拓展2-1 基本不等式求最值（七大题型）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第一册）

拓展2-1 基本不等式求最值 一、直接法求最值 五、消元法求最值 二、配凑法求最值 六、两次基本不等式求最值 三、商式求最值 七、对勾函数求最值 四、“1”的代换求最值 一、直接法求最值 方法点拨：①积，和和平方和三者之间的不等式关系： ②求最值时要求“一正、二定、三相等” 1．设且，则的最大值是（    ） A．400 B．100 C．40 D．20 2．已知函数，则取最小值时x的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．已知， 且， 则的最大值为 ． 4．已知，，且，则的最小值为 ． 5．若正数满足，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C． D． 二、配凑法求最值 方法点拨：将目标函数恒等变形或适当放缩,配凑出两个式子的和或积为定值.实质在于代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键. 6．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 7．已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 9．已知函数，当时，取得最小值，则 ； ． 10．已知，则的最大值为 ． 三、商式求最值 方法点拨：利用通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。 即化为恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值。 11．已知，则的最小值是 ． 12．函数的值域是 ． 13．已知，则函数的最小值是 ． 14．函数在上的最大值为 ． 15．求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 四、“1”的代换求最值 方法点拨：①根据已知条件或其变形确定定值(常数);②把确定的定值(常数)变形为1;③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;④利用基本不等式求解最值. 16．已知，，则的最小值为 . 17．若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 18．已知，则的最小值为 ． 19．若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 20．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 21．已知，，，求的最大值． 22．若实数，，且满足，则的最小值为 . 23．已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 五、消元法求最值 方法点拨：从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,然后转化为函数的最值求解，有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解注意所保留变量的取值范围 24．若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 25．已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 26．已知，且，则的最小值为 ． 27．若正数x，y满足，则的最小值是 . 28．已知，，且，则的最小值是 六、两次基本不等式求最值 方法点拨：注意两点:一是由基本不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致,即多次放大或者多次缩小,一般不可以既放大又缩小;二是多次使用基本不等式后要考虑等号成立的条件,只有多个等号能够同时成立时方可. 29．已知，则的最小值为 . 30．已知x，，求的最值． 甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法： 甲： 乙： 你认为甲、乙两人解法正确的是 ． 请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确． 31．设为正数，且. 证明： (1)； (2). 32．设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值． 七、等式有积有和求最值 方法点拨：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 33．若正实数x，y满足，则xy的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．若正数 满足，则 的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 35．已知，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 36．若，，且，则的最小值为 ． 37．已知，则的最大值为 ． 38．若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展2-1 基本不等式求最值 一、直接法求最值 五、消元法求最值 二、配凑法求最值 六、两次基本不等式求最值 三、商式求最值 七、对勾函数求最值 四、“1”的代换求最值 一、直接法求最值 方法点拨：①积，和和平方和三者之间的不等式关系： ②求最值时要求“一正、二定、三相等” 1．设且，则的最大值是（    ） A．400 B．100 C．40 D．20 【答案】A 【详解】因为 所以 即 所以 当且仅当且，即时等号成立. 故选：A 2．已知函数，则取最小值时x的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】根据题意由可知，所以； 利用基本不等式可得， 当且仅当时，即时，等号成立，此时取最小值2； 因此取最小值时x的取值为. 故选：B 3．已知， 且， 则的最大值为 ． 【答案】144 【详解】因为，由基本不等式得， 故，当且仅当时，等号成立． 故的最大值为 故答案为：144 4．已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】， 当时，即时，则，时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 5．若正数满足，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C． D． 【答案】C 【详解】解：因为， 所以， 当且仅当时取等号． 故选：C． 二、配凑法求最值 方法点拨：将目标函数恒等变形或适当放缩,配凑出两个式子的和或积为定值.实质在于代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键. 6．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 7．已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】实数， ， 当且仅当，即时等号成立， 函数的最小值为6. 故选：B. 8．已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为，，，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：A. 9．已知函数，当时，取得最小值，则 ； ． 【答案】 2 1 【详解】因为,所以, 所以， 当且仅当, 即时等号成立， 所以. 故答案为：. 10．已知，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】， 当且仅当， 即时等号成立， 故答案为：． 三、商式求最值 方法点拨：利用通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。 即化为恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值。 11．已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 12．函数的值域是 ． 【答案】 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 13．已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 14．函数在上的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故答案为： 15．求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）3；（2）；（3）10. 【详解】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取“=”） 即的最小值为3； （2）令，则在是单增， ∴当t=2时，y取最小值； 即y的最小值为 （3）令，则可化为： 当且仅当t=3时取“=” 即y的最小值为10 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 四、“1”的代换求最值 方法点拨：①根据已知条件或其变形确定定值(常数);②把确定的定值(常数)变形为1;③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;④利用基本不等式求解最值. 16．已知，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 17．若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，取得最小值， 故选：D． 18．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】， 因为，故， （当且仅当，即时取等号．） 则的最小值为, 故答案为： 19．若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【答案】A 【详解】根据题意可得； 当且仅当，即时，等号成立； 此时的最小值为9. 故选：A. 20．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号. 故选：C 21．已知，，，求的最大值． 【答案】 【详解】可以先求的最小值， 又， 当且仅当，即，时取“＝”， 因此，的最大值是． 22．若实数，，且满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】因为，所以， 又实数，，所以 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：. 23．已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 【答案】C 【详解】因为，则，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 五、消元法求最值 方法点拨：从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,然后转化为函数的最值求解，有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解注意所保留变量的取值范围 24．若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】由为正实数，且，得， 则， 当且仅当，即时，取最小值9. 故选：C. 25．已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 【答案】/0.75 【详解】由正数x，实数y满足，得， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 26．已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 因为，所以, 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 27．若正数x，y满足，则的最小值是 . 【答案】 【详解】正数x，y满足，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 28．已知，，且，则的最小值是 【答案】7 【详解】方法一：因为，故，解得， 故， 当且仅当 ，即，时等号成立． 方法二：因为，则，且，故， 故， 当且仅当 ，即，时等号成立． 故答案为：． 六、两次基本不等式求最值 方法点拨：注意两点:一是由基本不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致,即多次放大或者多次缩小,一般不可以既放大又缩小;二是多次使用基本不等式后要考虑等号成立的条件,只有多个等号能够同时成立时方可. 29．已知，则的最小值为 . 【答案】12 【详解】根据题意，由可得，所以利用基本不等式可得： 当且仅当，时取“=”，即，时“=”成立， 所以的最小值为12. 故答案为：12. 30．已知x，，求的最值． 甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法： 甲： 乙： 你认为甲、乙两人解法正确的是 ． 请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确． 【答案】①甲 ②见解析 【详解】解：①甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同； ②已知x，，求的最小值． 甲：， 乙：． 故答案为甲． 【点睛】利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误，属中档题． 31．设为正数，且. 证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由已知有，从而， 故， 当且仅当时等号成立. （2）方法一：由已知条件，结合基本不等式即可得到 . 方法二：等价于， 根据题设有 ， 当且仅当时等号成立. 32．设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】 【详解】因为，，所以，， 令，，则，，，， 所以 ， 当且仅当且且且，即， 即，时，等号成立， 又不等式恒成立，所以，即的最大值为. 七、等式有积有和求最值 方法点拨：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 33．若正实数x，y满足，则xy的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 由基本不等式得，即， 解得. 故选：D 34．若正数 满足，则 的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【详解】因为为正数，所以， 当且仅当时取等号，所以， 所以， 所以或（舍去）， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 35．已知，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】A 【详解】因为，，所以，所以由得， 解得，，当且仅当时等号成立， 所以有最小值，排除CD； 因为，，所以，所以，解得， 当且仅当时等号成立，所以有最小值，故A正确，B错误； 故选：A. 36．若，，且，则的最小值为 ． 【答案】6 【详解】由， 得，整理得， 当且仅当时等号成立. 则，故， 解得或（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为6. 故答案为：6 37．已知，则的最大值为 ． 【答案】2 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 即，解得， 所以的最大值为2. 故答案为：2 38．若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 【答案】1 【详解】由题意得，， 所以，即， 当且仅当时，等号成立， 令，则，方程， ，所以是方程的根， 所以. 故答案为：1 2 学科网（北京）股份有限公司 $$