精品解析：2024年云南省初中学业水平考试数学试题卷（白卷）

2024年云南省初中学业水平考试 数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 2023年，云南省实现社会消费品零售总额11561亿元（摘自2024年2月29日云南日报）．11561用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 等高线指的是地形图上高度相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若高于海平面的山峰，在等高线上标注为，则某盆地低于海平面，在等高线上标注为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下面是昆明市2024年春节8天的空气质量指数（）： 日期 2月10日 2月11日 2月12日 2月13日 2月14日 2月15日 2月16日 2月17日 46 47 47 42 57 50 69 47 下列说法正确的是（ ） A. 这8天的空气质量指数的众数是47 B. 这8天的空气质量指数的中位数是49.5 C. 这8天的空气质量指数的平均数是50 D. 这8天的空气质量指数的极差是22 7. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 圆锥 8. 某校为了解学生的睡眠状况，生活委员小组随机调查了该校50名同学每天的睡眠时间，将收集的数据整理并绘制成如下条形统计图．若该校共有学生2100人，则该校每天的睡眠时间不足的学生人数大约为（ ） A. 420人 B. 252人 C. 798人 D. 630人 9. 如图，在中，作边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 12. 若一个等边三角形的周长是6，则该等边三角形的面积是（ ） A. 6 B. C. D. 3 13. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为人，物价为钱，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在菱形中，是边上的点，连接交于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 15. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 17. 正五边形的每一个内角都等于___． 18. 若点A（2，m）在反比例函数y＝的图像上，则m 的值为________． 19. 如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有相对滑动，则重物上升了______． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，与交于点，且点分别为，的中点，求证：． 22. 云南漫山遍野的春花吐蕊，香椿、金雀花、棠梨花等琳琅满目，令人垂涎，某餐馆计划用6000元购进香椿和5400元购进金雀花两种食材共计160千克，已知每千克金雀花的进价比每千克香椿的进价贵30元．请你分别计算出香椿和金雀花每千克的进价． 23. 随着气温不断升高，大理白族自治州，紧绷“防火弦”，全力做好森林草原防灭火各项防范工作，该州某校以“防火无小事，人人能做点”为主题开展宣传活动．现决定以抽签的方式从甲、乙两名同学中选择1人作为本次宣传活动的主持人．抽签规则：将标有数字1，2，3，4的四张卡片（卡片除数字外完全相同），洗匀后背面朝上放在桌面上，甲同学先从中随机抽取一张卡片记下数字为，乙同学在剩下的三张卡片中随机抽取一张记下数字为． （1）求甲抽出的卡片上标有数字为奇数的概率； （2）若规定，当抽出的两个数字时，则选甲同学，否则选乙同学．请用列表法或画树状图的方法表示出所有可能的结果，并判断本次抽签是否公平． 24. 如图，在四边形中，，，连接，过点作于点，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的值． 25. 云南依托得天独厚的自然资源和生物资源优势，大力发展农业庄园经济，助推高原特色农业转型升级，越来越多的云南高原特色食用农产品正走向世界．某店购进一种水果，每盒进价为元，规定销售单价不低于成本．该水果月销售量（盒）与售价（元/盒）的变化情况部分数据如下表： 售价（元/盒） … 55 60 65 70 … 销售量（盒） … 1500 1400 1300 1200 … （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识直接判断是关于的哪种函数，并求出函数关系式； （2）若该种水果的每盒利润不超过进价的，设这种水果每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少元？ 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，若点，是该抛物线上两个不同的点，且． （1）求，的值； （2）若该抛物线与直线有且仅有一个交点，求代数式的值． 27. 如图，为的直径，为上一点，为的中点，连接交于点，连接，，，点在射线上，且，． （1）求证：为的切线； （2）若的值为，求线段的长； （3）设的面积为，猜想的值是否为定值？若为定值，请求出该定值，若不为定值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年云南省初中学业水平考试 数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 2023年，云南省实现社会消费品零售总额11561亿元（摘自2024年2月29日云南日报）．11561用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 故选：B 2. 等高线指的是地形图上高度相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若高于海平面的山峰，在等高线上标注为，则某盆地低于海平面，在等高线上标注为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，根据高于海平面的山峰，在等高线上标注为，得出低于海平面，在等高线上标注为，即可作答． 【详解】解：依题意，低于海平面，在等高线上标注为 故选：A 3. 如图，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行计算是解决本题的关键．根据平行线的性质可得，，再由平角的定义可求出答案． 【详解】解：如图， ，， ， ． ． 故选：A 4. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故该选项是错误的； B、不是中心对称图形，故该选项是错误的； C、不是中心对称图形，故该选项是错误的； D、是中心对称图形，故该选项是正确的； 故选：D 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相除、同底数幂相乘，完全平方公式，据此相关运算法则和乘法公式进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是正确的； D、，故该选项是错误的； 故选：C 6. 下面是昆明市2024年春节8天的空气质量指数（）： 日期 2月10日 2月11日 2月12日 2月13日 2月14日 2月15日 2月16日 2月17日 46 47 47 42 57 50 69 47 下列说法正确的是（ ） A. 这8天的空气质量指数的众数是47 B. 这8天的空气质量指数的中位数是49.5 C. 这8天的空气质量指数的平均数是50 D. 这8天的空气质量指数的极差是22 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、极差，掌握定义及其计算公式是解题的关键．根据平均数、中位数、众数、极差的意义分别求出数据的平均数，中位数，众数，极差，再比较即可． 【详解】解：A.这8天的空气质量指数中47出现了3次，次数最多，所以众数为47， 故选项A正确； B. 从小到大排列这8天的空气质量指数，第4、第5个数据分别是47，47，所以中位数是， 故选项B错误； C. 这8天的空气质量指数的平均数为：， 故选项C错误； D. 这8天的空气质量指数的极差是， 故选项D错误； 故选：A 7. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 圆锥 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三视图的定义是解答本题的关键．根据几何体的主视图和左视图是全等的等腰三角形，可判断该几何体是锥体，再根据府视图的形状可判断锥体底面的形状，即可得出答案． 【详解】解：因为主视图和左视图是全等的等腰三角形，所以该几何体是锥体， 又因为俯视图是含有圆心的圆，所以该几何体是圆锥． 故选：D 8. 某校为了解学生的睡眠状况，生活委员小组随机调查了该校50名同学每天的睡眠时间，将收集的数据整理并绘制成如下条形统计图．若该校共有学生2100人，则该校每天的睡眠时间不足的学生人数大约为（ ） A. 420人 B. 252人 C. 798人 D. 630人 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体：由样本所占百分比估计总体的数量，求出睡眠时间不足的学生人数在这次调查的占比，再与2100相乘，即可作答． 【详解】解：依题意，（人） 故选：B 9. 如图，在中，作边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质及三角形中位线的性质．利用基本作图可判断垂直平分，所以，，再根据可得，最后根据三角形中位线的性质可求出的长． 【详解】解：由作法得垂直平分， ，， ， ， ， 故选：C 10. 按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．分别从系数，字母的指数两个方面进行找规律． 【详解】解：，，，，，，， 第个为：； 故选：C 11. 如图，四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选：A 12. 若一个等边三角形的周长是6，则该等边三角形的面积是（ ） A. 6 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理．过点A作等边的高，根据等边三角形三线合一的性质可得D为的中点，即，在直角三角形中，已知、，根据勾股定理即可求得的长，即可求三角形的面积，即可解题． 【详解】解：如图，过点A作等边的高，与交于点D， ∵等边的周长是6， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：B． 13. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为人，物价为钱，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设人数为ｘ人，物价为ｙ钱，抓住等量关系每人出八钱8x剩三钱；每人出七钱7x少4钱，列方程组即可． 【详解】解：由题设人数为ｘ人，物价为ｙ钱， 由每人出八钱，会多三钱；总钱数y=8x-3, 每人出七钱，又差四钱；总钱数y=7x+4， ∴联立方程组为． 故选：A． 【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤，抓住等量关系：每人出八钱8x剩三钱；每人出七钱7x少4钱列方程组是解题关键． 14. 如图，在菱形中，是边上的点，连接交于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质的应用．根据菱形性质得出，，求出，证，得出比例式，即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， 故选：C 15. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的定义，因为关于的一元二次方程有两个实数根，所以，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根 ∴， 即 ∴且 故选：B 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 17. 正五边形的每一个内角都等于___． 【答案】108° 【解析】 【分析】先根据多边形的内角和公式（n-2）×180°求出内角和，然后除以5即可； 【详解】解：（5-2）×180°=540°，540°÷5=108°； 故答案为：108°． 18. 若点A（2，m）在反比例函数y＝的图像上，则m 的值为________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：将点（2，m）代入反比例函数得，m==3． 故答案为3． 点睛：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标符合函数的解析式． 19. 如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有相对滑动，则重物上升了______． 【答案】 【解析】 【分析】利用弧长公式计算即可．本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】解：重物上升的高度为：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值、算术平方根、零指数幂、有理数的乘方运算法则是解题的关键．根据特殊角的三角函数值、算术平方根、零指数幂、有理数的乘方运算法则分别计算即可． 【详解】原式 21. 如图，与交于点，且点分别为，的中点，求证：． 【答案】 证明：是、的中点， ，． 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理．根据线段中点的定义得出，，由对顶角相等得出，根据即可证明，再由全等三角形的性质可得结论． 【详解】略． 22. 云南漫山遍野的春花吐蕊，香椿、金雀花、棠梨花等琳琅满目，令人垂涎，某餐馆计划用6000元购进香椿和5400元购进金雀花两种食材共计160千克，已知每千克金雀花的进价比每千克香椿的进价贵30元．请你分别计算出香椿和金雀花每千克的进价． 【答案】每千克香椿的进价是60元，则每千克金雀花的进价是90元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元二次方程的解法，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程．设每千克香椿的进价是元，则每千克金雀花的进价是元，利用“用6000元购进香椿和5400元购进金雀花两种食材共计160千克”，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设每千克香椿的进价是元，则每千克金雀花的进价是元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：每千克香椿的进价是60元，则每千克金雀花的进价是90元． 23. 随着气温不断升高，大理白族自治州，紧绷“防火弦”，全力做好森林草原防灭火各项防范工作，该州某校以“防火无小事，人人能做点”为主题开展宣传活动．现决定以抽签的方式从甲、乙两名同学中选择1人作为本次宣传活动的主持人．抽签规则：将标有数字1，2，3，4的四张卡片（卡片除数字外完全相同），洗匀后背面朝上放在桌面上，甲同学先从中随机抽取一张卡片记下数字为，乙同学在剩下的三张卡片中随机抽取一张记下数字为． （1）求甲抽出的卡片上标有数字为奇数的概率； （2）若规定，当抽出的两个数字时，则选甲同学，否则选乙同学．请用列表法或画树状图的方法表示出所有可能的结果，并判断本次抽签是否公平． 【答案】（1） （2） 解：公平，过程如下： 用列表法列举所有可能： y x 1 2 3 4 1 2 3 4 上述所有出现的结果均是等可能的，且有12种可能． 其中当抽出的两个数字的结果有6种 其中当抽出的两个数字的结果有6种 ∴ ∴选甲同学，或者选乙同学的概率都是. 所以公平． 【解析】 【分析】（1）用列表法将所有等可能的结果一一列举出来即可； （2）列表求得两人获胜的概率，若相等则公平，否则不公平． 本题考查的是列表法或树状图法求概率，游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【小问1详解】 解：∵标有数字1，2，3，4的四张卡片（卡片除数字外完全相同），洗匀后背面朝上放在桌面上 ∴甲抽出的卡片上标有数字为奇数的概率 【小问2详解】 略 24. 如图，在四边形中，，，连接，过点作于点，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的值． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形，， ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形；正确的识别图形是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再证明，最后根据矩形的判定证明即可； （2）过点C作，先证明，设，，可得，再求得，可得，最后求出的值即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 过点C作， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， 设， 中，， ， ， 中，， ， ， ， 25. 云南依托得天独厚的自然资源和生物资源优势，大力发展农业庄园经济，助推高原特色农业转型升级，越来越多的云南高原特色食用农产品正走向世界．某店购进一种水果，每盒进价为元，规定销售单价不低于成本．该水果月销售量（盒）与售价（元/盒）的变化情况部分数据如下表： 售价（元/盒） … 55 60 65 70 … 销售量（盒） … 1500 1400 1300 1200 … （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识直接判断是关于的哪种函数，并求出函数关系式； （2）若该种水果的每盒利润不超过进价的，设这种水果每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）与是一次函数，解析式为： （2）售价为元时可获得最大利润，最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用， （1）根据表格信息，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，每件的利润为，由此可得，可得，由数量关系列式的，根据二次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：根据表格信息，设售价（元/盒）与销售量（盒）的解析式为：，且， ∴， 解得，， ∴函数解析式为：， 当时，；当时，；符合题意， ∴与是一次函数，解析式为：； 【小问2详解】 解：售价为（元/盒），进价为（元/盒）， ∴单件利润为：元/盒， ∴， ∵每盒利润不超过进价的， ∴， 解得，， ∵，开口向下，且对称轴为， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； ∴当时，利润取得最大值，且（元）， ∴售价为元时可获得最大利润，最大利润为元． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，若点，是该抛物线上两个不同的点，且． （1）求，的值； （2）若该抛物线与直线有且仅有一个交点，求代数式的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的判别式，完全平方公式的变形应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把，分别代入，得出，，再结合二次函数的性质得出不受的影响，则，所以，故，即可作答． （2）建立方程，得出，结合该抛物线与直线有且仅有一个交点，故，先说明，则，然后运用完全平方公式的变形，逐个得出，因为的倒数是，所以，即可作答． 【小问1详解】 解：∵点，是该抛物线上两个不同的点 ∴把，分别代入 得 则 ∵ ∴ ∴ ∵点，是该抛物线上两个不同的点，且抛物线 ∴不受的影响 ∵ ∴ ∴ 把代入，得 ∴ 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴ 依题意， ∴ 整理得 ∵该抛物线与直线有且仅有一个交点 ∴的 即 ∴ 令 ∴ ∴ 即可整理得 ∴ ∴ ∴ 同理得 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 27. 如图，为的直径，为上一点，为的中点，连接交于点，连接，，，点在射线上，且，． （1）求证：为的切线； （2）若的值为，求线段的长； （3）设的面积为，猜想的值是否为定值？若为定值，请求出该定值，若不为定值，请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，连接， D为的中点， ， ， 为的直径， ， ， 又， ， ， ， 又，，， ， ， ， 又， ， 又， ， ， ， 为的切线； （2）6 （3）是定值， 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）过点D作于点G，连接，设，则，运用勾股定理求得，再求得，即可求解； （3）过作于点H，连接，由三角形面积公式可得，从而求得，再证，再利用相似三角形性质可得，最后由三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点D作于点G，连接， 由（1）得， ， ， ， ， 设 ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 或， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 是定值，理由如下： 过作于点H，连接， 由（2）得，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $