精品解析：重庆市凤鸣山中学教育集团2022-2023学年九年级上学期期中消化作业数学试题

重庆市凤鸣山中学教育集团 2022—2023 学年度 数学 半期消化作业 考试说明： 1．考试时间：120 分钟；2．试题总分 150 分；3．试卷页数 8 页 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色 2B 铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线y = ax2+ bx + c(a ≠ 0)的顶点坐标为 (-， ) ，对称轴为 x =-． 一、选择题：(本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分)在每个小题的下面，都给出了代号 为 A ，B ，C ，D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是某电动车厂家某款电动车在去年 5 月到 12 月期间销量y(台)随月份 t (月)变化的图象，则销量最低的月份是 （ ） A. 5 月 B. 7 月 C. 9 月 D. 12 月 5. 如图，将以点为位似中心放大后得到，若，且周长为，则的周长是 （ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，是真命题的是 （ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 一组邻边相等的平行四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是正方形 D. 对边相等的平行四边形是菱形 7. 估计 的值在 （ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 8. 电影《流浪地球2》于2023年1月22日在中国大陆上映，某城市第一天的票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房约8亿元．若把增长率记作x，根据题意，可列出的方程是（ ） A. B. C D. 9. 对于二次函数的性质描述正确的是 （ ） A. 该函数图象开口朝下 B. 该函数图象的对称轴在y 轴右侧 C. 当时，y 随 x 的增大而减小 D. 该函数图象与y 轴的交点位于y 轴正半轴 10. 如图，矩形中，，，点E为的中点，点G为上一点，连结、交于点 F，连结，当 时，线段的长度是 （ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 11. 已知关x的分式方程 的解为整数，且关于y 的不等式组有且只有三个整数解，则符合条件的整数 m 的和为 （ ） A B. C. D. 12. 已知多项式，多项式． ①若多项式是完全平方式，则； ②； ③若，，则； ④若，则．以上结论正确的个数为 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：(本大题 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13. 计算： _____________ ． 14. 有四张正面分别标有数字， ， ， 的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为一个正数的概率是 _____________ ． 15. 如图，菱形，对角线与交于点O，于点E，F为线段上一点，若，则线段的长度为______________ 16. 中国的元旦，距今已有 3000 多年的历史，“元旦 ”一词 最早出现于《晋书》．“元旦节 ”前夕，某超市分别以每袋 30元、20 元、10 元的价格购进腊排骨、腊香肠、腊肉各若干，由于该食品均是真空包装，只能成袋出售，每袋的售价分别为 50 元、40 元、20 元，元旦节当天卖出三种年货若干袋，元月2日腊排骨卖出的数量是第一天腊排骨卖出数量的 3 倍，腊香肠卖出的数量是第一天腊香肠卖出数量的 2 倍，腊肉卖出的数量是第一天腊肉卖出数量的4倍；元月3日卖出的腊排骨的数量是这三天卖出腊排骨的总数量的 ，卖出腊香肠的数量是前两天卖出腊香肠数量和的，卖出腊肉的数量是第二天卖出腊肉数量的一半．若第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元，则这三天销售的腊排骨和腊肉两种年货的利润之比为_____________ ． 三、解答题：(本大题 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分)解答时每小题必须给出必要的演算过 程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） ； （2）． 18. 如图，在平行四边形中，交于点E ． （1）用尺规完成以下基本作图：过点A作的垂线交于点F，连结交于点O．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在（1）所作的图中，求证：．请将下列证明过程补充完整： ∵四边形是平行四边形， ∴， ①， ∴． ∵，② ， ∴． 在和中， ∴ ∴③ ． ∵四边形是平行四边形， ∴ ④． ∴， ∴． 四、解答题：(本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分)解答时每小题必须给出必要的演算 过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线) ，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 中国共产党第二十次全国人民代表大会于 2022 年 10 月 16 日在北京胜利召开． 重庆市凤 鸣山中学初中部为进一步加强学生对二十大报告的了解，学校组织八、九年级的所有学 生一起开展了知识竞赛．现分别从两个年级各随机抽取 40 名同学的知识竞赛成绩，并将 数据进行分析整理（竞赛成绩用 x 表示：A．， B．， C．， D．)．下面给出部分信息： 八年级 C 等中全部学生的成绩为：86 ，87 ，83 ，88 ，84 ，88 ，86 ，89 ，89 ，85 ． 九年级 D 等中全部学生的成绩为：100 ，100 ，98 ，100 ，100 ，98 ，98 ，98 ，92 ，98 ． 八年级抽取的学生知识竞赛成绩扇形统计图 八、九年级抽取的学生知识竞赛成绩统计表 平均数 中位数 众数 满分率 八年级 86 b 100 九年级 86 88 98 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ， ． （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级知识竞赛，哪个年级的成绩更好?请说明理由．（写出一条理由即可） （3）八年级抽出的 40 名同学的知识竞赛成绩中，A等生的平均成绩为55分，B 等生的平均成绩为73 分，请你算出八年级 A 、B 两组学生的平均成绩． 20. 一次函数 与反比例函数 相交于、B 两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象； （2）点C在反比例函数图象上且纵坐标为，连结，，求的面积； （3）根据图象，当时，请直接写出 x的取值范围． 21. 四川省会理县是全国有名的石榴之乡， 由于石榴味道酸甜可口，具有保护血管、调节血 压等功效，所以深受人们喜爱．今年月，小张为了在网上开辟营销市场，在网上售卖了 两种类型的石榴：一种是豪华装大型果实（简称“大果”），一种是豪华装超大型果实（简称“帝王果”）． （1）网友小红花了元买了箱大果和箱帝王果，小华花了元买了箱大果和箱帝王果，每箱大果和帝王果的售价分别是多少？ （2）在（1）的条件下，正常情况平均每天可销售箱大果，箱帝王果，为了减少库 存，小张决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降价元，大果的 销售每天可增加箱，帝王果的售价和销量不变，如果小张每天销售总额为元，每箱大果的售价应该降低多少？ 22. 随着南海局势的升级，中国政府决定在黄岩岛填海造陆，修建机场，设立雷达塔．某日， 在雷达塔 A 处侦测到东北方向上的点 B 处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域，且以 30 海里/时的速度往正南方向航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，这艘渔船行驶了 1 小时 10 分到达点 A 南偏东方向的 C 处，与此同时我方立即通知（通知时间忽略不 计）与 A 、C 在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截，其中海警船位于与 A 相距 100 海里的 D 处． （1）求的距离和点 D 到直线的距离； （2）若海警船航行速度为 40 海里/时，可侦测半径为 25 海里，当海警船航行 1 小时时，否可以侦测到菲律宾渔船，为什么？（参考数据： ， ， ） 23. 阅读材料，回答问题： 任意一个四位数 n 可以看作由前两位数字和后两位数字组成，交换这两个两位数得到一个新的四位数 m ，记，若的值为非正整数，则称 n 为“凤中数”．如 ，则，，因为为负整数，所以 1234 是“凤中数”． （1）请判断：1111、5025 是否为“凤中数 ”，并说明理由； （2）若，（，，a、b 均为整数），当是一个完全平方数时（完全平方数：能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数）， 求满足条件 s 的最大值，并直接判断 s 最大时是否为“凤中数”． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，交 y 轴于点 C．一次函数与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 P 作 轴交 于点 M，求出 的最大值及相应的点 P 的坐标； （3）将抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线 交于 R 点，点 H 是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在 N 点，使得以点 A、 R、H、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 在 和中，，，将 绕着点 A 旋转． （1）如图 1 ，当点 D 在线段 上，且 ，，求 的正切值； （2）如图 2， 与 交于点 N，连结 ，， 的延长线与 的延长线交于点 F， ，M 为 延长线上一点，当 时，连结 ，求证：； （3）如图 3 ，当 时，点 M，F 分别是边 ， 的中点，连结 ，N 为 的中 点，连结 ，当 恰好经过点 F 时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市凤鸣山中学教育集团 2022—2023 学年度 数学 半期消化作业 考试说明： 1．考试时间：120 分钟；2．试题总分 150 分；3．试卷页数 8 页 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色 2B 铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线y = ax2+ bx + c(a ≠ 0)的顶点坐标为 (-， ) ，对称轴为 x =-． 一、选择题：(本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分)在每个小题的下面，都给出了代号 为 A ，B ，C ，D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查绝对值的求解，解题的关键是熟知绝对值的性质． 根据绝对值的定义即可求解． 【详解】解：的绝对值是3． 故选：A． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，解答本题的关键是掌握：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用合并同类项，完全平方差公式、幂的乘方、同底数幂的除法来计算即可． 【详解】解：A，不能合并同类项，故选项错误，不符合题意； B，，故选项错误，不符合题意； C，，故选项正确，符合题意； D，，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方差公式、幂的乘方、同底数幂的除法，解题的关键是：熟练掌握合并同类项，完全平方差公式、幂的乘方、同底数幂的除法的基本运算法则． 4. 如图，是某电动车厂家某款电动车在去年 5 月到 12 月期间销量y(台)随月份 t (月)变化的图象，则销量最低的月份是 （ ） A. 5 月 B. 7 月 C. 9 月 D. 12 月 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图像中获取信息，观察图像可知各月份的销量可得答案． 【详解】解：观察图像可知，7月份的销售量是80台，9月份的销售量是110台，其它月份的销售量在两者之间，所以销售量最低的月份是7月． 故选：B． 5. 如图，将以点为位似中心放大后得到，若，且的周长为，则的周长是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，相似三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．． 根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵的周长为， ∴的周长为， 故选：C． 6. 下列命题中，是真命题的是 （ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 一组邻边相等的平行四边形是矩形 C. 对角线相等平行四边形是正方形 D. 对边相等的平行四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法是解题关键．利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项是正确的； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项是错误的； C、对角线垂直、相等的平行四边形是正方形，故该选项是错误的； D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项是错误的； 故选：A 7. 估计 的值在 （ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算与无理数的估算，先根据分式的混合运算法则计算，得出结果，再根据无理数的估算即可得出取值范围． 【详解】解： ， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 8. 电影《流浪地球2》于2023年1月22日在中国大陆上映，某城市第一天的票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房约8亿元．若把增长率记作x，根据题意，可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若把增长率记作，根据第三天的票房约8亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：若把增长率记作， 依题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 对于二次函数的性质描述正确的是 （ ） A. 该函数图象开口朝下 B. 该函数图象的对称轴在y 轴右侧 C. 当时，y 随 x 的增大而减小 D. 该函数图象与y 轴的交点位于y 轴正半轴 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．根据二次函数图象与系数的关系判断． 【详解】A、，该函数图象开口朝上，故A不符合题意； B、对称轴为，该函数图象的对称轴在y 轴右侧，故B符合题意； C、对称轴为，当时，y 随 x 的增大而增大，故C不符合题意； D、时，即与y轴交点为原点，故D不符合题意； 故选：B． 10. 如图，矩形中，，，点E为的中点，点G为上一点，连结、交于点 F，连结，当 时，线段的长度是 （ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质及勾股定理得出，，，利用之间三角形斜边上的中线性质得出，，结合图形，根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，，点E为的中点， ∴，，，， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定以及性质，直角三角形的性质，以及勾股定理，掌握这些性质与定理是解题的关键. 11. 已知关x的分式方程 的解为整数，且关于y 的不等式组有且只有三个整数解，则符合条件的整数 m 的和为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况和不等式组解集的情况求参数，熟知解分式方程和解不等式组的方法是解题的关键．先解分式方程得到，再解不等式组得到，再根据分式方程的解为整数，不等式组的整数解只有三个进行求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组只有三个整数解， ∴， ∴， ∵关于x的分式方程的解为整数，即为整数， ∴m必须为偶数， ∴、， 又∵，即， ∴、 ∴符合题意的m的和为， 故选∶C． 12. 已知多项式，多项式． ①若多项式完全平方式，则； ②； ③若，，则； ④若，则．以上结论正确的个数为 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方式的变形，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 通过对完全平方式变形一一计算判断即可． 【详解】解：①若多项式是完全平方式， 则= ， ∴ ，或， 故①错误； ② = = = ∵， ∴ ∴， 故②正确； ③，， = = = 由②可知，， ∴， 故③错误； ④∵， ∴ = = ， 故④正确； 综上②④正确， 故选：B． 二、填空题：(本大题 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13. 计算： _____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值和零指数幂的运算，先计算特殊角的三角函数值以及零指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：； 故答案：． 14. 有四张正面分别标有数字， ， ， 的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为一个正数的概率是 _____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的数字之积为正数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】列表如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字之积为正数的结果有4种， ∴抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是， 故答案为：． 15. 如图，菱形，对角线与交于点O，于点E，F为线段上一点，若，则线段的长度为______________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等积法，熟练掌握菱形的性质和勾股定理的应用是解题的关键． 由四边形是菱形，可得，在中，由勾股定理得：，由等积法可得，在中，由勾股定理得：，，可得 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， 在中， 由勾股定理得：， ∵， ∴ 故答案为：2． 16. 中国的元旦，距今已有 3000 多年的历史，“元旦 ”一词 最早出现于《晋书》．“元旦节 ”前夕，某超市分别以每袋 30元、20 元、10 元的价格购进腊排骨、腊香肠、腊肉各若干，由于该食品均是真空包装，只能成袋出售，每袋的售价分别为 50 元、40 元、20 元，元旦节当天卖出三种年货若干袋，元月2日腊排骨卖出的数量是第一天腊排骨卖出数量的 3 倍，腊香肠卖出的数量是第一天腊香肠卖出数量的 2 倍，腊肉卖出的数量是第一天腊肉卖出数量的4倍；元月3日卖出的腊排骨的数量是这三天卖出腊排骨的总数量的 ，卖出腊香肠的数量是前两天卖出腊香肠数量和的，卖出腊肉的数量是第二天卖出腊肉数量的一半．若第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元，则这三天销售的腊排骨和腊肉两种年货的利润之比为_____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】设元旦节当天三种年货腊排骨、腊香肠、腊肉的数量分别是、、袋，则元月2日的数量分别为，，袋，元月3日为，，袋，根据“第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元”建立方程组，化简得到，可求出，，的值，进而利用利润（售价成本）数量即可求解．本题考查了销售中的利润问题，灵活运用方程思想，本题通过设设元旦节当天三种年货的数量分别是、、，根据题意算出元月2日，元月3日的销售量，得出方程组是解题关键． 【详解】解：设元旦节当天三种年货腊排骨、腊香肠、腊肉的数量分别是、、袋、、均为正整数）， 由题意可得， ， 整理得， 解得， ∴ ∵、、均为正整数， ∴的个位数是或5 ∴的个位数是5或 ∵ ∴时，，不合题意，舍去； 时，，； 时，，不合题意，舍去； 则，，， 腊排骨利润为：（元） 腊肉利润为：（元）， ∴ 故答案为： 三、解答题：(本大题 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分)解答时每小题必须给出必要的演算过 程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算： （1）计算完全平方公式，单项式乘以多项式，再合并同类项即可； （2）通分计算括号内，再进行约分化简即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式 18. 如图，在平行四边形中，交于点E ． （1）用尺规完成以下基本作图：过点A作的垂线交于点F，连结交于点O．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在（1）所作的图中，求证：．请将下列证明过程补充完整： ∵四边形是平行四边形， ∴， ①， ∴． ∵，② ， ∴． 在和中， ∴ ∴③ ． ∵四边形是平行四边形， ∴ ④． ∴， ∴． 【答案】（1）作图见详解 （2），，，． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—基本作图，作垂线，也考查了全等三角形的判定、平行四边形的性质． （1）过点A作的垂线交于点 F，连结交于点O即可． （2）根据已知条件依次写出相应的解答过程即可． 【小问1详解】 解：根据题意，作图如下，以及点O即为所求． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴ ∵，， ∴． 在和中， ∴ ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴ ． ∴， ∴． 故答案为：，，，． 四、解答题：(本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分)解答时每小题必须给出必要的演算 过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线) ，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 中国共产党第二十次全国人民代表大会于 2022 年 10 月 16 日在北京胜利召开． 重庆市凤 鸣山中学初中部为进一步加强学生对二十大报告的了解，学校组织八、九年级的所有学 生一起开展了知识竞赛．现分别从两个年级各随机抽取 40 名同学的知识竞赛成绩，并将 数据进行分析整理（竞赛成绩用 x 表示：A．， B．， C．， D．)．下面给出部分信息： 八年级 C 等中全部学生的成绩为：86 ，87 ，83 ，88 ，84 ，88 ，86 ，89 ，89 ，85 ． 九年级 D 等中全部学生的成绩为：100 ，100 ，98 ，100 ，100 ，98 ，98 ，98 ，92 ，98 ． 八年级抽取的学生知识竞赛成绩扇形统计图 八、九年级抽取的学生知识竞赛成绩统计表 平均数 中位数 众数 满分率 八年级 86 b 100 九年级 86 88 98 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ， ． （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级知识竞赛，哪个年级的成绩更好?请说明理由．（写出一条理由即可） （3）八年级抽出的 40 名同学的知识竞赛成绩中，A等生的平均成绩为55分，B 等生的平均成绩为73 分，请你算出八年级 A 、B 两组学生的平均成绩． 【答案】（1）；；； （2）八年级的成绩更好，理由见解析 （3）67分 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，中位数，平均数： （1）根据扇形统计图中所有项目的占比之和为 1可以求出a，用C的人数除以其参与调查的人数即可求出B，用360乘以C的人数占比即可求出n；再根据中位数的定义求出b即可； （2）根据表格中的数据言之有理即可； （3）先求出八年级A等生和B等生的人数，再求出A等生和B等生的总分，再除以A等生和B等生的总人数即可得到答案. 【小问1详解】 解：由题意得，，，， ∴，； 把八年级40名学生的成绩按照从低到高排列，处在第20和第21的数据分别为88，89， ∴； 【小问2详解】 解：八年级的成绩更好，理由如下： 两个年级的平均数相同，但是八年级的中位数，众数和优秀率均高于九年级的， ∴八年级的成绩更好； 【小问3详解】 解：八年级A等生有人，B等生有人， 分， ∴八年级 A 、B 两组学生的平均成绩为67分。 20. 一次函数 与反比例函数 相交于、B 两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象； （2）点C在反比例函数图象上且纵坐标为，连结，，求的面积； （3）根据图象，当时，请直接写出 x的取值范围． 【答案】（1），，一次函数的图象见详解． （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，反比例函数与几何等知识. （1）用待定系数法分别求出一次函数的解析式以及反比例函数的解析式，再求出两函数的交点B的坐标，即可根据描点画出一次函数的图象． （2）先求出点C的坐标，作轴交点E，再求出点E的坐标，然后利用网格求出三角形面积即可． （3）根据函数图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：把代入， 即， 解得：， ∴一次函数的解析式为：， 把代入， 即， ∴反比例函数的解析式为：． 联立两个解析式 解得：，， ∴， 一次函数的图象如下： 【小问2详解】 ∵点C在反比例函数图象上且纵坐标为， ∴， ∴， 如下图，作轴交点E， ∴， ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 根据图象，当时，则或． 21. 四川省会理县是全国有名的石榴之乡， 由于石榴味道酸甜可口，具有保护血管、调节血 压等功效，所以深受人们喜爱．今年月，小张为了在网上开辟营销市场，在网上售卖了 两种类型的石榴：一种是豪华装大型果实（简称“大果”），一种是豪华装超大型果实（简称“帝王果”）． （1）网友小红花了元买了箱大果和箱帝王果，小华花了元买了箱大果和箱帝王果，每箱大果和帝王果的售价分别是多少？ （2）在（1）的条件下，正常情况平均每天可销售箱大果，箱帝王果，为了减少库 存，小张决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降价元，大果的 销售每天可增加箱，帝王果的售价和销量不变，如果小张每天销售总额为元，每箱大果的售价应该降低多少？ 【答案】（1）每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元 （2）小张每天销售总额为元时，每箱大果的售价应该降低元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． （1）设每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元，根据“元买了箱大果和箱帝王果；元买了箱大果和箱帝王果”列出二元一次方程组求解即可； （2）设每箱大果的售价应该降低元，根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元， 根据题意得，， 解得， 答：每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元． 【小问2详解】 解：设每箱大果的售价应该降低元， 根据题意得， 即： 解得：，（舍） ∴， 答：小张每天销售总额为元时，每箱大果的售价应该降低元． 22. 随着南海局势的升级，中国政府决定在黄岩岛填海造陆，修建机场，设立雷达塔．某日， 在雷达塔 A 处侦测到东北方向上的点 B 处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域，且以 30 海里/时的速度往正南方向航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，这艘渔船行驶了 1 小时 10 分到达点 A 南偏东方向的 C 处，与此同时我方立即通知（通知时间忽略不 计）与 A 、C 在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截，其中海警船位于与 A 相距 100 海里的 D 处． （1）求距离和点 D 到直线的距离； （2）若海警船航行速度为 40 海里/时，可侦测半径为 25 海里，当海警船航行 1 小时时，是否可以侦测到菲律宾渔船，为什么？（参考数据： ， ， ） 【答案】（1）的距离为25海里，点D到直线的距离为60海里 （2）可以侦测到菲律宾渔船，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用： （1）作于E，于F，根据方向角和锐角三角函数的定义求出，求出，根据题意求出，根据正弦的定义求出； （2）设1小时后，海警船到达点，菲律宾渔船到达点，分别求出的长，勾股定理求出的长，判断即可． 【小问1详解】 解：作于E，于F， 由题意得，，设海里， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：的距离为25海里，点D到直线的距离为60海里； 【小问2详解】 能，理由如下： 设1小时后，海警船到达点，菲律宾渔船到达点，则，， 由（1）知， ∴，， 由勾股定理，得： 故可以侦测到菲律宾渔船． 23. 阅读材料，回答问题： 任意一个四位数 n 可以看作由前两位数字和后两位数字组成，交换这两个两位数得到一个新的四位数 m ，记，若的值为非正整数，则称 n 为“凤中数”．如 ，则，，因为为负整数，所以 1234 是“凤中数”． （1）请判断：1111、5025 是否为“凤中数 ”，并说明理由； （2）若，（，，a、b 均为整数），当是一个完全平方数时（完全平方数：能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数）， 求满足条件 s 的最大值，并直接判断 s 最大时是否为“凤中数”． 【答案】（1）1111是，5025 否，理由见详解 （2）s的最大值，是“凤中数” 【解析】 【分析】本题考查新定义下整式加减和解一元一次方程，利用新定义整式为平方数构造方程是解题关键． （1）根据给定的定义计算即可； （2）由定义计算可得=，结合是一个完全平方数，满足条件s的最大值只要最大即可，并利用给定的运算验证是否为“凤中数”即可． 【小问1详解】 解：，因为0为非正整数，所以1111是“凤中数” ，因为25为正整数，所以 5025不是“凤中数” 【小问2详解】 解： =， ∵，，a、b均为整数，且是一个完全平方数， 当为平方数，则可能为， 当为平方数，则可能为， 当为平方数，则可能为1，4，9，16， 当为平方数，则可能为1，4，9， 当； 满足条件s的最大值只要最大即可， ∴， 满足条件s的最大值． ， 因为为非正整数，所以1235是“凤中数”． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，交 y 轴于点 C．一次函数与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 P 作 轴交 于点 M，求出 的最大值及相应的点 P 的坐标； （3）将抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线 交于 R 点，点 H 是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在 N 点，使得以点 A、 R、H、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）取得最大值9，点 （3）点N的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据题意将点坐标代入求解即可； （2）根据题意求得一次函数解析式，即可判定为等腰直角三角形，得到为等腰直角三角形，则，设点，则点，有化简得到二次函数求最值即可； （3）根据题意可知抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位，得到新的抛物线为，即可得到点，即可设点H的坐标为，设点N的坐标为，可知A，R两点在对称轴两侧，若以为矩形的边，过A，R两点作的垂线与对称轴的交点即H点，H点在直线上面时当A点平移至R点时，H点平移至N点，H点在直线下面时当A点平移至R点时，N点平移至H点，根据平移性质和矩形对角线相等建立方程组求出N点坐标；若以为矩形的对角线，则线段的中点坐标和线段的中点坐标重合且，由此建立方程组求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线交 x 轴于、两点， ∴，解得， 则抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：∵一次函数过点， ∴，解得， 则一次函数解析式， ∴点， ∴， 则为等腰直角三角形， ∵轴，且设与x轴交于点H，如图， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点，则点， ∴ ， 当时，取得最大值9，点； 【小问3详解】 解：∵抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线， ∴抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位， ∴新的抛物线为， 联立得，解得， 则点， 由原抛物线的表达式知，其对称轴为直线，故设点H的坐标为，设点N的坐标为， ①当是边时， 点A向右平移3个单位向下平移3个单位得到点R， 则点向右平移3个单位向下平移3个单位得到点，且， 即或， 解得：或 故点N的坐标为或； ②当是对角线时， 由中点坐标公式和得： ，解得或， 故点N的坐标为或． 综上，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理解直角三角形，二次函数的性质，矩形的性质和坐标的平移；根据平移特征和矩形性质列出方程组是解题关键． 25. 在 和中，，，将 绕着点 A 旋转． （1）如图 1 ，当点 D 在线段 上，且 ，，求 的正切值； （2）如图 2， 与 交于点 N，连结 ，， 的延长线与 的延长线交于点 F， ，M 为 延长线上一点，当 时，连结 ，求证：； （3）如图 3 ，当 时，点 M，F 分别是边 ， 的中点，连结 ，N 为 的中 点，连结 ，当 恰好经过点 F 时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】连接，可证明，有和，结合已知可知，在中即可求得正切值； 延长到S，使，连接，由（1）可得：，可判定四边形是平行四边形，则，有可证明，则，利用线段和差即可； 设与相交于点G，连接，，，，，作交的延长线于点H，于点I，则，且，利用等腰三角形的性质得，结合中点证明，有和，进一步判定是的中位线，则，且，根据四点共圆得到，结合三线合一可证得，设，则，那么，，利用勾股定理和和差关系即可求得对应各线段长即可． 【小问1详解】 解：连接，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，，， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2，延长到S，使，连接， 由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 则 【小问3详解】 解：设与相交于点G，连接，，，，，作交的延长线于点H，于点I，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵F为中点，M为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵N为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∴，， ∴为直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】这是一道几何综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、平平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理、等腰三角形三线合一和勾股定理等知识点，熟悉“手拉手”模型和截长补短法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$