精品解析：辽宁省鞍山市海城市2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

海城市2024-2025学年九年级（上）开学考数学测试 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上,答题要求见答题卡，否则不给分. 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A. B C. D. 3. 由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 4. 若关于x的方程有增根，则a的值是（ ） A 3 B. C. 4 D. 6 5. 若不等式组的解集是 x＞3，则m的取值范围是（ ）. A. m＞3 B. m≥3 C. m≤3 D. m＜3 6. 已知方程的解是，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E分别是网格线交点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》我国古代数学专著，其方程篇中有这样一个问题：今有善行者每刻钟比不善行者多行六十尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上．设善行者每刻钟行尺，则列分式方程可整理为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在平面直角坐标系中，的边在轴上，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，该直线在轴上平移的距离为．直线被平行四边形的边所截得的线段长为，且与对应关系图象如图2所示，则的面积为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标为______． 12. 对于函数中，自变量的取值范围是 ________________． 13. 分解因式：______． 14. 分式的值为0，则x、y满足的条件为______． 15. 如图，在矩形中，点A的坐标为，D为边上一点，将沿所在的直线折叠，A的对应点恰好落在x轴上，E为边上一点，将四边形沿所在的直线折叠，D的对应点恰好与点C重合，B的对应点为，则点E坐标为________． 三、计算题（每题5分，共10分） 16. 计算 （1）； （2） 四、解答题（每题8分，共40分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在平行四边形中，是对角线上两个点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数 19. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）将向下平移得到，若点平移后对应点的坐标为，则点对应点的坐标为______； （2）作出绕原点顺时针旋转的； （3）点在平面直角坐标系中，若以，，四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点坐标． 20. 现需改造一段连接A，B，C三个村镇农村公路，其中A，B两村镇间的公路长度为4200米，B，C两村镇间的公路长度为3000米．甲施工队计划每天施工300米．实际施工时，由甲施工队负责A，B两村镇间的公路改造工程，同时乙施工队负责B，C两村镇间的公路改造工程．甲施工队施工2天后，施工速度变为乙施工队施工速度的，结果比乙施工队晚5天完成公路改造工程．乙施工队每天施工多少米？ 21. 【阅读材料】 将四项及四项以上多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． 【应用知识】 （1）因式分解：________；________． 【拓展应用】 对于四项以上的多项式，我们可以适当地将某一项拆成两项，再进行分组，从而因式分解来解决问题．此题可以通过将常数项拆成两数的和来实现分组，请你试一试． （2）已知为等腰的三边长，且满足．求的周长． （3）已知，，求的值． 22. 定义：我们把一次函数（）与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为（，1）． （1）由定义可知，一次函数的“亮点”为________． （2）一次函数的“亮点”为，求p，q的值． （3）若直线（）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”． ①点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． ②点Q在直线（）上，若点Q与边上的三点能构成平行四边形，请直接写出n的取值范围． 23. 如图，是的中线，，交于点，且． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，在（1）的条件下，，设对角线、交于点O，过点O作交的角平分线于点Q．与交于P点．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海城市2024-2025学年九年级（上）开学考数学测试 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上,答题要求见答题卡，否则不给分. 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，判断一个根式是最简二次根式，必须满足两个条件：①被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数；②被开方数不含有分母．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，不最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 答案：B． 2. 下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解．据此即可求解． 【详解】解：A选项符合因式分解的定义，符合题意； B选项是整式的乘法运算，不符合题意； C选项等号右边不是几个整式的积的形式，不符合题意； D选项等号右边的因式里面包含分式，不符合题意； 故选：A． 3. 由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和解答即可． 【详解】A、因为∠A+∠B=∠C，所以∠C=90°，△ABC为直角三角形，不符合题意； B、因为∠A：∠B：∠C=1：3：2，所以∠A+∠C=∠B，所以∠B=90°，△ABC为直角三角形，不符合题意； C、因为（b+c）（b-c）=a2，所以a2+c2=b2，△ABC为直角三角形，不符合题意； D、因为，，，但是，所以△ABC不为直角三角形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 4. 若关于x的方程有增根，则a的值是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘得：， ∵方程有增根， ∴满足，即， 解得： 故选：D． 5. 若不等式组的解集是 x＞3，则m的取值范围是（ ）. A. m＞3 B. m≥3 C. m≤3 D. m＜3 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式组，然后根据不等式的解集，得出m的取值范围即可． 【详解】， 解①得，x>3； 解②得，x>m， ∵不等式组的解集是x>3， 则m≤3. 故选C. 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，其简便求法就是利用口诀求解.也可利用不等式的性质求解.求不等式组的解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解集. 6. 已知方程的解是，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于方程的解是，即时，，所以直线经过点，然后对各选项进行判断． 【详解】解：方程的解是， 经过点． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程：已知一次函数的函数值求对应的自变量的值的问题就是一元一次方程的问题． 7. 在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E分别是网格线交点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．取格点F，连接，，证明是等腰直角三角形，则，证明，则，则. 【详解】解；如图，取格点F，连接，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 8. 《九章算术》是我国古代数学专著，其方程篇中有这样一个问题：今有善行者每刻钟比不善行者多行六十尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上．设善行者每刻钟行尺，则列分式方程可整理为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，用时间作等量关系列出方程即可． 【详解】解：依题得 即． 故选：B． 9. 如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：还需要添加的条件是， 理由是：∵，， ， 在和中， ， ∴， 故选：C． 10. 如图1，在平面直角坐标系中，的边在轴上，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，该直线在轴上平移的距离为．直线被平行四边形的边所截得的线段长为，且与对应关系图象如图2所示，则的面积为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像可知当移动的距离是1时，直线经过点，当移动距离是3时，直线经过点，当移动距离是时经过点，当移动距离是7时，直线经过点，则，当直线经过点，设直线交于，则，作于点，利用勾股定理可求得，即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据图像可知当移动的距离是1时，直线经过点，当移动距离是3时，直线经过点，当移动距离是时经过点，当移动距离是7时，直线经过点， ， 如图所示： 当直线经过点，设直线交于，则，作于点， 与轴的夹角是，边在轴上， ， ，则由勾股定理得， 平行四边形的面积是， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的图象的识别，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的性质以及勾股定理，根据图像分析得出的长度，正确求得平行四边形的高是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称，熟记关于原点中心对称的点的坐标特征直接求解即可得到答案，熟记关于原点中心对称的两个点坐标互为相反数是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标为， 故答案为：． 12. 对于函数中，自变量的取值范围是 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可进行求解． 【详解】解：由可知：， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件及函数的自变量，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法是解题的关键． 先提出公因式，再利用平方差公式计算，即可求解． 【详解】解：． 14. 分式的值为0，则x、y满足的条件为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是解决本题的关键． 15. 如图，在矩形中，点A的坐标为，D为边上一点，将沿所在的直线折叠，A的对应点恰好落在x轴上，E为边上一点，将四边形沿所在的直线折叠，D的对应点恰好与点C重合，B的对应点为，则点E坐标为________． 【答案】## 【解析】 【分析】证明四边形是矩形，则，得四边形是正方形，则，，由折叠的性质得到，证明四边形是矩形，则，由折叠的性质得到，设，则，在中，勾股定理得，求出，即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，点A的坐标为， ∴， ∵沿所在的直线折叠，A的对应点恰好落在x轴上， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵四边形沿所在的直线折叠，D的对应点恰好与点C重合，B的对应点为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即， ∴点E的坐标是， 故答案为： 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、勾股定理、折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 三、计算题（每题5分，共10分） 16. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，解题的关键是充分利用二次根式的性质是快速进行计算． （1）先将二次根式化简，再合并同类二次根式即可； （2）化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 四、解答题（每题8分，共40分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了整式的化简求值，先计算括号内的分式加法，再计算除法即可得到化简结果，把字母的值代入化简结果计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 18. 如图，在平行四边形中，是对角线上两个点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可得出结论； （2）等边对等角，求出的度数，平角求出，全等三角形的性质，求出的度数即可． 【小问1详解】 证明：四边形ABCD为平行四边形， ， ， ，即 在与中 （） ； 【小问2详解】 ， ， ， 由（1）知，，则． 19. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）将向下平移得到，若点平移后对应点的坐标为，则点对应点的坐标为______； （2）作出绕原点顺时针旋转的； （3）点在平面直角坐标系中，若以，，四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点坐标． 【答案】（1） （2）作图见解析 （3），， 【解析】 【分析】本题考查图形与坐标，涉及平移性质求点的坐标、旋转作图、构造平行四边形求顶点坐标等，熟记平移性质、旋转性质及平行四边形的性质是解决问题的关键． （1）由平面直角坐标系中的得到点、，再由图形平移即可得到点对应点的坐标； （2）由旋转作图，先作出对应点，再连线即可得到答案； （3）由平行四边形的判定与性质，过的顶点作对边的平行线交于，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，点、， 将向下平移得到，若点平移后对应点的坐标为， ； 【小问2详解】 解：如图所示： 即为所求； 【小问3详解】 解：过的顶点作对边的平行线交于，如图所示： ，，，即点坐标，，． 20. 现需改造一段连接A，B，C三个村镇的农村公路，其中A，B两村镇间的公路长度为4200米，B，C两村镇间的公路长度为3000米．甲施工队计划每天施工300米．实际施工时，由甲施工队负责A，B两村镇间的公路改造工程，同时乙施工队负责B，C两村镇间的公路改造工程．甲施工队施工2天后，施工速度变为乙施工队施工速度的，结果比乙施工队晚5天完成公路改造工程．乙施工队每天施工多少米？ 【答案】500米． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 设乙施工队每天施工米，根据“甲施工队施工2天后，施工速度变为乙施工队施工速度的，结果仍比乙施工队晚5天完成公路改造工程”列出分式方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设乙施工队每天施工米． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：乙施工队每天施工500米． 21. 【阅读材料】 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． 【应用知识】 （1）因式分解：________；________． 【拓展应用】 对于四项以上的多项式，我们可以适当地将某一项拆成两项，再进行分组，从而因式分解来解决问题．此题可以通过将常数项拆成两数的和来实现分组，请你试一试． （2）已知为等腰三边长，且满足．求的周长． （3）已知，，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】 分析】本题考查因式分解，涉及提公因式法和公式法． （1）利用提公因式法和公式法即可； （2）先用公式整理后，再用非负性求出，最后根据等腰三角形这个条件分情况讨论即可； （3）先去括号，再根据提公因式法即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：，； （2） 当为腰时，三边长为3，3，6，不符合三角形三边关系，舍去； 当为腰时，三边长为6，6，3，此时周长为； （3）， ． 22. 定义：我们把一次函数（）与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为（，1）． （1）由定义可知，一次函数的“亮点”为________． （2）一次函数的“亮点”为，求p，q的值． （3）若直线（）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”． ①点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． ②点Q在直线（）上，若点Q与边上的三点能构成平行四边形，请直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①或；②或； 【解析】 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）①根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可．②由点Q与边上的三点能构成平行四边形，如图，的临界位置为：，，再由直线（）过临界点求解的值即可得到答案； 【小问1详解】 解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即 解得， 一次函数的“亮点”为； 【小问2详解】 解：根据定义可得，点在上， ， 解得， 点又在上， ， 又， ， 解得， ； 【小问3详解】 ①直线上没有“亮点”， 直线与平行， ， ，令，， 令，则， ， ， 设， ， ， ， ， 即或， 解得或， 或； ②由①得：， 而点Q与边上三点能构成平行四边形， 如图，的临界位置为：，， ∵点Q在直线（）上， ∴当过时， ∴， 解得：； 当过时， ∴， 解得：， ∴的取值范围为：或； 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，平行四边形的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 23. 如图，是的中线，，交于点，且． （1）如图1，求证：四边形平行四边形； （2）如图2，在（1）的条件下，，设对角线、交于点O，过点O作交的角平分线于点Q．与交于P点．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，证出，由，即可得出四边形是平行四边形； （2）过点作于点，作于点，连接，，由角平分线的性质得出，，求出，由直角三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，证明，得出，进而得出结论； （3）由平行四边形的性质得出，由（2）得出，过作于，连接，由直角三角形的性质得出，，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由勾股定理得出即，解方程即可． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ， ， 是的中线， ， ， 又， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 如图，过点作于点，作于点，连接，， 平分，， ，， ， ， 由（1）得：四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即； 【小问3详解】 四边形是平行四边形， ， 由（2）得：， ， 如下图，过点作于，连接， ， ， ， ，， ， ，， ， 在中， 由勾股定理得：即， 解得：， 的长为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$