精品解析：江苏省前黄高级中学2011-2012学年高二上学期期中数学试题

江苏省前黄高级中学2013届高二数学期中检测试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1. 命题：“，”的否定是________. 2. 已知是椭圆的左右焦点，若直线过焦点，且与椭圆交于，则的周长为____. 3. 已知是椭圆的焦点，点是上的动点，则的取值范围为______. 4. 已知抛物线的准线方程是，则__________. 5. “”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为_________. 6. 在直角坐标平面内，已知，若，则点所在曲线的方程为________. 7. 在中，，且成等差数列，则面积的最大值为____. 8. 已知双曲线与曲线有公共的渐近线，且经过点，则的方程为____. 9. “，且”是“”的_____条件. 10. 已知是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，若，，则双曲线的离心率为_______. 11. 如图，在空间四边形中，是的重心，若，则__________. 12. 已知抛物线，是坐标原点，是焦点，是抛物线上的点，使得是直角三角形，则这样的点共有________个. 13. 已知椭圆，直线，则直线与椭圆的公共点有_______个. 14. 函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数的值为_____________________. 15. 已知点，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则的最小值为__________________. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 16. 已知命题“方程表示焦点在轴上的椭圆”，命题“方程表示双曲线”. （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若是真命题，求实数的取值范围； （3）若“”是真命题，求实数的取值范围. 17. 已知平面上的三点P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)． (1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程； (2)设点P、F1、F2关于直线y＝x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程． 18. 已知是椭圆的左右焦点，点是椭圆上的动点， （1）若椭圆的离心率为，且的最大值为，求椭圆的方程； （2）若为等腰直角三角形，求椭圆的离心率. 19. 已知抛物线，直线过点且与抛物线交于两点，直线分别与抛物线的准线交于. （1）若点是抛物线上任意一点，点在直线上的射影为，求证：； （2）求证：为定值； （3）求的最小值. 20. 已知抛物线，直线与抛物线交于两点. （1）若，求弦的长； （2）若、、是抛物线上的三点，且直线的斜率成等差数列，求证：成等差数列； （3）在抛物线上是否存在一个定点，使得直线的斜率互为相反数，若存在，求出点；若不存在，请说明理由. 21. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆交于，且. （1）若，求直线的方程； （2）试用表示点的横坐标，并求出的最大值； （3）若点是点关于轴的对称点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省前黄高级中学2013届高二数学期中检测试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1. 命题：“，”的否定是________. 【答案】， 【解析】 【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可． 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“，”的否定是“，”. 故答案为：，. 【点睛】本题考查命题的否定的应用，全称命题与特称命题互为否定关系，考查基本知识的应用． 2. 已知是椭圆的左右焦点，若直线过焦点，且与椭圆交于，则的周长为____. 【答案】8 【解析】 【分析】结合椭圆的定义，求焦点三角形的周长. 【详解】已知是椭圆的左右焦点， 若直线过焦点，且与椭圆交于， 根据椭圆定义可知，， 所以的周长. 故答案为：8 3. 已知是椭圆的焦点，点是上的动点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程可得焦点坐标，得出的表达式再由椭圆的范围利用二次函数性质可得出结果. 【详解】不妨取为椭圆的左焦点，设， 由椭圆可得，且满足，即； 因此， 又易知，所以可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 4. 已知抛物线的准线方程是，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准方程,结合准线方程即可求得的值. 【详解】因为抛物线 化为标准方程可得, 可得,所以准线方程为 即 解得 故答案为:1 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及性质的简单应用,根据准线方程求参数,属于基础题. 5. “”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据充分不必要条件得到两集合关系即可得到答案. 【详解】由题意得，则. 故答案为：. 6. 在直角坐标平面内，已知，若，则点所在曲线的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意判断满足双曲线的定义，通过双曲线的定义求出所求的方程即可． 【详解】因为在直角坐标平面内，已知，， 所以点满足双曲线的定义，到与到的距离的差是常数2，轨迹是双曲线的一支． 由题意可知，，所以， 所求的点所在曲线的方程为：，即． 故答案为：． 7. 在中，，且成等差数列，则面积的最大值为____. 【答案】 【解析】 【分析】由题设可得，利用基本不等式求得，利用余弦定理得到，继而求出，最后求出的面积关于的函数解析式，利用其单调性即可求得其最大值. 【详解】不妨设，则， 由成等差数列可得，， 由基本不等式可得，，当且仅当时等号成立. 由余弦定理，， 因，则， 于是面积为：， 因，故得, 即当时，面积的最大值为. 故答案为： 8. 已知双曲线与曲线有公共的渐近线，且经过点，则的方程为____. 【答案】 【解析】 【分析】设，其中，代入点坐标即可得到答案. 【详解】设,其中， 将代入得. 双曲线方程是，即. 故答案为：. 9. “，且”是“”的_____条件. 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】利用充要条件的判断方法，满足条件“，且”时，可通过举反例说明推不出；而由条件“”，可利用其中一个字母自身的范围推出另一个字母的范围得到. 【详解】由，且可得，故得不出， 如时，，即“，且”不是“”的充分条件； 反之，由可得，，因，可得，，故得； 同理，由还可得，，因，可得，，故得， 即“，且”是“”的必要条件. 综上可得，“，且”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 10. 已知是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，若，，则双曲线的离心率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件，利用余弦定理能够求出，再由双曲线定义可以推导出，从而求出该双曲线的离心率． 【详解】设，又，， 中，由余弦定理有， 即，解得， 则，， 由双曲线定义， 解得．∴双曲线的离心率． 故答案为：． 11. 如图，在空间四边形中，是的重心，若，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】结合是的重心，根据向量的线性运算，代入即可得出． 【详解】D为AB中点，连接OD，CD，有， 是的重心，则G在CD上，且， 即，则有， 所以， 可得，则有. 故答案为：1 12. 已知抛物线，是坐标原点，是焦点，是抛物线上的点，使得是直角三角形，则这样的点共有________个. 【答案】2 【解析】 【分析】依题意对的三个内角是否能为直角进行分类讨论，显然不可能是直角；过点作垂直于轴的直线可得时点共有2个；利用向量数量积可证明不可能是直角，可得结论. 【详解】分以下三种情况进行讨论， 第一种：根据题意，是抛物线上的点，显然不可能是直角， 因此的直角不可能在原点处. 第二种：当，即直角顶点在焦点时，过点做垂直于轴的直线交抛物线于点，此时满足题意的点共有2个； 第三种：当时，易知焦点，设抛物线上的点； 可得， 所以， 因此此时不成立； 综上所述，满足题意的点共有2个. 故答案为：2 13. 已知椭圆，直线，则直线与椭圆的公共点有_______个. 【答案】2 【解析】 【分析】由直线过定点且定点在椭圆内，可得直线与椭圆 C 的公共点有两个． 【详解】直线 过定点 , ，即定点在椭圆内， 则直线 与椭圆 C 的公共点有两个. 故答案为：2. 14. 函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数的值为_____________________. 【答案】2011 【解析】 【分析】依题意，作出函数的图象，由方程有三个不同的实数根转化成函数图象与直线有三个不同的交点即得. 【详解】 当时，由化简可得，， 它表示椭圆在轴（含轴）上方的部分图象，如图所示； 当时，由化简可得，， 它表示双曲线在轴（含轴）上方的部分图形，如图所示. 则方程恰有三个不同的实数根，即函数的图象与直线由三个不同的交点，由图知. 故答案为：2011. 15. 已知点，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则的最小值为__________________. 【答案】3 【解析】 【分析】先确定点的轨迹为抛物线，再结合抛物线的定义即可求解. 【详解】设点，则）根据点是的外心,， 而，则 所以 从而得到点的轨迹为，焦点为 由抛物线的定义可知， 因为，， 即，当点P在线段BF上时等号成立. 所以的最小值为3， 故答案为：3 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 16. 已知命题“方程表示焦点在轴上的椭圆”，命题“方程表示双曲线”. （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若是真命题，求实数的取值范围； （3）若“”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）（2）根据题意可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）将（1）（2）中的取值范围取并集，即可得解. 【小问1详解】 解：若是真命题，则方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，，解得. 【小问2详解】 解：若是真命题，即方程表示双曲线， 所以，，即，解得或. 【小问3详解】 解：若“”是真命题，则、中至少一个为真命题， 因为或或， 所以，的取值范围是或. 17. 已知平面上的三点P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)． (1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程； (2)设点P、F1、F2关于直线y＝x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，求出a，b．最后写出椭圆标准方程． （Ⅱ）根据三个已知点的坐标，求出关于直线y=x的对称点分别为点，设出所求双曲线标准方程，代入求解即可． 【详解】解：（1）由题意焦点在x轴上，可设所求椭圆的标准方程为 （a＞b＞0）， 其半焦距c=6， ∴，b2=a2﹣c2=9． 所以所求椭圆的标准方程为 （2）点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0） 关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）． 设所求双曲线的标准方程为 由题意知，半焦距 c1=6， ， b12=c12﹣a12=36﹣20=16． 所以所求双曲线的标准方程为． 【点睛】本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力．属于中档题． 18. 已知是椭圆的左右焦点，点是椭圆上的动点， （1）若椭圆的离心率为，且的最大值为，求椭圆的方程； （2）若为等腰直角三角形，求椭圆的离心率. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据离心率可得，设根据数量积公式可用表示，再根据在椭圆上转化为关于x的方程，根据x的范围，可得范围． （2）分三种情况应用椭圆定义及直角三角形关系计算离心率. 【小问1详解】 ，． 椭圆的方程为； 设， ， , 在椭圆上， ． ， ， 当，故, 椭圆的方程． 【小问2详解】 因为为等腰直角三角形， 当 因为 所以， 当， 因为,所以， 当， 因为,所以. 19. 已知抛物线，直线过点且与抛物线交于两点，直线分别与抛物线的准线交于. （1）若点是抛物线上任意一点，点在直线上的射影为，求证：； （2）求证：为定值； （3）求的最小值. 【答案】（1）证明：点是抛物线上任意一点， 设,， 抛物线的准线方程为． 点在直线上的射影为， ， ，， ． （2）证明：由题设知直线的斜率一定存在，设， 由，得， 设,，则，， ， ,，,， ． 故为定值． （3） 【解析】 【分析】（1）设,，可得，结合两点间距离公式求，即可分析证明； （2）设，,，联立方程可得韦达定理，结合数量积的坐标可得为定值； （3）根据题意求得，，整理可得，由此能求出的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为,，， 直线，直线， ，都在直线上， ，， ， 当时，取最小值． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用. 20. 已知抛物线，直线与抛物线交于两点. （1）若，求弦的长； （2）若、、是抛物线上的三点，且直线的斜率成等差数列，求证：成等差数列； （3）在抛物线上是否存在一个定点，使得直线的斜率互为相反数，若存在，求出点；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）8 （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）将代入并联立抛物线方程再利用韦达定理以及焦点弦公式即可得出结果； （2）根据题意利用直线的斜率成等差数列即可得，得出结论； （3）假设存在点满足题意，利用斜率之间的关系整理并结合韦达定理可得符合题意. 【小问1详解】 当时，直线，不妨设， 易知抛物线的焦点坐标为在直线上， 联立直线与抛物线方程整理可得， 由韦达定理可得， 因此可得，即弦的长为8. 【小问2详解】 根据题意可得互不相等， 所以的斜率分别为； 由等差数列性质可得，即； 又、、是抛物线上的三点，所以， 分别整理可得； 所以可得， 因此，所以， 即，可得成等差数列 【小问3详解】 假设存在一个定点，使得直线的斜率互为相反数； 直线的斜率分别为， 所以，可得， 即； 又联立抛物线与直线消去可得， 所以，因此解得，； 此时点的坐标为； 即存在一个定点，使得直线的斜率互为相反数. 21. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆交于，且. （1）若，求直线的方程； （2）试用表示点的横坐标，并求出的最大值； （3）若点是点关于轴的对称点，求证：. 【答案】（1） （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，利用，可得坐标之间的关系，再利用点在椭圆上，求得点的坐标，即可求得直线的方程； （2）利用可得坐标之间的关系，再利用点在椭圆上，求得点的坐标，当且仅当在长轴上时，最大，即可求解； （3）用坐标表示向量，即可证得结论． 【小问1详解】 设， 因为， 所以， 所以， 又 解得， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为：. 【小问2详解】 设因为， 所以， 所以， 又解得：， 当且仅当在长轴上时，最大，此时， 即， 所以最大值为. 【小问3详解】 证明：由（2）知，， 所以 由（2）有，， 所以，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $