精品解析：安徽省阜阳市临泉县第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

临泉一中2024—2025学年高二年级开学考 一、单选题（本大题共8题，每小题5分，共计40分） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（ ）. A. B. C. D. 3. 若两个向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3，则二次函数的单调递减区间为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线a，b与平面，，，下面能使成立的条件是（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ， 7. 已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ） A. 中位数不变 B. 若，则数据的第75百分位数为7.5 C. 平均数不变 D. 方差变小 8. 已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时， C. 若，，则 D. 平行六面体的体积 二、多选题（本大题共3题，每小题5分，共计15分） 9. 下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（ ） A. B. 复数的共轭复数的虚部为2 C. 若复数满足，则的最大值为2 D. 若是关于的方程的一个根，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数是偶函数 D. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象 11. 如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（ ） A. 当点为中点时，平面 B. 当点为中点时，直线与直线所成角的余弦值为 C. 当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D. 点到直线距离的最小值为 三、填空题（本大题共3题，每小题5分，共计15分） 12. 在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是______ 13. 已知，，则最大值为________. 14. 已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则下列命题正确的有______． ①直线与所成角的正切值为 ②三棱柱外接球的半径为 ③平面截正方体所得截面为等腰梯形 ④点到平面的距离为 四、解答题 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，求外接圆的面积. 16. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数，单位：分）的频率分布直方图如图所示． （1）求这次测试数学成绩的众数； （2）求这次测试数学成绩的中位数． （3）延伸探究：若本例的条件不变，求数学成绩的平均分． （4）若本例条件不变，求80分以下的学生人数． 17. 在如图所示的几何体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）证明：； （2）记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临泉一中2024—2025学年高二年级开学考 一、单选题（本大题共8题，每小题5分，共计40分） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据模长公式求解. 【详解】由可得，所以， 故选：C 2. 已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合之间的包含关系求解即可. 【详解】， ∵，∴， 当时，有，解得， 当时，有，解得， 当时，有，方程组无解， 当时，有，方程组无解， 综上所述，实数的取值集合为. 故选：C. 3. 若两个向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积公式求出，然后由数量积定义可得夹角； 【详解】因为， ， ， 设与的夹角为，则， 又，所以. 故选：B. 4. 已知二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3，则二次函数的单调递减区间为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求得对称轴，再由开口方向求解. 【详解】解：因为二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3， 所以其对称轴方程为：， 又， 所以二次函数的单调递减区间为， 故选：A 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，再由对数函数性质和根式与指数式的互化分别得出和即可得解. 【详解】由题， 又由是增函数可知，， ∴， 故选：B. 6. 已知直线a，b与平面，，，下面能使成立的条件是（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，若，则可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，A错误； 对于B，若，由线面垂直判定定理可知，与不一定垂直， 因此相交，不一定垂直，B错误； 对于C，若，则可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，C错误； 对于D，由，得存在过直线与平面相交的平面，令交线为，则， 又，于是，因此，D正确. 故选：D 7. 已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ） A. 中位数不变 B. 若，则数据的第75百分位数为7.5 C. 平均数不变 D. 方差变小 【答案】B 【解析】 【分析】利用中位数、百分位数、平均数和方差的定义分析计算即可. 【详解】原来的中位数与现在的中位数均为，故中位数不变，故A正确； 当时，数据按从小到大顺序排列：. 因为，所以该组数据的第75百分位数是第8个数8，故B错误； 由于，故,,,,, 原来的平均数为， 去掉后的平均数为，平均数不变，故C正确； 原来的方差为， 去掉后的方差为， 方差变小，故D正确. 故选：B. 8. 已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时， C. 若，，则 D. 平行六面体的体积 【答案】C 【解析】 【分析】A.根据三角形的面积公式，结合新定义公式，即可判断；B.结合新定义和数量积公式，即可判断；B.根据条件求，即可判断；D.根据新定义和数量积的几何意义，即可判断. 【详解】对于A，，而，故，正确； 对于B，，当时，有意义，则，正确； 对于C，因为，，所以，，所以，错误； 对于D，的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知， 就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确． 故选：C 二、多选题（本大题共3题，每小题5分，共计15分） 9. 下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（ ） A. B. 复数的共轭复数的虚部为2 C. 若复数满足，则的最大值为2 D. 若是关于的方程的一个根，则 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，，故；B选项，根据共轭复数的定义得到B正确；C选项，求出的轨迹为圆，圆上的点到原点的距离最大值为2，C正确；D选项，得到为方程的另一个根，根据韦达定理得到D错误. 【详解】A选项，，而，A错误； B选项，复数的共轭复数为，故虚部为2，B正确； C选项，若复数满足，则的轨迹为复平面内，以为圆心，1为半径的圆， 此圆上的点到原点的距离，最大值为2，即到原点距离， 故的最大值为2，C正确； D选项，若是关于的方程的一个根，为方程另一个根， 故，D不正确. 故选：BC 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数是偶函数 D. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合函数图象依次求出,再根据选项，分别运用代入检验对称性，利用奇偶性定义判断函数奇偶性，利用伸缩变换得到新函数逐一判断即得. 【详解】由图可得，，，解得，故A正确； 又函数图象经过点，则，即， 因，故，解得，故. 对于B，当时，，此时函数取得最小值，故B正确； 对于C，，是奇函数，故C错误； 对于D，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍， 将得到函数的图象，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（ ） A. 当点为中点时，平面 B. 当点为中点时，直线与直线所成角的余弦值为 C. 当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D. 点到直线距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间向量求出向量夹角余弦判断B；利用三棱锥体积公式判断C；利用空间向量求出点到直线的距离最小值判断D. 【详解】在长方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 对于A，，，，， ，即， 而平面，因此平面，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，由选项A知，点到平面的距离为，而的面积， 因此三棱锥的体积是定值，C正确； 对于D，，则点到直线的距离 ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3题，每小题5分，共计15分） 12. 在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是______ 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设与异面直线和都垂直的向量为， 则，令，则， 又，故异面直线和间的距离是， 故答案为： 13. 已知，，则最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的夹角公式可得，即可结合基本不等式求解最值. 【详解】由题意可得：， 当时，则， 因为，则，当且仅当，即时等号成立， 所以； 当时，； 综上所述：的最大值为， 故答案为：. 14. 已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则下列命题正确的有______． ①直线与所成角的正切值为 ②三棱柱外接球的半径为 ③平面截正方体所得截面为等腰梯形 ④点到平面的距离为 【答案】①②④ 【解析】 【分析】借助等角定理可得直线与所成角与直线与所成角相等，计算出可判断①；由三棱柱外接球与正方体外接球相同，故计算正方体体对角线的一半可判断②；借助平行线的性质可作出该截面，计算边长可判断③：借助等体积法计算可判断④. 【详解】对于①：由，故直线与所成角与直线与所成角相等， 连接，可得，又， 平面，平面，所以， 故，故①正确； 对于②：三棱柱外接球与正方体外接球相同， 故其外接球半径为，故②正确； 对于③：如图：取中点，连接，过点作， 交于点，则，所以平面截正方体所得截面为梯形， 由，所以， 所以，，所以， 所以梯形不是等腰梯形，故③错误； 对于④：如图：设点到平面的距离为，则， 而， ， 所以，故④正确. 故答案为：①②④. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，求外接圆的面积. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得. （2）由（1）求出，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圆半径即得. 【小问1详解】 依题意，， 所以函数的最小正周期； 由，得， 所以函数的单调递增区间是. 【小问2详解】 由（1）知，，而，则， 由，得，解得， 由余弦定理得， 则外接圆的半径， 所以外接圆的面积为. 16. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数，单位：分）的频率分布直方图如图所示． （1）求这次测试数学成绩的众数； （2）求这次测试数学成绩的中位数． （3）延伸探究：若本例的条件不变，求数学成绩的平均分． （4）若本例条件不变，求80分以下的学生人数． 【答案】（1）75分 （2）73.3分 （3）72分 （4）56 【解析】 【分析】（1）根据众数的知识求得正确答案. （2）根据中位数的知识求得正确答案. （3）根据平均数的知识求得正确答案. （4）根据频率分布直方图来求得正确答案. 【小问1详解】 由题图知，众数为分. 【小问2详解】 设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，， 因此中位数位于第四个矩形内，则，解得分． 故这次测试数学成绩的中位数约为分． 【小问3详解】 数学成绩的平均分为分. 【小问4详解】 因为分的频率为， 所以分以下的学生人数为． 17. 在如图所示的几何体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，结合面面垂直可得平面，利用面面垂直的判定定理即可证明； （2）先求解点到平面的距离，再求解的面积，利用锥体的体积公式即可求解. 【小问1详解】 解：∵，∴， ∵平面平面，且平面平面， 平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面. 【小问2详解】 取的中点，连接，∵，∴， ∵平面平面，∴平面， ∵，平面，平面， ∴平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 即点到平面的距离为的长. ∵，，∴， ∴，从而， ∵四边形为平行四边形，， ∴，， ∴， ∴. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）证明：； （2）记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状． 【答案】（1）证明：因为，由正弦定理得，， 整理可得，， 又， 于是，即， 因为，所以， 所以或（舍去）， 所以； （2）直角三角形. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理计算即可； （2）利用正弦定理及（1）的结论证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据等面积法可知，即， 由，可得， 又由及正弦定理可得，， 解得， 由于，所以， 所以，所以是直角三角形. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理的值，再由勾股定理可得，根据面面垂直的性质定理即可证明线面垂直； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解面APB与面PBC的法向量，从而可得面面夹角的余弦值，利用平方公式得正弦值； （3）设，确定的坐标，利用空间向量线面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以四边形为矩形， 在中，，，， 则， 所以，则， 且平面平面，平面，平面平面， 所以平面； 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，可得，则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，取， 设平面的法向量为，， 由，取， ， 又由图可知二面角是钝角， 所以二面角的正弦值为； 【小问3详解】 设，则， 又平面的法向量为， 直线与平面所成的角的正弦值为，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $