精品解析：江苏省扬州中学2024-2025学年高三上学期暑期检测数学试题

高三年级暑期检测 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到，求出交集. 【详解】，或， 故. 故选：A 2. 已知函数，若，则的值为（ ） A. B. 或2 C. 或2 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分 与两段讨论，分别建立方程求解即可. 【详解】①当 时，由，解得， 其中不满足题意，故； ②当时，由，解得 ，满足，故 ； 综上所述，则的值为或. 故选：C. 3. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶函数的对称性排除A，再根据对应的函数值符号排除BC即可求解. 【详解】， ，定义域关于原点对称， ， 是奇函数，排除A； 当时，，排除C； 当时，中，故，排除B. 故选：D 4. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是 上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域和具体函数定义域求法直接构造不等式求解即可. 【详解】的定义域为， ，解得：， 的定义域为. 故选：B. 6. 命题“”为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题为假命题，等价转化为全称量词命题为真命题，即在上恒成立，求在上的最小值即得. 【详解】由题意，“”为真命题，即在上恒成立， 令，，则在上恒成立， 即在上恒为增函数，则，故. 故选：A. 7. 已知函数的定义域为 ，且满足，且当时，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件得到，故的一个周期为8，从而得到，计算出，得到答案. 【详解】因为，所以，即， 又，故，即①， 用代替得②， 由①②得，故的一个周期为8， 故， 时，，故， 故. 故选：C 8. 已知函数，若对任意，有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据导函数求出函数单调递减，结合函数是偶函数得出，最后应用结合函数的单调性求解即可. 【详解】因为，所以, 令, 因为，所以单调递减， 单调递减， 因为，所以为偶函数， 因为，所以， 当时， 单调递增， 单调递增， 所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分． 9. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “ ”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “且”是“”的必要不充分条件 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，可举出反例，得到充分性不成立；B选项，证明出充分性成立，举出例子得到必要性不成立，B正确；C选项，举出反例得到充分性不成立，再证明出必要性成立；D选项，证明出充分性成立，D错误. 【详解】A选项，设 ，满足，但无意义，故充分性不成立，A错误； B选项，当 时，，充分性成立， 当 时，满足，但不满足 ，必要性不成立， 故“ ”是“”的充分不必要条件，B正确； C选项，当且时，此时 ，故充分性不成立， 当时，解得且，故必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件，C正确； D选项，且时，，充分性成立，D错误. 故选：BC 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 当时，的最小值是3 C. 当时，的最大值是5 D. 若正数满足，则的最小值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，①， 但是无解，所以①等号不成立，所以A选项错误. B选项，当时，， ， 当且仅当时等号成立，所以B选项正确. C选项，当时，， 所以， 当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项，是正数， ， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：BCD 11. 已知函数 的定义域为R，其图象关于中心对称，若 ，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 为偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据中心对称为，得到，A正确；B选项，变形得到，赋值得到B错误；C选项，根据函数的对称中心得到，C正确；D选项，根据题目条件得到，变形为，D正确. 【详解】A选项，的定义域为R，其图象关于中心对称， 故，故，A正确； B选项，由题意得，又， 故， 令 得，即，B错误； C选项，由题意得，即， 令，则， 所以为奇函数，C正确； D选项，因为，所以， 即，故， 令，则， 故为偶函数，D正确. 故选：ACD. 【点睛】函数的对称性： 若，则函数关于中心对称； 若，则函数关于对称； 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是偶函数，则实数______． 【答案】## 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得，求出实数，然后用偶函数定义验证，即可得出答案. 【详解】因为函数是偶函数，所以， 即，解方程得， 所以， 又， 所以是偶函数，满足题意，所以. 故答案为：. 13. 已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，逐一讨论集合，求出符合条件的即可. 【详解】由题可得， 当 时，，则，不满足条件； 当时，，要使，则， 当时，，要使，则， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 14. 记表示k个元素的有限集，表示非空数集E中所有元素的和，若集合，则_____，若，则m的最小值为_____. 【答案】 ①. ②. 21 【解析】 【分析】第一空，根据集合新定义可写出的所有可能情况，即可求得答案；第二空，由题意求出，利用等差数列的求和公式列不等式，结合解一元二次不等式求出m的范围，即可求得答案. 【详解】当时，表示3个元素的有限集， 由可知或或或， 故； 由题意知， 故由可得，即， 解得或（舍去）， 结合，故m的最小值为21， 故答案为：；21 【点睛】关键点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定义的含义，明确其内容，进而结合解不等式，即可求解. 四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合．． （1）若，求实数的取值范围； （2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）分和 两种情况讨论即可； （2）由题得A是B的真子集，根据集合间的基本关系求解即可. 【小问1详解】 ， 当时，，解得 当 时，由得：，解得； 综上，； 【小问2详解】 由题得，A是B的真子集，所以，且等号不同时成立， 解得， 所以实数的取值范围为． 16. 随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用．某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业．开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表： 使用智能辅导系统 未使用智能辅导系统 合计 入学测试成绩优秀 20 20 40 入学测试成绩不优秀 40 20 60 合计 60 40 100 （1）判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关； （2）若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为 ，求 的分布列及数学期望 ． 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）没有 （2）分布列为： 0 1 2 ，【解析】 【分析】（1）计算卡方后与3.841比较大小即可得； （2）借分层抽样的性质可得5人中成绩优秀的人数，再得出 的可能取值后计算相应的概率即可得其分布列，即可得其期望. 【小问1详解】 ， 没有 的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关； 【小问2详解】 ， ， 人中2人成绩优秀，3人成绩不优秀， 的取值可能为、 、， ，，， 分布列为： 0 1 2 ． 17. 定义域为 的函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：由奇函数性质列方程求解，并检验；方法二：由奇函数的性质得恒等式，进而求解； （2）利用奇函数、减函数的性质结合题意可得在上有解，进一步可得，由此即可得解. 【小问1详解】 方法一：是奇函数，，即，解得 ， 又由知：，解得． 此时，， 且的定义域（全体实数）关于原点对称， 所以是奇函数． 故． 方法二：是奇函数， ， ， 即恒成立． 或， 当时，的定义域为，舍去， 当时，， 且的定义域（全体实数）关于原点对称， 所以是奇函数． 故满足题意． 【小问2详解】 由（1）知， 则由复合函数单调性可知在 上为减函数， 又是奇函数，由得： ， ，即在上有解， 当且仅当，即时等号成立， 在上的最大值为， ，即． 18. 在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，为线段上的动点，． （1）证明：； （2）求实数的值，使得平面与平面所成角的余弦值最大． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直平面证明线线垂直、线面垂直 平面证明线线垂直 ，然后再利用线面垂直 平面证明线线垂直，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，以及，再求出两平面的法向量，利用公式求出余弦值，然后借助换元结合基本不等式，求出最值即可得解. 【小问1详解】 因为平面，又 平面，所以， 又因为底面为正方形，所以， 又,平面,平面, 所以 平面,又平面,所以 , 又为线段的中点，所以 , 又,平面,平面, 所以 平面,又 平面, 所以. 【小问2详解】 如图，分别以所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系 不妨设， 则，， ，设， 则，解得， 设平面的法向量为， 则， 所以，取，则，即， 设平面 的法向量为， 则，令，故可取， 设平面与平面所成角为， 则， 令，则， 所以， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以当时，即时，． 19. 已知函数． （1）当 时，求的单调区间； （2）若是的极小值点，求的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间为，无增区间 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，构造函数，利用导数求解单调性即可求解， （2） 求导，结合分类讨论求解函数的单调性，即可结合极值点的定义求解. 【小问1详解】 当 时，， 设，则， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，取得极大值，所以， 所以的单调递减区间为，无增区间； 【小问2详解】 ， 设，则， （i）当时，二次函数开口向上，对称轴为， 当时，单调递增， 因为，所以当时，单调递减， 当时，单调递增，所以是的极小值点． 当时，，又， 所以存在，使得，所以当时，单调递增， 又，所以当时，单调递减， 当时，单调递增，所以是的极小值点； （ii）当时，，当时，单调递减， 当时， ，单调递增，所以是的极小值点； （iii）当时，开口向下，对称轴为， 此时，故，使， 当时，，因此在上单调递增， 又，当时，单调递减， 当时，单调递增，所以为的极小值点； （iv）当 时，，使， 当时，，因此在上单调递减， 又，当时，单调递增， 当时，单调递减，所以为的极大值点； （v）当 时，由（1）知非极小值点． 综上所述，． 【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级暑期检测 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，若，则的值为（ ） A. B. 或2 C. 或2 D. 或 3. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 命题“”为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为 ，且满足，且当时，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 8. 已知函数，若对任意，有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分． 9. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “ ”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “且”是“”的必要不充分条件 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 当时，的最小值是3 C. 当时，的最大值是5 D. 若正数满足，则的最小值为3 11. 已知函数 的定义域为R，其图象关于中心对称，若 ，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 为偶函数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是偶函数，则实数______． 13. 已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 14. 记表示k个元素的有限集，表示非空数集E中所有元素的和，若集合，则_____，若，则m的最小值为_____. 四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合．． （1）若，求实数的取值范围； （2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用．某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业．开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表： 使用智能辅导系统 未使用智能辅导系统 合计 入学测试成绩优秀 20 20 40 入学测试成绩不优秀 40 20 60 合计 60 40 100 （1）判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关； （2）若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为 ，求 的分布列及数学期望 ． 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 17. 定义域为 的函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 18. 在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，为线段上的动点，． （1）证明：； （2）求实数的值，使得平面与平面所成角的余弦值最大． 19. 已知函数． （1）当 时，求的单调区间； （2）若是的极小值点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $