专题02 有理数的运算（知识&考点&公式&8高频&4易错&5重难&2模型，期中知识清单）七年级数学上学期新教材人教版

专题02 有理数的运算 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(5类) 公式清单(10类) 辨析清单(5类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(5类) 答题类 解题模型清单(2类) 答题技巧清单 知识点01 有理数的加法与减法 加法法则： （1）同号两数相加：取相同符号，绝对值相加； （2）异号两数相加（绝对值不等）：取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值； （3）互为相反数的两数相加：和为0； （4）一个数加0，仍等于本身。 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数： 加法运算律 （1）交换律：；（2）结合律： 知识点02 有理数的乘法与除法 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数乘0都得0。多个非零数相乘时，负因数个数为偶数则积为正，负因数个数为奇数则积为负（奇负偶正）；只要有一个因数为0，乘积为0。 倒数：乘积为1的两个数互为倒数；的倒数是；0没有倒数。 除法法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数： 两数相除：同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何不为0的数都得0，0不能作除数。 乘法运算律 （1）交换律：；（2）结合律： （3）分配律：（可正向、逆向使用） 知识点03 有理数的乘方 求个相同因数乘积的运算叫做乘方，记作： 其中是底数，是指数，运算结果叫幂。符号规律： （1）正数的任意次幂都是正数； （2）负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数； （3）的正整数次幂等于。 知识点04 有理数混合运算顺序 （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）同级运算，从左到右依次计算； （3）有括号时，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 知识点05 简便运算思路 利用运算律分组：正数与正数结合、负数与负数结合；分数凑整；逆用乘法分配律简化计算。 考点01有理数加减法运算 考点内容：有理数加法法则；减法法则；加法交换律、结合律；相反数求和。 常见考法： ①直接计算有理数加减算式； ②把减法统一成加法，写成省略加号的和的形式； ③运用加法运算律分组凑整，简化加减混合运算； ④利用互为相反数相加得0进行简便计算。 考点02有理数乘除运算与倒数 考点内容：两数相乘、相除的符号法则；多个因数相乘"奇负偶正"；倒数定义；除法转化为乘法；乘法三条运算律。 常见考法： ①判断多个有理数连乘结果的符号； ②求一个非零数的倒数，区分倒数与相反数； ③将除法运算转化为乘法计算； ④正向、逆向运用乘法分配律简化计算。 考点03有理数乘方运算 考点内容：乘方的定义；底数、指数、幂的概念；正数、负数、0的乘方符号规律；区分与。 常见考法： ①根据乘方定义写出底数与指数； ②判断负数乘方结果的正负； ③计算简单乘方； ④辨析与这类易混式子的计算结果。 考点04有理数混合运算 考点内容：混合运算优先级：乘方→乘除→加减；括号优先；同级运算从左到右。 常见考法： ①不含括号的三级混合计算题； ②带有小括号、中括号的综合计算题； ③结合运算律进行简便运算； ④结合绝对值、乘方的综合计算。 考点05有理数运算实际应用 考点内容：正负数表示相反意义的量；利用有理数加减解决行程、盈亏、水位变化问题。 常见考法： ①用正负数记录收支、升降、盈亏； ②列出加减算式，计算总盈亏、总位移； ③结合平均数、基准量进行求值计算。 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 有理数减法转化公式 减去一个数，等于加上这个数的相反数，把减法统一为加法运算。 2 除法转化为乘法公式（） 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；0不能作除数。 3 倒数关系式（） ；的倒数为 乘积为1的两个数互为倒数；0没有倒数。 4 相反数求和公式 互为相反数的两个数相加，和等于0。 5 乘方定义式 是底数，是指数，运算结果叫做幂。 6 加法交换律 交换两个加数的位置，和不变。 7 加法结合律 三个数相加，先把前两个相加或先把后两个相加，和不变。 8 乘法交换律 交换两个因数的位置，积不变。 9 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个相乘或先把后两个相乘，积不变。 10 乘法分配律 ； 逆用 一个数乘两个数的和，等于分别相乘再相加；可正向展开，也可逆向提取公因数。 辨析01区分（与，不要混淆底数 ：底数是，整体乘方；如。 ：底数只有，先算乘方再取相反数；如。 括号决定底数范围，有无括号，结果符号经常不一样。 辨析02分清倒数与相反数，不要弄混两种关系 相反数：两数之和为0；的相反数是；0的相反数是0。 倒数：两数之积为1；的倒数是；0没有倒数。 相反数改变符号；倒数改变分子分母，符号保持不变。 辨析03区分"减去负数"和"减去正数"，避免符号出错 减去一个正数，等于加上它的相反数（负数）：。 减去一个负数，等于加上正数：。 口诀：减负等于加正。 辨析04区分运算优先级，不要先算加减再算乘方 混合运算必须严格遵守：先乘方，再乘除，最后加减；很多同学会先算加减，再算乘方，造成计算错误。 辨析05区分"0作被除数"与"0作除数" 0除以任意不为0的数，结果等于0；0不能作为除数，无意义，做题时要排除除数为0的情况。 【题型一】有理数的加减乘除混合运算 例1．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 变式1-1．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 变式1-2．学习有理数的乘除法后，老师给同学们这样一道题目，计算，看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下： 小鹿：原式； 小鸣：原式． (1)以上两种解法，你认为________的解法较简便； (2)用你认为最合适的方法计算：①；②． 【答案】(1)小鸣 (2)①；② 【分析】 【详解】（1）解：以上两种解法，我认为小鸣的解法较简便； （2）解：①， ， ， ， ； ②， ， ， ． 变式1-3．请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：． 【答案】 【详解】解：先求原式的倒数， 得 ， ∴ 原式． 【题型二】有理数的加减乘除实际意义 例2．一辆“滴滴车”在一条南北走向的公路上往返行驶，接送客人．向北行驶的路程记为正数，向南行驶的路程记为负数．一天早上，“滴滴车”从汽车站出发，上午每次行驶的路程记录如下（单位：）：5，，6，，． (1)该“滴滴车”上午行驶结束后，在汽车站的南方还是北方？距离汽车站多远？ (2)该“滴滴车”每行驶1千米，耗油0.12升，上午接送客人，“滴滴车”共耗油多少升？ 【答案】(1)在汽车站的南方，距离汽车站 (2)共耗油升 【分析】 【详解】（1）解：， ∵向北行驶的路程记为正数，向南行驶的路程记为负数， ∴该“滴滴车”上午行驶结束后，在汽车站的南方，距离汽车站． （2）解：升， 答：共耗油升． 变式2-1．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，正好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走________． (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少？ 【答案】(1)49 (2)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了 【详解】（1）解：∵， ∴路程最多的一天比最少的一天多走； （2）解：， ， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． 变式2-2．如图，小李在某运动APP中设定每天的步数目标为8000步，该APP用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数，例如周二小李少于目标步数600步． (1)这5天中，步数最多的是周 ，步数最少的是周 ，步数相差 步； (2)小李这5天平均每天的步数是多少？ (3)小李运动时，每1000步消耗热量约为50卡，请估计该APP显示的小李这5天运动消耗的总热量． 【答案】(1)三；五； (2)小李这5天平均每天的步数是8190步． (3)该APP显示的小李这5天运动消耗的总热量卡． 【分析】 【详解】（1）解：根据该APP用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数，观察目标线上方的柱状图可得：这5天中，步数最多的是周三；观察目标线下方的柱状图可得：步数最少的是周五；这5天中的最多步数与最少步数相差步数为： （步）， ∴这5天中，步数最多的是周三，步数最少的是周五，最多步数与最少步数相差步． （2）解：根据题意得： （步）， ∴小李这5天平均每天的步数是8190步． （3）解：根据题意得： （卡） ∴该APP显示的小李这5天运动消耗的总热量是卡． 变式2-3．最近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小新家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/ (1)这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶_________； (2)小新家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了多少？ (3)已知小新家这款汽车在行驶结束时，若剩余续航里程不足满电续航的，行车电脑就会发出充电提示．假设该汽车出发时满电且这七天内未充电，请通过计算，说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1) (2) (3) 行车电脑不会发出充电提示. 【分析】 【详解】（1）解：∵ 七天路程偏差的最大值为，最小值为， ∴ 最多的一天比最少的一天多行驶． 答：路程最多的一天比最少的一天多行驶． （2）解：七天路程偏差和为： ， 七天标准总路程为， ∴ 七天总行驶路程为． 答：这七天一共行驶了． （3）解：续航的为， 第七天结束时剩余续航为， ∵ ， ∴ 行车电脑不会发出充电提示． 答：第七天行驶结束时，行车电脑不会发出充电提示． 【题型三】有理数的混合计算 例3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 变式3-1．下列各数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ， ， ， 又∵， ∴最小的数是． 变式3-2．计算题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3-3．综合实践 (1)计算下面两组算式： ①与； ②与． (2)根据以上计算结果猜想：等于什么？（直接写出结果） (3)猜想与验证：当n为正整数时，等于什么？请你利用乘方的意义说明理由． (4)利用上述结论，求的值． 【答案】(1)①225，225；②36，36 (2) (3)当为正整数时，． 理由：当为正整数时， ． (4)0.25 【分析】 【详解】（1）解：①，． ②，． （2）解：． （3）略． （4）解： ． 【题型四】乘方的应用 例4．当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂3次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求2小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【答案】(1)8 (2)32000 (3)32倍 【分析】 【详解】（1）解：∵ 1个细菌每次分裂为2个，共分裂3次． ∴ 分裂后数量为（个）． （2）解：∵ 1小时分钟，细菌每12分钟分裂1次． ∴ 1小时内分裂次数为（次）． ∵ 初始有1000个细菌． ∴ 1小时后细菌数量为（个）． （3）解：∵ 2小时分钟． ∴ 2小时内分裂次数为（次）． 2小时后细菌数量为个，1小时后为个． ∴ 倍数为． 答：2小时后的数量是1小时后的32倍． 变式4-1．网上复制、粘贴一条信息并发送出去仅仅需要1秒钟！假设第1秒钟A将一条信息发送给了B；在第2秒钟，B将该信息发送给C的同时，A又发送给了D；在第3秒钟，D将该信息发送给E的同时，C又发送给了F，B又发送给了G，A又发送给了H……，依次类推，仅仅过了7秒钟，共有（     ）人会收到该信息． A．7 B．64 C．128 D．49 【答案】C 【详解】解：初始时A已收到信息，总人数为1人，第1秒，新增1人，总人数为人； 第2秒，新增2人，总人数为人； 第3秒，新增4人，总人数为人；以此类推，第秒总人数为人； 当时，总人数为人 变式4-2．如图，在一张长方形纸条上画一条数轴，将此纸条沿两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，则最左端的折痕与数轴的交点表示的数是______． 【答案】 【详解】解：由数轴可知，点表示的数为，点 表示的数为， ∴线段AB 的长度为， ∵将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，连续对折次 ， ∴线段被平均分成份 ， ∴每一份的长度为 ， ∵展开后，最左端的折痕距离点最近，且距离为一份的长度 ， ∴最左端的折痕与数轴的交点表示的数为． 变式4-3．【数学文化】第十四届国际数学教育大会（）会徽（如图1）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．（规定：＝1，） (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：①＝______，②＝______． (2)应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图2，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ (3)请将十进制数20写成八进制数（写出必要的计算过程）． 【答案】(1)， (2)1845 (3) 解：， ∴． 【分析】 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解：结绳计数（满六进一，从右到左结数依次为）． （个）． 答：她一共采集到的野果数量为个． （3）略 【题型五】程序图与有理数的运算 例5．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则输出的结果是________． 【答案】 【详解】解：当时，， ， 不满足输出条件，需将重新输入 当 时，， ， 满足输出条件， 所以最后输出的结果是． 变式5-1．如图，A，B，C，D四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过的顺序进行运算，可列式为；8经过的顺序进行运算，可列式为，则经过的顺序进行运算的结果为_______． 【答案】23 【详解】解：由题意，得， 所以经过的顺序进行运算的结果为23． 变式5-2．一个数值转换机的示意图如图所示，若输入的值为，的值为，则输出的结果为_______． 【答案】 【详解】解：根据题意，得． 变式5-3．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的值为______． 【答案】 【详解】解：由于，则应代入下方运算步骤， 【题型六】科学记数法 例6．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 变式6-1．据统计，年暑假期间，我国民航客运累计发送旅客万人次，把万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：万． 变式6-2．杭州滨江区2025年地区生产总值约为230 000 000 000元，数据230 000 000 000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：. 变式6-3．5800万用科学记数法表示为______． 【答案】 【详解】解：万， ． 【题型七】近似数 例7．数的近似数为，那么数的真实值的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：近似数精确到百分位， ∵ 当千分位数字时，向百分位进1可得到， ∴ 的最小值为， ∵ 当千分位数字时，舍去千分位及后续数位可得到， ∴ ， ∴  ． 变式7-1．请把四舍五入精确到是________． 【答案】 【详解】解：精确到，需观察千分位的数字，因为 的千分位数字是，，所以向百分位进， 因此四舍五入精确到是． 变式7-2．由四舍五入得到的近似数37.5，它表示大于或等于______，而小于______的数． 【答案】 【详解】解：∵近似数精确到十分位，四舍五入需要看百分位上的数字， ∴若原数整数部分和十分位为，要进位得到，则百分位数字需大于或等于，最小为； 若原数整数部分和十分位为，要舍去百分位得到，则百分位数字需小于，即原数小于； ∴近似数表示大于或等于而小于的数． 变式7-3．一个数保留一位小数后的近似数是，则这个数的取值范围在下图（数轴的一部分）中表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，这个数大于或等于小于，故选项B符合题意． 【题型八】有理数中的规律应用 例8．如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为．则的值为__________，的值为__________，，则的值为__________． 【答案】 42 4048 【详解】解：由图可知：，，，，…..； ∴，第n幅图中“”的个数为， ∴ ； ∵， ∴， ∴； 故答案为42，，4048． 变式8-1．观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 【答案】4 【详解】解：观察给出的等式，，，，，…， ∴以2为底的幂的个位数字每4个数为一个循环组依次循环，循环顺序为，，，． ， ∴的个位数字与的个位数字相同，是． 变式8-2．【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如： ，，，． 【初步体验】 (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①___________；②___________； 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：___________． (3)用简便的方法计算：． 【答案】(1)①，② (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：由题目运算可得：当时；当时，； ①∵， ∴； ②∵， ∴； （2）解：， （3）解：原式． 变式8-3．阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：由材料中的计算过程可得 （2）解： （3）解： 1+3 【题型一】判断有理数乘法计算过程正误并订正 易错警示 进行有理数乘法改错时，容易忽略符号法则，只验算绝对值计算。多个数相乘要先数负因数个数确定符号，再算绝对值；看到0因数要直接得0。订正时既要改结果，也要修改错误步骤，不能只改最终答案。 例1．阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第________步开始出现错误，本题运算的正确结果是________； (2)第①步的变形依据是________；（填选项） A．加法交换律    B．乘法交换律    C．加法结合律    D．乘法结合律 (3)计算：． 【答案】(1)⑤； (2)A (3) 【详解】（1）解：原式① ② ③ ④ ⑤； 根据正确解题过程可得：⑤，； （2）解：第①步的变形依据是加法交换律； （3）解： ． 变式1-1．如下是小明对一道题的解题过程： ……第①步 ……第②步 ……第③步 下列判断正确的是（     ） A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 【答案】B 【详解】解： ； 故原计算中，第①步没有运用乘法交换律，第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误，导致第③步的结果也错误； 故只有选项B正确． 变式1-2．下面是某同学计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 任务： (1)以上计算过程中，第一步变形的依据是________，第三步变形的依据是________；（填运算律） (2)从第________步开始出现错误； (3)请你写出正确的计算过程． 【答案】(1)乘法分配律，加法交换律 (2)二 (3)解： ． 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，第一步的依据是乘法分配律，第三步的依据是加法交换律； （2）解：由解题过程可知，从第二步开始出现错误，错误原因是去括号时6前面的符号没有变号，正确结果应该为； （3）略 变式1-3．下面是某同学两道题的计算过程． 第一题解：            第一步     第二步                       第三步                          第四步 第二题解：     第一步                           第二步                                  第三步 (1)第一题的解答过程中，第二步运用的运算律是______（填序号），第二题的解答过程中，第一步运用的运算律是______（填序号）； ①乘法交换律、乘法结合律    ②加法交换律、加法结合律    ③分配律 (2)第一题的解答过程中，从第______步开始出现错误，第二题的解答过程中，从第______步开始出现错误； (3)请你在上面两题中任选一个进行正确的计算． 【答案】(1)②；③ (2)三；二 (3)第一题原式；第二题原式 【分析】 【详解】（1）解：有理数的加法交换律是 ， 有理数的加法结合律是为， ． 第一题用到的是加法的交换律和结合律． 有理数的乘法分配律是， ， 第二题用到的是乘法分配律． （2）解：                        第一题第三步出错．                               第二题第二步出错． （3）解：①                                              ②                                ． 【题型二】有理数乘法简便运算 易错警示 乘法分配律简便计算，常见错误是漏乘括号内某一项、符号处理出错。尤其括号内存在负数时，要连同符号一起相乘；逆用分配律提取公因数，注意符号跟随数字。不能随便改变原式结构，每一步变形要有运算律依据。 例2．简便计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)（或） 【详解】（1）解： ； （2）解： . 变式2-1．用简便方法计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 变式2-2．简便计算： 【答案】 【详解】解： ． 变式2-3．请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：． 【答案】 【详解】解：原式的倒数为： ，             ∴． 【题型三】利用有理数乘方比较数的大小 易错警示 用乘方比较大小时，容易混淆底数正负带来的结果差异。正数的任何次幂都是正数；负数偶次幂为正、奇次幂为负。比较前先区分正负，同号再比较绝对值；不要直接比较底数，忽略指数对结果的影响。 例3．比较大小：______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：. 变式3-1．比较大小_____ （填“>”或“<”或“="） 【答案】< 【详解】解：因为=-81，=32， 所以<， 故答案为：<. 【点睛】本题主要考查乘方的意义，解决本题的关键是要熟练掌握乘方的意义并进行计算. 变式3-2．比较大小： ________ ． 【答案】 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 变式3-3．比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，，， 将所有数从大到小排序得：， 即． 故选：B． 【题型四】有理数乘方的逆向运用 易错警示 乘方逆运算容易混淆底数与指数，误把幂直接开方。已知幂求底数要注意：正数的偶次幂对应正负两个底数；负数不能做偶次幂的底数。做题要区分"已知底数求幂"和"已知幂求底数"，不要直接照搬正向乘方的结论。 例4．若，，且，则的值为______． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴ 或 ， ∵ ， ∴ 或 ， 又∵ ， ，或，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：或． 变式4-1．如果，那么___________． 【答案】4 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 因此． 故答案为：4． 变式4-2．若，且，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：， 或， ， ， 或， 又， 当时，不满足，满足， ， 当时，不满足，满足， ， 的值为或． 故选：． 变式4-3．如图是一个“数值转换机”，如果输出的结果为16，那么输入的a值是_________． 【答案】 【分析】 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型一】有理数混合运算的实际应用 例1．某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以为标准，超过的记为“”，不足的记为“”，七年级六个班级的废纸收集情况如下表所示，统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为． 班级 一 二 三 四 五 六 超过（不足）（） 0 (1)七年级六班同学收集废纸的质量为________： (2)若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量： (3)若七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，（包括）以内的2元/千克，超出的部分2.5元/千克，求废纸卖出的总价格． 【答案】(1) (2) (3)65元 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，各班收集废纸的实际质量如下： 一班， 二班， 三班， 四班， 五班， ∵， ∴三班收集废纸最少， ∵收集废纸最多和最少的班级的质量差为， ∴收集废纸最多的班级质量为， ∵， ∴七年级六班同学收集废纸的质量为； （2）解：由（1）可得：本次活动收集废纸质量排名前三的班级为六班、一班、二班， 所以获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为：， 故获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为； （3）解：， （元） 故废纸卖出的总价格为65元． 变式1-1．数学活动课上，甲、乙两位同学玩猜数游戏．甲默想一个1~2025的整数并记住；乙对甲默想的数提出一个猜想，甲比较这个数和自己心中所想数的大小，然后回答“大了”“小了”或者“相等”，若相等则说明乙同学猜中；若乙没有猜中，则根据甲的回答，调整猜想，重复步骤，直到猜中．其中甲按要求选好一个数后，乙至多猜（     ）次可以一定猜出此数． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】解：设乙猜次可以一定猜出此数． ∵每次猜测后剩余范围可减半． ∴需满足． ∵，． ∴的最小值为 11． 变式1-2．重庆百利摩托车厂计划一周销售全新原装豪华摩托车1400辆，平均每天销售200辆，但由于种种原因，实际每天销售量与计划量相比有出入．下表是某周的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知该厂星期五销售摩托车__________辆； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售__________辆； (3)本周实际销售总量是否达到了计划数量没有？通过计算说明 (4)该厂实行每日计件工资制，每销售一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少销售一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)本周实际销售总量达到了计划数量． ∵一周销量与计划量的差值总和为，且 ∴实际总销量比计划多9辆，达到了计划数量． (4)该厂工人这一周的工资总额是元． 【分析】 【详解】（1）解：星期五销售：（辆）； （2）解：销售量最多的一天（星期六）比最少的一天（星期五）多销售：（辆）． （3）略 （4）解：实际销量：（辆）， 超额的总和：（辆）， 不足的总和：（辆）， 工资总额 （元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是元． 变式1-3．日常生活中主要运用“十进制”数，而“十六进制”广泛应用于电子技术、计算机编程等领域．十六进制在数学中是一种“逢16进1”的进位制，一般用数字0到9和字母A到F表示，其中用A，B，C，D，E，F分别表示10，11，12，13，14，15．如表示十六进制数，将它转换成十进制形式是，那么将十六进制数转换成十进制数为___． 【答案】2026 【详解】解：由题意可知，表示，表示，可得： ． 【题型二】算”24”点问题 例2．暖羊羊有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大． 这两张卡片上的数字分别是 ，积为 ． (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小． 这两张卡片上的数字分别是 ，商为 ． (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为，写出运算式子．（写出一种即可） 【答案】(1)与； (2)与； (3)（答案不唯一） 【分析】 【详解】（1）解：∵， 又∵与符号相反，与符号相同， ∴乘积最大的组合为与，最大乘积为； （2）解：∵， 又∵与符号相反， ∴两数相除的商最小的组合为与，商最小为； （3）解：根据题意得：． 变式2-1．2026年3月，鼓楼实验中学成功举办第三届“数学节”，一个趣味数学游戏是“快算24”，其规则是：随机抽取4个整数，用加减乘除四种运算符号和括号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．小龙参加“快算24”时，抽到的4个数分别是4，5，，11，请你写出一个算式，使其结果为24：_____________________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据题意得，，满足题意， ∴算式为． 变式2-2．数学游戏题： (1)下图是一个三阶幻方，由个不同的数字构成，并且每横行，竖行以及对角线上的3个数字的和都相等，试填出所有空格中的数； (2)有一种“二十四点”的游戏（即算游戏），其游戏规则是这样的：任取四个整数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于．现给出，，，四个数，请你写出一个算式使其结果为． 【答案】(1)，，，， (2)（答案不唯一） 【分析】 【详解】（1）解：， 每横行，竖行以及对角线上的3个数字的和都是， 第一行第一列的数字为， 第二行第一列的数字为， 第三行第二列的数字为， 第二行第三列的数字为， 第三行第三列的数字为， 如下表所示： （2）解：（答案不唯一）． 变式2-3．现有4张写着不同数字的卡片，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，则积的最大值是______；从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，则商的最小值是______； (2)从中取出2张卡片，使这两张卡片上的数字经过一次运算后得到的结果最大，你所选择的数字是______，结果的最大值是______； (3)用这4张卡片上的数字写出一个结果为24或的算式．（写出一个符合要求的即可） 【答案】(1)    (2)和    (3) 【分析】 【详解】（1）解：从中取出2张卡片，要使这2张卡片上数字的积最大，应选择卡片和卡片，最大值为；要使这2张卡片上数字的商最小，应选择卡片和卡片，则商的最小值是． （2）从中取出2张卡片，使这两张卡片上的数字经过一次运算后得到的结果最大，应选择卡片和卡片，； （3）用这4张卡片上的数字写出一个结果为24或的算式：． 【题型三】程序流程图与有理数的运算 例3．如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，最后输出的结果是多少？（写出计算过程） 【答案】 【详解】解：由流程图得，， 当输入时，， ∵， ∴第二次输入， 当时，，输出， ∴输出的结果是． 变式3-1．按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是（    ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】 【详解】解：若开始输入的值为， 则,返回继续运算： ,返回继续运算； ． 故选：． 变式3-2．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是________． 【答案】 【详解】解：将输入得，， ∵， ∴将输入得，， 又∵， ∴将输入得，， ∵， ∴输出． 变式3-3．根据如图所示的程序回答问题： (1)当凡凡输入和这两个数时，则输出的结果是___________； (2)当林林输入和这两个数时，求输出的结果． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得， ∵是正数， ∴输出的结果为． （2）解：由题意得， ∵为负数， ∴， ∴输出的结果为． 【题型四】数轴上的翻折问题 例4．某数学小组在一张白纸上制作了一条数轴，如图： (1)【操作一】 折叠纸片，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)【操作二】 折叠纸片，使表示的点与表示5的点重合，解答以下问题： ①表示7的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离是8（点A在点B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则A，B两点表示的数分别是多少？ 【答案】(1) (2)①；②表示的数是，表示的数是6 【分析】 【详解】（1）解：∵折叠纸片，使表示1的点与表示的点重合， ∴折叠点表示的数为， ∴表示的点与表示的点重合； （2）解：①∵折叠纸片，使表示的点与表示5的点重合， ∴折叠点表示的数为， ∴表示7的点与表示的点重合； ②∵数轴上A，B两点之间的距离是8（点A在点B的左侧），且折叠后A，B两点重合， ∴点A和点B到折叠点的距离都为4， 由（2）①可得折叠点表示的数为， ∴点A表示的数为，点B表示的数为． 变式4-1．（河南省商丘市永城市2026-2027学年七年级上学期数学第一次学情自测卷）如图，在数轴上从左到右依次有，，三点，，两点表示的数分别为，2，点对应的数满足． (1)点表示的数为__________； (2)若点保持不动，将点沿数轴向左移动到点． ①当点所表示的数为时，求点移动的距离； ②将数轴沿点折叠，点的对应点与点的距离为1，求点的坐标． 【答案】(1)5； (2)①7；②或 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意，， ∴，即点表示的数为5； （2）解：①由（1）可知，点所表示的数为2， ∴当点表示的数为时， 点向左移动的距离为（个单位长度）； ②∵点表示的数为5， 点的对应点与点的距离为1， ∴点表示的数为或， ∵将数轴沿点折叠，点的对应点为， ∴点表示的数为，或． 变式4-2．在数轴上原点右侧有一点C，点C到表示数1的点的距离为2． (1)点C表示的数为___________； (2)点A在数轴上，将点A向右移动3个单位长度到达点，此时点表示的数为1，求点A到原点的距离； (3)若点A表示的数为，把数轴对折后，折点为B． ①若点A与点C重合，求点B表示的数； ②若对折后点A的对应点为点，且点到点C的距离为1，直接写出折点B所表示的数． 【答案】(1)3 (2)2 (3)①，②或． 【分析】 【详解】（1）解：设点C表示的数为． 因为点C在原点右侧，所以． 又因为点C到1的距离为2，所以． 解得或， 即或． 因为，所以舍去． 故点C表示的数为3． （2）解：设点A表示的数为． 将点A向右移动3个单位长度到达点A₁，则点A₁表示的数为． 由题意得：， 解得． 点A到原点的距离为． 故点A到原点的距离为2 （3）已知点A表示的数为，点C表示的数为． ①若点A与点C重合，则折点B为点A与点C的中点． 设点B表示的数为，则： 故点B表示的数为 ②设折点B表示的数为． 对折后，点A的对应点关于点B对称，所以： 由题意，点到点C的距离为1，即： 所以或， 解得或． 故折点B所表示的数为或． 变式4-3．【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行深入探究． (1)若折叠纸面，表示的点与表示3的点重合，则表示15的点与表示__________的点重合； (2)若数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经折叠后重合（A在B的左侧，且折点与（1）折点相同），求点A和点B表示的数； (3)一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A的对应点是点，并且，求点C表示的数． 【答案】(1) (2)A点表示，B点表示1014； (3)或 【分析】 【详解】（1）解：由题意，折叠中心表示的数为， ， 故表示15的点与表示的点重合； （2）解：由（1）知，折叠中心表示的数为， ∵数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经折叠后重合，A在B的左侧， ∴点表示的数为；点表示的数为； （3）解：∵，点A、B表示的数分别是、10， ∴点表示的数为或， ∴点表示的数为或. 【题型五】有理数乘方的应用之进制题型 例5．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，约定逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进几”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区别不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如就是二进制数1010的简单写法．十进制数一般不标注基数，现在我们通常用的是十进制数．各进制数之间可以进行转换，如二进制数1010可以转换成与其相等的十进制数，转换过程如下：，十进制数19可以转换成与其相等的二进制数，转换过程如下：为二进制下的五位数（规定当时，）．根据以上材料解决如下问题： （1）七进制数转换成十进制数的值是___________； （2）十进制数1029是二进制下的多少位数？___________位数． 【答案】 66 11 【分析】 【详解】解：（1）七进制数转换为十进制数的计算过程为： ． 故答案为：66． （2）计算2的幂次：，． 由于， 即， 因此十进制数1029在二进制下是11位数． 故答案为：11． 变式5-1．我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：据图可知，从左向右，四根绳子的结数分别是、、、， 则孩子出生的天数为． 变式5-2．《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． 【答案】 【详解】解：由图可得， ， ∴他一共捞得的鱼的数量为条， 故答案为：． 变式5-3．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢四进一就是四进制，用数字0，1，2，3记数，四进制数可以转换为十进制数．例如，四进制数记为，由，可得是十进制数102． (1)将转换为十进制数，结果是___________； (2)对于一个用四进制表示的正整数，有下列两个结论： ①如果这个数的末位数字能被2整除，那么这个数就能被2整除； ②如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除． 从中选出正确结论，并以四位的四进制数为例，说明该结论正确的道理，若不成立举反例证明即可． 【答案】(1) (2) 选①．将四进制数转换为十进制数为． 因为一定能被2整除， 若末位数字能被2整除，那么就能被2整除， 所以如果这个数的末位数字能被2整除，那么这个数就能被2整除． 对于②不一定成立．例如四进制数，其各位数字之和为2（能被2整除），但对应的十进制数65不能被2整除，所以②错误． 【分析】 【详解】（1）解：． （2）略 题型01有理数运算之拆项简便计算题 解题步骤： ①观察算式结构，识别适合拆项的数字，带分数拆成"整数+分数"的形式，保证拆分前后数值不变； ②运用加法交换律、结合律分组，整数归为一组，分数归为一组； ③分组分别进行计算，全程留意符号，防止拆分时符号出错； ④把分组计算得到的结果合并，得出最终答案。 例1．阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）解：可将拆为，拆为； 故答案为：，； （2）解： ． 变式1-1．阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1-2．对于可以按如下方式计算： 原式 ___________① ___________ ___________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请在上面横线上补全计算过程，步骤①所应用的运算律为___________． (2)仿照上面的方法计算：． 【答案】(1)，，，加法交换律和加法结合律 (2) 【分析】 【详解】（1）解：原式 ① ； 步骤①所应用的运算律是加法交换律<>加法结合律． （2）解：原式 ． 变式1-3．用拆项法计算：． 【答案】 【详解】解：原式 题型02有理数乘方应用之材料阅读题 解题步骤： ①仔细阅读题目材料，提取乘方相关的新定义、运算规律，将文字描述转化为对应的数学式子； ②找准题目中的底数与指数，负数作底数时一定要添加括号，不要混淆与； ③套用材料给出的规律列式，按照乘方符号法则完成计算； ④计算结束后回查，检验是否误用材料条件，核对结果是否合理。 例2．【阅读材料】浮萍是一种生长很快的水生植物．某池塘中的浮萍，每天覆盖的面积都是前一天的2倍．已知第1天浮萍覆盖的面积为，第2天为，第3天为，第4天为，…… 【解决问题】 (1)用幂表示第8天浮萍覆盖的面积，并计算出结果； (2)第几天浮萍覆盖的面积为？ (3)若第20天浮萍恰好长满整个池塘，那么第几天浮萍恰好覆盖池塘面积的一半？ 【答案】(1)第8天浮萍覆盖的面积为，结果是； (2)第10天浮萍覆盖的面积为； (3)第19天浮萍恰好覆盖池塘面积的一半． 【分析】 【详解】（1）解：第1天面积是， 第2天是， 第3天是， ∴第n天浮萍的覆盖面积是， 当时，； （2）解：∵面积为，， ∴， 即， ∴； （3）解：∵浮萍每天覆盖面积是前一天的2倍，第20天长满池塘， ∴第20天的面积第19天的面积， 即第19天的面积就是第20天满池面积的一半， ∴第19天浮萍恰好覆盖池塘面积的一半． 变式2-1．阅读计算： 阅读下列各式：，，… 回答下列三个问题： (1)验证： ， ； (2)通过上述验证，归纳得出： ； (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：， ； 故答案为：1，1； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了乘方运算，理解题意是解题的关键． 变式2-2．阅读材料，解决问题： 由， 不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到： 因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分别求出的个位数字及的个位数字． (2)的个位数字为________． 【答案】(1)的个位数字为3，的个位数为2. (2)7. 【详解】（1），，，，，， 7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为3． ，，，，，， 8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为2． （2）与（1）同理可得，2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为2， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为7， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为8， ， 的个位数字是. 【点睛】本题主要考查了数字变化的规律及尾数特征，能通过计算发现，，，的正整数幂的个位数字变化规律是解题的关键． 变式2-3．阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【详解】解：设， 则 ∴， 即． 技巧 一句话要点 加减混合运算统一化简——"减法化加法，正负分组法" 减法统一改加法，省略加号写代数和；正数一组、负数一组分组求和 乘除先定符号再算绝对值——"先定符号，后算绝对值" 负因数个数：偶数正、奇数负；先定符号再乘绝对值 乘方看底数括号——"看括号定底数" 有括号负数做底数，无括号仅正数做底数 混合运算按顺序分步——"乘方→乘除→加减" 有括号由内向外，不跳步一级一级算 优先用乘法分配律——"正用展开，逆用提公因" 分数乘和正向展开；ab+ac逆用提公因数 符号易错点统一处理——"奇负偶正口诀" 负号个数偶数正、奇数负，先化简符号再算 实际应用题步骤——"先符号表示，再列式求和" 正负数表示相反意义量→列式→分组求和→文字结论 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的运算 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类)考点清单(5类) 公式清单(10类) 辨析清单(5类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(5类) 答题类 解题模型清单(2类) 答题技巧清单 知识点01 有理数的加法与减法 加法法则： （1）同号两数相加：取相同符号，绝对值相加； （2）异号两数相加（绝对值不等）：取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值； （3）互为相反数的两数相加：和为0； （4）一个数加0，仍等于本身。 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数： 加法运算律 （1）交换律：；（2）结合律： 知识点02 有理数的乘法与除法 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数乘0都得0。多个非零数相乘时，负因数个数为偶数则积为正，负因数个数为奇数则积为负（奇负偶正）；只要有一个因数为0，乘积为0。 倒数：乘积为1的两个数互为倒数；的倒数是；0没有倒数。 除法法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数： 两数相除：同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何不为0的数都得0，0不能作除数。 乘法运算律 （1）交换律：；（2）结合律： （3）分配律：（可正向、逆向使用） 知识点03 有理数的乘方 求个相同因数乘积的运算叫做乘方，记作： 其中是底数，是指数，运算结果叫幂。符号规律： （1）正数的任意次幂都是正数； （2）负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数； （3）的正整数次幂等于。 知识点04 有理数混合运算顺序 （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）同级运算，从左到右依次计算； （3）有括号时，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 知识点05 简便运算思路 利用运算律分组：正数与正数结合、负数与负数结合；分数凑整；逆用乘法分配律简化计算。 考点01有理数加减法运算 考点内容：有理数加法法则；减法法则；加法交换律、结合律；相反数求和。 常见考法： ①直接计算有理数加减算式； ②把减法统一成加法，写成省略加号的和的形式； ③运用加法运算律分组凑整，简化加减混合运算； ④利用互为相反数相加得0进行简便计算。 考点02有理数乘除运算与倒数 考点内容：两数相乘、相除的符号法则；多个因数相乘"奇负偶正"；倒数定义；除法转化为乘法；乘法三条运算律。 常见考法： ①判断多个有理数连乘结果的符号； ②求一个非零数的倒数，区分倒数与相反数； ③将除法运算转化为乘法计算； ④正向、逆向运用乘法分配律简化计算。 考点03有理数乘方运算 考点内容：乘方的定义；底数、指数、幂的概念；正数、负数、0的乘方符号规律；区分与。 常见考法： ①根据乘方定义写出底数与指数； ②判断负数乘方结果的正负； ③计算简单乘方； ④辨析与这类易混式子的计算结果。 考点04有理数混合运算 考点内容：混合运算优先级：乘方→乘除→加减；括号优先；同级运算从左到右。 常见考法： ①不含括号的三级混合计算题； ②带有小括号、中括号的综合计算题； ③结合运算律进行简便运算； ④结合绝对值、乘方的综合计算。 考点05有理数运算实际应用 考点内容：正负数表示相反意义的量；利用有理数加减解决行程、盈亏、水位变化问题。 常见考法： ①用正负数记录收支、升降、盈亏； ②列出加减算式，计算总盈亏、总位移； ③结合平均数、基准量进行求值计算。 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 有理数减法转化公式 减去一个数，等于加上这个数的相反数，把减法统一为加法运算。 2 除法转化为乘法公式（） 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；0不能作除数。 3 倒数关系式（） ；的倒数为 乘积为1的两个数互为倒数；0没有倒数。 4 相反数求和公式 互为相反数的两个数相加，和等于0。 5 乘方定义式 是底数，是指数，运算结果叫做幂。 6 加法交换律 交换两个加数的位置，和不变。 7 加法结合律 三个数相加，先把前两个相加或先把后两个相加，和不变。 8 乘法交换律 交换两个因数的位置，积不变。 9 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个相乘或先把后两个相乘，积不变。 10 乘法分配律 ； 逆用 一个数乘两个数的和，等于分别相乘再相加；可正向展开，也可逆向提取公因数。 辨析01区分（与，不要混淆底数 ：底数是，整体乘方；如。 ：底数只有，先算乘方再取相反数；如。 括号决定底数范围，有无括号，结果符号经常不一样。 辨析02分清倒数与相反数，不要弄混两种关系 相反数：两数之和为0；的相反数是；0的相反数是0。 倒数：两数之积为1；的倒数是；0没有倒数。 相反数改变符号；倒数改变分子分母，符号保持不变。 辨析03区分"减去负数"和"减去正数"，避免符号出错 减去一个正数，等于加上它的相反数（负数）：。 减去一个负数，等于加上正数：。 口诀：减负等于加正。 辨析04区分运算优先级，不要先算加减再算乘方 混合运算必须严格遵守：先乘方，再乘除，最后加减；很多同学会先算加减，再算乘方，造成计算错误。 辨析05区分"0作被除数"与"0作除数" 0除以任意不为0的数，结果等于0；0不能作为除数，无意义，做题时要排除除数为0的情况。 【题型一】有理数的加减乘除混合运算 例1．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； 变式1-1．计算： (1) (2) (3) (4) 变式1-2．学习有理数的乘除法后，老师给同学们这样一道题目，计算，看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下： 小鹿：原式； 小鸣：原式． (1)以上两种解法，你认为________的解法较简便； (2)用你认为最合适的方法计算：①；②． 变式1-3．请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：． 【题型二】有理数的加减乘除实际意义 例2．一辆“滴滴车”在一条南北走向的公路上往返行驶，接送客人．向北行驶的路程记为正数，向南行驶的路程记为负数．一天早上，“滴滴车”从汽车站出发，上午每次行驶的路程记录如下（单位：）：5，，6，，． (1)该“滴滴车”上午行驶结束后，在汽车站的南方还是北方？距离汽车站多远？ (2)该“滴滴车”每行驶1千米，耗油0.12升，上午接送客人，“滴滴车”共耗油多少升？ 变式2-1．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，正好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走________． (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少？ 变式2-2．如图，小李在某运动APP中设定每天的步数目标为8000步，该APP用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数，例如周二小李少于目标步数600步． (1)这5天中，步数最多的是周 ，步数最少的是周 ，步数相差 步； (2)小李这5天平均每天的步数是多少？ (3)小李运动时，每1000步消耗热量约为50卡，请估计该APP显示的小李这5天运动消耗的总热量． 变式2-3．最近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小新家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/ (1)这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶_________； (2)小新家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了多少？ (3)已知小新家这款汽车在行驶结束时，若剩余续航里程不足满电续航的，行车电脑就会发出充电提示．假设该汽车出发时满电且这七天内未充电，请通过计算，说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【题型三】有理数的混合计算 例3．计算： (1)； (2)； (3)． 变式3-1．下列各数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 变式3-2．计算题： (1) (2) 变式3-3．综合实践 (1)计算下面两组算式： ①与； ②与． (2)根据以上计算结果猜想：等于什么？（直接写出结果） (3)猜想与验证：当n为正整数时，等于什么？请你利用乘方的意义说明理由． (4)利用上述结论，求的值． 【题型四】乘方的应用 例4．当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂3次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求2小时后的数量是1小时后的多少倍？ 变式4-1．网上复制、粘贴一条信息并发送出去仅仅需要1秒钟！假设第1秒钟A将一条信息发送给了B；在第2秒钟，B将该信息发送给C的同时，A又发送给了D；在第3秒钟，D将该信息发送给E的同时，C又发送给了F，B又发送给了G，A又发送给了H……，依次类推，仅仅过了7秒钟，共有（     ）人会收到该信息． A．7 B．64 C．128 D．49 变式4-2．如图，在一张长方形纸条上画一条数轴，将此纸条沿两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，则最左端的折痕与数轴的交点表示的数是______． 变式4-3．【数学文化】第十四届国际数学教育大会（）会徽（如图1）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．（规定：＝1，） (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：①＝______，②＝______． (2)应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图2，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ (3)请将十进制数20写成八进制数（写出必要的计算过程）． 【题型五】程序图与有理数的运算 例5．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则输出的结果是________． 变式5-1．如图，A，B，C，D四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过的顺序进行运算，可列式为；8经过的顺序进行运算，可列式为，则经过的顺序进行运算的结果为_______． 变式5-2．一个数值转换机的示意图如图所示，若输入的值为，的值为，则输出的结果为_______． 变式5-3．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的值为______． 【题型六】科学记数法 例6．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 变式6-1．据统计，年暑假期间，我国民航客运累计发送旅客万人次，把万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 变式6-2．杭州滨江区2025年地区生产总值约为230 000 000 000元，数据230 000 000 000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 变式6-3．5800万用科学记数法表示为______． 【题型七】近似数 例7．数的近似数为，那么数的真实值的范围是（     ） A． B． C． D． 变式7-1．请把四舍五入精确到是________． 变式7-2．由四舍五入得到的近似数37.5，它表示大于或等于______，而小于______的数． 变式7-3．一个数保留一位小数后的近似数是，则这个数的取值范围在下图（数轴的一部分）中表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型八】有理数中的规律应用 例8．如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为．则的值为__________，的值为__________，，则的值为__________． 变式8-1．观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 变式8-2．【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如： ，，，． 【初步体验】 (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①___________；②___________； 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：___________． (3)用简便的方法计算：． 变式8-3．阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 【题型一】判断有理数乘法计算过程正误并订正 进行有理数乘法改错时，容易忽略符号法则，只验算绝对值计算。多个数相乘要先数负因数个数确定符号，再算绝对值；看到0因数要直接得0。订正时既要改结果，也要修改错误步骤，不能只改最终答案。 例1．阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第________步开始出现错误，本题运算的正确结果是________； (2)第①步的变形依据是________；（填选项） A．加法交换律    B．乘法交换律    C．加法结合律    D．乘法结合律 (3)计算：． 变式1-1．如下是小明对一道题的解题过程： ……第①步 ……第②步 ……第③步 下列判断正确的是（     ） A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 变式1-2．下面是某同学计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 任务： (1)以上计算过程中，第一步变形的依据是________，第三步变形的依据是________；（填运算律） (2)从第________步开始出现错误； (3)请你写出正确的计算过程． 变式1-3．下面是某同学两道题的计算过程． 第一题解：            第一步     第二步                       第三步                          第四步 第二题解：     第一步                           第二步                                  第三步 (1)第一题的解答过程中，第二步运用的运算律是______（填序号），第二题的解答过程中，第一步运用的运算律是______（填序号）； ①乘法交换律、乘法结合律    ②加法交换律、加法结合律    ③分配律 (2)第一题的解答过程中，从第______步开始出现错误，第二题的解答过程中，从第______步开始出现错误； (3)请你在上面两题中任选一个进行正确的计算． 【题型二】有理数乘法简便运算 乘法分配律简便计算，常见错误是漏乘括号内某一项、符号处理出错。尤其括号内存在负数时，要连同符号一起相乘；逆用分配律提取公因数，注意符号跟随数字。不能随便改变原式结构，每一步变形要有运算律依据。 例2．简便计算： (1)； (2) 变式2-1．用简便方法计算： (1)． (2) 变式2-2．简便计算： 变式2-3．请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：． 【题型三】利用有理数乘方比较数的大小 用乘方比较大小时，容易混淆底数正负带来的结果差异。正数的任何次幂都是正数；负数偶次幂为正、奇次幂为负。比较前先区分正负，同号再比较绝对值；不要直接比较底数，忽略指数对结果的影响。 例3．比较大小：______． 变式3-1．比较大小_____ （填“>”或“<”或“="） 变式3-2．比较大小： ________ ． 变式3-3．比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 【题型四】有理数乘方的逆向运用 乘方逆运算容易混淆底数与指数，误把幂直接开方。已知幂求底数要注意：正数的偶次幂对应正负两个底数；负数不能做偶次幂的底数。做题要区分"已知底数求幂"和"已知幂求底数"，不要直接照搬正向乘方的结论。 例4．若，，且，则的值为______． 变式4-1．如果，那么___________． 变式4-2．若，且，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 变式4-3．如图是一个“数值转换机”，如果输出的结果为16，那么输入的a值是_________． 【题型一】有理数混合运算的实际应用 例1．某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以为标准，超过的记为“”，不足的记为“”，七年级六个班级的废纸收集情况如下表所示，统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为． 班级 一 二 三 四 五 六 超过（不足）（） 0 (1)七年级六班同学收集废纸的质量为________： (2)若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量： (3)若七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，（包括）以内的2元/千克，超出的部分2.5元/千克，求废纸卖出的总价格． 变式1-1．数学活动课上，甲、乙两位同学玩猜数游戏．甲默想一个1~2025的整数并记住；乙对甲默想的数提出一个猜想，甲比较这个数和自己心中所想数的大小，然后回答“大了”“小了”或者“相等”，若相等则说明乙同学猜中；若乙没有猜中，则根据甲的回答，调整猜想，重复步骤，直到猜中．其中甲按要求选好一个数后，乙至多猜（     ）次可以一定猜出此数． A．9 B．10 C．11 D．12 变式1-2．重庆百利摩托车厂计划一周销售全新原装豪华摩托车1400辆，平均每天销售200辆，但由于种种原因，实际每天销售量与计划量相比有出入．下表是某周的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知该厂星期五销售摩托车__________辆； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售__________辆； (3)本周实际销售总量是否达到了计划数量没有？通过计算说明 (4)该厂实行每日计件工资制，每销售一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少销售一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 变式1-3．日常生活中主要运用“十进制”数，而“十六进制”广泛应用于电子技术、计算机编程等领域．十六进制在数学中是一种“逢16进1”的进位制，一般用数字0到9和字母A到F表示，其中用A，B，C，D，E，F分别表示10，11，12，13，14，15．如表示十六进制数，将它转换成十进制形式是，那么将十六进制数转换成十进制数为___． 【题型二】算”24”点问题 例2．暖羊羊有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大． 这两张卡片上的数字分别是 ，积为 ． (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小． 这两张卡片上的数字分别是 ，商为 ． (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为，写出运算式子．（写出一种即可） 变式2-1．2026年3月，鼓楼实验中学成功举办第三届“数学节”，一个趣味数学游戏是“快算24”，其规则是：随机抽取4个整数，用加减乘除四种运算符号和括号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．小龙参加“快算24”时，抽到的4个数分别是4，5，，11，请你写出一个算式，使其结果为24：_____________________． 变式2-2．数学游戏题： (1)下图是一个三阶幻方，由个不同的数字构成，并且每横行，竖行以及对角线上的3个数字的和都相等，试填出所有空格中的数； (2)有一种“二十四点”的游戏（即算游戏），其游戏规则是这样的：任取四个整数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于．现给出，，，四个数，请你写出一个算式使其结果为． 变式2-3．现有4张写着不同数字的卡片，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，则积的最大值是______；从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，则商的最小值是______； (2)从中取出2张卡片，使这两张卡片上的数字经过一次运算后得到的结果最大，你所选择的数字是______，结果的最大值是______； (3)用这4张卡片上的数字写出一个结果为24或的算式．（写出一个符合要求的即可） 【题型三】程序流程图与有理数的运算 例3．如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，最后输出的结果是多少？（写出计算过程） 变式3-1．按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是（    ） A． B． C． D．12 变式3-2．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是________． 变式3-3．根据如图所示的程序回答问题： (1)当凡凡输入和这两个数时，则输出的结果是___________； (2)当林林输入和这两个数时，求输出的结果． 【题型四】数轴上的翻折问题 例4．某数学小组在一张白纸上制作了一条数轴，如图： (1)【操作一】 折叠纸片，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)【操作二】 折叠纸片，使表示的点与表示5的点重合，解答以下问题： ①表示7的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离是8（点A在点B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则A，B两点表示的数分别是多少？ 变式4-1．如图，在数轴上从左到右依次有，，三点，，两点表示的数分别为，2，点对应的数满足． (1)点表示的数为__________； (2)若点保持不动，将点沿数轴向左移动到点． ①当点所表示的数为时，求点移动的距离； ②将数轴沿点折叠，点的对应点与点的距离为1，求点的坐标． 变式4-2．在数轴上原点右侧有一点C，点C到表示数1的点的距离为2． (1)点C表示的数为___________； (2)点A在数轴上，将点A向右移动3个单位长度到达点，此时点表示的数为1，求点A到原点的距离； (3)若点A表示的数为，把数轴对折后，折点为B． ①若点A与点C重合，求点B表示的数； ②若对折后点A的对应点为点，且点到点C的距离为1，直接写出折点B所表示的数． 变式4-3．【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行深入探究． (1)若折叠纸面，表示的点与表示3的点重合，则表示15的点与表示__________的点重合； (2)若数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经折叠后重合（A在B的左侧，且折点与（1）折点相同），求点A和点B表示的数； (3)一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A的对应点是点，并且，求点C表示的数． 【题型五】有理数乘方的应用之进制题型 例5．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，约定逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进几”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区别不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如就是二进制数1010的简单写法．十进制数一般不标注基数，现在我们通常用的是十进制数．各进制数之间可以进行转换，如二进制数1010可以转换成与其相等的十进制数，转换过程如下：，十进制数19可以转换成与其相等的二进制数，转换过程如下：为二进制下的五位数（规定当时，）．根据以上材料解决如下问题： （1）七进制数转换成十进制数的值是___________； （2）十进制数1029是二进制下的多少位数？___________位数． 变式5-1．我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 变式5-2．《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． 变式5-3．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢四进一就是四进制，用数字0，1，2，3记数，四进制数可以转换为十进制数．例如，四进制数记为，由，可得是十进制数102． (1)将转换为十进制数，结果是___________； (2)对于一个用四进制表示的正整数，有下列两个结论： ①如果这个数的末位数字能被2整除，那么这个数就能被2整除； ②如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除． 从中选出正确结论，并以四位的四进制数为例，说明该结论正确的道理，若不成立举反例证明即可． 题型01有理数运算之拆项简便计算题 解题步骤： ①观察算式结构，识别适合拆项的数字，带分数拆成"整数+分数"的形式，保证拆分前后数值不变； ②运用加法交换律、结合律分组，整数归为一组，分数归为一组； ③分组分别进行计算，全程留意符号，防止拆分时符号出错； ④把分组计算得到的结果合并，得出最终答案。 例1．阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． 变式1-1．阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算： (1)； (2)． 变式1-2．对于可以按如下方式计算： 原式 ___________① ___________ ___________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请在上面横线上补全计算过程，步骤①所应用的运算律为___________． (2)仿照上面的方法计算：． 变式1-3．用拆项法计算：． 题型02有理数乘方应用之材料阅读题 解题步骤： ①仔细阅读题目材料，提取乘方相关的新定义、运算规律，将文字描述转化为对应的数学式子； ②找准题目中的底数与指数，负数作底数时一定要添加括号，不要混淆与； ③套用材料给出的规律列式，按照乘方符号法则完成计算； ④计算结束后回查，检验是否误用材料条件，核对结果是否合理。 例2．【阅读材料】浮萍是一种生长很快的水生植物．某池塘中的浮萍，每天覆盖的面积都是前一天的2倍．已知第1天浮萍覆盖的面积为，第2天为，第3天为，第4天为，…… 【解决问题】 (1)用幂表示第8天浮萍覆盖的面积，并计算出结果； (2)第几天浮萍覆盖的面积为？ (3)若第20天浮萍恰好长满整个池塘，那么第几天浮萍恰好覆盖池塘面积的一半？ 变式2-1．阅读计算： 阅读下列各式：，，… 回答下列三个问题： (1)验证： ， ； (2)通过上述验证，归纳得出： ； (3)请应用上述性质计算：． 变式2-2．阅读材料，解决问题： 由， 不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到： 因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分别求出的个位数字及的个位数字． (2)的个位数字为________． 变式2-3．阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 技巧 一句话要点 加减混合运算统一化简——"减法化加法，正负分组法" 减法统一改加法，省略加号写代数和；正数一组、负数一组分组求和 乘除先定符号再算绝对值——"先定符号，后算绝对值" 负因数个数：偶数正、奇数负；先定符号再乘绝对值 乘方看底数括号——"看括号定底数" 有括号负数做底数，无括号仅正数做底数 混合运算按顺序分步——"乘方→乘除→加减" 有括号由内向外，不跳步一级一级算 优先用乘法分配律——"正用展开，逆用提公因" 分数乘和正向展开；ab+ac逆用提公因数 符号易错点统一处理——"奇负偶正口诀" 负号个数偶数正、奇数负，先化简符号再算 实际应用题步骤——"先符号表示，再列式求和" 正负数表示相反意义量→列式→分组求和→文字结论 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $