精品解析：江苏省扬州中学2024-2025学年高三上学期暑期检测数学试题

6学科网列组卷网 高三年级暑期检测 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1.已知集合4={x-16<0,B={r-4+3>0以，则4nB=（) A.（-4,0U(3,4) B（-4,4) c(-1,2U(3,4)D.(1,3) 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到 ,求出交集 【详解A={-16<0={-4<x<4号，B={x-4x+3>0}={x>3或x< 故AnB=(4,U3,4) 故选：A 3x2-1,x≤0 2.已知函数f(x)= 4x,x>0，若f(x)=8,则的值为（) A.±5 B.+W5欧2 c5或2 D.V3或2 【答案】C 【解析】 【分析】分x≤0与x>0两段讨论，分别建立方程求解x即可 【详解1①当x≤0时，由3x-1=8,解得x=±5 其中x=V5不清足题态，故x=V5 第1页/共23页 6学科网 命组卷网 ②当x>0时，由4x=8,解得x=2,满足x>0,故x=2: 综上所述，则*的值为V5或2 故选：C 3函数f(x)(cos-hy 2x+sinx在x∈[-元，0)U(0,π的图象大致为(） 元 【答案】D 【解析】 =π，1<x< 【分析】根据奇偶函数的对称性排除A,再根据 2对应的函数值符号排除BC即可求解。 【详解1f)=cos-n 2x+sinx,x∈[-元，O)U(0,,定义域关于原点对称， :f-对=oC-9h-cosn-f0网 -2x+sin(-x)2x+sinx fx)=（cos-)ng 2x+sinx是奇函数，排除A: 第2页/共23页 学科网 组卷网 f()=-l血π<0 当x=兀时， 2元 ，排除C; 当1<x< 2时，f(x)= (cosx)-In 2x+sinx中cosx>0,lnx>0,2x+sinx>0,故fx)>0,排除B. 故选：D 4.函数f()= (-a-5)x-2,x≥2 x+2(a-1)x-3a,x<2,若对任意x,5eR(x≠5)都有 fs)fs<0成立， X1-x2 则实数a的取值范围为() A.[4,- B.[-4,-2] c（-5,- D.[-5,4] 【答案】A 【解析】 【分析】根据慰意可知（冈是减函数，结合分段函数单调的条件求解. 【详解】因为对任意x,x2∈R(:≠x2),都有 f)上/色)<0收，所以了)是取的减商数， -X2 4+4(a-1)-3a≥2(-a-5)-2 则 -a-5<0 ,解得 1-a≥2 -4≤a≤-1 即实数a的取值范围为4，-刂 5.已知函数y=fx)的定义域为-1,4，则少=x+ Vx-1的定义域为() A.[-5,5] c.(（L,5] D.2 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域和具体函数定义域求法直接构造不等式求解即可： 第3页/共23页 命学科网命组卷网 【详解)“y=f()的定义域为[-l,4) :1s2x+1s4 x-1>0 海：1号 y=(2x+1) x-1 故选：B。 6命脸3r∈[，2]r+lnr-a≤0为假命题，则a的取值范围为(） A.（-∞，1) B.（-0,0) c（-o,ln2+2) D.（-o,ln2+4) 【答案】A 【解析】 【分折】根据存在量词伦题为假命题，等价转化为全称量词命腰为真命盟，即4<+山在L,2]上恒成 立，求f闭=r+血x在山，2]上的最小值即得 【详解】由思盒，。x∈l,2r+nx-a>0为真命题，即a<+l血x在，2]上恒成立， 令f四=+lhx,xe,2.则f=2x+0 x在山，2]上恒成立， 即f)=r+nx在，2上恒为增函数，则xm=f0=1,放a<1 故选：A 7已知函数f(四的定义减为R,且满足)=f(f()+(4-)=0,且当xe0,2时， f()=x-4,则f(101)=() A. 3 B.4 C.3 D.4 【答案】C 第4页/共23页 6学科网列组卷网 【解析】 【分析】根据愿日条件得到f四)=fx-8),故()的一个周期为8，从而得到 f10)=f(5)=-f()=-f(0,计算出f0=-3,得到答案 【详解】因为f(-)=f),所以f[-(4-刃]=f4-),即f(x-4)=f4-x) 又f)+f4-)=0,故f+f(x-4)=0,即f=-f(x-4)o, 用x-4代替x得fx-4)=-f(x-8)②， 由0@得x)=/(x-8),故f(x)的-个期为8， 故f(101)=f(8×12+5)=f(5)=-f)】 x∈0,2时，f=r-4.故f0=-4=-3 故f100=-f()=3 故选：C -2,若对任意x∈[1,2]，有fx)f(1+x)成立，则实数m的取值 范围是() A.（-0,0] B[-2,0] [别 【答案】B 【解析】 【分析】先根据导函数求出函数f()单调递减，结合函数是偶函数得出f(t)sf1+mx）,最后应用 第5页/共23页 命学科网命组卷网 x∈[山，2]结合函数的单调性求解即可 【1因务)-号1兰 m) 16)=1-c+e2-(e+e） 令(x)=x-e-e 2 2 因为ce≥2Nee2所以7)=，s0,r维送减 回-02-0040r0 因防动1"-1=为数 2 22 因为f(e)≤f(+mf(r)sf+m）,所以≥l+m叫， 当xeL,2]时，-r≤1+m≤，--1≤mx≤2-1-x-sm≤x- 〔xsm到- y=士x儿2单调递福 (x=-12 所以-2≤m≤0. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 第6页/共23页 6学科网列组卷网 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分. 9.下面命题正确的是() A“a<l是Va<l的充要条件 1 2<1， B.“a>1”是“a”的充分不必要条件 c.a0是ab≠0。 ”的必要不充分条件 D“x之2且y之2是t+少≥4的必要不充分条件 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，可举出反例，得到充分性不成立：B选项，证明出充分性成立，举出例子得到必要性不 成立，B正确；C选项，举出反例得到充分性不成立，再证明出必要性成立；D选项，证明出充分性成立， D错误. 【详解】A选项，设a=-1,满足a<1,但Va无意义，故充分性不成立，A错误： 1 -<1 B选项，当a>l时，a，充分性成立， 1∠ 当a=-l时，满足a,但不满足a>1,必要性不成立， 1∠ 故“a>1”是“a”的充分不必要条件，B正确： C选项，当a≠0且b=0时，此时ab=0,故充分性不成立， 当ab≠0时，解得a≠0且b≠0，故必要性成立， 故“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，C正确： 第7页/共23页 命学科网组卷网 D选项，x22且22时，r+y≥4， ,充分性成立，D错误 故选：BC 10.下列命题中正确的是（) x2+5 A√x2+4的最小值是2 1 X+- B.当x>1时，x-1的最小值是3 C.当0<x<10时， Vx(10-x)的最大值是5 2,1 =3 D.若正数x,y满足xy，则2x+y的最小值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 父+5=+4+1-+4+≥2小N2+4 【详解】A选项，√x2+4√x2+4 √x2+4 +4 =2① x2+4= 1 =,x2+3=0 但是 Vx2+4’ 无解，所以①等号不成立，所以A选项错误 B选项，当x>1时，x-1>0, x-1 %x-1=1 当且仅当-1Fx一x=2时等号成立，所以B选项正稀 C选项，当0<x<10时，10-x>0. 第8页/共23页 命学科网命组卷网 所以V(0-习s+10--5 2 =10-x,x=5 当且仅当 时等号成立，所以C选项正确 D选少是F数2+y-写2x+列径+ ++}5+2 2y_2x x y 当且仅当2+1=3 x=y=1时等号成立，所以D选项正确 x y 故选：BCD 11.已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于(1,2)中心对称，若 f-f4-刘-2-x,则《） 4 f4-5x)+f(5x-2）-1 B.f(2)+f(4)=4 cy=f(x+)2为奇函数 D.y=f(2+)+2x为偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析1A选项，根据中心对称为，2)，得到4-5)+5x-2)=4,A正确：B选项，变形得到 )+-22度馆得到B销误，c速照，根据函数的对称中心得到 4 f(-)-2=-[/(x+)-2],c正确：D选项，根据题日条件得到f(x+2)-(2-)=4x,变形 第9页/共23页 命学科网命组卷网 为f(x+2)+2x=f(2-)2x,D正确 【详解】A选项，f(的定义域为R,其图象关于（，2)中心对称， 故f(4-5x)+f(5x-2)=4, f4-5x+f5x-21,A0 f)-f4-=2-x】 B选项，由题意得f(4-x)+f(x-2)=4,又4 f(+f(x-2)4=2-x 故 4 令x=4得 ④+2)-4-2-4，即f(间+2)=-8+4=4，B辐碳： 4 c选项，由题意得f(1-+f(x+)=4,即f(1-)-2=-[f(x+1)-2] 令8(=f(x+)-2,则8(-)=-8(x), 所以y=f(x+1)-2为奇函数，C正确： D选项，因为 4-到2-，儿2B-到2-x-2- 4 4 即f(x+2)f(2-)=-4x,放f(x+2)+2x=f(2-x)-2x, 令h()=f(2+)+2x,则h)=h(-x), 故'=f2+)+2x为偶函数，D正确 故选：ACD, 【点睛】函数的对称性： a+b c 若f(x+a@+f(-x+b)=c,则函数f(x)关于2'2中心对称； 第10页/共23页 6学科网6组卷网 苏+网=+.天+-空4年 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12已知函物了四)a+2+1是偶函数.斑实数 【答案】2#0.5 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得f(一)=f(). 求出实数a,然后用偶函数定义验证，即可得出答案。 1 【详解]因为函数f四-a+2r中)是偶函数，所以f(-)=0, 解方程得=一2， 台非 2(2*+0 2(2*+1 所以f(x) x1-2*） 2(2*+1） 是偶函数，满足题意，所以a=-】 2 1 故答案为：2： 13.已知集合A={x|(Gx+x-四≤0时，B={x(x+3x+2x-)=0,若AnB≠⑦，则实数a的 第11页/共23页 6学科网命组卷网 取值范围为 【答案)（0，-2]U[儿，+o) 【解析】 A∩B≠☑ 【分析】根据条件 逐一讨论集合A,求出符合条件的“即可 【详解】由愿可得B={←-3，-2,1 当a=-时，A=号，则1nB= ，不满足条件； 当a<-1时，4={xa≤x≤-，要使AB≠⑦，则as-2, 当a>-1时，A=-l≤x≤a码，要使AnB≠⑦，则a≥1， 综上，实数0的取值范围为-0，-2U[,+∞) 故答案为：（0，-2]U[1,+∞) 14记。={红，2,3，…m(m∈N)A表示k个元素的有限集，S(D)表示非空数集B中所有元素的和，若 集合Mk=S(4)川A∈N},则M:=一，若S(M2)≥817，则m的最小值为一 {6,7,8,9} 【答案】 ①. ②.21 【解析】 【分析】第一空，根据集合新定义可写出的所有可能情况，即可求得答案；第二空，由题意求出 Mm.2={3,4,5,…,2m-1} ,利用等差数列的求和公式列不等式，结合解一元二次不等式求出的范围， 即可求得答案 【详解1当m=4k=3时，心=L23,4,4表示3个元素的有限集 由4≤可知4=机，2,3或4=孔，2,4或4=L3,4或4=2,34 第12页/供23页 命学科网命组卷网 故M=6,7,89y 由题意知 Mm2=3,4,5,…,2m-l1} 故由S(Mm2)≥817可得 2m-1-23+2m-≥817，郎（2m-3m+≥817. 2 2≥十6561三21成2≤二6561M (舍去)， 结合m∈N ，故m的最小值为21， {6,7,8,9} 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定义的含义，明确 其内容，进而结合解不等式，即可求解 四、解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤， 15.设集合A={-<2}.B={x<x<2m+1 (1)者1nB=0 ,求实数m的取值范围： (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)m≤1： 2)B,+o) 【解析】 【分析】(1)分B=和B≠)两种情况讨论即可： (2)由题得A是B的真子集，根据集合间的基本关系求解即可. 【小问1详解】 A={xx-5<2={x-2<x-5<2}={x3<x<7」 第13页/共23页 命学科网 命组卷网 当B=☑时，1≥2m+1,解得m≤0 m>0 当B≠⑦时，由AnB=0得：2m+1≤3，解得0<m≤1： 综上，m≤1； 【小问2详解】 3≥1 由题得，A是B的真子集，所以7≤2m+1,且等号不同时成立， 解得m之3， 所以实数m的取值范围为B,+∞) 16.随着A江技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用.某校在寒假里给学生推 荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业.开学时进行了入学测试，随机 抽取了100名学生统计得到如下列联表： 使用智能辅导系统 未使用智能辅导系统 合计 入学测试成绩优秀 20 20 40 入学测试成绩不优秀 40 20 60 合计 60 40 100 (1)判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关： (2)若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机 抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为X,求X的分布列及数学期望 E(X) K2= n(ad-be)2 附： (a+b)(c+d(a+c(b+d),其中n=a+b+c+d: P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 第14页/供23页 6学科网命组卷网 k 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)没有 (2)分布列为： 0 2 3 3 1 P 10 5 10 E(X)=5【解析】 4 【分析】(1)计算卡方后与3.841比较大小即可得： (2)借分层抽样的性质可得5人中成绩优秀的人数，再得出X的可能取值后计算相应的概率即可得其分 布列，即可得其期望 【小问1详解】 K2=100×(20×20-20×40)225 40×60×40×60 9 ≈2.778<3.841 小没有 5% 的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关： 【小问2详解】 5x40 =2 100,5-2=3,∴.5人中2人成绩优秀，3人成绩不优秀， X 012 的取值可能为、、， .分布列为： X 0 2 3 3 10 5 10 第15页/共23页 6学科网列组卷网 :E(X)=0×3t1x2+2x 3 14 10 5 105. -2"+b 1n.定义该为R的函数f()2+a是奇函数。 a,b (1)求实数的值： 2若布在120，食得+刘+/}0皮立. 求实数k的取值范围. 【答案】(1) a=2,b=1 (2)1<k<2 【解析】 【分析】(1)方法一：由奇函数性质列方程求解，并检验：方法二：由奇函数的性质得恒等式，进而求 解： 1+>k2-3k (2)利用奇函数、减函数的性质结合题意可得t 在t∈(-2,0)上有解，进一步可得 -2>k2-3k 由此即可得解。 【小问1详解】 -1+b=0 方法一：“f(x)是奇函数，f(0)=0,即2+a=0,解得b=1, -2+1-21+1 又由f()=-f(-知：4+a=-1+a,解得a=2. .-2222p+-0. -2*+1（-2+1)2-1+2 且()的定义域（全体实数）关于原点对称， 第16页供23页 6学科网列组卷网 所以f(女是奇函数. 故a=2,b=1 方法二：：（是奇函数。 小8484培2-0 (-2+b)(2+a-2）+(-1+b-2)2.2+a)=0 即(2b-)小-2+2(ab-2)-2+2h-a=0恒成立. a=0a=2J0 1ab-2=0…1b=1或1b=-1, a=-2 当8,1-的定义城为付x0合去 2号小o. 且f(冈)的定义域（全体实数）关于原点对称， 所以f(四)是奇函数。 故0=2，b=1 满足题意。 【小问2详解】 由1知)=21】 2州+222*+1， 则由复合函数单调性可知∫(0在R上为减函数。 第17页供23页 6学科网命组卷网 又足商两黄，南+刘+小0 +-f}- +3>R-,即1+-头在1e(20)上有鲜 e20+气》-2子=2取当子用1-时等号， +i在t∈(-2,0)上的最大值为-2， -2>2-3,即(k-(k-2)<01<k<2 PA=AB,E 18.在四棱 P-ABCD中，PA上平面MBCD,底面MBCD为正方形， 为线段PB的中点， F为线段BC上的动点，BF=ABC(0≤入≤) P D (1)证明：AE⊥PC: (2)求实数九的值，使得平面AEF与平面PDC所成角的余弦值最大. 【答案】(1) 证：明因为PA上平面ABCD.又BC,MBC平面ABCD,所PALBC,P1LAB ,又 ,所以 又因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB 第18页/供23页 6学科网命组卷网 又PA∩AB=A,PAC平面PAB,ABC平面PAB, 所以BC⊥平面PAB,又AEc平面PAB,所以BC⊥AE, 又PA=AB,PAL AB,.E, 为线段PB的中点，所以AE⊥PB 又PB∩BC=B,PBc平面PBC,BCc平面PBC, 所以AE⊥平面PBC,又PCC平面PBC, 所以AE⊥PC. 1 (2) 2 【解析】 【分析】(I)利用线面垂直PA⊥平面ABCD证明线线垂直PA⊥BC、线面垂直BC⊥平面PAB证明 线线垂直BC⊥AE,然后再利用线面垂直AE⊥平面PBC证明线线垂直AE⊥PC,即可得证： (2)建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，以及F(山，乙，0) 再求出两平面的法向量，利用公式求出余 弦值，然后借助换元结合基本不等式，求出最值即可得解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 AB,AD,AP x,y,Z 如图，分别以 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系 D为 第19页/供23页 命学科网命组卷网 不妨设PA=AB=AD=1, (.0).C(.).D(010).(0.o).0(.0.0) BF=BC(0≤元≤)，设F(xy2,BF=(x-l,yz),BC=(01,0), 则-l,y2)=(01,0),解得F(L元，0) 设半百r的法向能为=(，3小正-（30》F=,0) 则4E,n=0,AF.n=0 1.1 25+2=0 所以 +y=0，取。」 取以=小则5=，=-A即n=(么-1-刘 设平面PCD的法向量为”=(ab,c),DC=(,0,0),PD=(0,1-). DC·n2=a=0 则PD%=b-c=0令6=c=1故可取%=(0,1，) 设平面AEF与平面PDC所成角为a, 则cosa=cosn,n2 am-2+122+y-2,1 2+1 2 nn2 2W22+2V22+1=22 222+1 令1=21+ 15 cosa=v② 1 所 22 +191 -t+ 28t2 第20页/共23页 6学科网列组卷网 1,91、 1,9 3 因为7之22中，当组仅当28，即2时政等号， 一t+ -t= 3 1 所以当2时，即2=2 2时，(cosa)mx=V3 19.已知函数f(y=(nry-a(x-1,aeR (1)当a=1时，求f(的单调区间： （2)若x=1是()的极小值点，求a的取值范围。 【答案】1)f()的单调递减区间为(0，+o）,无增区间 (2)ae(-o,1) 【解析】 【分析】求导，构造函数8()=r-t+x,利用导数求解单调性即可求解， (2)求导，结合分类讨论求解函数的单调性，即可结合极值点的定义求解 【小问1详解】 当a=l.f-2-2e--2x-2+)】 设8)=mr-r+x,则8（国-士2x+1=-2+x-) 所以当x∈(0,1)时，名'(>0,8（单调递增。 当x∈(，+o)时，8'()<08（单调递减， 当x=1时，8（取得极大值8(0=0，所以8(）s8(0)=0】 所/()≤0，f(四的单调递减区间为0，+切），无增区间： 第21页/供23页 6学科网列组卷网 【小问2详解】 I()-2ms-2a(x-I)-2(l-ap+a) 设)=nr-ar+,则h(国2ar+a=-2a+a+1 1 x= (i当a<0时，二次函数F(x)=-2r+ar+l开口向上，对称轴为x=4 △=a2+8a 当8≤a<0时，△=d+8a≤0，F()≥0，h()单调递增， 因为h0)=0,所以当x∈(0,1)时，（✉）<0（单调递减。 当x∈(，+o)时，f()>0,/(✉单调递增，所以x=1是f)的极小值点 当a<-8时A2+80:日)包F0=1-0 商衣在4.袋科F6)-0.商当e.下>04问举 又0=0.所以当xe(,l)时，()0，f(四单调递减。 当x(,+切)时，f()>0,f()单调递增，所以x=1是f(的极小值点： 西当a=0时，f(y-2 ,当x∈(0，)时，f"()<0f()单调递减， 当xe（,+o)时，f(四>0，f()单调递增，所以x=1是f(四的极小值点： 1 x= (i)当0<a<1时，F()=-2ar2+m+l开口向下，对称轴为=4 △=a2+8a>0 此时F()=1-a>0,故3∈(L,+o),使F(x)=0 第22页/供23页 6学科网命组卷网 行).F闪>0回>0.因在（存网港路 又0=0，当合.<闪单酒建装 当xe(,x)时，f(四>0，f()单调递增，所以x=1为f()的极小值点： am当a1时.F0=1-aca或=.使F6)-0 当x∈(，to）时，F()<0,h(,<0,因此h()在(，+o)上单调递减， 又A0=0,当xe(,)时，f(>0,f(单调递增。 当x∈(，o)时，f(~)<0,()单调递减，所以x=1为f(x)的极大值点： (v)当a=1时，由(1)知x=1非极小值点. 综上所述， a∈(-o,1) 【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别， 往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调 性 第23页/共23页 高三年级暑期检测 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，若，则的值为（ ） A. B. 或2 C. 或2 D. 或 3. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 命题“”为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且满足，且当时，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 8. 已知函数，若对任意，有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分． 9. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “且”是“”的必要不充分条件 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 当时，的最小值是3 C. 当时，的最大值是5 D. 若正数满足，则的最小值为3 11. 已知函数 的定义域为R，其图象关于中心对称，若 ，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 为偶函数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是偶函数，则实数______． 13. 已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 14. 记表示k个元素的有限集，表示非空数集E中所有元素的和，若集合，则_____，若，则m的最小值为_____. 四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合．． （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用．某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业．开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表： 使用智能辅导系统 未使用智能辅导系统 合计 入学测试成绩优秀 20 20 40 入学测试成绩不优秀 40 20 60 合计 60 40 100 （1）判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关； （2）若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 17. 定义域为的函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 18. 在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，为线段上的动点，． （1）证明：； （2）求实数的值，使得平面与平面所成角的余弦值最大． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若是的极小值点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $