精品解析：江苏省南京田家炳高级中学2024-2025学年高三上学期期初模拟考试数学试卷

2025届南京田家炳期初模拟考试 数 学 2024．08 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先化简，再根据虚部概念得解. 【详解】.故虚部为1. 故选：D. 2. 的二项展开式中的系数为（ ） A. 15 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为3，求出，从而可求得结果. 【详解】解：的通项公式为：， 令，可得， 所以二项展开式中的系数：． 故选：B． 3. 已知为单位向量，且则夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，得到，将等式展开由平面向量数量积的定义即可得到答案. 【详解】设的夹角为，因为，为单位向量， 所以，所以. 故选：B. 4. 已知 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角正余弦公式化简,再根据平方关系求得结果. 【详解】 故选：A 【点睛】本题考查二倍角正余弦公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 5. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可. 【详解】[方法一]：【最优解】无序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为. [方法二]：有序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况， 其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为. 故选：C. 【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解； 方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出； 6. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 7. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 8. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 10. 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（    ） A. 当时， B. 函数有2个零点 C. 的解集为 D. ，，都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，则，利用函数的奇偶性即可判断A；可看出，1，0都是的零点，即可判断B；直接解不等式可判断C；根据导数符号可判断的单调性，根据单调性即可求出的值域，即可判断D. 【详解】是定义在R上的奇函数，设，则， 则，所以，故A正确； 因为，，又，所以有3个零点，故B错误； 当时，由，得，得， 当时，由，得，得； 所以的解集为，故C正确； 当时，， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 所以时，取的最小值为，且时，， 所以，即， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以时，取最大值为，且时，， 所以，所以， 所以的值域为， 所以，，都有，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 13. 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 14. 若数列满足，（），则______. 【答案】3268 【解析】 【分析】由数列递推式可得到，和已知等式作差得，利用累加法即可求得答案. 【详解】由题意可得，作差得， 故 ， 故答案为：3268 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【小问1详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 16. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【小问1详解】 当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 , 所以 故 所以 ， . 17. 如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，，. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明，结合，先证明平面，得到，再证明，最后证明线面垂直； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算平面的法向量及，利用向量法求线面角. 【小问1详解】 证明：作的中点，连接， 因为是正三角形，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，因为∥，所以， 又平面，所以平面； 【小问2详解】 以为坐标原点, 所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，则， 设与平面所成角为，则. 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，． （1）求椭圆的方程； （2）不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标． 【答案】（1） ； （2）设直线的方程为，，． 直线不过点，因此． 由 ，得， 时，，， ∴ ， 由，可得，即， 故的方程为，恒过定点． 【解析】 【分析】（1）写出的坐标，求出向量坐标，根据向量的关系即可列出方程组，求得和椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，，．联立直线与椭圆方程， 根据韦达定理得到根与系数的关系，求出，根据即可求得和 的关系，即可证明直线过定点并求出该定点． 【小问1详解】 由题意知，，，， ∵，， ∴，解得，从而， ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 略． 19. 已知函数． （1）当，求曲线在点处的切线方程． （2）若在上单调递增，求a的取值范围； （3）若的最小值为1，求a． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求出切线方程； （2）参变分离，构造，求导，得到其最小值，求出a的取值范围； （3）注意到，多次求导得到，从而分，，与，结合函数单调性，极值和最值情况，求出答案 【小问1详解】 ， ， 所以曲线在点处的切线方程， 即． 【小问2详解】 因为在区间上恒成立， 所以， 令，则， 令，则， 当时，单调递增，， 所以，所以在上单调递增， 故， 所以． 【小问3详解】 ， 令，则， 令，则， 当时，， 则，， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 在上单调递增，且， 所以，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 所以． 所以适合， 当时，当时，， 在上单调递减，， 在上单调递减， 因为，所以在上单调递减， 此时，舍去． 当时，当时，， 在上单调递减，， 在上单调递增，，舍去； 当时，当时，在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增， 此时，，舍去． 综上，． 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法： 一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届南京田家炳期初模拟考试 数 学 2024．08 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 2. 的二项展开式中的系数为（ ） A. 15 B. 6 C. D. 3. 已知为单位向量，且则夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知 则（ ） A. B. C. D. 5. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 10. 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（    ） A. 当时， B. 函数有2个零点 C. 的解集为 D. ，，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 13. 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 14. 若数列满足，（），则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 16. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，，. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 18. 在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，． （1）求椭圆的方程； （2）不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标． 19. 已知函数． （1）当，求曲线在点处的切线方程． （2）若在上单调递增，求a的取值范围； （3）若的最小值为1，求a． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $