出的粮食为卖出的，卖出的价格为每吨2100元，求这一周的利润是多少元？ 【答案】(1)六，156 (2)12000 【分析】（1）分别求出每天剩余的粮食数量，比较即可； （2）用卖出的总价减去买进的总价即可得到答案． 【详解】（1）解：星期一的粮食数量为：吨； 星期二剩余粮食数量为：吨； 星期三剩余粮食数量为：吨； 星期四剩余粮食数量为：吨； 星期五剩余粮食数量为：吨； 星期六剩余粮食数量为：吨； 星期日剩余粮食数量为：吨； ∴上周星期六粮库剩余的粮食最多，有156吨， 故答案为：六，156； （2）（元）， ∴这一周的利润是12000元． 【点睛】此题考查了有理数的四则混合运算的应用，正确理解题意列得算式计算是解题的关键． 24．综合探究 2023年“十一黄金周”假期，恰逢中秋国庆双节，文化和旅游行业的消费恢复势头强劲．某风景区在黄金周8天假期内，每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 变化/万人 a (1)9月29日至10月3日这五天中，到该风景区的旅客人数最多的是哪一天？最少的是哪一天？它们相差多少万人？（直接写出答案） (2)若9月28日的旅客人数为2万人，10月6日到该风景区的旅客人数与9月28日的旅客人数持平． ①________； ②此风景区一方面给广大市民提供一个休闲游玩的好去处；另一方面拉动了内需，促进了消费．若在此风景区每人平均消费200元，请求出“十一黄金周”8天假期所有游客的总消费是多少万元？ 【答案】(1)人数最多的是10月3日，最少的是9月30日，它们相差1万人 (2)①；②“十一黄金周”8天假期所有游客的总消费是5360万元 【分析】（1）设9月28日的旅客人数为b万人，且，再表示出每一天的游客人数，问题随之得解； （2）①根据（1）中的代数式，结合若9月28日的旅客人数为2万人，10月6日到该风景区的旅客人数与9月28日的旅客人数持平，可得，问题得解；②根据，，可得出每一天的旅游人数，问题随之得解． 【详解】（1）解：设9月28日的旅客人数为b万人，且， 则9月29日的旅客人数为：人， 9月30日的旅客人数为：万人， 10月1日的旅客人数为：万人， 10月2日的旅客人数为：万人， 10月3日的旅客人数为：万人， 10月4日的旅客人数为：万人， 10月5日的旅客人数为：万人， 10月6日的旅客人数为：万人， ∵，（万人）， ∴人数最多的是10月3日，最少的是9月30日，它们相差1万人； （2）解：①在（1）中有：设9月28日的旅客人数为b万人，10月6日的旅客人数为：人， ∵若9月28日的旅客人数为2万人，10月6日到该风景区的旅客人数与9月28日的旅客人数持平， ∴， ∴， ②∵，， ∴则9月29日的旅客人数为：人，9月30日的旅客人数为：万人，10月1日的旅客人数为：万人，10月2日的旅客人数为：万人，10月3日的旅客人数为：万人，10月4日的旅客人数为：万人，10月5日的旅客人数为：万人，10月6日的旅客人数为：万人， ∴八天总的游客人数为：（万人）， 即总消费为：（万元）， 答：8天假期所有游客的总消费是5360万元． 【点睛】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 25．小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小明把记作，记作． (1)直接写出计算结果，_____， _____； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 _____．（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③； ④对于任何正整数n，都有． (3)小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数，），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示） (4)请利用（3）问的推导公式计算：． 【答案】(1)2，； (2)③ (3)（n为正整数，） (4)6 【分析】本题考查有理数的运算． （1）根据除方的定义进行计算即可； （2）利用除方的定义，逐一进行判断即可； （3）根据除方的定义进行计算即可； （4）结合（3）中结论，转换为乘方进行求解即可． 掌握除方的定义，是解题的关键． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：2， （2）①对于任何正整数n，当为奇数时：；故①错误； ②， ∴；故②错误； ③，故③正确； ④对于任何正整数n，为偶数，都有，故④错误； 故答案为：③ ； （3） ； （4） ． 学科网（北京）股份有限公司 $$