精品解析：湖北省孝感方子高级中学2024-2025学年高二上学期8月月考数学试题

方子高中2024~2025学年度高二年级上学期8月月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章1.1—1.4.2. 一､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 1. 设是一个随机试验中的两个事件，我们有__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据事件的关系及概率的性质求解即可. 【详解】根据事件的关系及概率的性质知：. 故答案为： 2. 空间中两点间的距离公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由两点距离公式可得结论. 【详解】由，，可得. 故答案为： 3. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是___. 【答案】 【解析】 【详解】从这4个数中任取2个数共有种取法，其中乘积为6的有和两种取法，因此所求概率为． 【考点】古典概型． 4. 已知向量，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 二､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 5. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角系对称的特征，直接求出答案即可. 【详解】点关于平面对称的点的坐标是. 故选：B 6. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可. 【详解】由和对立，，可得，解得， 又由随机事件和互斥可知， 由， 将代入计算可得. 故选：D. 7. 在直三棱柱中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法法则结合题意直接求解即可. 【详解】因为直三棱柱中，若， 所以， 故选：B． 8. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）． A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可. 【详解】解：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”， 事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误； ，，，， 因为，所以与独立，故选项C正确； 事件与不相等，故选项D错误. 故选：C 9. 在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求直线与的方向向量，利用向量夹角公式求夹角； 【详解】以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，，所以，， 所以， 故选：A. 10. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共面的结论，对各选项逐一判断即可得解. 【详解】对于A，，所以共面，故A错误； 对于B，，所以共面，故B错误； 对于C，假设共面， 则存在，使得， 则共面，这与可构成空间的一个基底矛盾， 所以不共面，故C正确； 对于D，，所以共面，故D错误. 故选：C. 11. 已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】通过分类讨论得出，再由古典概率公式求解． 【详解】当时，，得（舍）， 当时，，得， 当时，，得（舍）， ， 从1，2，3，5，4中任取2个数结果: 共10种， 符合题意，共4种， 所以概率为． 故选：A． 12. 在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可. 【详解】，， . 故选：A. 三､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 13. 从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（ ） A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D. “至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 【答案】BD 【解析】 【分析】由互斥事件及对立事件的定义进行依次判断． 【详解】“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故A错误； “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故B正确； “恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故C错误； “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故D正确． 故选：BD． 14. 已知点是平行四边形所在平面外一点，，，，下列结论中正确的是（ ） A. B. 存在实数，使 C. 不是平面的法向量 D. 四边形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示公式、空间向量共线向量的性质，结合法向量的性质、空间向量模的公式、空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】对于A，， 所以A正确； 对于B，，假设存在存在实数，使， ，显然方程组无实数解， 因此假设不成立，所以不存在实数，使，所以B不正确； 对于C，不互相垂直， 所以不是平面的法向量，因此C正确； 对于D，， 所以， 四边形的面积为：， 因此D正确. 故选：ACD. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与所成角的余弦值为 C. 平面AEF的一个法向量是 D. 点D到平面AEF的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，利用空间向量表示出，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，利用数量积为0进行证明线线垂直，进而得到答案；D选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解. 【详解】对于A，正方体中，，， ，所以，故A错误； 对于B，，， ，故B正确； 对于C，设，则，，而， 所以平面的一个法向量是，故C正确； 对于D，，则点D到平面AEF的距离为，故D正确． 故选：BCD 四､解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 16. 已知向量. （1）若，求的值； （2）求的最小值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由空间向量垂直得到方程，求出答案； （2）计算出，利用模长公式得到，求出最小值 【小问1详解】 因为，所以， 即， 解得； 【小问2详解】 所以，. 所以当时，取得最小值为. 17. 近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每次考核通过的概率为，教师乙每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立. （1）求乙通过考核的概率； （2）求甲乙两人考核的次数和为的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件分类再结合独立事件概率求解； （2）根据互斥事件分类再结合独立事件概率求解. 【小问1详解】 乙第一次考核通过的概率， 乙第二次考核通过的概率为， 乙通过考核的概率为； 【小问2详解】 甲考核1次，乙考核2次的概率； 甲考核2次，乙考核1次概率； 甲乙两人的考核次数和为3的概率. 18. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．若直线l经过点，且以为方向方量，P是直线l上的任意一点，O为坐标原点． （1）求证：； （2）当，且时，求点P的坐标． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出向量的坐标，再利用向量共线推理即得. （2）由已知，结合（1）中信息用表示点的坐标，再利用空间向量数量积的坐标表示计算即得. 【小问1详解】 由点，点，得， 由向量为直线l的方向向量，得， 于是，而，消去得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，而，则， 又，显然， 由，得，解得， 所以点P的坐标是. 19. 在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． （1）求点B到直线AC1距离； （2）求直线FC到平面AEC1的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，用向量法求解即可； （2）用向量法求解即可 【小问1详解】 以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系， 则，，，，，， ∴，，，，，， 取，， ， 则点B到直线AC1的距离为； 【小问2详解】 ∵， ∴， 而平面，平面， ∴平面， ∴点到平面的距离即为直线到平面的距离， 设平面的法向量为，则， ∴， ∴，取，则，， ∴， 又， ∴点到平面的距离为. 【点睛】 20. 已知事件满足.证明： （1）若，则与独立； （2）. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合已知，利用全概率公式及对立事件概率公式，利用独立事件的概念证明判断即可； （2）一方面，结合全概率公式，利用概率的性质及放缩得，另一方面，结合全概率公式，利用概率的性质及放缩得，得证. 【小问1详解】 因为，所以，则， 由，从而，则， 而， 由，即，所以与独立； 【小问2详解】 一方面，， 又因为，所以， 另一方面， ， 综上所述，有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 方子高中2024~2025学年度高二年级上学期8月月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章1.1—1.4.2. 一､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 1. 设是一个随机试验中的两个事件，我们有__________. 2. 空间中两点间距离公式为__________. 3. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数乘积为6的概率是___. 4 已知向量，，则______ 二､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 5. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 7. 在直三棱柱中，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）． A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 9. 在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 10. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数据1，2，3，5，m（m为整数）平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（ ） A. B. C. D. 12. 在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（ ） A B. C. D. 三､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 13. 从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（ ） A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D. “至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 14. 已知点是平行四边形所在平面外一点，，，，下列结论中正确的是（ ） A. B. 存在实数，使 C. 不是平面的法向量 D. 四边形的面积为 15. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与所成角的余弦值为 C. 平面AEF的一个法向量是 D. 点D到平面AEF的距离为 四､解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 16. 已知向量. （1）若，求的值； （2）求的最小值. 17. 近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每次考核通过的概率为，教师乙每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立. （1）求乙通过考核的概率； （2）求甲乙两人考核的次数和为的概率. 18. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．若直线l经过点，且以为方向方量，P是直线l上的任意一点，O为坐标原点． （1）求证：； （2）当，且时，求点P的坐标． 19. 在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． （1）求点B到直线AC1的距离； （2）求直线FC到平面AEC1的距离． 20. 已知事件满足.证明： （1）若，则与独立； （2）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$