精品解析：江苏省镇江市2024届高三下学期高考前练习(三模)数学试题

镇江市2024届高三考前练习卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用纯虚数的定义和复数的运算求解即可. 【详解】， 复数为纯虚数，故且，则. 故选：C 2. 等轴双曲线经过点，则其焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，先求出等轴双曲线的方程，得到焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式进行求解即可． 【详解】因为该曲线为等轴双曲线， 不妨设该双曲线的方程为， 因为等轴双曲线经过点， 所以， 解得， 则， 所以该双曲线的一个焦点坐标为， 易知该双曲线的一条渐近线方程为， 则点到直线的距离． 故选：A． 3. 命题P：的平均数与中位数相等；命题Q： 是等差数列，则P是Q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 由是等差数列，易推导出的平均数与中位数相等，所以 P 是 Q 的必要条件；举出反例可推翻 P 是 Q 的充分条件． 【详解】 由是等差数列，所以平均数为 ，而中位数也是， 所以的平均 数与中位数相等， 即 , P 是 Q 的必要条件； 若数据是1,1,1,3,3,5,5,5，则平均数和中位数相等，但不是等差数列， 所以 P 推不出 Q ，所以 P 不是 Q 的充分条件； 所以 P 是 Q 的必要不充分条件． 故选： B . 4. 圆被直线所截得劣弧的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线与圆的交点为、，的中点为，求出圆心到直线的距离，利用锐角三角函数求出，即可得到，再由弧长公式计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 设直线与圆的交点为、，的中点为，则，所以， 所以，则，所以劣弧的弧长为. 故选：C 5. 自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由得到求解. 【详解】， ，则，（舍）． ， ． 故选：A. 6. 生活中有各种不同的进制，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用十进制. 任何进制数均可转换为十进制数，如八进制数转换为十进制数的算法为.若将八进制数转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意得到转换规律后再由等比数列的前项和公式计算即可； 【详解】由题意可得将八进制数转换为十进制数，则转换后的数为 ， 故选：D. 7. 已知角，满足，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦和角公式，同角三角函数关系得到，故，利用正切和角公式得到方程，求出. 【详解】因为， ， 所以， 即，则， 因为，所以， 其中， 故，解得. 故选：B. 8. 已知及其导函数的定义域均为，记，，若关于对称，是偶函数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知直接得，由复合函数求导法则可得，进一步有，由此即可得解. 【详解】若关于对称，则的图象关于轴对称， 所以，两边求导得， 因为是偶函数，所以，令，就有， 即有， 所以， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（ ） A. 与相互对立 B. 与相互独立 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据独立事件的定义判断B，根据互斥事件、对立事件的定义判断A，根据独立事件及条件概率的概率公式判断C、D. 【详解】对于A，由题意可知，事件与事件有可能同时发生， 例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件与事件不是互斥事件，当然也不是对立事件，故A错误； 对于B，依题意，，， 所以事件与事件相互独立，故B正确； 对于C、D，，因为，所以， 所以，故D正确，C错误． 故选：BD． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 在区间的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出，可得A正确，B错误；由诱导公式可得C正确；整体代入由正弦函数的值域可得D正确. 【详解】由题意得， 由图象可得， 又，所以， 由五点法可得， 所以. A：由以上解析可得，故A正确； B：由以上解析可得，故B错误； C：，故C正确； D：当时，， 所以最小值为，故D正确； 故选：ACD. 11. 在正四棱柱中，点M，N分别为面和面的中心.已知与点关于平面对称的点在棱柱的内部（不含表面），并记直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，对所有满足上述条件的正四棱柱，下列关系式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】不妨设，，分别取棱，，，的中点为，，，，则点关于平面对称的点，即为与点关于直线对称的点，记为，再分、、三种情况讨论，从而确定的位置，即可得到的范围，即可判断A、B；根据正四棱柱的性质可知为直线与平面所成的角，即可得到，从而判断C；（或补角）即为直线与所成的角，再由锐角三角函数求出的范围，即可判断D. 【详解】由题意，不妨设，，分别取棱，，，的中点为，，，， 易知，，，，五点共面，且为线段的中点. 因为平面，且平面平面， 又平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面平面， 所以点关于平面对称的点，即为与点关于直线对称的点，记为. 当时，即为棱的中点，在棱柱表面，不符题意，舍去； 当时，，由对称性，，此时在矩形外，故在棱柱外部，不符题意，舍去； 当时，，由对称性，. 且由平面几何知识易得在内，所以在棱柱内部，符合题意. 综上所述，，所以，A选项错误. 因为，所以B选项正确. 在正四棱柱中，平面与平面平行， 则直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，则为直线与平面所成的角， 所以. 所以在中，. 因为，，，，， 所以，C选项正确. 在正四棱柱中，. 所以（或补角）即为直线与所成的角且，，， 则在等腰中，取棱的中点为，， 因为，，，， 所以，而，所以D选项错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题关键是确定的取值范围，将点关于面对称的点，转化为点关于线对称问题，另外一个就是准确的找到线面角，线线角. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量（共10件产品，其中有2件合格品，从中取出3件，有X件），则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据超几何分布计算公式可得. 【详解】由随机变量服从超几何分布， 可知3表示选出3个，2表示有2个供选择，总数为10， 根据超几何分布公式可得. 故答案为： 13. 若对项数为的数列中的任意一项，也是该数列中的一项，则称这样的数列为“可倒数数列”.已知正项等比数列是“可倒数数列”，其公比为，所有项和为，写出一个符合题意的的值____________. 【答案】或（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意依次得出，，进一步结合已知列方程求出即可. 【详解】已知正项等比数列是“可倒数数列”， 首先， 若，结合，解得，此时，但不在这5个数中，矛盾，故， 则若，则也在数列中，若在数列中，则（且）也在数列中， 因为正项等比数列是“可倒数数列”， 所以数列严格单调，而， 所以只能， （否则，不妨设，那么或一定有三个数小于1，而他们的倒数都大于1，这必定导致有一个数的倒数不在中）， 从而，所以， 解得或（舍去）， 所以解得或. 故答案为：或（答案不唯一）. 14. 有一个简易遮阳棚三角形长度分别为5米、 3米、4米. 两点固定在底面，成正南北方向，此时太阳光从正西方向与底面成方向射入. 当遮阳棚与底面所成角为_____________时，遮阴面积最大，最大面积为_____________平方米. 【答案】 ①. ②. 12 【解析】 【分析】遮阴影面面积达到最大即是点到的距离最大，根据正弦定理表示出点到的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系,进一步即可求解． 【详解】因为，所以， 如图，过点C作交于D，连接，由题可知， 因此就是遮阳篷ABC与地面所成的角，因为， 所以求遮阴影面面积最大，即是求最大，其中已知， 设，，根据正弦定理， 当时，最大，遮阴影面面积最大，此时， 最大遮阴影面为. 故答案为：，12. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，三棱锥中， ，， ，D是棱AB的中点，点E在棱AC上. （1）下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选取并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）； ①平面⊥平面； ②； ③. （2）若三棱锥的体积为，以你在（1）所选的两个条件作为条件，求平面与平面所成二面角的大小. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）若选择①②，则只需证明⊥平面，结合线面垂直的性质定理即可得证；若选择①③，则只需证明⊥平面，结合线面垂直的性质定理即可得证；若选择②③，则只需证明⊥平面，再结合面面垂直的判定定理即可得证. （2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 选择①②，可证明③. 由，是线段的中点，得⊥. 又平面⊥平面，平面平面，且平面； 所以⊥平面， AC平面ABC，得⊥， 又⊥；，平面， 所以⊥平面． 因为平面，所以， 若选择①③，可证明②. 由，是线段的中点，得⊥. 又平面⊥平面，平面平面，且平面； 所以⊥平面， 平面，得， 又⊥，，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以． 选择②③，可证明①. 由，是线段的中点，得⊥ 因为⊥，⊥， 平面，， 所以⊥平面． PD平面PDE，得⊥， ,平面，所以⊥平面． 又平面，故平面⊥平面. 【小问2详解】 方法一：由（1），选择①②，则③成立. 取线段的中点F，连接， 则由，及是线段的中点， 得⊥. 由（1）知，⊥平面， 以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系三棱锥的体积，且， ，得，得 所以由，是线段的中点，⊥，得： . 所以，，，. 设面与面的法向量分别为，， 则 ， 得：，所以面的一个法向量为. ， 得：，所以面的一个法向量为. 设平面与平面所成二面角为， 则， 因为，所以面与面所成二面角的大小为． 方法二：延长交的延长线于Q，连接， 则平面与平面. 由三棱锥的体积为，且， ，得，解得. 又由，及是线段的中点，⊥， 在等腰直角三角形中，，， 连结CD，在中，，，， 在等腰直角三角形中，，， 在中，， 在中，由，所以， 又由（1）知，⊥平面，是在面内射影， 由三垂线逆定理得：， 则即为二面角的平面角， ， 所以面与面所成二面角的大小为. 16. 如图，椭圆C：()的中心在原点，右焦点，椭圆与轴交于两点，椭圆离心率为，直线与椭圆C交于点. （1）求椭圆C的方程； （2）P是椭圆C弧上动点，当四边形的面积最大时，求P点坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：由题意得，，把点直接代入椭圆方程求出即可；方法二：把代入求出即可； （2），而的面积为定值，所以只要的面积最大，进一步分析得知，只需求的最大值，方法一：用判别式法求最值；方法二：利用基本不等式求最值，结合取最值的取等条件即可求解. 【小问1详解】 设，又离心率，则. ，则. 法一：则C：，点代入得， 法二：则，点代入得， 所以C方程为：. 【小问2详解】 因为，而的面积为定值，所以只要的面积最大. 设，则①. ， ，则线段AM长度为定值. 由图知，P在直线的上方，直线：， P到直线的距离为 只需求的最大值. 法一：设，代入得：， 因为，得. 当时，联立①，解得：，. 法二：因为 . 所以， 当且仅当时，. 所以当四边形的面积最大时，此时点P坐标为 (). 17. 在一场羽毛球比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军. 比赛采用“双败淘汰制”：首先，四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”. 接着，“胜区”中两人对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名. 然后，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名. 最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，且不同对阵的结果相互独立. （1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁； ①求甲获得第四名的概率； ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望； （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，则哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由. 【答案】（1）①；② （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）① 甲获得第四名，需要在甲参与的两场比赛中都失败，结合对立事件概率和独立事件概率公式求解即可；② 明确随机变量所有可能取值，然后结合对立事件概率和独立事件概率公式分别求出对应的概率，即可求得分布列和期望； （2）分别求出两种赛制甲夺冠概率，再利用作差法比较两概率的大小，取夺冠概率最大的赛制对甲夺冠有利. 【小问1详解】 ①记“甲获得第四名”为事件，又，则； ②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量， 则的所有可能取值为2，3，4， 连败两局：， 可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负； ， ； 则的分布列如下： 2 3 4 0.16 0.552 0.288 所以数学期望. 【小问2详解】 在“单败淘汰制”下，甲获冠军须比赛两场，且两场都胜，则甲获得冠军的概率为. (ii) 在“双败淘汰制”下，设事件V为“甲获冠军”， 设事件A为“甲比赛三场，连胜三场”，则； 设事件B为“甲比赛四场：胜负（胜区败）胜（赢败区胜）胜（决赛区胜）”， 则； 设事件C为“甲比赛四场：负胜（败区胜）胜（赢胜区败）胜（决赛区胜）”， 则； 所以 . 由，且， 当时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利； 当时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利； 当时，两种赛制甲夺冠的概率一样. 18. 设函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得； （2）将函数求导，从导函数对应方程根的判别式入手，就参数的范围进行分类讨论，即得原函数的单调性； （3）将题设不等式转化成在上恒成立，记，求导后得，通过构造函数，求导判断其在为减函数，得，推出恒成立，从而即可判断的单调性得到，即得的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， 则，又， 故在处的切线方程为． 【小问2详解】 因为，则， 若，即时，恒成立，故在R上单调递增； 若，即或时， ． 0 0 递增 递减 递增 则在和上为增函数； 在上为减函数． 综上所述，当时，在R上单调递增； 当或时，在和上为增函数； 在上为减函数． 【小问3详解】 因为时，，即， 当时，上式成立， 而当时，即恒成立，记， 则． 记，则， 则在为减函数，则，即恒成立， 则当时，则在上递减， 当时，，则在上递增， ，则，所以的取值范围为． 19. 已知正整数为常数，且，无穷数列的各项均为正整数，其前项和为，且对任意正整数，恒成立. （1）证明无穷数列为等比数列，并求； （2）若，，求证：； （3）当时，数列中任意不同两项的和构成集合A.设集合，中元素的个数记为，求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析 （3）（） 【解析】 【分析】（1）由 并结合已知条件，得出数列的两项的商为定值，从而可知为等比数列，由于其各项均为正整数，所以公比亦为正整数，从而得到 ； （2）写出数列的通项公式，得出，结合导函数求出函数的单调性，再结合累加法对数计算求和即可. （3）结合（2）得出集合中元素满足的不等式，将中元素的个数转化为关于的不等式的解的数目，先确定的取值，再由放缩法确定 i 的取值，从而确定解的个数，得到的通项公式． 【小问1详解】 当时，，，两式相减得： ，， ，所以数列为等比数列． 因为无穷数列的各项均为正整数， 则公比为正整数，为正整数，则． 【小问2详解】 若， 设（），则， 则在上为增函数， 所以，故， 即， 则 【小问3详解】 当时，， 即， ，N*， 中元素个数，等价于满足的不同解， 如果，则，矛盾！ 则， 又因为， 所以， 即，共个不同解， 即共个不同，所以（）． 【点睛】方法点睛：集合中元素满足的不等式，将中元素的个数转化为关于的不等式的解的数目，先确定的取值，再由放缩法确定 i 的取值，从而确定解的个数，得到的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇江市2024届高三考前练习卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 等轴双曲线经过点，则其焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 3. 命题P：的平均数与中位数相等；命题Q： 是等差数列，则P是Q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 圆被直线所截得劣弧的弧长为（ ） A. B. C. D. 5. 自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（ ） A. B. C. D. 6. 生活中有各种不同的进制，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用十进制. 任何进制数均可转换为十进制数，如八进制数转换为十进制数的算法为.若将八进制数转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 7. 已知角，满足，，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知及其导函数的定义域均为，记，，若关于对称，是偶函数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（ ） A. 与相互对立 B. 与相互独立 C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 在区间的最小值为 11. 在正四棱柱中，点M，N分别为面和面的中心.已知与点关于平面对称的点在棱柱的内部（不含表面），并记直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，对所有满足上述条件的正四棱柱，下列关系式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量（共10件产品，其中有2件合格品，从中取出3件，有X件），则______. 13. 若对项数为的数列中的任意一项，也是该数列中的一项，则称这样的数列为“可倒数数列”.已知正项等比数列是“可倒数数列”，其公比为，所有项和为，写出一个符合题意的的值____________. 14. 有一个简易遮阳棚三角形长度分别为5米、 3米、4米. 两点固定在底面，成正南北方向，此时太阳光从正西方向与底面成方向射入. 当遮阳棚与底面所成角为_____________时，遮阴面积最大，最大面积为_____________平方米. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，三棱锥中， ，， ，D是棱AB的中点，点E在棱AC上. （1）下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选取并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）； ①平面⊥平面； ②； ③. （2）若三棱锥的体积为，以你在（1）所选的两个条件作为条件，求平面与平面所成二面角的大小. 16. 如图，椭圆C：()的中心在原点，右焦点，椭圆与轴交于两点，椭圆离心率为，直线与椭圆C交于点. （1）求椭圆C的方程； （2）P是椭圆C弧上动点，当四边形的面积最大时，求P点坐标. 17. 在一场羽毛球比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军. 比赛采用“双败淘汰制”：首先，四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”. 接着，“胜区”中两人对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名. 然后，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名. 最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，且不同对阵的结果相互独立. （1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁； ①求甲获得第四名的概率； ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望； （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，则哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由. 18. 设函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围． 19. 已知正整数为常数，且，无穷数列的各项均为正整数，其前项和为，且对任意正整数，恒成立. （1）证明无穷数列为等比数列，并求； （2）若，，求证：； （3）当时，数列中任意不同两项的和构成集合A.设集合，中元素的个数记为，求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $