10.1.3古典概型及其应用习题课课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

10.1随机事件与概率 第十章 概率 习题课8 古典概型及其应用 一、复杂事件的古典概型问题 例题1 某班级新年晚会设置抽奖环节.在不透明纸箱中放有大小相同的红球3个，黄球2个，且这5个球分别标有数字1，2，3，4，5.有如下两种方案可供选择. 方案一：一次性抽取两球，若颜色相同，则获得奖品. 方案二：依次有放回地抽取两球，若数字之和大于5，则获得奖品. (1)写出按方案一抽奖的试验的所有基本事件. (2)哪种方案获得奖品的可能性更大？ 【解析】(1)在方案一中，设三个红球分别为 ， ， ，两个黄球分别为 ， ，则方案一所有可能的基本事件为 , , , , , , , , , ,共10个基本事件. (2)在方案二中，设两次抽取的球所标的数字分别为 𝑥 ， 𝑦 ， 则所有可能的基本事件对应的二元有序数组 (𝑥,𝑦) 表示如下表，共25个基本事件. 2 一、复杂事件的古典概型问题 【解析】方案一、方案二的基本事件总数均为有限个，且每个基本事件发生的可能性均相同，故它们都是古典概型. 方案一中，设事件 为“两球颜色相同”， 则 包含 ， ， ， ，共4个基本事件，故 . 方案二中，设事件 为“两球所标数字之和大于5”， 则 包含 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共15个基本事件，故 . 因为 ，所以选择方案二获得奖品的可能性更大. 3 反思感悟 方法总结 “有放回”的抽取，是相当于在相同的条件下把一个实验重复地进行多次，解决这类复杂事件的古典概型问题，要将事件一一列清，再根据公式求解.“无放回”的抽取，是抽取后不放回，前面的抽取结果会影响后面的抽取结果，一定要注意两者的区别. 4 新知运用 跟踪训练1 已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标 号为1的小球1个，标号为2的小球 𝑛 个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是. (1)求 𝑛 的值； (2)从袋子中不放回的随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为 𝑎 ，第二次取出的小球标号为 𝑏 .记“ 2≤𝑎+𝑏≤3 ”为事件 𝐴 ，求事件 𝐴 的概率. 【解析】(1) 依题意，袋中共有小球 个，标号为2的小球 个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为 ，得 . (2)从袋子中不放回的随机抽取2个小球，标号为2的小球记为2和 ，则 所有 可能的结果为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共有12种，其中满足 的结果有8种，故 . 5 二、古典概型与数字特征的综合 例题2 从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位： 克） , , , , , , , , , ，记样本均值为 ，样本标准差为. (1)求 , . (2)将质量在区间 内的零件定为一等品. ①估计这台机器生产的零件的一等品率； ②从样本中的一等品中随机抽取2件，求这2件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率. 【解析】 (1) . ，所以 . 6 二、古典概型与数字特征的综合 例题2 从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位： 克） , , , , , , , , , ，记样本均值为 ，样本标准差为. (1)求 , . (2)将质量在区间 内的零件定为一等品. ①估计这台机器生产的零件的一等品率； ②从样本中的一等品中随机抽取2件，求这2件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率. 【解析】 (2) ，质量在区间 内的零件定为一等品，样本中一等品有 , , , , ，共5件，用样本估计总体，这台机器生产的零件的一等品率为 . ②从5件一等品中，抽取2件，分别为 , , , , ， , , , , ，共10种情况，其中抽取的2件产品的质量之差的绝对值不超过0.3克的情况为 , , , ， , , ，共7种，故所求概率 . 7 反思感悟 方法总结 (1)计算平均数、方差，运算量比较大，注意运算技巧的运用以及计算的准确性. (2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照 某一顺序做到不重复、不遗漏. 8 新知运用 跟踪训练2 一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准重量是 500g .为了解这些白糖的实际重量，称量出各袋白糖的实际重量（单位： g ）如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510. (1) 求这10袋白糖的平均重量 和标准差 . (2) 从这10袋白糖中任取2袋，那么其中恰有一袋的重量不在 的概率是多少？（附： ， ， ， ） 【解析】(1) 根据题意，10袋白糖的平均重量 ， 其方差 ，则其标准差 . 9 新知运用 跟踪训练2 一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准重量是 500g .为了解这些白糖的实际重量，称量出各袋白糖的实际重量（单位： g ）如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510. (1) 求这10袋白糖的平均重量 和标准差 . (2) 从这10袋白糖中任取2袋，那么其中恰有一袋的重量不在 的概率是多少？（附： ， ， ， ） 【解析】(2)根据题意，由(1)的结论可知，10袋白糖在 之间的有503，502，496，499，498，506，504，501，共8袋. 从10袋白糖中任取2袋，将结果一一列举后可知有45种取法，其中恰有一袋的重量不在 的情况有 种，则恰有一袋的重量不在 的概率 . 10 三、古典概型与统计图表的综合 例题3 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在 [100,150),[150,200) ，[200,250),[250,300) ,[300,350) ,[350,400] (单位：克)中,经统计得到频率分布直方图如图所示： (1)估计这组数据的平均数(同一组数据以该组区间的中间值作代表)； (2)现按分层随机抽样从质量为 [200,250),[250,300) 的芒果中随机抽取5个，再从这 5个芒果中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率. 【解析】(1)由频率分布直方图可知， 各区间的频率分别为 ， ， ， ， ， ，可得这组数据的平均数为 . 11 三、古典概型与统计图表的综合 例题3 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在 [100,150),[150,200) ，[200,250),[250,300) ,[300,350) ,[350,400] (单位：克)中,经统计得到频率分布直方图如图所示： (1)估计这组数据的平均数(同一组数据以该组区间的中间值作代表)； (2)现按分层随机抽样从质量为 [200,250),[250,300) 的芒果中随机抽取5个，再从这 5个芒果中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率. 【解析】(2)按分层随机抽样从质量为 的芒果中随机抽取5个，则质量在 的芒果有2个，记为 ， ；质量在 的芒果有3个，记为 ， ， .从这5个芒果中随机抽取2个的情况有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10种. 满足2个芒果都来自同一个质量区间的有 ， ， ， ，共4种，从而所求概率 . 12 反思感悟 方法总结 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的信息转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算. 13 新知运用 跟踪训练3 某果农选取一片山地种植果树，收获时，该果农随机选取20株果树作为样本，测量它们每一株的果实产量（单位: ），获得的所有数据按照区间 ， ， 进行分组，得到频率分布直方图如图所示.已知样本中产量在区间 上的果树株数是产量在区间 上的果树株数的 倍. (1)求𝑎，𝑏的值; (2)从样本中产量在区间 (50,60] 上的果树里随机抽取两株，求产量在区间 (55,60] 上 的果树至少有一株被抽中的概率. 【解析】(1) 样本中产量在区间 上的果树有 （株）， 样本中产量在区间 上的果树有 （株）， 依题意有 ，即 . ① 根据频率分布直方图可得 . ② 由①②得, ， . 14 新知运用 跟踪训练3 某果农选取一片山地种植果树，收获时，该果农随机选取20株果树作为样本，测量它们每一株的果实产量（单位: ），获得的所有数据按照区间 ， ， 进行分组，得到频率分布直方图如图所示.已知样本中产量在区间 上的果树株数是产量在区间 上的果树株数的 倍. (1)求𝑎，𝑏的值; (2)从样本中产量在区间 (50,60] 上的果树里随机抽取两株，求产量在区间 (55,60] 上 的果树至少有一株被抽中的概率. 【解析】(2)样本中产量在区间 上的果树有 （株），分别记为 ， ， ， ，产量在区间 上的果树有 （株），分别记为 ， .从这6株果树中随机抽取2株有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ,共15种情况. 其中产量在 上的果树至少有一株被抽中有 ， ， ， ， ， ， ， ， ,共9种情况. 记“从样本中产量在区间 上的果树中随机抽取2株，产量在区间 上的果树至少有一株被抽中”为事件 ，则 . 15 随堂检测 1.从甲、乙、丙、丁4名选手中随机选取2人组队参加奥林匹克竞赛，其中甲被选中的 概率为( ) . A. B. C. D. 2.从集合 𝐴={−1 ,1, 2} 中随机选取一个数记为 𝑘 ，从集合 𝐵={−2 ,1, 2} 中随机选取一 个数记为 𝑏 ，则直线 𝑦=𝑘𝑥+𝑏 不经过第三象限的概率为( ) . A. B. C. D. 3.一个三位数，其个位、十位、百位上的数字依次为 𝑥 ， 𝑦 ， 𝑧 ，当且仅当 𝑦>𝑥 ， 𝑦>𝑧 时，称这样的数为“凸数”（如243）.现从集合 {1 ，2，3， 4} 中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( ) . A. B. C. D. B A B 16 随堂检测 4.某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的平均阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示： (1)求 𝑎 的值； (2)根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到 0.1) ； (3)为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层随机抽样的方法从每天阅 读时间位于 [50,60),[60,70) 和 [80,90) 的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求 其中恰好有1人每天阅读时间位于 [80,90) 的概率. 【解析】(1)样本中因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1， 所以 (0.010+𝑎+0.045+𝑎+0.005)×10=1 ，解得 𝑎=0.02 . (2)各区间的中点值为55，65，75，85，95,对应的频数分别为10，20，45，20，5. 这100名大一新生每天阅读时间的平均数为 (55×10+65×20+75×45+85×20+95×5)/100=74.0 ， 所以估计该校大一新生每天阅读时间的平均数为74.0分钟. 17 随堂检测 4.某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的平均阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示： (1)求 𝑎 的值； (2)根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到 0.1) ； (3)为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层随机抽样的方法从每天阅 读时间位于 [50,60),[60,70) 和 [80,90) 的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求 其中恰好有1人每天阅读时间位于 [80,90) 的概率. 【解析】(3)由题意知，阅读时间位于 [50,60),[60,70) 和 [80,90) 的学生人数分别为10，20，20，因此从 [50,60) 中抽取1人，记为 𝑎 ,从 [60,70) 中抽取2人，记为 𝑏 , 𝑐 ，从 [80,90) 中抽取2人，记为 𝑑 , 𝑒 ，再从中任选2人进行调查，样本空间 Ω={𝑎𝑏 , 𝑎𝑐 , 𝑎𝑑 , 𝑎𝑒 , 𝑏𝑐 , 𝑏𝑑 , 𝑏𝑒 , 𝑐𝑑 , 𝑐𝑒 , 𝑑𝑒} ，共10个样本点.设事件 𝐴 为“恰好有1人每天阅读时间位于 [80,90) ”， 𝐴={𝑎𝑑 , 𝑏𝑑 , 𝑐𝑑 , 𝑎𝑒 , 𝑏𝑒 , 𝑐𝑒} ，共6个样本点，故其中恰好有1人每天阅读时间位于 [80,90) 的概率 . 18 课堂小结 1.知识清单： (1)复杂事件的古典概型； (2)古典概型与数字特征； (3)古典概型与统计图表 19 $$