精品解析：江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校2012-2013学年高一下学期第二次质量检测数学试题

宁海中学2012-2013学年度第二学期第二次质量检测 高一数学 一、填空题.(共14题，每题5分，共70分) 1. 若sin θ＝－，tan θ>0，则cos θ＝________. 2 已知，则____________ 3. 一船以每小时的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在北偏东处；行驶后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东处.这时船与灯塔的距离为_______. 4. 已知，则________． 5. 等差数列中，，则该数列的前项的和__________. 6. 当时，函数最小值为__________ 7. 在等比数列中，若，是方程的两根，则_________. 8. 读右图，若，则输出结果 . 9. 设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为______ 10. 若关于x的不等式的解集是，则实数______． 11. 若数列是等差数列，前n项和为，，则_____ 12. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为____________. 13. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于___________________． 14. 由约束条件确定可行域D能被半径为1的圆面完全覆盖，则实数的取值范围是_______. 二、解答题.（共6题，共90分） 15 已知． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和. （1）求通项及； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和. 17. 在中，角,,的对边分别是，且 . （1）求角的大小； （2）若，，求和的值. 18. 已知向量，设函数＋ （1）若，，求的值； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是，且满足，求的取值范围． 19. 某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获最大利润？最大利润有多大？ 20. 已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有、、成等差数列，、、成等比数列，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列、通项公式； （3）设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁海中学2012-2013学年度第二学期第二次质量检测 高一数学 一、填空题.(共14题，每题5分，共70分) 1. 若sin θ＝－，tan θ>0，则cos θ＝________. 【答案】 【解析】 【详解】解：∵sinθ0，tanθ0， ∴cosθ． 故答案为： 2. 已知，则____________ 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据求解即可得到答案. 【详解】. 故答案为： 3. 一船以每小时的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在北偏东处；行驶后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东处.这时船与灯塔的距离为_______. 【答案】. 【解析】 【分析】由题意画出示意图，求出各角的度数后，由正弦定理即可得解. 【详解】解：由题意画出示意图，如图： 可得，，， 则， 在中，由正弦定理得，即， 解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了转化化归思想，属于基础题. 4. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】运用诱导公式化简，结合二倍角余弦计算. 【详解】, 则. 故答案为：. 5. 等差数列中，，则该数列的前项的和__________. 【答案】52 【解析】 【详解】由等差数列的性质可得+=2， 代入已知式子可得3=12，故=4， 故该数列前13项的和 故答案为52 6. 当时，函数的最小值为__________ 【答案】4 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦、余弦公式化简，然后利用基本不等式计算即可. 【详解】由，则 当且仅当时等号成立． 故答案为；4 7. 在等比数列中，若，是方程的两根，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理可得，根据等比数列性质若，则，可得． 【详解】若，是方程的两根，则 ∵数列为等比数列，则 故答案为：． 8. 读右图，若，则输出结果 . 【答案】120 【解析】 【分析】根据已知中循环条件，可得循环变量值为，结合累加变量体初值为1，结合框图，写出前5次循环的结果，判断各个结果是否满足判断框的条件，直到不满足，执行输出，从而可得的表达式. 【详解】当时，由已知可得该程序的功能是计算并输出： 输出， 故答案为：120 . 9. 设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为______ 【答案】3 【解析】 【分析】根据目标函数几何意义，确定使目标函数取得最大值的点，进而代入目标函数得到关于的方程. 【详解】线约束条件所表示的平面区域，如图所示的， 因为，当直线过点时，它在轴上截距取得最大值，即取得最大值，所以，解得：. 10. 若关于x的不等式的解集是，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意可得到与是方程的两根，由韦达定理得出结果. 【详解】解：因为关于x不等式的解集是， 所以与是方程的两根， 所以， 解得，，故. 故答案为：. 11. 若数列是等差数列，前n项和为，，则_____ 【答案】1 【解析】 【分析】根据等差数列的等差中项的性质,把和代入即可求得答案. 【详解】 故答案为1 【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式以及等差数列的性质.解题中巧妙的利用了等差中项的性质,简便了解题的过程. 12. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出定点，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对于函数，令，可得，则， 故函数的图象恒过定点， 因为点在直线上，则，可得， 因为、，所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 13. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于___________________． 【答案】 【解析】 【分析】设直角三角形的边长为，，，．解出利用倍角公式即可得出． 【详解】解：设直角三角形的边长为，， 则，． 解得． ，． cos2θ=2cos2θ－1=． 故答案： 14. 由约束条件确定的可行域D能被半径为1的圆面完全覆盖，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】先画出由约束条件确定的可行域D，由可行域能被圆覆盖得到可行域是封闭的，判断出直线斜率小于等于即可得出k的范围. 【详解】因为可行域能被圆覆盖， 所以可行域是封闭的， 作出可行域: 结合图，易知，则，则要使可行域能被 1为半径的圆覆盖， 只需直线斜率小于等于与直线垂直时的斜率即可， 即 ， 故答案为： 二、解答题.（共6题，共90分） 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由两角和的公式展开后解方程得； （2）用诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系化简变形为关于的式子，代入（1）的结论可得． 【详解】解：（1），解得； （2） ． 【点睛】本题考查三角函数的求值，求值时一般先化简再求值，三角函数式的化简要遵循“三看”原： (1)一看“角”，这是最重要的一个环节，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等． 16. 已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和. （1）求通项及； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和. 【答案】（1）,;（2）. 【解析】 【详解】（1）因为是首项为，公差的等差数列 所以 ． （2）由题意，所以 = 考点：1．等差数列；2．等比数列；3．数列求和． 17. 在中，角,,的对边分别是，且 . （1）求角的大小； （2）若，，求和的值. 【答案】（1）（2） 或 . 【解析】 【分析】（1）根据已知结合余弦定理求出，再由角是 的内角得出角的范围进而可以求解； （2）根据已知结合余弦定理即可求解 【详解】（1）由，得， 由余弦定理，得， 即， 又因为， 所以 . （2）由（1）及余弦定理，得 ， 将 ，代入得. 由，解得或 所以或 . 18. 已知向量，设函数＋ （1）若，，求的值； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是，且满足，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示、倍角正余弦公式及辅助角公式可得，根据已知求出，再由，应用两角和余弦公式求解即可. (2)利用正弦定理及三角形内角的性质可得，进而求的范围，由及正弦函数的性质求值域即可. 【详解】（1）依题意，， 由，则，又，即. 所以. （2）由正弦定理得：，又， 所以，即， 又，故，从而，故， 故 19. 某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获最大利润？最大利润有多大？ 【答案】生产型桌子张，型桌子张，最大利润总额为千元. 【解析】 【分析】设每天生产型桌子张，型桌子张，利润总额为千元，根据题意，得到不等式组，目标函数为，作出不等式组所表示的平面区域，取得目标函数的最优解，即可得到答案. 【详解】设每天生产型桌子张，型桌子张，利润总额为千元， 根据题意，可得，目标函数为， 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示， 由目标函数可化为直线， 当直线过点时，此时在轴上的截距最大，取得最大值， 联立方程组，解得，即， 所以每天生产型桌子张，型桌子张，最大利润总额为千元. 20. 已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有、、成等差数列，、、成等比数列，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列、的通项公式； （3）设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】 （1）由题意可得，联立化简变形可得即证； （2）由（1）可得，即为所求；结合求出； （3）法一：由（2）得，表示出，将原不等式等价转化为，结合二次函数的性质讨论即可； 法二：由（2）得，表示出，将原不等式等价转化为不等式化为对任意恒成立，研究函数的单调性，求出，则. 【详解】解：（1）由已知．①， ②． 由②可得③ 将③代入①，得对任意，有， 即，所以，是等差数列 （2）设数列的公差为．由， 得，， 所以． 由已知，当时，，而也满足此式． 所以数列、的通项公式为：． （3）由（2），得， 则 不等式化为． 解法一：不等式化为， 设，则对任意恒成立． 当，即时，不满足条件， 当，即时，满足条件． 当，即时，函数图像的对称轴为直线，关于递减， 只需，解得，故． 综上可得，的取值范围是． 解法二：不等式化为对任意恒成立， 即， 设，任取、，且，则 ， 故关于递减． 又且， 所以对任意恒成立，所以． 因此，实数的取值范围是． 【点睛】解决数列的单调性问题的3种方法： （1）作差比较法根据符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列； （2）作商比较法根据(或)与1的大小关系进行判断； （3）数形结合法结合相应函数的图象直观判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$