精品解析：山东省德州市2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

高三数学试题 2024.9 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1—2页，第Ⅱ卷3—4页，共150分，测试时间120分钟 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第I卷选择题（共58分） 一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知一组数据（且）的回归直线方程为，若，则的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. 在各项均为正数的等比数列中，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈､摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 5. 已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 复数在复平面内对应的点为，且（为虚数单位）的实部为2，则（ ） A. 复数的虚部为 B. 复数对应的点在第一象限 C. 复数的模长为5 D. 若复数满足，则的最大值为 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.则（ ） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 直线与的图象所有交点的横坐标之和为 11. 设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 为奇函数 D. 方程仅有5个不同实数解 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则的值为__________. 13. 已知三棱锥，若两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为__________. 14. 编号为的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记表示前两个球号码的平均数，记表示三个球号码的平均数，则与之差的绝对值不超过0.2的概率是__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 在一次体育赛事的志愿者选拔面试工作中，随机抽取了200名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）利用该频率分布直方图，估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）从成绩在第四､五组的志愿者中，按分层抽样方法抽取10人，再从这10人中任选3人，在选出的3人来自不同组的情况下，求恰有2人来自第四组的概率. 16. 已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若对，都有成立，求实数的取值范围. 17. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，. （1）证明：平面平面； （2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值. 18. 已知双曲线焦点在轴上，离心率为，且过点，直线与双曲线交于两点，的斜率存在且不为0，直线与双曲线交于两点. （1）若的中点为，直线的斜率分别为为坐标原点，求； （2）若直线与直线的交点在直线上，且直线与直线的斜率和为0，证明：. 19. 若有穷数列满足：，若对任意的，与至少有一个是数列中的项，则称数列为数列. （1）判断数列是否为数列，并说明理由； （2）设数列为数列. ①求证：一定为中的项； ②求证：； （3）若数列为数列，且不是等差数列，求项数的所有可能取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试题 2024.9 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1—2页，第Ⅱ卷3—4页，共150分，测试时间120分钟 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第I卷选择题（共58分） 一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题先解不等式求出集合A和集合B的解集，然后根据集合的运算性质即可求出两个集合的交集. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以. 故选：A. 2. 已知一组数据（且）的回归直线方程为，若，则的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出样本中心点，代入求解出. 【详解】由于 ∴，. 将代入， ∴，解得：. 故选：C 3. 在各项均为正数的等比数列中，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，由等比数列的性质可知，再利用对数的运算性质可得，求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，且， 所以， 所以， 故选：C. 4. 为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈､摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】利用捆绑法进行求解. 【详解】舞蹈和摄影课进行捆绑，有种情况， 将舞蹈和摄影课看为一个整体，和剩余的3个活动，进行全排列，有种情况 故共有种方案. 故选：A 5. 已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用椭圆的几何性质列出方程，求得a的值，再结合充分、必要条件的判定方法，即可得出结果. 【详解】由椭圆C的方程可得， ①当时，可得，此时椭圆的离心率为， 由可得，，解得， 当时，可得，此时椭圆的离心率为， 由可得，，解得； ②当时，则椭圆C的方程为，则此时， 此时椭圆C的离心率为， 综上得，是椭圆C的离心率为的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【详解】将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为O，则底面，且在中，，由正弦定理得， 所以与平面所成角的正切值. 故选：C. 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用同角三角函数的关系得，再由可解得，再利用和差角的展开式可得，代入求值即可. 【详解】依题意， 又因为，则， 由得，， 又， ， 两式相加得，，即， 所以. 故选：B. 8. 已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过构造关系找到定点，将最值转化为求的最值，进而转化为最值，则点线距求解可得. 【详解】∵，∴. ∴P点轨迹是以点为圆心，为半径的圆，记为圆C， 设在x轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足， 则， 化简得， 又∵，代入得， 要使等式恒成立，则，即. ∴存在定点，使圆上任意一点P满足， 则， 当三点共线（位于两侧）时，等号成立. 又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离， 由到直线距离，则. 故. 如图，过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值. 故选：D. 【点睛】方法点睛：借助可以转化,最后把动点到定点的距离转化为到点到直线的距离，进而由几何性质求解最值. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 复数在复平面内对应的点为，且（为虚数单位）的实部为2，则（ ） A. 复数的虚部为 B. 复数对应的点在第一象限 C. 复数的模长为5 D. 若复数满足，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】本题根据复数z在复平面对应的点以及的实部为2，可计算出复数z，进一步计算其共轭复数，再根据复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】因为复数z在复平面对应的点为，所以， 所以， 所以，所以， 对A，复数z的虚部为，故选项A错误； 对B，复数，其对应的点为在第一象限，故选项B正确； 对C，复数z的模为，故选项C错误； 对D，设复数在复平面内对应的点分别为，则，， ，由复数的几何意义可知，分别在以原点为圆心， 以1，为半径的圆上运动，故，所以的最大值为，故选项D正确. 故选：BD. 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.则（ ） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 直线与的图象所有交点的横坐标之和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由图象可知函数中的值，利用周期可求得可判断A选项；利用图象中的点坐标可求出函数的表达式，进而可求得函数的表达式，结合三角函数的图象与性质可判断B、C选项；把代入函数的表达式建立方程，把区间内的的值求出来相加即可判断D选项. 【详解】由图象可知，，解得，，故A正确； 又因为，所以，则，， 又因为，所以， 所以函数的表达式为， 则将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 ， 对于B，令，，可得，， 所以函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，因为，所以的最大、最小值分别为和， 最小正周期为，当时，则、分别为函数的最大、最小值， 所以，故C错误； 对于D，令，得，或，， 解得，或，， 又因为，所以或或或， 所以直线与的图象所有交点的横坐标之和为，故D正确. 故选：ABD. 11. 设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 为奇函数 D. 方程仅有5个不同实数解 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抽象函数所满足的性质，可以推出的对称中心和对称轴，进一步求出其周期，再利用对称中心和对称轴将已知区间图象进行多次对称变换，可得函数的图象，再结合图象可逐项判断解决问题. 【详解】因为为奇函数，所以，根据图象变换，则关于点成中心对称， 又因为为偶函数，所以，根据图象变换，则关于直线成轴对称， 将函数的对称中心和对称轴进行多次变换可得到如图所示的图象， 由图象可知，函数是周期为8的周期函数，所以函数的对称轴为直线，对称中心为， 对A，，故选项A正确； 对B，当，由图象可知是单调递减的函数，故选B错误； 对C，由图象知，的图象的对称中心为点，当时，其对称中心为，又将函数往右平移5个单位可得，所以的对称中心为，所以为奇函数，故选项C正确； 对D，如图所示，因为，，，又两函数均过点，再根据图象，可知函数与函数有5个交点，故选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题求出的对称中心和对称轴，并求出其周期是关键，再利用对称中心和对称轴将已知区间图象进行多次对称变换，可得函数的图象，再利用数形结合即可结果. 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题根据向量平行的条件即可求出参数x的值. 【详解】因为， 所以， 解得. 故答案为：. 13. 已知三棱锥，若两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题根据题意以PA，PB，PC为棱构造长方体，长方体的对角线即为该三棱锥外接球的直径，计算即可得出结果. 【详解】在三棱锥中，因为PA，PB，PC两两垂直，且， 以PA，PB，PC为棱构造一个长方体， 则这个长方体的外接球就是三棱锥的外接球， 由题意可知，这个长方体的体对角线的中点是三棱锥的外接球的球心， 三棱锥的外接球半径为， 所以外接球的表面积为. 故答案为：. 14. 编号为的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记表示前两个球号码的平均数，记表示三个球号码的平均数，则与之差的绝对值不超过0.2的概率是__________. 【答案】##0.375 【解析】 【分析】根据排列知识可求基本事件的总数为64，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率. 【详解】因为放回的抽取小球，所以基本事件总数为， 设抽取的前两个球的号码为，第三个球的号码为， 根据题意有， 则， 整理得，即， 当时，，此时为，3种情况； 当时，，此时为，9种情况； 当时，，此时为，9种情况； 当时，，此时为，3种情况； 综上得，满足条件的共有，所以满足条件的概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据题意构造不等式，然后结合抽出的前两个球号码为正整数，再对第三个球号码进行分类讨论即可得出符合条件的的数量，再结合基本事件总数即可得出结果. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 在一次体育赛事的志愿者选拔面试工作中，随机抽取了200名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）利用该频率分布直方图，估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）从成绩在第四､五组的志愿者中，按分层抽样方法抽取10人，再从这10人中任选3人，在选出的3人来自不同组的情况下，求恰有2人来自第四组的概率. 【答案】（1）69.5 （2） 【解析】 【分析】（1）利用第三､四､五组的频率之和得到方程，求出，由第一组和第五组的频率相同，求出，从而利用平均数定义估计这200名候选者面试成绩的平均数； （2）根据分层抽样的定义得到抽得第四组志愿者和第五组志愿者人数，设出事件，利用条件概率的公式进行求解. 【小问1详解】 因为第三､四､五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即，解得 估计平均数为 【小问2详解】 成绩在第四､五两组的频率之比为， 按分层抽样抽得第四组志愿者人数为，第五组志愿者人数为， 记事件A为“选出三人来自不同组”，记事件为“恰有2人来自第四组”， 故， 其中，， . 所以已知选出的3人来自不同组的情况下，恰有2人来自第四组的概率为. 16. 已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若对，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，在和上单调递增，在上单调递减， （2）. 【解析】 【分析】（1）先求定义域，然后求导，计算导函数零点，然后分类讨论即可； （2）先将与代入不等式，然后参变分离，构造新函数，求出最值即可. 【小问1详解】 的定义域为， ①当时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； ②当时，， 恒成立，故在上单调递增； 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 【小问2详解】 对，都有成立， 即对恒成立， 等价于对. 令， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减. 则，可得. 综上，实数的取值范围是. 17. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，. （1）证明：平面平面； （2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 证明：在平面内，过做垂直于交于点， 由为等腰梯形，且，则 又，所以， 连接，由，可知且， 所以在三角形中，， 从而， 又平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面 （2） 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理及全等得出线线垂直，应用线面垂直判定定理得出平面，由平面进而得出面面垂直； （2）由面面垂直建立空间直角坐标系，分别求出法向量再应用向量夹角公式计算二面角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 所以， 由图可以看出二面角为锐角，故二面角的余弦值为. 18. 已知双曲线焦点在轴上，离心率为，且过点，直线与双曲线交于两点，的斜率存在且不为0，直线与双曲线交于两点. （1）若的中点为，直线的斜率分别为为坐标原点，求； （2）若直线与直线的交点在直线上，且直线与直线的斜率和为0，证明：. 【答案】（1）16 （2） 设，设直线的方程为， 联立， 化简得， ， 则， 故， ， 由，所以， 从而 ，即. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和，得到方程组，求出双曲线方程，利用点差法进行求解； （2）设，设直线的方程为，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式得到，得到，由，所以，从而，证明出结论. 【小问1详解】 设双曲线方程为， 则，解得， 所以， 设 因为两点都在双曲线上， 所以， 两式作差得， 整理得 则； 【小问2详解】 略 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 19. 若有穷数列满足：，若对任意的，与至少有一个是数列中的项，则称数列为数列. （1）判断数列是否为数列，并说明理由； （2）设数列为数列. ①求证：一定为中的项； ②求证：； （3）若数列为数列，且不是等差数列，求项数的所有可能取值. 【答案】（1） 数列不为数列， 因为和6均不是数列中的项， 所以数列不为数列. （2） ①记数列的各项组成的集合为，又， 由数列为数列，，所以，即，所以， 设，因为，所以，得证. ②因为， 则， 将上面的式子相加得：. 所以. （3）4 【解析】 【分析】（1）根据题干给出数列的定义进行判断即可；（2）①根据数列的定义证明；②根据数列结合累加法即可证明；（3）根据数列的定义结合数列不是等差数列，对参数k进行分类讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （i）当时，由（2）知，， 这与数列不是等差数列矛盾，不合题意. （ii）当时，存在数列，符合题意，故可取4， （答案不唯一，满足即可） （iii）当时，由（2）知，，① 当时，，所以. 又， ， 所以， 即. 由，得：， 所以，② 由①②两式相减得：， 这与数列不是等差数列矛盾，不合题意. 综上，满足题设的可能取值只有4. 【点睛】关键点点睛：本题严格按照题目给出的新数列数列的定义，结合累加法、等差数列的性质以及分类讨论思想可解决相关问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $