辽宁省名校联盟（东北三省三校）2024-2025学年高三上学期9月联合考试数学试卷

绝密★启用前 辽宁省名校联盟2024年高三9月份联合考试 数学 命题人：大连市第二十四中学王辉审题人：大连市第二十四中学李响 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 报 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.0.51%5= A B吉 c号 D.2 常 2.已知命题p:3x∈R,|x-1|<1,命题qW3+1<22,则 A.p和q都是真命题 B.一p和q都是真命题 C.p和一q都是真命题 D.一p和一q都是真命题 3.已知M,N为全集U的非空真子集，且M,N不相等，若(CuM)UN=U,则 A.N∈M B.MUN=N C.(CuM)nN= D.MU(CoN)=U 4.如图，有一个无盖的盛水的容器，高为H,其可看作将两个完全相同的圆台面积较大的底面去掉后 对接而成.现从顶部向该容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水 面的高度y随时间t变化的函数为∫(：)，则下列函数图像中最有可能是f(t)图像的是 恝 数学第1页（共4页） C扫描全能王 】亿人在用的扫描A 5.已知等比数列{a,}的公比为g,则“a<a,”是“a<a+1(n∈N)”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6,若定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，则f(-),f(-)(e+)的大小关 系为 A.f-)>e)>(-) B.fet)>(-2)>f(-) cf(-)>-)>fe) D.(-)>fe)>f(-) 7.已知定义在R上的函数f(x),对Vx∈R,都有f(x十4)=一f(x)+4,若函数f(x一1)的图像关于 直线x=1对称，则f(4050)= A.-2 B.-1 C.2 D.1 8.已知函数f(x)=2 zInl-1|,则当a≠0时，方程a[f(x)]十f(x)-2a=0的不同的实数解的个 数为 A.4 B.3 C.2 D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知xy>0且x十2y=2,则 A.y<0 B.0<x<2 C.4+16'≥10 D.log:x+logzy<o 10.已知释函数fx)的图像经过点(8，)，下列结论正确的有 A.f0)=0 B.f(x)是偶函数 cf-1)=号 D.若f3-2x)>f(x+1),则xe(号，是)U(24) 11.[x]表示不超过x的最大整数，例如，[-0,5]=-1，[1.1]-1，已知函数f(x)=[x],下列结论正 确的有 A若x0,D,则-+-[)+】 B.f(x+y)≥f(x)+f(y) C.设g(x)=f2V5)+(),则2g(k)=400 D.所有满足fm)=m(m,n∈[0，学])的点(m,)组成的区坡的面积为号 数学第2页（共4页） C3扫描全能王 亿人幕在用的扫描 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若16十子>0，则。的取值范图是 13.数列{a,}共有5项，前三项成等差数列，且公差为d,后三项成等比数列，且公比为q.若第1项为 1,第2项与第4项的和为18，第3项与第5项的和为35，则d+q= 14.已知a,b,c均为正数，a2+b=2,则W(2Wa-E)+2b的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知数列(3)是首项为3，公比为9的等比数列，数列6.)满足6+号+++气=3m (1)求数列(a.}和(6}的通项公式： (2)求数列 的前n项和S, 16.(15分) au a12 a13 定义三阶行列式运算： an an =auanan+ananan+anan an-ananan-auanan-ananan, an 其中a,∈RjE1,2,3).已知a>一1，关于x的不等式 (1)求M 2已知函数f)-E-2a-2,zEtM 一（4a十1)工，∈M不存在最小值，求a的取值范围 数学第3页（共4页） CS扫描全能王 】亿人都在用的扫描Ap明 17.(15分) 已知函数f(x)=x-z+3f(0) √I-x (1)求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程； (2)设g(x)=ax-x+30+0)-fx),当-1<a<0时，记gx)在区间[-1,0]上的最大 √1-x 值为M,最小值为m,求M-m的取值范围. 18.(17分) 已知S。为数列(a.)的前n项和，T,为数列(b,}的前n项和，a+2=2a+1一a,b,= 2a.十1，n为奇数b,=8,S,=15. 2,1,n为偶数， (1)求(a.)的通项公式： (2)若T2.-S.<2025,求n的最大值； （3)设6一75证明<名<号 19.(17分) 已知函数f(x)=受x-c(e是自然对数的底数). (1)若a=2e,求f(x)的极值； (2)若x∈(-1，十∞)，Vn∈N,f(x)≤(x+2)"-x-3,求a; (3)利用(2)中求得的a,若F(x)=fnx)+z+是数列(a.}满足a1∈(0,1D,且a1=Fa,),证 明：2a+1+a+3-1>2a+z, 数学第4页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人幕在用的扫描Ap阳辽宁名校联盟高三9月联考 ·数学· 叁专管案及解析 一、选择题 右侧无限趋近于1时，f(x)→一o0,当x→十∞时， 1.C【解析】由题意得0.5i=(2) =25 f(r)→十oo,且f(2)=0.当x<1时，了(x)=2ln(1 ，令h)=2血1-)+马期() x)+2x 2=子故选C项 2 2.A【解析】对于p,取x=1,则|x一1=0<1，所以p是 2一=2(x一2<0，所以了(x)单调递减，由 x-1(x-1)(x-1) 真命题，对于，利用分析法易得？是其命题.故选 了(0)=0，得x∈(-o∞，0)时，/(x)>0,f(x)单调递 A项. 增，当x∈(0,1)时，了(x)<0,f(x)单调递减，又f(0)= 3.B【解析】由(CM)UN=U,得CM口CuN,又M,N 0,且当x一∞时，f(x)→一oo,当x从1的左侧无限 不相等，所以MN,从而MUN=N.故选B项. 趋近于1时，f(x)·一∞，所以函数f（x)的部分图像大 4.D【解析】由题意得水面高度随时间增加而增加，结合 致如图所示： 容器的形状，水面高度增加的速度由快到慢再到快，由 平均变化率的概念可知D项正确.故选D项. 5.D【解析】若a=-2,ag=1,则a1<a:,但ai>ai,充 分性不成立：若a=(一2)+1，则a<a+1,但a>a2, 12 3 必要性不成立.综上，“a1<a:”是“a<a+i(n∈N)"的 既不充分也不必要条件.故选D项： 6.B【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以 对于方程a[f(x)]+f(x)一2a=0,设t=f(r),则由 (-)=(受)小(-)=)汉et=2> a≠0，知一元二次方程ar+1-2a=0的判别式一定大 于0，又由两根之积为一2<0，得关于1的方程一定有一 多>云x)在[0，+o∞)上单调递增，所以e)> 正根一负根，故结合f(x)的图像可知原方程一定有4 个不同的实数解.故选A项. (-)>(-）故选B项， 二、选择题 7.C【解析】因为函数一1)的图像关于直线r=1对0.BD【解折】由>0且r+2y=2>0,得r…2专> 称，且f(x)的图像由f(x一1)的图像向左平移一个单位 0,解得0<x<2,同理得0<y<1,故A项错误，B项正 长度得到，所以f(x)为偶函数，因为f(x十4)=一f(x)十 4,所以f(x+8)=-f(x十4)+4=-[-f(x)十4]十4 确：对于C项，4“十1≥2√·16=2√= f(?),所以f(x)是以8为一个周期的偶函数，所以 2V不=8，当且仅当x=1,y=号时取等，故C项错误： f(4050)=f(8×506+2)=f(2),由f(2)=f(-2+4)= -f(-2)十4=-f(2)十4，得f(2)=2.故选C项. 对于D项，logx+logy=log(y)=logT,2y≤ 2 f2zn(r-1),x>1, 8.A【解析】由题意得f(x)= 当x> 2xln(1-x).r<1. 1g[2()门-e号=-1<0，放D项正确 1时，f)=2lar-D+2%令gr)=2nx-1D+ 故选BD项 当删g马品品所以当 10.BD【解析】设琴函数x)=r:由8)=8=高 x∈(1,2)时，g(a)<0,f(x)单调递减，当x∈(2，十∞) 得a=一专，所以)==2·所以0)无意 时，g(x)>0,f(x)单调递增，所以f(x)≥f(2)=4≥ 0,所以当x∈(1，十∞)，f(x)单调递增，易得当x从1的 义：放A项倍误《-)7示京 1· ·数学· 参考答案及解析 所以∫(x)是偶函数，故B项正确：由了(x) (m,m)组成区城的面积为（告-4）（号-4）=子·综 -专r千，得了(-)-冬，故C项正确：因为)是 偶函数，且在(0，十∞)上单调递减，所以由f(3-2x)≥ 上，点m:m组成区城的面积为1X4+音=9，故D f(x+1),得13-2x<|x+1|,即(3-2x)2<(x+1) 项正确，故选ABD项。 信 三、填空题 解得号<<4且x≠受，放D项正确。 12(3,十)【解折】由题意，若0<a<1.则<0 故选BD项. 11.ABD【解析】对于A项，若x∈(0,1)，则一x∈(-1.0) 无意义：若>1，得。>名此时号>1，即 则-x+号=-1计号=-号[+] aa-6>0,即a-a-6>0,解得a<-2或a>3. a十4 -(0+)=-,所以f-)+号<-[)+ 综上，a的取值范围是(3，十oo). 13.5【解析】由题意得该数列的项分别为1,1十d.1+ 号]故A项正确，对于B项，设=[团+6y=[门十 2d,(1+2d）g,(1+2d)g2,又 ,1,k∈[0,1)，则[x+y]=[x]+[y]+k1+k] 1+d+(1+2dg-18.即 (1+2g)d=17-q 。从 1+2d+(1+2d)g=35, (2+2g)d=34-g []+[y]+[k+k2],又k+∈[0,2)，所以[k+ 而(1+2g)(34-g)=(17-9)(2+2g)即34-q十 ]∈{0,1，所以[x+y]≥[x]+[y],故B项正确.对于 681-2-34+344-2g-24,即35-70g=0,解得 C项，由题意得[√20×I]+[√20X2]+[√20×3] d=3,所以g+d=5 9=2, +…+[√/20×20]表示x轴，直线x=20及曲线y √20x所围成区域的整点（横，纵坐标均为整数的点）14.√I0【解析】由题意得V(2va一)+b=2√ac- 的个数（不含x轴上的点），设函数y=6和y c+2b=-(WE-a)2+a十2b≤a+2b,当且仅当a=d 时取等号，下面求a+2b的最大值. 2V,可得函数y=易和y=2V厅互为反函数，即 解法一：设1=a+2b,则a=1-2b,代入a2+=2,得 两个函数的图像关于直线y=x对称，由函数对称性可 (-26)°+6=2，即56-4b+-2=0,所以△= 得y轴，直线y=20及曲线y=2√5x围成的区域与以 16-20(产-2)≥0，从而得产≤10，即0<1≤√10，又 x销，直线x=20及曲线y一六围成的区城所包含的 当6=2严。=时=而，所以a+弘的最大 5 整点一样多，如图所示： 值为√0. 30 解法二：由a十b=2,设a=V2cos0,b=V2sina,0∈ 1=2/ (0,号），则a+2b-2cos0+22sin0=V0sin(0+ 20 g,其中cog=25g-,当m(0叶g=1时， 20主 a+2b取得最大值为√o, 则之g)表示边长为20的正方形内整点的个数之和。 解法三：设m=(a,b),n=(1.2),由m·n≤m川n, 其中(20,20)有两个，且不含坐标轴上的点，所以整点 得|a+2h≤√a+·√5=√/10，即a+2h≤√10， 的个数为20×20十1=401，故C项错误.对于D项，当 当且仅当2。=时取等 5 m∈[0,1)时，n∈[0,1)，f(m)=f(n)=0,此时(m,n) 组成区域的面积为1：当m∈[1,2)时，n∈[1,2)， 解法四：数形结合，设1=a+2b,画出x2+y=2的图 f(m)=f(n)=1,此时(m,n)组成区域的面积为1：当 像，表示圆心在坐标原点，半径为√2的圆在第一象限内 m∈[2,3)时，n∈[2,3)，f(m)=f(n)=2,此时(m,n) 的部分，平移直线y=一2x十t至与圆相切，此时直线 组成区域的面积为1：当m∈[3,4)时，n∈[3,4) 的纵截距最大，即为所求。 f(m)=f(n)=3,此时(m,n)组成区域的面积为1：当 四、解答题 m∈[4，号)时n∈[4，号)m)=)=4,此时 15.解：(1)由题意得3=3×9-1=3-1， (2分) 所以an=2n-1. (3分) ·2· 辽宁名校联盟高三9月联考 ·数学· 33 @当如生>a+1,即。>时c2-少. 2 4 得当≥2时+十号十会十…十=3一 因为f代不存在最小值，所以-4+1)>一2a-2, (5分) 解得<< (14分) 所以写名=3，即么.=3 (6分) 又当n=1时，6=3也符合， 综上，a的取值范围是(-1，牙)。 (15分) 所以bn=3 (7分) 17.解：(1)由f(.x)=x2-x+ 3f(0) ,得广(x)=3x2 2)设=会=(2m-1D(付)广. √1-云 1+3f021-). 2 (2分) 则.=6++…+6=1×号+3×（号）】 十…十 所以f0)=-1+30),所以广0)=2. 2 (4分) 2m-D(3）广 (8分) 所以fx)=-+ 6,所以f0)=6, (5分) 3s.-1×(号)广+3×（号）'+…+(2m-1)· 所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y一6= (). 2(x一0)，即y=2x十6. (6分) (9分) (2)由(1)可得g(x)=-x3+ax2+6, (7分) 两式作差得号s=1×号+2×（号）°+2×（行）广+… g'(x)=-3x2+2a.x= 3(-号） (8分) +2×(3)广-2-b(3）. (10分) 因为-1<a<0,所以∈(-号0)： 即号8=- )门 2-(）” 所以当x∈(-1，号)时g()<0,g()单调递减，当 1- r∈（学0）时，g)>0,g()单调递增， (9分) 22n+2 3 3”+ (12分) 所以R)的最小值m=g(学）=号+6。 (10分) 所以S,=1-”+1 3*· (13分) 义g(-1)=7十4，g(0)=6,所以g(-1)>g(0), r-a 1 0 从而g(x)的最大值M=g(-1)=7+a, (12分) 16.解：(1) ax-10 =(x-a)(x-1)x-dx= 所以设6a)-M-m-7+。一号 6=- 4 27+a+1. -a1 x(r-a-1)>0, (3分) 则h'(a)= 4g+1=-g(a+受)(a-) 所以x>a+1且x≠0， (5分) (13分) 又a>-1. 由a∈（一1,0），知'(a)>0,所以h(a)单调递增， 所以原不等式的解集M={xx>a十I (6分) (2)由(1)知M={xx>a+1}, 因为h(-1)=27h(0)=1, /x2-(4a十1)x,x>a+1, 所以f八x)= (7分) e-2a-2,x≤a+1, 所以M-m的取值范围为（分： (15分) 所以当x≤a+1时，-2a-2<c-2a-2≤+1-2a-4: 18.(1)解：由a.t:=2a+t一a。,得a+:-a.+1=a+1一am, (9分) 所以数列{a.}为等差数列， 当x>a+1时，f(x）=r-(4a+1).x=（x- 4a+1 所以S=5a=15,所以4=3. (1分) 2 又b,=2-1=8,所以a4=4, (4a+1) 4 (10分) 设a.的公差为4，即a十2d=3解得0， d=1, ①当如<a+1.即-1<a≤时)>fa+ a4=d1+3d=4. (3分) 所以f(x)不存在最小值： (12分)1 所以{aa}的通项公式是a.=n. (4分) ·3· ·数学· 参考答案及解析 2m十1，n为奇数， (2)解：由(1)知a.=n,所以b.= 所以分x-e≤-1，即受r-e+1<0, (6分) 2-1,n为偶数， (5分) 设g(r)=号-e+1,注意到g(0)=0. s.-2ma,+a）-2n1+2m2=n2n+1). 2 2 (6分) 所以g(x)≤g(0),即x=0为g(,x)的极大值点.(7分) T2.=(h+b+…+h,-1）十(be+h,十…+。） 由g(r)=号-e,令g'(0)=号-e=0,得a=2 m(3+4”-业+21二42=m(2m+1)+24-1业 2 1一4 3 (8分) (8分) 检验：当a=2时g'(x)=1-e, 令T.-5=242-D<2025.得2·4<6077. 当x∈（一1,0）时，g(x)>0,g(x)单调递增， 3 当x∈(0，十∞)时·g'(r)<0,g(r)单调递减， 设d.=2·4“,则数列{d.}是递增数列. 所以g(x)≤g(0)=0成立. 又d=2048<6077,d=2×4°=8192>6077， 综上，a=2. (9分) 所以n的最大值为5. (10分) (不检验要扣1分) 8》证明：由2知6一75音× 1 (3)证明：由(2)得f(x)=x一e,从而F(x)=lnx 设Q.=之c,则Q+1-Q.=6+>0, x+x+1=nx+1(x>0). 所以{Q。}是递增数列， 则F--号 (10分) 所以Q≥Q,-6-成立。 (12分) 令F(x)<0,得0<x<1,令F(x)>0,得x>1,所以 又Q=6=<： F(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， (13分) 所以F(.x)≥F(1)=1, (11分) 所以当≥2时，由2X华-2>4，得，=号×占 因为a∈(0,1)，所以a=F(a1)>1,a1=F(a)>1,…, a.+1=F(a.)>1, (12分) 3 (14分) 令m()=F(r)-x=1+lnx-x(x≥1. 所以Q.=<号+3（+是+…+）= x-) <0. x 所以m(x)在[1，十oo)上单调递减，且m(.x)≤m(1)=0. (13分) (16分) 因为a+2一an-1=F(a+i)一a+1=m(aw+1), 综上< (17分) 又a+i>1,所以m(a.+)<0, 19.(1)解：由题意得f(xr)=er-e, 所以awr:一an1<0,即1<antt<at1, (14分) 则f(x)=e-e. (1分) 所以m(a+￥)>n(a+i), 令了(x)=0,得x=1, (2分) 即F(aa+x)-a+>F(a+i)一a,+1, 所以当x∈(-∞，1)时.f(x)>0.f(x)单调递增， 所以a+n一a。->am+:一a+1: 当x∈(1，十∞)时，(x)<0,f(x)单调递减，(3分) 所以a+1十an-i>2a.+: (16分) 所以f(x)有极大值f(1)=0,无极小值. (4分) 义a+1>1, (2)解：因为x∈（一1，十四），所以x+2>1,从而∈ 所以2a+1十a+a>2a++1. N,f(x)≤(x十2)-x-3=f(x)≤(x+2)'-x-3. 即2aa+1+aw+s-1>2am+3. (17分) ·4 辽宁省名校联盟2024年高三9月份联合考试 数学 题号 题型 分值 考查的主要内容及知识点 难度 1 选择题 5 对数恒等式，指对运算 易 2 选择题 5 命题与量词 易 3 选择题 5 集合概念、关系及运算 易 4 选择题 函数的单调性，平均变化率，图像，实际应用 易 5 选择题 5 等比数列，充要条件 为 6 选择题 5 函数奇偶性与单调性应用，比较大小 中 7 选择题 5 抽象函数性质的应用 中 8 选择题 5 导数的应用，分段函数，绝对值概念，二次方程，零点分布 难 9 选择题 不等式性质，基本不等式，指数、对数运算 易 10 选择题 6 幂函数概念与性质，实数指数幂 名 11 选择题 取整函数，函数性质，数列求和 难 12 填空题 5 对数不等式，对数的概念 多 13 填空题 等差，等比数列 中 14 填空题 5 基本不等式应用，最值 雅 15 解答题 13 等差、等比数列，数列的递推，错位相减法求和 易 16 解答题 15 新定义，解不等式，分段函数，二次函数，指数函数 中 17 解答题 15 导数概念，切线问题，最值 中 18 解答题 17 数列的应用，不等式，放缩 娘 19 解答题 17 极值问题，恒成立问题，函数与数列结合，导数的应用 难