特训07 解一元二次方程-因式分解法-十字相乘法（贯穿中学代数几何应用）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训07 解一元二次方程-因式分解法-十字相乘法（贯穿中学代数几何应用） 1. 因为一些原因，本篇主要以十字相乘法因式分解练习十字相乘法解一元二次方程(可加＝0改成方程)； 2. 本篇可能可以短时间提高分解十字相乘法能力，但还要长期在不同的情境的代数应用和几何应用题中去夯实它； 3. 最后篇章有11道与十字相乘法有关的一元二次方程的应用题。 1．分解因式： (1)； (2)． 2．用十字相乘法解方程： (1)； (2)． 3．分解因式：x2﹣7x+12 = ． 4． 5． 6． 7．分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 8．分解因式： (1) (2) (3) (4) 9． 10．多项式分解因式得 11．因式分解：． 12．因式分解：． 13．用十字相乘法分解因式： (1)； (2)； (3)． 14． 15．因式分解： 16．运用十字相乘法分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 17．用十字相乘法分解下列因式． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 18．分解因式： （1） （2） （3） 19．分解因式． （1）；            （2）； （3）；                 （4）． 20．因式分解 （1） （2） 21．下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 22．要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 23．多项式分解因式为，其中，，为整数，则的取值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 24．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 25．已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 26．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据图②的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． (1)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片________张，3号卡片________张； (2)当他拼成如图③所示的长方形，根据图③的拼图可以把多项式分解因式，其结果是________； (3)动手操作，请依照小刚的方法，在④的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 27．阅读理解： 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现年级上教材第页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即， ，则口算就可以得到，或，，然后在将与的值代入式子中即可得到； (1)松松按照南南教他的方法将二次三项式分解成，那么松松应该将二次三项式如何分解呢？ ______； (2)南南看到松松十字相乘的方法掌握的很好，便考了他一个变式问题，可是松松想了想没有好办法，请你帮松松完成这个因式分解的题目吧： ； (3)在松松南南的齐心努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，但是老师却给他出了一个思考题，大家帮助松松南南一起完成这个因式分解的题吧： ． 28． (1)【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． 请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________． (2)【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ①  __________； ②  __________． (3)【探究与拓展】 对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ①  分解因式__________； ②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 一元二次方程应用题： 一、解答题 1．周末小明所在的数学兴趣小组组织了一次同学聚会，前来参会的每位同学都通过握手礼貌问候．经过统计后发现共握手了36次，请你帮小明计算出参加聚会的同学共有多少人？ 2．2023年10月，我市组织初中男子篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）共安排66场比赛，那么有多少个球队参加比赛？ 3．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求主干长出了多少个支干？ 4．已知中，，点P从点A开始沿边以每秒的速度移动，点Q从点C开始沿以每秒的速度移动，如果分别从A、C两点同时出发，经几秒时间使的面积等于？ 5．某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示的图形、所用的篱笆长为36米，设垂直于墙的一边长为x米． (1)当花圃的面积为162平方米时，求此时的长； (2)修改（1）的方案，篱笆材料的平行于墙一边留出1米用其他材料做的门，新围成的花圃的面积为170平方米，求此时的长度． 6．某商场4月份以每个50元的价格销售某种品牌的玩具，4月份一共销售了40个．商场在5月份和6月份都进行了涨价，且玩具销售额逐月增加，若6月份的玩具销售额为2880元．（销售额销售单价销售数） (1)求从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率． (2)经过市场调查发现，每个玩具的销售价格每增加5元，月销售量减少1个，且6月份每个玩具的价格小于100元．求6月份每个玩具的销售价格． 7．某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草． (1)如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米； (2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间． ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）； ②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值． 8．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……，容易发现10是三角点阵中前4行的点数和． （1）请用一元二次方程说明：三角点阵中前多少行的点数和是276？ （2）这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由． 9．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的价格是30元/件，根据市场调查：在一段时间内，当销售价格是40元/件时，销售量是600件．当销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． (1)不妨设该种品牌玩具的销售价格为x元/件(x＞40)，请你分别用含x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得的利润w元，并把化简后的结果填写在表格中： 销售价格(元/件) x 销售量y(件) 销售玩具获得的利润w(元) (2)在第(1)问的条件下，若商场获得了10000元的销售利润，求该玩具的销售价格应定为多少元/件． 10．手机下载一个，缴纳一定数额的押金， 就能以每小时 0.5 到 1 元的价格解锁一辆自行车任意骑行最近的网红非“共享单车”莫属 ． 共享单车为解决市民出行的“最后一公里”难题帮了大忙， 人们在享受科技进步、 共享经济带来的便利的同时， 随意停放、 加装私锁、 大卸八块等毁坏单车的行为也层出不穷 ． 某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场， 一月底发现损坏率不低于，二月初又投入 1200 辆进入市场， 使可使用的自行车达到 7500 辆 ． (1)一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆？ (2)二月份的损坏率达到，进入三月份， 该公司新投入市场的自行车比二月份增长，由于媒体的关注， 毁坏共享单车的行为引起了一场国民素质的大讨论， 三月份的损坏率下降为，三月底可使用的自行车达到 7752 辆， 求的值 11．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作平行四边形，连接．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长； (3)在（2）的条件下，当等于多少时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训07 解一元二次方程-因式分解法-十字相乘法（贯穿中学代数几何应用） 1. 因为一些原因，本篇主要以十字相乘法因式分解练习十字相乘法解一元二次方程(可加＝0改成方程)； 2. 本篇可能可以短时间提高分解十字相乘法能力，但还要长期在不同的情境的代数应用和几何应用题中去夯实它； 3. 最后篇章有11道与十字相乘法有关的一元二次方程的应用题。 1．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）利用十字相乘法因式分解即可． 【解析】（1）解：原式； （2）原式． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 2．用十字相乘法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）． 【解析】（1）解： ， 或， 或； （2）解：， ， 或， 或． 【点睛】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键． 3．分解因式：x2﹣7x+12 = ． 【答案】(x-4)(x-3) 【分析】因为（-3）×（-4）=12，（-3）+（-4）=-7，所以利用十字相乘法分解因式即可． 【解析】解：x2-7x+12=（x-3）（x-4）． 故答案为：（x-3）（x-4）． 【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 4． 【答案】 【解析】试题分析：常数项-36=-9×4，一次项系数-5=-9+4，由此即可进行因式分解. 试题解析：p2-5p-36=(p+4)(p-9). 5． 【答案】 【解析】试题分析：观察常数项及一次项系数，-18=-2×9，-2+9=7，由此即可进行因式分解. 试题解析：m2+7m-18=(m-2)(m+9). 6． 【答案】 【解析】试题分析：观察可知，原式=x2+x(2y+9y)+2y·9y，据此即可进行因式分解. 试题解析：x2+11xy+18y2=(x+2y)(x+9y). 7．分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解因式即可； （3）首先提取公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可； （4）利用十字相乘法分解因式即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握利用十字相乘法分解因式． 8．分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）根据十字相乘法因式分解即可； （3）将作为一组，作为一组，利用分组分解法因式分解即可； （4）将作为一个整体先因式分解，再将所得结果因式分解即可 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查的是因式分解的提公因式法、十字相乘法以及分组分解法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律． 9． 【答案】 【解析】试题分析：观察所给二次三项式，可得：a2x2+7ax-8=(ax)2+(8-1)x+(-8)×1，由此即可得. 试题解析：原式=(ax)2+(8-1)x+(-8)×1=（ax-1）(ax+8). 10．多项式分解因式得 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法和十字相乘法分解因式，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【解析】， 故答案为：． 11．因式分解：． 【答案】 【分析】根据十字相乘法分解即可． 【解析】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题的关键． 12．因式分解：． 【答案】 【分析】根据十字相乘法可进行求解． 【解析】解：． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 13．用十字相乘法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】用十字相乘法分解因式求解即可． 【解析】（1）原式． （2）原式 ． （3）原式 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 14． 【答案】 【解析】试题分析：观察可知为了凑xy的系数，x2前面的系数与y2前面的系数应该拆分成：，由此即可进行因式分解. 试题解析：5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y). 【点睛】本题主要考查abx2+（ac+bd）x+cd型二次三项式的因式分解，解决此类问题的关键是要观察所给式子的特征，正确地进行拆分. 15．因式分解： 【答案】 【分析】根据完全平方公式及十字相乘法可进行因式分解． 【解析】解：． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 16．运用十字相乘法分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）直接运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可； （2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）； （3）同（2）； （4）把()当作一个整体，运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可 【解析】（1）． （2）． （3）． （4）． 【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键． 17．用十字相乘法分解下列因式． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）把6分成-6与-1的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （2）把-15分成-5与3的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （3）把3分成1与的3积，把10分成-2与-5的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （4）把b看作常数，把分成-3b与2b的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （5）把y看作常数，把12分成4与3的积，把分成3y与-5y的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （6）把看作一个整体，把-10分成-5与2的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可． 【解析】解：（1） = （2） = （3） = （4） = （5） = （6） = 【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解二次项系数及常数项是解题关键．有时要把某个字母看作常数或把某个多项式看作一个整体. 18．分解因式： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】通过提公因式和公式法及十字相乘法求解． 【解析】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【点睛】本题考查因式分解，解题关键是因式分解多种方法综合运用，注意分解要彻底． 19．分解因式． （1）；            （2）； （3）；                 （4）． 【答案】（1）（x-y）（x+y）；（2）3（x-y）2；（3）（a-6）（a+2）；（4）a（a-2）2 【分析】（1）用提公因式法分解因式； （2）先提3，然后利用公式法分解因式； （3）利用十字相乘法因式分解； （4）先提a，然后利用公式法分解． 【解析】解：（1）原式=x（x-y）+y（x-y）=（x-y）（x+y）； （2）原式=3（x2-2xy+y2）=3（x-y）2； （3）原式=（a-6）（a+2）； （4）原式=a（a2-4a+4）=a（a-2）2． 【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法． 20．因式分解 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据平方差公式分解； （2）将看作一个整体，先将括号展开化简，再利用十字相乘法逐步分解． 【解析】解：（1） = =； （2） = = = = 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握平方差公式，十字相乘法，解题时要注意整体思想的运用． 21．下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据十字相乘法进行分解，即可作出判断． 【解析】解：A、，故此选项正确； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，熟练掌握十字相乘的结构特征是解题的关键． 22．要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据把-6分解成两个因数的积，m等于这两个因数的和，分别分析得出即可． 【解析】解：∵-1×6=-6，-6×1=-6，-2×3=-6，-3×2=-6， ∴m=-1+6=5或m=-6+1=-5或m=-2+3=1或m=-3+2=-1， ∴整数m的值有4个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，对常数16的正确分解是解题的关键． 23．多项式分解因式为，其中，，为整数，则的取值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】把12分解为两个整数的积的形式，a等于这两个整数的和． 【解析】解：时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； ∴的取值有个． 故选：D． 【点睛】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出m、n之积为12，m、n之和为a是解题的关键． 24．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出、之积为，、之和为是解题的关键．把分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【解析】解：时，； 时，； 时，； 时，； 的取值有4个． 故选：． 25．已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 【答案】8 【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解．把分成两个整数的积，则等于这两个数的和，进而得到答案． 【解析】解：当时，， 当时，， 同理可求：，，， 综上所述：的取值是、、或，共8个． 故答案为：8． 26．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据图②的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． (1)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片________张，3号卡片________张； (2)当他拼成如图③所示的长方形，根据图③的拼图可以把多项式分解因式，其结果是________； (3)动手操作，请依照小刚的方法，在④的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 【答案】(1)2，3 (2) (3)作图见解析， 【分析】此题考查多项式乘以多项式计算法则，多项式因式分解， （1）计算长方形的面积，即可得到所需需要2号卡片，3号卡片的数量；    （2）根据因式分解方法分解即可； （3）利用因式分解得，即可画出图形． 【解析】（1）解：拼成的一个长为，宽为的大长方形的面积为， ∴需要2号卡片2张，3号卡片3张， 故答案为：2，3； （2）解： 故答案为； （3）利用拼图分解因式： 如图所示： ． 27．阅读理解： 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现年级上教材第页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即， ，则口算就可以得到，或，，然后在将与的值代入式子中即可得到； (1)松松按照南南教他的方法将二次三项式分解成，那么松松应该将二次三项式如何分解呢？ ______； (2)南南看到松松十字相乘的方法掌握的很好，便考了他一个变式问题，可是松松想了想没有好办法，请你帮松松完成这个因式分解的题目吧： ； (3)在松松南南的齐心努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，但是老师却给他出了一个思考题，大家帮助松松南南一起完成这个因式分解的题吧： ． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据题意中十字相乘的方法即可求解； （）先提“” ，再用十字相乘的方法即可求解； （）用十字相乘的方法即可求解； 此题考查了利用十字相乘法因式分解，解题的关键是正确理解和掌握十字相乘法因式分解的应用． 【解析】（1）二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即， ，则口算就可以得到，或，，然后在将与的值代入式子中即可得到， 故答案为： （2） ， ； （3） ， ， ， ， ． 28． (1)【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． 请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________． (2)【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ①  __________； ②  __________． (3)【探究与拓展】 对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ①  分解因式__________； ②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 【答案】(1) (2)； (3)；43或 【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可． （2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可． ②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可． （3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可． ②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可． 【解析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以． 故答案为：． （2）①把二次项系数2写成，，满足，所以． 故答案为：． ②把项系数6写成，把项系数2写成，满足， 所以． 故答案为：． （3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件， 所以． 故答案为：． ②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件， 所以m=或m=， 故m的值为43或-78． 【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键． 一元二次方程应用题： 一、解答题 1．周末小明所在的数学兴趣小组组织了一次同学聚会，前来参会的每位同学都通过握手礼貌问候．经过统计后发现共握手了36次，请你帮小明计算出参加聚会的同学共有多少人？ 【答案】9人 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．设参加同学聚会的人数为x人，已知见面时两两握手一次，那么每人应握次手，所以人共握手次，又知共握手36次，以握手总次数作为等量关系，列出方程求解． 【解析】解：设参加同学聚会的人数为x人， 由题意列方程为 解得，（不合题意，舍去） 答：参加同学聚会的人数为9人． 2．2023年10月，我市组织初中男子篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）共安排66场比赛，那么有多少个球队参加比赛？ 【答案】一共有12个球队参赛． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．根据题意赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数为，理解关系即可列出方程． 【解析】解：设一共有个球队参赛， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：一共有12个球队参赛． 3．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求主干长出了多少个支干？ 【答案】主干长出了6个支干 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设主干长出x个支干，则长出个小分支，根据主干、支干和小分支总数是43列出关于x的一元二次方程求解即可． 【解析】解：设主干长出x个支干，则长出个小分支， 根据题意得：， 即， 解得： 或（不合题意舍去）． 答：主干长出了6个支干． 4．已知中，，点P从点A开始沿边以每秒的速度移动，点Q从点C开始沿以每秒的速度移动，如果分别从A、C两点同时出发，经几秒时间使的面积等于？ 【答案】2秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设经x秒时间使的面积等于，根据三角形的面积公式列出方程，即可求解． 【解析】解：设经x秒时间使的面积等于，根据题意得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 答：经2秒时间使的面积等于． 5．某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示的图形、所用的篱笆长为36米，设垂直于墙的一边长为x米． (1)当花圃的面积为162平方米时，求此时的长； (2)修改（1）的方案，篱笆材料的平行于墙一边留出1米用其他材料做的门，新围成的花圃的面积为170平方米，求此时的长度． 【答案】(1)当花圃的面积为162平方米时，的长为9米 (2)当花圃的面积为170平方米时，的长为米或10米 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握“利用图形的面积公式建立一元二次方程”是解本题的关键． （1）设垂直于墙的一边长为x米．则米，再利用面积公式建立方程即可； （2）设垂直于墙的一边长为x米．则米，再利用面积公式建立方程即可． 【解析】（1）∵篱笆长为36米，垂直于墙的一边长为x米， ∴平行于墙的一边长米． 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意． 答：当花圃的面积为162平方米时，的长为9米； （2）∵篱笆长为36米，垂直于墙的一边长为x米， ∴平行于墙的一边长BC为米． 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意． 答：当花圃的面积为170平方米时，的长为米或10米． 6．某商场4月份以每个50元的价格销售某种品牌的玩具，4月份一共销售了40个．商场在5月份和6月份都进行了涨价，且玩具销售额逐月增加，若6月份的玩具销售额为2880元．（销售额销售单价销售数） (1)求从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率． (2)经过市场调查发现，每个玩具的销售价格每增加5元，月销售量减少1个，且6月份每个玩具的价格小于100元．求6月份每个玩具的销售价格． 【答案】(1)从月份到月份，玩具销售额的月平均增长率为 (2)月份每个玩具的销售价格是元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用． （1）先计算出4月份的玩具销售额，设从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为x，根据题意列出关于x的一元二次方程求解即可． （2）设6月份每个玩具的销售价格增加x元，则6月份的销售量减少个，根据销售额销售单价销售数列出关于x的一元二次方程求解，解出x再加上原销售价即可． 【解析】（1）解：4月份的玩具销售额为元 设从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（舍去） 答：从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为 （2）设6月份每个玩具的销售价格增加x元，则6月份的销售量减少个 解得，（舍） 答：6月份每个玩具的销售价格是90元 7．某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草． (1)如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米； (2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间． ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）； ②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值． 【答案】(1)1米； (2)①；②． 【分析】（1）设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可； （2）①先用a表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；②由①和题目意思列出方程求解即可． 【解析】（1） 解：设小道进出口的宽度为米， 依题意得． 整理，得． 解得，，． （不合题意，舍去）， ； 答：小道进出口的宽度应为1米； （2）解：①剩余的种植花草区域的面积为： ②由，得： ， 解得：（舍去）． 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，面积的表示，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程，注意根据实际意义舍根． 8．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……，容易发现10是三角点阵中前4行的点数和． （1）请用一元二次方程说明：三角点阵中前多少行的点数和是276？ （2）这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由． 【答案】（1）23；（2）不能，见解析 【分析】（1）由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点，则前五行共有个点，前10行共有个点，前行共有个点，然后求它们的和，前行共有个点，则，然后解方程得到的值； （2）由（1）得，求的值即可． 【解析】解：（1）由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点， 则前五行共有个点， 前10行共有个点， ， 前行共有个点， 然后求它们的和， 前行共有个点， 由题意可得：， 整理得， ， ，， 为正整数， ． 答：276是前23行的点数之和； （2）依题意，得， 即， ，无法开平方得出整数， 三角点阵中前行的点数的和不能是600． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．解题的关键是对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 9．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的价格是30元/件，根据市场调查：在一段时间内，当销售价格是40元/件时，销售量是600件．当销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． (1)不妨设该种品牌玩具的销售价格为x元/件(x＞40)，请你分别用含x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得的利润w元，并把化简后的结果填写在表格中： 销售价格(元/件) x 销售量y(件) 销售玩具获得的利润w(元) (2)在第(1)问的条件下，若商场获得了10000元的销售利润，求该玩具的销售价格应定为多少元/件． 【答案】（1）1000－10x，－10x2＋1300x－30000；（2）该玩具的销售价格应定为50元/件或80元/件． 【分析】（1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，销售量=600－因涨价少售的玩具，销售玩具获得利润=每件利润×件数； （2）根据获得利润为10000元，列方程求解； 【解析】（1）由题意得：销售量为：y＝600－10（x－40）＝1000－10x， 销售玩具获得利润为：w＝（x－30）[600－10（x－40）]＝－10x2＋1300x－30000． 故表中依次填：1000－10x，－10x2＋1300x－30000． （2）列方程得：﹣10x2+1300x﹣30000=10000， 解得：x1=50，x2=80． 答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润； 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程． 10．手机下载一个，缴纳一定数额的押金， 就能以每小时 0.5 到 1 元的价格解锁一辆自行车任意骑行最近的网红非“共享单车”莫属 ． 共享单车为解决市民出行的“最后一公里”难题帮了大忙， 人们在享受科技进步、 共享经济带来的便利的同时， 随意停放、 加装私锁、 大卸八块等毁坏单车的行为也层出不穷 ． 某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场， 一月底发现损坏率不低于，二月初又投入 1200 辆进入市场， 使可使用的自行车达到 7500 辆 ． (1)一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆？ (2)二月份的损坏率达到，进入三月份， 该公司新投入市场的自行车比二月份增长，由于媒体的关注， 毁坏共享单车的行为引起了一场国民素质的大讨论， 三月份的损坏率下降为，三月底可使用的自行车达到 7752 辆， 求的值 【答案】(1)一月份该公司投入市场的自行车至少有7000辆 (2)a的值是20 【分析】本题考查一元二次方程、 一元一次不等式的应用， 解答本题的关键是明确题意， 找出所求问题需要的条件， 利用方程的思想和不等式的性质解答 ． （1） 根据题意可以列出相应的不等式， 从而可以求得一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆； （2） 根据题意可以列出相应的方程， 从而可以求得的值 ． 【解析】（1）设一月份该公司投入市场的自行车辆， ， 解得，， 答： 一月份该公司投入市场的自行车至少有 7000 辆； （2）由题意可得， ， 化简， 得 ， 解得：，， ， 解得，， ， 答：的值是 20 ． 11．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作平行四边形，连接．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长； (3)在（2）的条件下，当等于多少时，． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或 【分析】（1）作于，于，证明四边形是正方形，得出，，再证明，得出，即可得出结论； （2）先证明，可得，再求解即可； （3）设，由（2）得：，，由，列出方程，求解方程即可得出答案． 【解析】（1）证明：作于，于，如图1所示：    则， 四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形，是等腰直角三角形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 矩形是正方形； （2）四边形是正方形，四边形是正方形，， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）设， 由（2）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴当或时，． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形性质、三角形的全等的性质和判定、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$