特训01 特殊平行四边形 解答题（八大模块）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（北师大版）

特训01 特殊平行四边形 解答题（八大模块） 目录： 模块一、基础—单特殊平行四边形 模块二、与其他几何性质结合 模块三、作图有关的解答证明题 模块四、模块二强化 模块五、动态几何基础 模块六、综合探究特殊平行四边形的判定 模块七、特殊平行四边形在平面直角坐标系的应用 模块八、压轴过渡练 模块一、基础—单特殊平行四边形 1．如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点O．若，请判断四边形的形状，并说明理由． 2．如图，在矩形中，点在上，连接，且，求证：． 3．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 4．如图，是正方形，是上任意一点，于，于．求证:． 5．如图，在矩形中，，，与交于点．求与的周长差． 6．如图，在菱形中，点、分别在、上，且，求证：． 7．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24． (1)求对角线BD的长； (2)求菱形ABCD的面积． 8．如图，在矩形中，对角线与交于点，，，垂足分别为、．求证：． 9．如图，在菱形中，、分别为边和上的点，且．连接、交于点．求证：． 10．如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点． 求证： ． 模块二、与其他几何性质结合 11．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB于点F，求EF的长． 12．如图，在矩形中，，分别是，边上的点，且． (1)求证：； (2)当时，四边形是菱形吗？请说明理由． 13．如图，已在中，对角线与相交于点O，E，F 是上两点，且，， (1)求证: 四边形是矩形； (2)若，求的长． 14．在四边形中，，，对角线交于点O，平分，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 15．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与边，的延长线交于点M，N，与边交于点E，垂足为O． (1)求证：； (2)若，，求的长． 16．如图，在四边形中，，，平分．对角线，相交于点O，过点D作于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 17．如图，在正方形中，是边上的一点，连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接． 求证：． 18．如图，在矩形中，，为上一点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中所作的角平分线与的延长线交于点，连接．猜想四边形是什么四边形？并证明你的猜想． 模块三、作图有关的解答证明题 19．如图，四边形是正方形，射线交于点交的延长线于点． (1)尺规作图：作的平分线交于；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，连接，求证： 20．如图，在由24个全等的正三角形组成的正六边形网格中，请画出符合要求的格点四边形（即顶点均在格点上的四边形）．    (1)在图中画出以为对角线的矩形． (2)在图中画出一个邻边比为的矩形，并且与（1）中的矩形不全等． 模块四、模块二强化 21．如图，在正方形中，是边的中点，点是边上一点（与点，不重合），射线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)过点作交于点，连接，当时．求证：四边形是平行四边形． 22．如图，在矩形中，，，菱形的三个顶点、、分别在矩形的边、、上，，连接． (1)当时，求证：四边形是正方形； (2)当的面积为2时，求的值． 23．如图，在中，，平分，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若是边长为4的等边三角形，相交于点O，在上截取，连接，求线段的长及四边形的面积． 模块五、动态几何基础 24．如图，在矩形纸片中，，，在上取一点F，使，剪下，将它平移至的位置，拼成四边形． (1)求证∶四边形是菱形； (2)求四边形的两条对角线的长． 25．如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，． (1)若，则 °； (2)求证：． 26．如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接． 求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 27．如图，正方形和正方形，点、分别在边、上，将正方形绕点顺时针方向旋转，旋转角为． (1)如图，连接、，求证：； (2)如图，若，，当点旋转到边上时，连接、连接，并将延长交于点，求证：垂直平分． 模块六、综合探究特殊平行四边形的判定 28．如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接 ①直接写出当和有怎样的位置关系时，四边形是矩形； ②直接写出当和有怎样的关系时，四边形是正方形． 29．如图1，在菱形中，对角线与相交于点O，点E，F，G，H分别是四条边的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)如图二，连接，P为边上一动点，于点N，于点M，，，求的最小值． 30．如图（1），在中，对角线与相交于点O，点E，F分别为，的中点，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图（2），若，求证：四边形是矩形； (3)如图（3），若，求证：四边形是菱形． 31．如图所示，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 模块七、特殊平行四边形在平面直角坐标系的应用 32．如图，已知是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点，点，在边上任取一点D，将沿翻折，使点A落在边上，记为点E． (1)的长度为 ； (2)求D点坐标； (3)若在x轴正半轴上存在点P，使得为等腰三角形，则点P的坐标为 ． 33．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应）．    (1)直接写出直线的解析式； (2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标； (3)如图，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点．且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种求解点坐标的过程． 模块八、压轴过渡练 34．如图，在中，点O是边上一个动点，过点O作直线．设交的平分线于点E，交的外角的平分线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？请说明理由． 35．如图，四边形和均为正方形，点恰好在线段上，连接、、． (1)当点E与A、D两点都不重合时，求证：； (2)当点E与A点重合时，等式成立；当点E与A、D两点都不重合时，等式是否仍然成立？请证明你的结论． 36．问题解决：如图①，在矩形中，点E，F分别在边上，于点G． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点H，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图②，在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训01 特殊平行四边形 解答题（八大模块） 目录： 模块一、基础—单特殊平行四边形 模块二、与其他几何性质结合 模块三、作图有关的解答证明题 模块四、模块二强化 模块五、动态几何基础 模块六、综合探究特殊平行四边形的判定 模块七、特殊平行四边形在平面直角坐标系的应用 模块八、压轴过渡练 模块一、基础—单特殊平行四边形 1．如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点O．若，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，矩形的判定． 先根据平行四边形的性质得出，再根据，推出，即可得出结论． 【解析】解：四边形是矩形，理由如下： ∵、是平行四边形的对角线， ∴， ∵， ∴，则， ∴平行四边形是矩形． 2．如图，在矩形中，点在上，连接，且，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定，由四边形是矩形，得，，然后根据“”的判定方法即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】证明：∵四边形是矩形， ∴，， 在与中， ， ∴． 3．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 【答案】． 【分析】先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得的长，然后利用菱形的周长公式即可得． 【解析】解：四边形是菱形，， ， ， 则菱形的周长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 4．如图，是正方形，是上任意一点，于，于．求证:． 【答案】证明见解析． 【分析】由正方形的性质结合，，证明即可得到答案． 【解析】解：是正方形， ，， 在与中， 【点睛】本题考查的正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 5．如图，在矩形中，，，与交于点．求与的周长差． 【答案】2 【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．利用矩形的性质可得，，再根据三角形的周长公式计算即可． 【解析】解：四边形为矩形，，， ，， ， 与的周长之差为2． 6．如图，在菱形中，点、分别在、上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和菱形的性质．由菱形的性质，可用证明，所以，所以，即，则结论得证． 【解析】证明：四边形为菱形， ，． 在和中， ， ． ， ， 即． 7．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24． (1)求对角线BD的长； (2)求菱形ABCD的面积． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由菱形的性质知AB=AD，又∠BAD＝60°，可知是等边三角形，推出，即可求解； （2）由菱形的对角线互相垂直且平分，求出OB，利用勾股定理由出AO，进而求出AC，根据菱形面积为对角线乘积的一半，即可求解． 【解析】（1）解：菱形ABCD的周长为24， ， 又∠BAD＝60°， 是等边三角形， ， 故对角线BD的长为6； （2）解：由菱形的性质可知，对角线AC与BD互相垂直且平分， ，， 又， ， ， 菱形ABCD的面积， 故菱形ABCD的面积是． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 8．如图，在矩形中，对角线与交于点，，，垂足分别为、．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解决问题的关键． 根据矩形的性质求出，根据推出即可证得结论． 【解析】证明：四边形是矩形， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 9．如图，在菱形中，、分别为边和上的点，且．连接、交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】先证△DAF≌△DCE，再证△AEG≌△CFG，最后证△DGE≌△DGF，根据全等三角形的性质即可得到∠DGE＝∠DGF． 【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝DC＝AB＝BC， ∵AE＝CF， ∴DE＝DF 在△DAF和△DCE中， ， ∴△DAF≌△DCE（SAS）， ∴∠EAG＝∠FCG， 在△AEG和△CFG中， ， ∴△AEG≌△CFG（AAS）， ∴EG＝FG， 在△DGE和△DGF中， ， ∴△DGE≌△DGF（SSS）， ∴∠DGE＝∠DGF． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 10．如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点． 求证： ． 【答案】证明见解析． 【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案． 【解析】证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°， 又∵CE=DF， ∴CE+BC=DF+CD即BE=CF， 在△BCF和△ABE中， ∴（SAS）， ∴AE=BF． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 模块二、与其他几何性质结合 11．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB于点F，求EF的长． 【答案】EF= 4-2． 【分析】首先由正方形ABCD中，∠BAE=22.5°，证得DA=DE，继而求得BE=BD-DE，然后由等腰直角三角形的性质，求得答案． 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°． ∵∠BAE=22.5°， ∴∠DAE=67.5°， ∴∠DEA=67.5°． ∴DA=DE， ∵正方形的边长为4， ∴DE=AD=4，BD=4  ． ∴BE=4-4． ∴EF= BE= （4 -4）=4-2． 故答案为EF= 4-2． 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．注意证得△ADE是等腰三角形是解题的关键． 12．如图，在矩形中，，分别是，边上的点，且． (1)求证：； (2)当时，四边形是菱形吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，，由证明即可； （2）由全等三角形的性质得出，得出，由，证出四边形是平行四边形，再由，即可得出四边形是菱形． 【解析】（1）证明：四边形是矩形， ，，，， 在和中，， ； （2）解：当时，四边形是菱形，理由如下： ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 13．如图，已在中，对角线与相交于点O，E，F 是上两点，且，， (1)求证: 四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，直角三角形的性质以及勾股定理等知识： （1）先证明是平行四边形，再证明即可得出结论； （2）根据直角性质得出，过点E作，分别求出，，再根据勾股定理得出 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 过点E作于点G，如图， ∴, ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴， 在中， 14．在四边形中，，，对角线交于点O，平分，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件得到四边形是平行四边形，，根据角平分线的定义得到，求得，于是得到结论； （2）根据已知条件推出是等边三角形，得到，根据菱形的性质得到，得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 15．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与边，的延长线交于点M，N，与边交于点E，垂足为O． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得出，求出，，再根据全等三角形的判定定理推出即可； （2）根据矩形的性质得出，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据勾股定理求出即可． 【解析】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的垂直平分线是， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：连接，设，则， ∵的垂直平分线是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 即，解得． ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定，勾股定理的应用等知识点，能熟记矩形的性质和线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 16．如图，在四边形中，，，平分．对角线，相交于点O，过点D作于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了菱形的判定以及性质， 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 以及平行四边形的判定，勾股定理等知识， 掌握这些性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得出，由角平分线的定义可得出，等量代换可得出，由等角对等边即可得出，等量代换可得出，即可得出四边形是平行四边形，再结合，即可得出四边形是菱形． （2）由菱形的性质可得出，，，有勾股定理可得出， 即可得出，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）由（1）可知，四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为1． 17．如图，在正方形中，是边上的一点，连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接． 求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】连接AF，根据对称得：△ABE≌△AFE，再由HL证明Rt△AFG≌Rt△ADG，可得结论． 【解析】证明：连接， 四边形是正方形， ，， 点关于直线的对称点为， ∴△ABE≌△AFE， ，， ， 在和中， ，， ∴Rt△AFG≌Rt△ADG(HL)， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键． 18．如图，在矩形中，，为上一点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中所作的角平分线与的延长线交于点，连接．猜想四边形是什么四边形？并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形．证明见解析 【分析】本题考查作图—基本作图、矩形的性质、角平分线的定义、菱形的判定，熟练掌握矩形的性质、角平分线的定义、菱形的判定是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）结合矩形的性质、角平分线的定义、菱形的判定可得结论． 【解析】（1）解：如图，即为所求． （2）解：四边形是菱形． 证明：平分， ． 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 模块三、作图有关的解答证明题 19．如图，四边形是正方形，射线交于点交的延长线于点． (1)尺规作图：作的平分线交于；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，连接，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质角平分线的作图等知识． （1）按照角平分线的作图方法作图即可； （2）证明，则，，再证明，则，由即可得到． 【解析】（1）解：如图所示： （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∵作的平分线交于 ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 20．如图，在由24个全等的正三角形组成的正六边形网格中，请画出符合要求的格点四边形（即顶点均在格点上的四边形）．    (1)在图中画出以为对角线的矩形． (2)在图中画出一个邻边比为的矩形，并且与（1）中的矩形不全等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了格点作图，菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． （1）根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，画出矩形即可； （2）根据格点特点，画矩形的一条边长为3，另一条边长为即可． 【解析】（1）解：如图，矩形即为所求作的矩形；    （2）解：如图，矩形即为所求作的矩形．    设每个小正方形的边长为1， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 模块四、模块二强化 21．如图，在正方形中，是边的中点，点是边上一点（与点，不重合），射线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)过点作交于点，连接，当时．求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用判定定理可证明； （2）先由平行线分线段成比例得到，再由直角三角形斜边中线是斜边的一半，结合等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理即可明，再由即可证明四边形是平行四边形． 【解析】（1）证明：四边形是正方形， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ； （2）证明：是边的中点， ， ， 由平行线分线段成比例可得，即， 在中，， ， ， ，则， 在正方形中，， ， ， 在和中，， 由三角形内角和定理可得 ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，直角三角形性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关几何性质与判定是解题的关键． 22．如图，在矩形中，，，菱形的三个顶点、、分别在矩形的边、、上，，连接． (1)当时，求证：四边形是正方形； (2)当的面积为2时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）证明，推出，可得结论； （2）过作于，连接．证明，推出，可得．推出，进一步解答即可． 【解析】（1）证明：在矩形中，， ， 四边形为菱形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 四边形为正方形； （2）解：过作于，连接，如图， 则， ， 由矩形和菱形的性质，可得，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，三角形的面积，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 23．如图，在中，，平分，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若是边长为4的等边三角形，相交于点O，在上截取，连接，求线段的长及四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)；四边形的面积为 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理等知识点的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中． （1）根据平行四边形判定得出平行四边形，再根据矩形判定推出即可； （2）分别求出、、、的长，再求出三角形和三角形的面积，即可求出答案． 【解析】（1）证明：且， 四边形是平行四边形， 在中，，平分， ， ， 四边形是矩形； （2）解：是等边三角形，边长为4， ，，， 四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴，， ， ， 过作于， 则， ∵， ， ． 模块五、动态几何基础 24．如图，在矩形纸片中，，，在上取一点F，使，剪下，将它平移至的位置，拼成四边形． (1)求证∶四边形是菱形； (2)求四边形的两条对角线的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平移的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据题意得，勾股定理求得，即，根据平移的性质得出，即可证明四边形是平行四边形，进而根据邻边相等，即可得证； （2）连接，，在，中根据勾股定理分别计算即可求解． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵平移至 ∴ ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形； （2）连接，， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ． 25．如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，． (1)若，则 °； (2)求证：． 【答案】(1)50 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质，得到，进而得到，即可求出的度数； （2）根据旋转和矩形的性质，易证四边形是平行四边形，即可证明结论． 【解析】（1）解：矩形和矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：50； （2）证明：连接， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等边对等角，熟练掌握旋转和矩形的性质是解题关键． 26．如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接． 求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由矩形的性质可得，，，即得，由折叠的性质可得，，，，即得，，进而得，即可由证明； （）由（）得，，即可得到，，进而即可求证； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠可得，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（）知，， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 27．如图，正方形和正方形，点、分别在边、上，将正方形绕点顺时针方向旋转，旋转角为． (1)如图，连接、，求证：； (2)如图，若，，当点旋转到边上时，连接、连接，并将延长交于点，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据四边形和为正方形可得，，，再证明即可得到结论； （2）证明，即可得出结论． 本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，线段垂直平分线的判断，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 【解析】（1）证明：∵四边形和为正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ； （2）解：连接，，如图，   四边形和为正方形， ， ，，， ，， ， 垂直平分． 模块六、综合探究特殊平行四边形的判定 28．如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接 ①直接写出当和有怎样的位置关系时，四边形是矩形； ②直接写出当和有怎样的关系时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②且 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，解答本题的关键是作出辅助线，运用三角形中位线定理解答． （1）根据三角形的中位线定理得出，，，，则，，然后根据平行四边形的判定可得结论； （2）①根据三角形的中位线定理得出，，再由可得，然后根据矩形的判定可得结论； ②根据三角形的中位线定理得出，，可得，然后根据正方形的判定可得结论． 【解析】（1）证明：点、、、分别是、、、的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形； （2）①当时，四边形是矩形；理由如下： 连接，如图， 点、分别是、的中点， ， 点、分别是、的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形，且， 平行四边形是矩形； ②当且时，四边形是正方形；理由如下： 连接，如图， 由①得当时，四边形是矩形， 点、分别是、的中点， ， 点、分别是、的中点， ， ， ， 平行四边形是正方形． 29．如图1，在菱形中，对角线与相交于点O，点E，F，G，H分别是四条边的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)如图二，连接，P为边上一动点，于点N，于点M，，，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是中点四边形、三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，，，，，根据矩形的判定定理证明； （2）证明四边形为矩形，得到，根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【解析】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵点E，F，G，H分别是四条边的中点， ∴、、分别为、、的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵，，， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，最小，此时最小， 在中，，， 由勾股定理得：， 由三角形面积公式可知：最小值为：， ∴的最小值为． 30．如图（1），在中，对角线与相交于点O，点E，F分别为，的中点，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图（2），若，求证：四边形是矩形； (3)如图（3），若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，，求得，由全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2） 根据三角形中位线定理得到，推出四边形是平行四边形，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，于是得到结论； （3）连接，由（1）知，，连接，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，求得，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【解析】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 点E、F分别为、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， ， ， 四边形是矩形； ， 由（1）知，四边形是平行四边形， 四边形是矩形； （3）连接， 由（1）知，， 过点O， 连接， 点E为的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，正确的识别图形是解题的关键． 31．如图所示，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)能， (3)或，理由见解析 【分析】（1）根据时间和速度表示出和的长，利用所对的直角边等于斜边的一半求出的长为，则，再证明即可解决问题； （2）根据（1）的结论可以证明四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，列方程求解即可； （3）当为直角三角形时，有三种情况：当时，当时，当时，分别找出等量关系列方程即可求出的值． 【解析】（1）证明：如图，由题意得：，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形能够成为菱形，理由如下： 如图，由（1）可知：四边形是平行四边形， 若四边形为菱形，则， ，， ， 又， ， ， 即：当时，四边形能够成为菱形； （3）解：分三种情况： 当时，如图， ， ， 又， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图， 由（1）可知：四边形是平行四边形， ， ， 在中，，， ， ， ， 即， ； 当时， 由（1）可知：四边形是平行四边形， ， 此种情况不成立； 综上所述，当或时，为直角三角形． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形的性质，垂线的性质，平行线的判定与性质，解一元一次方程等知识点，解题的关键在于：首先要表示出两个动点在时间时的路程，弄清动点的运动路径，再根据其运动所形成的特殊图形列式计算；同时，所构成的直角三角形因为直角顶点不确定，所以要分情况进行讨论． 模块七、特殊平行四边形在平面直角坐标系的应用 32．如图，已知是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点，点，在边上任取一点D，将沿翻折，使点A落在边上，记为点E． (1)的长度为 ； (2)求D点坐标； (3)若在x轴正半轴上存在点P，使得为等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】(1)3 (2) (3)或或 【分析】（1）由折叠的性质得出，由勾股定理可得出答案； （2）求出，设，则，，由可得出答案； （3）分①当，②，③时，三种情况讨论，画出图形，利用勾股定理求解即可． 【解析】（1）解： 点，点， ， 将沿翻折，使点落在边上，记为点， ， ； （2）解：，， ， 设，则，， ， ， 解得：， ． ； （3）①当时， ， ， 此时点与点重合，点的坐标为； ②当时， 过点作轴于点， 则， 在中，， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 点的坐标为； ③当时，过点作轴于点， ， 同②得， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或，或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想的运用是解题的关键． 33．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应）．    (1)直接写出直线的解析式； (2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标； (3)如图，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点．且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种求解点坐标的过程． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)点的坐标为； (3)点的坐标为或或或． 【分析】（）依题意求出点，坐标，求出，求出点， 的坐标，用待定系数法求解析式； （）设，则，由轴可得点的纵坐标为 ，代入一次函数可得点的横坐标为，表示出，求出，根据，可得的值，即可得点的坐标； （）分两种情况：为矩形的边时，为矩形的对角线时，根据矩形的判定和性质即可求解． 【解析】（1）由一次函数，令，则，令，则， ∴，，即，， ∵将绕点顺时针旋转得， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）设，则， ∵轴， ∴点的纵坐标为， 将代入一次函数得：， ∴，即点的横坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）为矩形的边时，如图，分别过点作交直线于，作 交直线于，再分别过点、作交直线于，作 交直线于，则四边形、四边形均为矩形， ∵，，点为线段的中点， ∴，， ∵将绕点顺时针旋转得， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点为线段的中点， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴可设直线的解析式为将代入得：， ∴ ， ∴直线的解析式为， 联立直线得： ，解得 ， ∴， 综上，为矩形的边时，点的坐标为或 ； 为矩形的对角线时，如图， 由（）得，直线的解析式为， 设， ∵， ∴，， 由勾股定理得：，， 解得：或， ∴的坐标为或， 综上，以，，，为顶点的四边形为矩形时， 点的坐标为或或或． 模块八、压轴过渡练 34．如图，在中，点O是边上一个动点，过点O作直线．设交的平分线于点E，交的外角的平分线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点O在边上运动到的中点时，四边形是矩形．理由见解析 【分析】（1）由角平分线的定义结合平行线的性质可证得，则，同理，即可得出结论； （2）利用勾股定理可求得的长，再结合（1）的结论可求得的长； （3）只要保证四边形是平行四边形即可，则可知为的中点时，满足条件． 本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键． 【解析】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 同理可得， ； （2）解：、分别平分和， ，， ， ， ， 即的长为6.5； （3）解：当在的中点时，四边形是矩形，理由如下： 当为中点时，则， 由（1）可知，， ， 四边形为平行四边形，， ， 平行四边形为矩形． 35．如图，四边形和均为正方形，点恰好在线段上，连接、、． (1)当点E与A、D两点都不重合时，求证：； (2)当点E与A点重合时，等式成立；当点E与A、D两点都不重合时，等式是否仍然成立？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)等式仍然成立，见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． （1）利用正方形的性质和全等三角形的判定定理解答即可； （2）过点作，交于点，利用正方形的性质和全等三角形的判定定理得到，再利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质解答即可得出结论． 【解析】（1）证明：四边形和均为正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ； （2）解：等式仍然成立．理由： 过点作，交于点，如图， 四边形为正方形， ，，， ， ． ， ， ． ， ， 在和中， ， ， ，． 为等腰直角三角形， ． 由（1）知：， ， ． 四边形为正方形， ， ， ， 等式仍然成立． 36．问题解决：如图①，在矩形中，点E，F分别在边上，于点G． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点H，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图②，在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，见解析；类比迁移：9 【分析】本题主要考查了正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等知识点，理解题意并灵活运用相关知识、正确做出辅助线构造三角形全等是解题的关键． （1）先说明可得，再证明得到，然后根据一组邻边相等的矩形是正方形即可证明结论； （2）由可得，再证明可得，从而得到等腰三角形； 类比迁移：如图，延长到点H，使，连接，由菱形的性质可证明，再结合已知可得是等边三角形，最后利用线段的和差即可解答． 【解析】（1）解：证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （2）是等腰三角形， 理由：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 类比迁移：如图，延长到点H，使，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴是等边三角形， ， ∴． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$