精品解析：2023年山东省临沂市临沂经济技术开发区一模数学试题

2022—2023学年度下学期期中学业水平质量调研试题九年级数学 （时间：120分钟；总分120分） 注意事项：1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 如图，数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 2. 2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为（ ） A. 度 B. 度 C. 度 D. 度 3. 已知，，其中m，n为正整数，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列展开图中，是正方体展开图的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点P是内部的一点，点P到三边的距离，，则的度数为（ ） A. 65° B. 80° C. 100° D. 70° 6. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与正五边形的边、分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图．小颖入口进出口的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，⊙O是的外接圆，是直径，过点C的切线交的延长线于点D，若，，则⊙O的半径长为（ ） A. B. 5 cm C. 3 cm D. 11. 九龙坡为治理污水，需要铺设一段全长为2000米的污水排放管道，为尽量减少施工对城市交通的造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划提高了10%，结果提前10天完成这一任务，求实际每天铺设污水排放管道多少米？设实际每天铺设污水排放管道x米，则可列方程（ ） A. B. C. D. 12. 为了缅怀先烈，继承遗志，某中学八年级同学于4月初进行“清明雁栖湖，忆先烈功垂不朽”的定向越野活动，每个小组需要在点A出发，跑步到点B打卡（每小组打卡时间为1分钟），然后跑步到C点，……，最后到达终点（假设点A，点B，点C在一条直线上，且在行进过程中，每个小组跑步速度是不变的），“甲组”最先出发．过了一段时间后，“乙组”开始出发，两个小组恰好同时到达点C．若“乙组”出发的时间为x（单位：分钟），在点A与点C之间的行进过程中，“甲组”和“乙组”之间的距离为y（单位：米），它们的函数图像如图所示，则下面判断不正确的有（ ）个． （1）当时，“乙组”恰好到达B点； （2）“甲组”的速度为150米/分钟，“乙组”的速度为200米/分钟； （3）两个小组从A点出发的时间间隔为1分钟； （4）图中M点表示“乙组”在B点打卡结束，开始向C点出发； （5）出发点A到打卡点B的距离是600米，打卡点B到点C的距离是800米； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 将抛物线向上平移2个单位，得到的抛物线是___________． 14. 分解因式：______． 15. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到（其中点与点A是对应点，点与点B是对应点），若点恰好落在边上，则点A到直线的距离是______． 16. 如图，在边长为6的正方形中，，连接，交于点G，点C，P关于对称，连接、，并把延长交的延长线于点Q，以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的是______．（填序号） 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）化简． 18. 牛年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过亿，总票房超过80亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息． a．两部影片上映第一周单日票房统计图． b．两部影片分时段累计票房如下 上映影片 2月12日-18日累计票房（亿元） 2月19-21日累计票房（亿元） 甲 乙 （以上数据来源于中国电影数据信息网）. 根据以上信息，回答下列问题： （1）2月12日-18日的一周时间内，影片乙单日票房的中位数为__________； （2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是__________； ①甲的单日票房逐日增加；②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差； ③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大． （3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日-21日三天内影片甲的累计票房应超过_________亿元． 19. 临沂电视塔总建筑面积10992平方米，是山东省最高建筑，中国高塔委员会成员，国内高度排名第9，世界高塔排名第20，我校数学社团决定利用周末时间开展一次测量“临沂电视塔高度”的课题活动，他们分为两个小组，设计了如下方案：（结果精确到0.1米） 课题：测量临沂电视塔高度 甲组的测量报告 乙组的测量报告 测量工具 卷尺，测角仪 卷尺，平面镜 测量示意图 测量方案与测量数据 先在点Q处用距离底面0.5m的测角仪测出酒店顶端A的仰角，再沿QP水平方向 前进81.2米后到达P处，测得塔顶端A的仰角； 在M处放一面镜子，小明在M处 通过镜子反射刚好看到塔的顶端 A，测得身高175cm的小明到平面 镜距离； 参考数据 ，， （1）数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果．”你认为______（填“甲组”或“乙组”）的测量报告存在问题； （2）请根据正确的测量报告计算临沂电视塔的高度． 20. 如图，取一根长米的质地均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在中点的左侧距离中点处挂一个重牛的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆保持平衡，改变弹簧称与中点的距离（单位：），看弹簧秤的示数（单位：牛，精确到牛）有什么变化，小慧在做此《数学活动》时，得到下表的数据： 牛 结果老师发现其中有一个数据明显有错误． （1）你认为当______时所对应的数据是明显错误的； （2）在已学过的函数中选择合适的模型求出与的函数关系式； （3）若弹簧秤的最大量程是牛，求的取值范围． 21. 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目，滚铁环器材由铁环和推杆组成，小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点，推杆与铅垂线的夹角为，点，，，，在同一平面内，当推杆与铁环相切于点时，手上的力量通过切点传递到铁环上，会有较好的启动效果． （1）求证：； （2）实践中发现，切点只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点是该区域内最低位置，此时点距地面的距离最小，测得，已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长． 22. 已知，四边形是正方形， 绕点D旋转（），，，连接． （1）如图1，求证：； （2）直线与相交于点G． ①如图2，于点M，于点N，在旋转的过程中，的大小是否发生变化，请说明理由． ②如图3，连接BG，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 23. 如图是一块美术小组使用剩余的画布，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在x轴上，且，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度，美术小组计划进行裁剪： （1）若裁剪成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，求此正方形的边长； （2）若裁剪成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长； （3）若裁剪成圆，判断能否裁剪出半径为的圆，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022—2023学年度下学期期中学业水平质量调研试题九年级数学 （时间：120分钟；总分120分） 注意事项：1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 如图，数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵点B关于点A的对称点为C， ∴， ∵数轴上与1，对应的点分别为A，B， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了对称的性质以及数轴上两点之间的距离，解题的关键是根据题意得出． 2. 2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为（ ） A. 度 B. 度 C. 度 D. 度 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：44.8万度=448000度=度． 故选：C 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 3. 已知，，其中m，n为正整数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，，再根据同底数幂乘法的逆运算可得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂乘法的逆运算和幂的乘方逆运算的运算法则和运算顺序． 4. 下列展开图中，是正方体展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的表面展开图共有11种情况，A，D是“田”型，对折不能折成正方体，B是“凹”型，不能围成正方体，由此可进行选择． 【详解】解：根据正方体展开图特点可得C答案可以围成正方体， 故选：C． 【点睛】此题考查了正方体的平面展开图．关键是掌握正方体展开图特点． 5. 如图，点P是内部的一点，点P到三边的距离，，则的度数为（ ） A. 65° B. 80° C. 100° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点P到三边的距离得到、是、的角平分线，利用三角形内角和定理可得，然后利用角平分线性质从而利用角平分线的定义可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】解：点P到三边的距离， 、是、的角平分线， ，， ， , ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线判定定理是解题的关键． 6. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先移项，然后把二次项系数化为，等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程． 7. 如图，与正五边形的边、分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式可求出、，根据切线的性质可得：，再利用多边形的内角和，即可解决问题． 【详解】解：五边形是正五边形， ． 、与相切， ， ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键． 8. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将变形得，然后整体代入即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查分式的求值，解题关键是正确变形整体代入求解． 9. 我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图．小颖入口进出口的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出树状图，即可． 【详解】如图可知，，为入口；，，为出口， ∴ ∴小颖入口进出口的概率为：． 故选：B． 【点睛】本题考查列举法求概率，解题的关键是理解题意，画出树状图，得到所有的结果． 10. 如图，⊙O是的外接圆，是直径，过点C的切线交的延长线于点D，若，，则⊙O的半径长为（ ） A. B. 5 cm C. 3 cm D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，证明，根据相似三角形的性质、正切的定义计算即可． 【详解】解：连接，如图所示： 是⊙O的切线， ， ， 是⊙O的直径， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ⊙O的半径长为， 故选：A． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 11. 九龙坡为治理污水，需要铺设一段全长为2000米的污水排放管道，为尽量减少施工对城市交通的造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划提高了10%，结果提前10天完成这一任务，求实际每天铺设污水排放管道多少米？设实际每天铺设污水排放管道x米，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题求的是实际的工效，工作总量是2000米，一定是根据工作时间来列的等量关系．关键描述语是：提前10天完成，等量关系为：原计划时间实际时间． 【详解】解：设实际每天铺设污水排放管道米，则原计划每天铺设污水排放管道米， 根据题意得：， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用了工作时间工作总量工效这个等量关系． 12. 为了缅怀先烈，继承遗志，某中学八年级同学于4月初进行“清明雁栖湖，忆先烈功垂不朽”的定向越野活动，每个小组需要在点A出发，跑步到点B打卡（每小组打卡时间为1分钟），然后跑步到C点，……，最后到达终点（假设点A，点B，点C在一条直线上，且在行进过程中，每个小组跑步速度是不变的），“甲组”最先出发．过了一段时间后，“乙组”开始出发，两个小组恰好同时到达点C．若“乙组”出发的时间为x（单位：分钟），在点A与点C之间的行进过程中，“甲组”和“乙组”之间的距离为y（单位：米），它们的函数图像如图所示，则下面判断不正确的有（ ）个． （1）当时，“乙组”恰好到达B点； （2）“甲组”的速度为150米/分钟，“乙组”的速度为200米/分钟； （3）两个小组从A点出发的时间间隔为1分钟； （4）图中M点表示“乙组”在B点打卡结束，开始向C点出发； （5）出发点A到打卡点B的距离是600米，打卡点B到点C的距离是800米； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像和已知条件分别分析求解即可得出答案． 【详解】解：（1）由图可知，当时，“甲组”恰好到达B点，故（1）错误； （2）由图可知，分钟时，“乙组”打卡，“甲组”1分钟行走米，则“甲组”的速度为米/分钟，分钟时，“甲组”打卡，“乙组”1分钟行走米，则“乙组”的速度为米/分钟，故（2）正确； （3）“乙组”出发前两组相距米，所以两组从A点出发的时间间隔2分钟，故（3）错误； （4）由图可知，M点开始，“甲组”和“乙组”之间的距离在慢慢缩小，说明“乙组”打卡结束，在追赶“甲组”，即图中M点表示“乙组”在B点打卡结束，开始向C点出发，故（4）正确； （5）由图可知，“乙组”出发到打卡用时3分钟，所以出发点A到打卡点B的距离为米，从M点“乙组”在B地打卡结束到C地赶上“甲组”用时3分钟，所以打卡点B到点C的距离是米，故（5）错误， 综上，不正确（1）（3）（5），共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查函数的图像，理解题意，能从图像中获取所求问题的信息，并熟练掌握基本行程问题是解答的关键． 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 将抛物线向上平移2个单位，得到的抛物线是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移规律“上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位，得到的抛物线是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移规律是解答的关键． 14. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 15. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到（其中点与点A是对应点，点与点B是对应点），若点恰好落在边上，则点A到直线的距离是______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意进行分类讨论，①当点在边上时，过点A作于点E，得出是等边三角形，解直角三角形即可；②当点在边上时，点A到直线的距离． 【详解】解：①当点在边上时，过点A作于点E， ∵在中，，， ∴，， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，． ②当点在边上时， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴点A到直线的距离， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，以及解直角三角形的方法和步骤． 16. 如图，在边长为6的正方形中，，连接，交于点G，点C，P关于对称，连接、，并把延长交的延长线于点Q，以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的是______．（填序号） 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，根据轴对称的性质得出，即可判断①；先得出，进而得出，证明，即可判断②；设，则，，勾股定理建立方程，解方程，进而根据正弦的定义判断③；根据②的结论即可判断④，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，关于对称， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴，故③错误； 由②得， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，求正弦，相似三角形的性质与判定，轴对称的性质，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）化简． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先计算算术平方根、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值和0指数幂，再计算加减； （2）根据分式的混合运算法则解答即可； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题注意考查了实数的混合运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、0指数幂和分式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 18. 牛年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过亿，总票房超过80亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息． a．两部影片上映第一周单日票房统计图． b．两部影片分时段累计票房如下 上映影片 2月12日-18日累计票房（亿元） 2月19-21日累计票房（亿元） 甲 乙 （以上数据来源于中国电影数据信息网）. 根据以上信息，回答下列问题： （1）2月12日-18日的一周时间内，影片乙单日票房的中位数为__________； （2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是__________； ①甲的单日票房逐日增加；②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差； ③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大． （3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日-21日三天内影片甲的累计票房应超过_________亿元． 【答案】（1） （2）②③ （3） 【解析】 【分析】（1）影片乙单日票房从小到大排序，根据中位数定义可得影片乙单日票房的中位数为：； （2）①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，可判断①不正确；②先求出平均数,,在求出方差，，可判②正确；③求出甲超过乙的差值15日，16日，17日，18日，可判断③正确； （3）利用乙票房的收入减去甲票房前7天的收入即可得到最后三天的累计额即可． 【小问1详解】 解：影片乙单日票房从小到大排序为，，，，，，一共7个数据，所以影片乙单日票房的中位数为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降， 所以甲的单日票房逐日增加说法不正确 ②， , ， ， 所以甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差正确； ③甲超过乙的差值从15日开始分别为, 15日，16日，17日，18日， 所以在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大正确． 说法中所有正确结论的序号是②③， 故答案为：②③； 【小问3详解】 解：乙票房截止到21日收入为：亿， 甲票房前7天达到亿，2月19日-21日三天内影片甲的累计票房至少为：亿． 故答案为：． 【点睛】本题考查中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算，掌握中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算是解题关键． 19. 临沂电视塔总建筑面积10992平方米，是山东省最高建筑，中国高塔委员会成员，国内高度排名第9，世界高塔排名第20，我校数学社团决定利用周末时间开展一次测量“临沂电视塔高度”的课题活动，他们分为两个小组，设计了如下方案：（结果精确到0.1米） 课题：测量临沂电视塔高度 甲组的测量报告 乙组的测量报告 测量工具 卷尺，测角仪 卷尺，平面镜 测量示意图 测量方案与测量数据 先在点Q处用距离底面0.5m的测角仪测出酒店顶端A的仰角，再沿QP水平方向 前进81.2米后到达P处，测得塔顶端A的仰角； 在M处放一面镜子，小明在M处 通过镜子反射刚好看到塔的顶端 A，测得身高175cm的小明到平面 镜距离； 参考数据 ，， （1）数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果．”你认为______（填“甲组”或“乙组”）的测量报告存在问题； （2）请根据正确的测量报告计算临沂电视塔的高度． 【答案】（1）乙组； （2）． 【解析】 【分析】（1）乙组通过三角形相似进行测量，仅有的数据，没有中的长度，无法进行计算； （2）采用甲组测量方法，解直角三角形即可． 【小问1详解】 解：乙组；乙组通过三角形相似进行测量，仅有的数据，没有中的长度，无法进行计算，故测量报告存在问题； 故答案为：乙组； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点E，则：， 由题意，得：，，，， 设，在中，， ， ， 在中，， 解得：， ∴， ． 【点睛】本题考查利用锐角三角函数求实际物体高度，解题的关键是熟练运用解直角三角形的相关知识求出角度和边长的关系． 20. 如图，取一根长米的质地均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在中点的左侧距离中点处挂一个重牛的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆保持平衡，改变弹簧称与中点的距离（单位：），看弹簧秤的示数（单位：牛，精确到牛）有什么变化，小慧在做此《数学活动》时，得到下表的数据： 牛 结果老师发现其中有一个数据明显有错误． （1）你认为当______时所对应的数据是明显错误的； （2）在已学过的函数中选择合适的模型求出与的函数关系式； （3）若弹簧秤的最大量程是牛，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据表格数据，可发现与的乘积为定值，从而可得答案； （2）根据＝，可得与的函数解析式； （3）根据弹簧秤的最大量程是牛，即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据表格数据可知 ， 当时，牛，所以表格中数据错了， 故答案为：15； 【小问2详解】 解：表格数据知． F与L的函数关系式为：； 【小问3详解】 解：当牛时，由，得，根据反比例函数的图象与性质可得， 由题意可知，L的取值范围是． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出F与L的积为定值，从而得出函数关系式． 21. 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目，滚铁环器材由铁环和推杆组成，小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点，推杆与铅垂线的夹角为，点，，，，在同一平面内，当推杆与铁环相切于点时，手上的力量通过切点传递到铁环上，会有较好的启动效果． （1）求证：； （2）实践中发现，切点只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点是该区域内最低位置，此时点距地面的距离最小，测得，已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知与水平地面相切于点，则，，又与相切于点，则，过点作，则，，得出，即，即可得证； （2）过点作的平行线，交于点，交于点，则四边形是矩形，在中，求得，勾股定理求得，然后求得，即可求得，根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：与水平地面相切于点， ， ， ， 与相切于点， ， ， 过点作， ，， ， ， 即． 【小问2详解】 如图，过点作的平行线，交于点，交于点， ，，则四边形是矩形， ，， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，切线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 已知，四边形是正方形， 绕点D旋转（），，，连接． （1）如图1，求证：； （2）直线与相交于点G． ①如图2，于点M，于点N，在旋转的过程中，的大小是否发生变化，请说明理由． ②如图3，连接BG，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 【答案】（1）见解析； （2）①不变，理由见解析；②． 【解析】 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）①证明四边形是矩形即可； ②作交于点，作于点，由（2）①证明四边形是正方形，则是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，． ，． ， ， 在和中， 【小问2详解】 ①证明：如图中，设与相交于点． ， ． ， ， ， ， ， ，， 四边形是矩形， ， 故的大小不发生变化； ②解：作交于点，作于点，作于点， ， ， ，， 最大时，最小，． ． 由（2）①可知，四边形是矩形， ，． ． 又， ， ． 矩形是正方形， 是等腰直角三角形， ； 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 23. 如图是一块美术小组使用剩余的画布，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在x轴上，且，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度，美术小组计划进行裁剪： （1）若裁剪成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，求此正方形的边长； （2）若裁剪成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长； （3）若裁剪成圆，判断能否裁剪出半径为的圆，请说明理由． 【答案】（1）； （2）10dm； （3） 若裁剪成圆，能裁剪出半径为的圆， 如图3，N为⊙M上一点，也是抛物线上一点，过N作⊙M的切线交y轴于Q， 连接，过点N作轴于P，则，， 设，由勾股定理得：， ， 解得：，（舍）， ， ， ， ， ， 设QN的解析式为：，代入、 解得QN的解析式为：， 联立QN的解析式和抛物线解析式： ， 可得：， 即：， ，即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点， 若切割成圆，能切得半径为的圆． 【解析】 【分析】（1）先把二次函数解析式求出来，设正方形在二次函数图像上的顶点坐标，利用抛物线的对称性列方程求解； （2）由（1）中所设点的坐标，根据对称性求出矩形各边长度，建立新的二次函数，并求最大值即可； （3）设半径为的圆与相切，并与抛物线相交，设交点为N，求出交点N的坐标，并计算点N是⊙M与抛物线在y轴右侧的切点即可． 【小问1详解】 解：（1）如图1，由题意得：，，， 设抛物线的解析式为：，把代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：， 四边形是正方形，且抛物线关于轴对称， ， 设， ， 解得：，（舍）， 此正方形的边长为； 故答案为：； 【小问2详解】 如图2，由（1）知：设， 矩形的周长 ， 当时，矩形的周长最大，且最大值； 故答案为：； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数与几何结合，熟练掌握各图形的性质，能灵活运用坐标与线段长度之间的转换是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $