精品解析：湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

2025届高三（上）入学考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是虚数单位，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差，计算完毕才发现有个同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为，，新平均分和新方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 甲、乙、丙、丁四个学生站成一排照相，要求学生甲必须站在学生乙的左边（两人可以不相邻），则不同的站法有（ ） A. 24种 B. 12种 C. 18种 D. 9种 5. 将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则 （ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 7. 在数学史上，中国古代数学名著《周髀算经》《九章算术》《孔子经》《张邱建算经》等，对等差级数（数列）和等比级数（数列），都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，若，则这9个数和的最小值为（ ） A. 64 B. C. 36 D. 16 8. 已知函数，若对 恒成立，则（ ） A. B. 16 C. D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知实数，，满足，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 方程的解的个数为 C. 的单调递增区间是 D. 的最小值为 11. 已知曲线（如图所示）过坐标原点，且上的点满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 周长的最小值为8 D. 的面积最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 13. 直线与圆相交于A、B两点，则_____ 14. 已知函数是减函数，则a的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设公比不为1的等比数列的前项和为，且． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 16. 已知中，内角所对的边分别为，. （1）求； （2）若点为的中点，且，求的面积. 17. 已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1，两动点在双曲线上，线段的中点为． （1）证明：直线的斜率为定值； （2）为坐标原点，若的面积为，求直线的方程． 18. 如图，在四棱台中，底面为等腰梯形，，，，，. （1）证明：平面平面； （2）求该四棱台的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 若函数的定义域为D，集合，若存在非零实数t使得任意都有，且，则称为M上的增长函数． （1）已知函数，函数，直接判断和是否为区间上的增长函数； （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值； （3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数， 求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三（上）入学考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的定义直接求解即可. 【详解】集合，，所以. 故选：C 2. 设是虚数单位，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算，结合共轭复数的意义求解即得. 【详解】复数，所以. 故选：A 3. 某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差，计算完毕才发现有个同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为，，新平均分和新方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用平均数和方差的公式即可求解. 【详解】设这个班有n个同学，分数分别是，，，…，， 第i个同学的成绩没录入， 第一次计算时，总分是， 方差； 第二次计算时，， 方差， 故. 故选：C. 4. 甲、乙、丙、丁四个学生站成一排照相，要求学生甲必须站在学生乙的左边（两人可以不相邻），则不同的站法有（ ） A. 24种 B. 12种 C. 18种 D. 9种 【答案】B 【解析】 【分析】由于四个同学站成随机一排，甲在乙的左边和乙在甲的左边的机会均等，从而可求出结果 【详解】四个同学站成随机一排，甲在乙的左边和乙在甲的左边的机会均等， 故站法一共有种． 故选：B 5. 将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像平移，解方程即可求得结果. 【详解】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度， 即可得， 故可得，解得， 又因为，故可得. 故选：A. 【点睛】本题考查由函数图像平移求函数解析式，属基础题. 6. 设函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则 （ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数性质，结合“赋值法”求函数值. 【详解】因为函数为奇函数，所以， 令得：； 因为为偶函数，所以， 令得：，所以. 故选：A 7. 在数学史上，中国古代数学名著《周髀算经》《九章算术》《孔子经》《张邱建算经》等，对等差级数（数列）和等比级数（数列），都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，若，则这9个数和的最小值为（ ） A. 64 B. C. 36 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】简单的合情推理、等比数列、等差数列及重要不等式得：这9个数的和为，得解． 【详解】由数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列， 设，，的公比为， 因为，所以，， 所以这9个数的和为， 即这9个数和的最小值为36， 故选：C． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列中项的性质、基本不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三个数成等比数列的设法. 8. 已知函数，若对 恒成立，则（ ） A. B. 16 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】分别代入解析式，求出即可. 【详解】当，则， ， 由于，则，则；经检验适合题意. 故. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知实数，，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】应用不等式的性质判断A,B,变形应用基本不等式求和的最小值判断C,D. 【详解】因为，，所以，，的符号不确定， 对A，当时，不成立，故A错误； 对B，由，，得，B正确； 对C，，，所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对D，由，得，，故， 当且仅当，即时等号成立，故D错误． 故选：BC． 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 方程的解的个数为 C. 的单调递增区间是 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，即可判断A；令，求出方程的解，即可判断B；利用导数求出函数的单调区间，即可判断C、D. 【详解】函数的定义域为，显然关于原点对称， 又， 所以是偶函数，其图象关于轴对称，故A正确； 令，即，解得或或， 则方程的解的个数为，故B错误； 因为， 当或时， 所以的单调递增区间是和，故C错误； 当或时， 所以的单调递减区间是和， 所以时，取得极小值，即的最小值是，故D正确． 故选：AD． 11. 已知曲线（如图所示）过坐标原点，且上的点满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 周长的最小值为8 D. 的面积最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，结合曲线经过原点，代入方程求解即得；对于B，令，求出的值，结合图形即得范围；对于C，利用基本不等式可求得的最小值，同时结合图形检验此时不符合题意，排除此项；对于D，通过化简曲线方程，求得，通过换元求出其最大值，即得面积最大值. 【详解】由题意，,即， 对于A，因曲线过原点，将代入，解得，故A正确； 对于B，在中，令，则得， 解得，或，由图知，，故B正确； 对于C，因，当且仅当时等号成立， 此时点，由图知，此时不能构成三角形，即取不到最小值4， 则周长也取不到最小值8，故C错误； 对于D，由上分析可得，， 即，即， 整理得，，解得， 设，由可得. 则，故当时，有最大值1， 此时，有最大值为，所以D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查对曲线与方程相关的范围、最值问题，属于难题. 解题关键在于数形结合思想的运用，既要化简曲线方程，又要结合图形，关注图形经过的定点，区域范围，以及对称性等特点，常运用基本不等式或函数的最值求解范围、最值问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 【答案】21 【解析】 【分析】对两边求导，再利用赋值法，令，可得，原式中令，可求得，即可求解. 【详解】对两边求导可得： ， 令，可得， 即， 又，令，可得， 所以. 故答案为：. 13. 直线与圆相交于A、B两点，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】由圆的方程，找出圆心的坐标及半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，根据垂径定理及勾股定理即可求出|AB|的长． 【详解】由圆（x﹣1）2+（y+1）2＝4，得到圆心（1，-1），半径r＝2， ∴圆心到直线的距离d， ∴ AB=2=， 则|AB|＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，属于中档题． 14. 已知函数是减函数，则a的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的单调递减区间，再利用分段函数单调性列出不等式求解即得. 【详解】令，求导得， 由，得，函数的递减区间为， 由函数是减函数，得，即， 令，求导得， 函数在上单调递减，而， 由，解得， 所以a的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设公比不为1的等比数列的前项和为，且． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程即可求解； （2）由题意得，结合等比数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 设的公比为， ，， ，， ，. 【小问2详解】 ，， （或） ， . 16. 已知中，内角所对的边分别为，. （1）求； （2）若点为的中点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据比例，设出，联立解得关于的表达式，再利用余弦定理求值即可； （2）结合已知条件与（1）中结论，在中利用余弦定理可得的值以及的值，进而可知中边的值，再由三角形面积公式求值即可. 【小问1详解】 因为， 设，则，，联立解得，，， 所以由余弦定理得. 【小问2详解】 在中，，，，， 由余弦定理得，解得（负值舍去）， 所以，， 因为，所以， 所以. 17. 已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1，两动点在双曲线上，线段的中点为． （1）证明：直线的斜率为定值； （2）为坐标原点，若的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） 由已知可得，解得， 所以双曲线方程为， 设， 所以，两式相减，可得， 又线段的中点为，所以，， 所以，解得， 所以直线的斜率为定值； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得的关系，求解即可. （2）设，求得弦长与原点到直线的距离，由面积可求直线的方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）设直线的方程为， 由，所以，整理可得， 所以，解得或， 所以，， 所以， 又原点到直线的距离为, 所以的面积为， 化简可得，解得， 所以直线的方程． 18. 如图，在四棱台中，底面为等腰梯形，，，，，. （1）证明：平面平面； （2）求该四棱台的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）四棱台的体积 （3）平面与平面夹角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）由条件证明，根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判断定理证明结论； （2）过作，垂足为，证明平面，结合棱台体积公式求结论， （3）建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，结合平面与平面夹角的向量公式求结论. 【小问1详解】 连接，为的中点， 因为，所以，又， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 因为底面为等腰梯形，，， 所以， 所以， 所以为直角三角形，为其斜边， 故，又，平面，， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 过作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，故为四棱台的高， 由（1），又，， 所以，又，故， 所以， 所以， 连接，为的中点， 由（1），所以，， 又，所以梯形的面积为， 由棱台的性质可得梯形与梯形相似，又， 所以梯形的面积为， 所以棱台的体积， 【小问3详解】 过作， 因为平面，所以平面，又， 如图以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 所以，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 ，所以， 取，可得，， 所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为，则 ，所以， 取，可得，， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 若函数的定义域为D，集合，若存在非零实数t使得任意都有，且，则称为M上的增长函数． （1）已知函数，函数，直接判断和是否为区间上的增长函数； （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值； （3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数， 求实数a的取值范围． 【答案】（1）是，不是； （2）9 （3） 【解析】 【分析】（1）利用给定定义推理判断或者反例判断而得； （2）把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解； （3）根据题设条件，写出函数的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【小问1详解】 的定义域为，，，， 即，所以为区间上的增长函数； 取，，， 所以不是区间上的增长函数. 【小问2详解】 依题意，，恒成立， 即在上恒成立， 整理得在上恒成立， 因为，所以关于的一次函数是增函数， 所以当时，， 所以，解得， 所以正整数n的最小值为9； 【小问3详解】 由题意可得：当时，， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时，则， 故， 当时，，， 故为上的增长函数， 所以符合题意； 当时，则可得函数大致图象如图： 易知图象与轴交点为，， 而，， 因为在区间上单调递减，则，不能同在区间上， 所以， 又因为当时，，当时，， 若时，令，则，故，不合题意； 所以，解得且， 若且，则有： 当时，则成立； 当时，则， 可得，，即成立； 当时，则，即成立； 故当且时，符合题意， 综上所述：当时，对均有成立， 故实数的取值范围为. 【点睛】（1）以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决； （2）分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $