精品解析：广东省河源市紫金县佑文中学2024-2025学年高二上学期开学摸底考试数学试题

紫金县佑文中学2024-2025学年第一学期高二级开学摸底考试（数学） 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，然后由补集运算可得. 【详解】解不等式，得或，所以， 所以. 故选：A 2. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数化简，再根据模长公式计算. 【详解】因为, 所以. 故选：C. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分性与必要性的定义，结合对数函数性质可得结果. 【详解】利用对数函数性质可知：， 则，即，故必要性成立； ，当不全大于0时，或无意义， 故不能推出，故充分性不成立， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B． 4. 已知，用，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量减法，将用表示，然后整理可得. 【详解】因为， 所以，整理得. 故选：C 5. 设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】对ABD举出反例即可，对C根据线面垂直的性质即可判断. 【详解】对A，若，，则或与异面，故A错误； 对B，若，，则与可能相交、平行或，故B错误； 对C，若，，则，又因为，则，故C正确； 对D，若，，，当 都与的交线平行时，满足题设条件，此时，故D错误. 故选：C. 6. 在中，内角所对的边分别为，若，则的形状一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理将化为，然后化简可得答案. 【详解】， 由余弦定理可得，则， 则，所以为直角三角形. 故选：A. 7. 已知且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 8. 已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平移知识得出是奇函数，进而由单调性画出函数，的简图，结合图像解不等式即可. 【详解】因为函数关于点对称，所以函数关于点对称，是奇函数， 则等价于. 函数简图如下图所示： 由平移变换可知，函数的简图如下图所示： 等价于或. 由图可知，的解集为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的内角，，的对边分别为，，，且，，，则下列命题成立的是（ ） A. B. C. 最大内角是最小内角的2倍 D. 为直角三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】A中，由正弦定理可得A选项的真假；B，D中，由，，的三边的关系，可得该三角形为直角三角形，判断出B，D的真假；C中，由B选项分析，可得，而，判断出C的真假． 【详解】解：A．由正弦定理可得，所以正确，符合题意； B，D中，因为，所以该三角形为直角三角形，，角的余弦值不能比，所以B不正确，D正确； C中，由B选项的分析，可得最大内角为，最小内角为A，因为与不相等，所以角不为，所以C不正确； 故选：AD． 10. 某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则（ ） A. 两人均获得满分的概率 B. 两人至少一人获得满分的概率 C. 两人恰好只有甲获得满分的概率 D. 两人至多一人获得满分的概率 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式逐一求解即得. 【详解】设“甲获得满分”， “乙获得满分”，则, 对于A，“两人均获得满分”可表示为,因两人能否获得满分相互独立， 故, 即A正确； 对于B，因“两人至少一人获得满分”的对立事件为 “两人都没获得满分”, 则“两人至少一人获得满分”的概率为：，故B错误； 对于C，“两人恰好只有甲获得满分”可表示为，其概率为：，故C正确； 对于D，因“两人至多一人获得满分”的对立事件为“两人都获得满分”， 则“两人至多一人获得满分”为：,故D正确. 故选：ACD . 11. 如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 平面与平面的夹角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A由线面平行的判定定理可证；选项B由线面垂直可证线线垂直；选项CD可由空间向量法可得. 【详解】选项A： 如图连接交于，连接， 由题意可知为的中点，又为的中点，故， 又平面，平面，故平面，故A正确； 选项B：由题意为等边三角形，为的中点， 故, 又棱柱为直三棱柱，故， 又，平面，平面， 故平面，又平面，故，故B正确； 选项C： 如图建立空间直角坐标系，则，，， 因，故， 所以，， 设异面直线与所成角为，则 故C错误； 选项D：由题意平面的一个法向量为， ，，， 设平面的法向量为，则 ，即，设，则，， 故， 设平面与平面的夹角为，则， 故， 故，故D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用对表达式化简为并代入，即可得到结果， 【详解】. 故答案为：. 13. 若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是______. 【答案】-1 【解析】 【分析】转化为在上有解，即，配方后得到，从而求出，实数可取的最小整数值. 【详解】命题“，”为真命题， 则在上有解， 只需 ，故当时，取得最小值， ， 所以，故实数可取的最小整数值为-1. 故答案为：-1 14. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67°、30°，此时气球的高是46m，河流的宽度约等于___________m. （参考数据：，，，，） 【答案】60 【解析】 【分析】先作辅助线，过点作垂直于的延长线于点，先解求出，再在中利用正弦定理即可求. 【详解】 如图，过点作垂直于的延长线于点， 在中，，， 所以， 在中，，，， 由正弦定理可得： 可得：， 所以河流的宽度约等于， 故答案为：. 四、解答题 15. 设的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求B； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，即可得结果； （2）利用余弦定理可得，再结合面积公式运算求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 且，则，可得，即， 且，所以. 【小问2详解】 由余弦定理可得：， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以的面积. 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式． （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）单调增区间为，单调减区间为 【解析】 【分析】（1）由图象可得，由周期公式可得，代入点计算可得值，进而可得函数的解析式； （2）根据正弦函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 由图可知，， 所以，所以， 所以， 又，所以， 所以，则， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 令，，得， 令，，得， 所以函数的单调增区间为， 单调减区间为. 17. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，分别为的中点，点在上，且. （1）求证：//平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】试题分析： （1）利用三角形的中位线的性质，证明， 利用线面平行的判定定理证明； （2）利用等腰三角形三线合一证明，利用平面与平面垂直的性质证明，利用线面垂直的判定定理证明． 试题解析： （1）E，F分别为的中点， , 又， . （2），D为AB的中点， ， 又,, ， 又, ， 而， 又， . 考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 18. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1）； （2）84； （3）总平均数是62，总方差是37． 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1列式即可得解. （2）根据频率分布直方图先明确样本成绩的所在的范围，再结合已知数据即可求解. （3）先分别求出成绩落在和内的人数，再根据平均数定义和分层随机抽样的方差公式即可求解. 【小问1详解】 由频率之和为1得， 解得． 【小问2详解】 因为成绩落在内的频率为 落在内的频率为 所以样本成绩的落在范围内， 设为m，则，解得， 故为84. 【小问3详解】 由图可知，成绩在内的市民人数为， 成绩在内的市民人数为， 故． ， 所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37． 19. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果； （2），对，与分类讨论，可分别求得其解集 （3），通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围． 【小问1详解】 根据题意，当，即时，，不合题意；  当，即时， 的解集为R，即的解集为R， 即，故时，或. 故 ． 【小问2详解】 ，即， 即， 当，即时，解集为； 当，即时，， ， 解集为或； 当，即时，， ， 解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为或. 【小问3详解】 ，即， 恒成立， ， 设则， ， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 当时，， ． 【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 紫金县佑文中学2024-2025学年第一学期高二级开学摸底考试（数学） 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，用，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 在中，内角所对的边分别为，若，则的形状一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 7. 已知且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 8. 已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的内角，，的对边分别为，，，且，，，则下列命题成立的是（ ） A. B. C. 最大内角是最小内角的2倍 D. 为直角三角形 10. 某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则（ ） A. 两人均获得满分的概率 B. 两人至少一人获得满分的概率 C. 两人恰好只有甲获得满分的概率 D. 两人至多一人获得满分的概率 11. 如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 平面与平面的夹角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________. 13. 若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是______. 14. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67°、30°，此时气球的高是46m，河流的宽度约等于___________m. （参考数据：，，，，） 四、解答题 15. 设的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求B； （2）若，求的面积. 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式． （2）求函数的单调区间． 17. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，分别为的中点，点在上，且. （1）求证：//平面； （2）求证：平面. 18. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 19. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $