精品解析：吉林省长春市南关区长春市第二实验中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题

2024-2025学年度上学期 初三数学学科优效作业（一） 开学测试 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 平行四边形一定具有的性质是（ ） A. 邻边垂直 B. 对边相等 C. 对角互补 D. 邻角相等 3. 已知在第四象限，则在（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，将矩形纸片沿折叠，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形中，不是函数图像的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，两条直线被三条平行线所截，AB＝5，DE＝6，EF＝3，则AC的长为（ ） A. 2.5 B. 4.5 C. 6.5 D. 7.5 8. 如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为 A. 12 B. 20 C. 24 D. 32 二、填空题（每小题3分，共18分） 9 计算________． 10. 若分式 有意义，则x的值为 ______ 11. 在函数中，当自变量x＝3时，因变量y的值是 _____． 12. 有一组数据：1，3，5，6，x，它们的平均数是4，则这组数据的众数是_________． 13. 如图，▱ABCD中，，，垂足为点若，则的度数为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为(1，1)．若直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是_________． 三、解答题（共78分） 15. 计算：． 16. 解方程：. 17. 为防控“新型冠状病毒”，某药店分别用1600元、6000元购进两批防护口罩，第二批防护口罩的数量是第一批的3倍，但单价比第一批多2元，请问药店第一批防护口罩购进了多少只？ 18. 如图，直线经过点，． （1）求直线解析式； （2）若直线与直线相交于点，求点的坐标； （3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集______． 19. 如图，在6×6网格中，每个小正方形的边长为1，点A, B在格点上．请根据条件画出符合要求的图形． （1）在图甲中画出以点A为顶点且一边长为的平行四边形．要求：各顶点均在格点上． （2）在图乙中画出线段AB的中点O． 要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． 20. 为了培养学生对航天知识学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成四组，A组：；B组：；C组：；D组：，并得到如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数是_______． （2）请补全频数分布直方图； （3）规定学生竞赛成绩为优秀，估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数有多少名？ 21. 如图，在中，，，点D是边中点，连结．作，，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形． （2）四边形的面积为______． 22. 甲、乙两人参加从M地到N地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图像，回答下列问题： （1）甲的速度是 米/分钟，乙比甲提前 分钟先到达终点． （2）求乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式． （3）请直接写出甲、乙两人相距750米时乙所跑的时间． 23. 基础探究：如图①，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，DF⊥CE交AB于F，垂足为点O．求证：CE＝DF． 应用拓展：如图②，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，FG⊥CE分别交AB、CD于F、G，垂足为点O．若正方形ABCD的边长为12，DE＝5，则四边形EFCG的面积为_______． 24. 如图，四边形是菱形，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，射线为轴的正半轴，点的坐标为． （1）菱形的边长是_______，直线的解析式为__________； （2）若为直线上一动点，的横坐标为，设的面积为，求与之间的函数关系式； （3）点在直线上运动过程中，以、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期 初三数学学科优效作业（一） 开学测试 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的定义，对选项一一分析即可． 【详解】解：A、分母是，不含字母，是整式，不是分式，故该选项不符合题意； B、分母是，不含字母，是整式，不是分式，故该选项不符合题意； C、分母是，不含字母，是整式，不是分式，故该选项不符合题意； D、分母是，含有字母，是分式，故该选项符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含有字母，也可以不含字母，理解定义是解本题的关键． 2. 平行四边形一定具有的性质是（ ） A. 邻边垂直 B. 对边相等 C. 对角互补 D. 邻角相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可求解． 【详解】解：平行四边形的对边相等，邻角互补，对角相等， 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 3. 已知在第四象限，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据第四象限点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵在第四象限， ∴，， ∴， ∴在第三象限，故Ｃ正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 4. 如图，将矩形纸片沿折叠，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质，得出，再根据两直线平行，同位角相等，得出，再根据折叠的性质，得出，再根据角之间的数量关系，计算即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵矩形纸片沿折叠， ∴， 又∵， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质． 5. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 6. 下列图形中，不是函数图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义即可判断． 【详解】解：根据函数的定义，对应定义域内的任意自变量的值都有唯一的y与x对应， 如图所示，C选项一个x的值对应两个y的值，故C选项错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图象的识别，熟练掌握函数的定义是解题的关键． 7. 如图，两条直线被三条平行线所截，AB＝5，DE＝6，EF＝3，则AC的长为（ ） A. 2.5 B. 4.5 C. 6.5 D. 7.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求出BC，计算即可． 【详解】∵l1∥l2∥l3， ∴， 即， ∴BC＝2.5， ∴AC＝AB+BC＝5+2.5＝7.5， 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 8. 如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为 A. 12 B. 20 C. 24 D. 32 【答案】D 【解析】 【详解】如图，过点C作CD⊥x轴于点D， ∵点C的坐标为（3，4）， ∴OD=3，CD=4， ∴根据勾股定理，得：OC=5， ∵四边形OABC是菱形， ∴点B的坐标为（8，4）， ∵点B在反比例函数(x>0)的图象上， ∴， ∴k=32， 故选：D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算________． 【答案】 【解析】 【分析】根据立方根和算术平方根的求法解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了立方根和算术平方根，能够准确求出一个数的立方根和算术平方根是解本题的关键． 10. 若分式 有意义，则x的值为 ______ 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0求解即可． 【详解】解：∵分式 有意义， ∴，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟知分式的分母不等于0是解答的关键． 11. 在函数中，当自变量x＝3时，因变量y的值是 _____． 【答案】19 【解析】 【分析】把x＝3代入函数关系式进行求解即可． 【详解】解：当x＝3时，， 故答案为：19． 【点睛】本题考查了求函数值，解决本题的关键是代入函数关系式求值． 12. 有一组数据：1，3，5，6，x，它们的平均数是4，则这组数据的众数是_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意先求得的值，进而根据众数的定义即可求解． 【详解】解：∵1，3，5，6，x，它们的平均数是4， ∴ 解得 1，3，5，6，5中，数字5出现次数最多，故这组数据的众数是5 故答案为：5 【点睛】本题考查了平均数，众数，求得的值是解题的关键． 13. 如图，▱ABCD中，，，垂足为点若，则的度数为______． 【答案】25° 【解析】 【分析】由等腰三角形性质得∠ACB=∠B=由平行四边形性质得∠DAE=∠ACB=65〬,由垂直定义得∠ADE=90〬-∠DAE=90〬-65〬. 【详解】因为，， 所以，∠ACB=∠B= 因为，四边形ABCD是平行四边形， 所以，AD∥BC, 所以，∠DAE=∠ACB=65〬, 又因为，， 所以，∠ADE=90〬-∠DAE=90〬-65〬=25〬. 故答案为25〬 【点睛】本题考核知识点：平行四边形，等腰三角形，垂直定义. 解题关键点：由所求推出必知，逐步解决问题. 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为(1，1)．若直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是_________． 【答案】-3＜b＜3 【解析】 【分析】当直线y=x+b过D，B时，求得b，即可得到结论． 【详解】解：∵正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为（1，1）， ∴D（1，4），B（4，1） 当直线y=x+b经过点D时，4=1+b，此时b=3， 当直线y=x+b经过点B时，1=4+b，此时b=-3． ∴直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是-3＜b＜3． 故答案是：-3＜b＜3． 【点睛】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式． 三、解答题（共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、零指数幂以及实数的混合运算，解答时，先分别求算术平方根、化简绝对值、运算零指数幂、实数的乘法运算，最后进行加减法运算即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：. 【答案】， 【解析】 【分析】将方程左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【详解】 ∴或 ∴， 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 17. 为防控“新型冠状病毒”，某药店分别用1600元、6000元购进两批防护口罩，第二批防护口罩的数量是第一批的3倍，但单价比第一批多2元，请问药店第一批防护口罩购进了多少只？ 【答案】药店第一批防护口罩购进了200只 【解析】 【分析】根据数量、单价、总价三者之间的关系表示出单价，再根据单价差为2元列出关于单价的方程即可． 【详解】解：设药店第一批防护口罩购进了只， 则方程为， ， ， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：药店第一批防护口罩购进了200只． 【点睛】本题考查分式方程，解决本题的关键是读懂题意，找出题中的数量关系． 18. 如图，直线经过点，． （1）求直线的解析式； （2）若直线与直线相交于点，求点的坐标； （3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集______． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式，组成方程组求解即可； （3）利用图象法求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线经过点、， ∴， 解方程组得． ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线与直线相交于点， ∴， 解得． ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）知：点C(-3,2)，如图， 由图象可得不等式的解集为． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与不等式的关系，熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式、两直线交点坐标就是两直线解析式组成方程组的解、用图象法求不等式解集是解题的关键． 19. 如图，在6×6网格中，每个小正方形的边长为1，点A, B在格点上．请根据条件画出符合要求的图形． （1）在图甲中画出以点A为顶点且一边长为的平行四边形．要求：各顶点均在格点上． （2）在图乙中画出线段AB中点O． 要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用数形结合的思想，画出平行四边形即可； （2）如图：取格点P、Q，连接PQ交AB于点O，点O即为所求． 【小问1详解】 解：如图甲中，四边形ABCD即为所求． 【小问2详解】 解：如图乙中，点O即为所求． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、平行四边形的性质等知识，灵活运用数形结合的思想是解答本题的关键． 20. 为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成四组，A组：；B组：；C组：；D组：，并得到如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数是_______． （2）请补全频数分布直方图； （3）规定学生竞赛成绩为优秀，估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数有多少名？ 【答案】（1） （2）见解析 （3）480名 【解析】 【分析】（1）由的人数除以所占百分比得出的值求出人数，用乘以“”所占的比例即可； （2）求出、组人数即可补全图形； （3）由全校总人数乘以达到优秀的学生人数所占的比例即可． 【小问1详解】 解：由题意得：（名）， 则扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数是， 故答案为：； 【小问2详解】 组人数为（人），组人数为（名）， 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数为：（名）． 【点睛】此题考查的是频数分布直方图和扇形统计图．解题的关键是能够从图表中获得所需的信息． 21. 如图，在中，，，点D是边的中点，连结．作，，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形． （2）四边形的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2）18 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的判定和矩形的判定定理推知四边形是矩形． （2）易得四边形是梯形，由等腰三角形的性质求得的长度，在中，由勾股定理可以求得的长度，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 在中，∵，点D是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 ∵， ∴四边形梯形， ∵，点D是边的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，， ∴梯形的面积为：， 故答案为:18． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质和勾股定理，利用等腰三角形“三线合一”是解题的关键． 22. 甲、乙两人参加从M地到N地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图像，回答下列问题： （1）甲的速度是 米/分钟，乙比甲提前 分钟先到达终点． （2）求乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式． （3）请直接写出甲、乙两人相距750米时乙所跑的时间． 【答案】（1）50，8 （2） （3）15分钟或21分钟或27分钟． 【解析】 【分析】（1）依据函数图像可得到总路程和两人跑完全程所用的时间，依据速度＝路程÷时间可求得甲的速度，并能够判断到达终点的时间差； （2）利用待定系数法分段求解函数解析式即可； （3）求出前20分钟乙的速度，20到32分钟时乙的速度和甲的速度，然后分：①当前20分钟甲、乙两人相距750米时，②20分钟以后到相遇前，甲、乙两人相距750米时，③甲、乙两人相遇后，乙到达终点之前两人相距750米时，分别列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：由函数图像可知甲跑完全程需要40分钟，乙跑完全程需要32分钟， ∴甲的速度＝米/分钟； 40－32＝8， ∴乙比甲提前8分钟先到达终点， 故答案为：250，8； 【小问2详解】 设当0≤x≤20时，乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式为， 把（20，4000）代入中，则有， 解得， ∴此时乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式为； 设当20≤x≤32时，乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式为， 把（20，4000）、（32，10000）代入中，则有， 解得，， ∴此时乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式为， 综上，乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式为：； 【小问3详解】 由图函数图像可知：前20分钟乙的速度为：4000÷20＝200米/分钟，20到32分钟时乙的速度为：米/分钟，而甲的速度是250米/分钟； 设乙所跑的时间为t， ①前20分钟甲、乙两人相距750米时， 由题意得：250t－200t＝750， 解得：t＝15； ②20分钟以后到相遇前，甲、乙两人相距750米时， 由题意得：， 解得：t＝21； ③甲、乙两人相遇后，乙到达终点之前两人相距750米时， 由题意得：， 解得：t＝27； 答：甲、乙两人相距750米时乙所跑的时间为15分钟或21分钟或27分钟． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的应用，准确识别函数图像，理解每段函数图像所表示的实际意义是解题的关键． 23. 基础探究：如图①，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，DF⊥CE交AB于F，垂足为点O．求证：CE＝DF． 应用拓展：如图②，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，FG⊥CE分别交AB、CD于F、G，垂足为点O．若正方形ABCD的边长为12，DE＝5，则四边形EFCG的面积为_______． 【答案】基础探究：CE＝DF；应用拓展：． 【解析】 【分析】基础探究：要证CE＝DF，转化证明△ADF≌△DCE，由正方形的性质得∠A＝∠CDE，AD＝DC，再由CE⊥DF，根据等角的余角相等得∠AFD＝∠DEC，这样全等三角形的条件具备便可证明全等； 应用拓展：过作FH⊥CD于点H，证明△CDE≌△FHG，得CE＝FG，再由勾股定理求得CE，最后根据四边形的面积公式求得结果． 【详解】解：基础探究：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝DC， ∵DF⊥CE， ∴∠ADF+∠DEC＝∠ADF+∠AFD＝90°， ∴∠AFD＝∠DEC， ∴△ADF≌△DCE（AAS）， ∴DF＝CE，即CE＝DF； 应用拓展：过作FH⊥CD于点H，如图②，则FH＝BC＝CD， ∴FG⊥CE， ∴∠CGO+∠OCG＝∠CGO+∠HFG＝90°， ∴∠DCE＝∠HFG， ∵∠D＝∠FHG＝90°， ∴△CDE≌△FHG（ASA）， ∴CE＝FG， ∵CD＝12，DE＝5， ∴FG＝CE＝， ∴． 【点睛】本题考查正方形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、四边形的面积公式等知识，是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线，掌握相关知识是解题关键． 24. 如图，四边形是菱形，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，射线为轴的正半轴，点的坐标为． （1）菱形的边长是_______，直线的解析式为__________； （2）若为直线上一动点，的横坐标为，设的面积为，求与之间的函数关系式； （3）点在直线上运动过程中，以、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）10； （2）S= （3）点F的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出OA的长，再根据菱形的性质可得OC的长，设直线AC的解析式：y=kx+b（k≠0），待定系数法求解析式即可； （2）根据题意，先表示出点P纵坐标，当x＜6时，S=S△COP-S△COA，当6＜x≤10时，S=S△AOC-S△COP，当x＞10时，S=S△AOC+S△COP，即可表示出S与x的函数关系式； （3）分情况讨论：①当∠OP1C=90°时，②当∠P2OC=90°时，③当∠OCP=90°时，分别先求出点P坐标，根据矩形的性质即可求出点F坐标． 【小问1详解】 解：∵点A坐标为（6，8）， ∴OA==10， ∴菱形OABC的边长为10， 在菱形OABC中，OA=OC， ∴OC=10， ∵射线OC为x轴的正半轴， ∴C点坐标为（10，0）， 设直线AC的解析式：y=kx+b（k≠0）， 将点A（6，8），点C（10，0）代入解析式， 得，解得:， ∴直线AC的解析式：y=-2x+20， 故答案为：10，y=-2x+20； 【小问2详解】 解：∵P为直线AC上一动点，P的横坐标为x， ∴点P的纵坐标为-2x+20， ∵S≠0， ∴x≠6， 当x＜6时， S=S△COP-S△COA =×10(−2x+20)-×10×8 =-10x+60， 当6＜x≤10时， S=S△AOC-S△COP =×10×8−×10(−2x+20) =10x-60， 当x＞10时， S=S△AOC+S△COP =×10×8+×10×(2x−20) =10x-60， 综上，S=； 【小问3详解】 解：以O、P、C、F为顶点的四边形是矩形，分情况讨论，如下图所示： ①当∠OP1C=90°时， ∵OA=OC， ∴P1为AC的中点， ∵A（6，8），C（10，0）， ∴P1坐标为（8，4）， ∵四边形OP1CF1为矩形， ∴点F1坐标（2，-4）； ②当∠P2OC=90°时， 此时点P2坐标为（0，20）， ∵四边形OP2F2C是矩形， ∴点F2坐标为（10，20）， ③当∠OCP=90°时，不存在满足条件的点F， 综上，点F坐标为（2，-4）或（10，20）． 【点睛】本题考查了一次函数综合应用，涉及待定系数求解析式，菱形的性质，矩形的性质，分段函数等，熟练掌握以上性质是解题的关键，本题综合性较强，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$