第07讲 二次函数y=ax²的图象和性质（2个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第07讲 二次函数y=ax²的图象和性质（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数的图象 二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． 知识点2．二次函数的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 题型强化 题型一．y=ax²+k的图象和性质 一、单选题 1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．轴 2．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）已知一个二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，请你写出一个符合条件的表达式： ． 3．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，点．    (1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围． 题型二．y=ax²的图象和性质 4．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）关于x的二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图像开口向上 B．y随x的增大而减小 C．图像关于x轴对称 D．无论x取何值，y的值总是非正数 5．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）已知抛物线的开口向上，则a的取值范围是 ． 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 分层练习 一、单选题 1．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 2．比较二次函数与的图象，则（　　） A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同 3．抛物线的顶点在（　　） A．轴上 B．轴上 C．第一象限 D．第四象限 4．对于抛物线，下列说法不正确的是（    ） A．图象开口向下 B．y随x的增大而减小 C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴 5．若二次函数的图象经过，则该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 6．对于函数，下列说法正确的是（　　） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而减小 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 7．抛物线的图象上有两点、，则、的大小是（    ） A． B． C． D．无法判断 8．若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 9．若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点（   ） A． B． C． D． 10．已知点在直线上，点和在抛物线上．当时，有，则可以等于下列哪个值（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 二、填空题 11．二次函数的图像开口向 ． 12．抛物线，当时，y随着x的增大而 ．（填“增大或减小”） 13．二次函数与的图像关于 对称． 14．二次函数的最 值是 ． 15．若抛物线与抛物线关于轴对称，则 ， ． 16．沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 17．如图所示，四个二次函数的图象对应的表达式分别是：①；②；③；④，则，，，的大小关系为 ．（用“”连接） 18．二次函数的图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小． 三、解答题 19．在平面直角坐标系中画出的图象并简单描述其性质． 20．已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值． 21．函数与直线交于点 (1)求，的值； (2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？ 22．下列函数在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①；②；③；④．根据图象回答下列问题： (1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ (2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？ 23．已知A、B是抛物线上的两点，点A的横坐标为t，点B的横坐标为，C为线段的中点，轴，交抛物线于点D，且. (1)抛物线的顶点坐标是______； (2)请求出t的值． 24．在平面直角坐标系中，画出抛物线的图象． 25．已知函数与的交点为，（在的右边）． (1)求点、点的坐标． (2)求的面积． 26．已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点． (1)在坐标系中利用描点法画出此抛物线图象，并标出； … … … … (2)任意写出两条该函数图象具有的特征． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 二次函数y=ax²的图象和性质（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数的图象 二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． 知识点2．二次函数的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 题型强化 题型一．y=ax²+k的图象和性质 一、单选题 1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．轴 【答案】D 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：根据二次函数的图象与性质可知： 抛物线的对称轴是直线，即轴， 故选：． 2．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）已知一个二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，请你写出一个符合条件的表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解题的关键．根据题干提供信息，写出符合题意的二次函数的解析式即可； 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴， ∴该抛物线的解析式的二次项系数为负数，不含一次项， ∴这个二次函数的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，点．    (1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围． 【答案】(1)，图见解析 (2) 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，用描点法画函数图象即可； （2）根据图象列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：将点，点代入中得到： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为：， 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 1 … 画图如下：    （2）根据题意，作图如下：    ∵函数的开口向上，且对称轴也是y轴，要使当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5， ∴只需保证当时，，且当时，， 即 解得：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，利用数形结合思想是解题的关键． 题型二．y=ax²的图象和性质 4．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）关于x的二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图像开口向上 B．y随x的增大而减小 C．图像关于x轴对称 D．无论x取何值，y的值总是非正数 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此类问题的关键．利用二次函数的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：， 二次函数图像开口向下，对称轴为直线， 顶点为原点，关于轴对称，当时， y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， A、B、C选项错误，不符合题意， 无论x取何值，， D选项正确，符合题意． 故选：D． 5．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）已知抛物线的开口向上，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，对于二次函数，当时，其开口向上，当时，其开口向下，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， 故答案为：． 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 【答案】(1)顶点， (2)抛物线，上，y轴（或直线） (3)减小，增大 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键． （1）根据的图象得出顶点位置及坐标； （2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴； （3）根据的图象得出其性质． 【详解】（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是． 故答案为：顶点， （2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）． 故答案为：抛物线，上，y轴（或直线） （3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大． 故答案为：减小，增大 分层练习 一、单选题 1．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了求抛物线的对称轴的方法．已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出对称轴． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，即：y轴， 故选：C． 2．比较二次函数与的图象，则（　　） A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据解析式分别得出函数的开口方向，开口大小，顶点坐标，对称轴方程，再比较即可； 【详解】解：∵二次函数与， ∴函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为； 函数的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为； 故选项B、D错误，选项C正确； ∵二次函数中的，中的， ∴它们的开口大小不一样，故选项A错误； 故选：C． 3．抛物线的顶点在（　　） A．轴上 B．轴上 C．第一象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，轴上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．因为可看作二次函数的顶点式，根据顶点式的坐标特点，得出顶点坐标为，即可知顶点在轴上． 【详解】解：二次函数是顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知， 顶点坐标为，即顶点在轴上， 故选：． 4．对于抛物线，下列说法不正确的是（    ） A．图象开口向下 B．y随x的增大而减小 C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的相关性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向下，故A正确，不符合题意； ∵， ∴对称轴为y轴，顶点坐标为，故C、D正确，不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故B不正确，符合题意； 故选：B． 5．若二次函数的图象经过，则该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为轴是解题的关键．先确定出二次函数图象的对称轴为轴，再根据二次函数的对称性解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为轴，且图象经过， 该图象必经过点， 故选：A． 6．对于函数，下列说法正确的是（　　） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而减小 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据抛物线的对称轴及开口方向，即可判断二次函数的增减性． 【详解】解：，对称轴为 抛物线开口向上，当时，随的增大而增大 当时，随的增大而减小 故选：B． 7．抛物线的图象上有两点、，则、的大小是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．根据题意求出、的值比较即可． 【详解】解：将、代入抛物线， ， ， 故选C． 8．若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 9．若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图像是解题的关键．根据二次函数图像对称性解答即可． 【详解】解：点与关于二次函数的对称轴轴对称， 故该图像必经过点， 故选C． 10．已知点在直线上，点和在抛物线上．当时，有，则可以等于下列哪个值（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征．求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的的值，即可求得取值范围，根据抛物线的对称性求得，从而求得的取值范围． 【详解】解：令，整理得， 解得，， 直线与抛物线的交点的横坐标为5，0， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 把代入， 解得， 若，，则，， ， 故选：A． 二、填空题 11．二次函数的图像开口向 ． 【答案】下 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质；根据二次函数二次项系数的符号即可判断图像的开口方向． 【详解】解：∵二次项系数， ∴函数图像的开口向下； 故答案为：下． 12．抛物线，当时，y随着x的增大而 ．（填“增大或减小”） 【答案】增大 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，进行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的对称轴为轴，开口向下， ∴当时，y随着x的增大而增大； 故答案为：增大． 13．二次函数与的图像关于 对称． 【答案】轴 【分析】本题考查了二次函数的图像．解题的关键是找出函数图像开口、对称轴与顶点坐标．本题根据二次函数与二次函数的图像回答即可． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向上，对称轴是轴，顶点为， 二次函数的图像开口向下，对称轴是轴，顶点为， ∴二次函数与的图像关于轴对称． 故答案为：轴． 14．二次函数的最 值是 ． 【答案】 小 3 【分析】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．根据二次函数的解析式，即可得到结论． 【详解】解：二次函数的图像开口向上， 二次函数有最小值，最小时是3， 故答案为：小，3． 15．若抛物线与抛物线关于轴对称，则 ， ． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查抛物线关于轴对称，熟练掌握抛物线关于轴对称的特征是解题的关键．根据抛物线关于轴对称的特征可知，的符号不变，的符号变为相反数即可得到答案． 【详解】解：根据抛物线关于轴对称的特征可知，的符号不变，的符号变为相反数 抛物线关于轴对称的抛物线为， 即 故答案为：，． 16．沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线开口向下，再建立不等式解题即可． 【详解】∵抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴，解得． 故答案为：． 17．如图所示，四个二次函数的图象对应的表达式分别是：①；②；③；④，则，，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小. 【详解】解：如图，因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次， 所以. 18．二次函数的图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小． 【答案】 向下 y轴 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，画出图象，观察图象可得结论． 【详解】解：画出二次函数的图象，如图所示. 根据其图象可知二次函数的图象的开口向下，对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小. 故答案为：向下，y轴，，，． 三、解答题 19．在平面直角坐标系中画出的图象并简单描述其性质． 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．列表、描点、连线画出的图象，根据图象写出其性质即可． 【详解】解：（1）列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 4 1 0 1 4 … （2）描点、连线，图象如图所示： 性质：当时，函数有最小值为0； 当时，函数随的增大而减少；当时，函数随的增大而增大． 20．已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值． 【答案】 【分析】根据题意得出对称轴为直线，在时，当时取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上，当时取得最大值， ∴ 解得： 21．函数与直线交于点 (1)求，的值； (2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）把已知点代入直线解析式求得，再代入抛物线解析式即可求得； （2）由二次函数的解析式，可求得其对称轴及开口方向，即可求得答案． 【详解】（1）解：把代入可得： 点的坐标为 把代入可得： ，； （2）解：由（1）可得， 抛物线开口向下，且对称轴为轴， 当时，随的增大而增大． 22．下列函数在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①；②；③；④．根据图象回答下列问题： (1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ (2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？ 【答案】(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y轴 (2)函数和的图象有最低点，函数和的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是 【分析】本题考查了对称轴的性质，二次函数的图形和性质，解题的关键是画出二次函数的图像；（1）画出二次函数的图像，根据轴对称的性质，即可求解；（2）根据图像可以观察出函数的二次函数的最低点和最高点． 【详解】（1）要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O为中心，对称地选取x的值，列出函数的对应值表． 解：列表： 4 描点、连线，函数图象如图所示． 这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是轴； （2）函数和的图象有最低点，函数和的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是． 23．已知A、B是抛物线上的两点，点A的横坐标为t，点B的横坐标为，C为线段的中点，轴，交抛物线于点D，且. (1)抛物线的顶点坐标是______； (2)请求出t的值． 【答案】(1) (2)1或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的相关知识点是解决本题的关键． （1）根据二次函数表达式特点可求顶点坐标； （2）由题意写出A、B的坐标，再根据中点坐标得出C点坐标，再由轴得出D点坐标，由可求出t的值． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：， （2）解：依据题意可知，点A的坐标为，点B的坐标为，即为， ∵C为线段的中点， ∴C的坐标为， ∵轴， ∴点D的坐标为， ∴． 解得，或 24．在平面直角坐标系中，画出抛物线的图象． 【答案】图见详解 【分析】根据函数表达式画出函数图象即可；本题主要考查画二次函数图象，正确画出二次函数图象是解题的关键． 【详解】，则的顶点坐标为， 画抛物线的图象如图所示： 25．已知函数与的交点为，（在的右边）． (1)求点、点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查了二次函数的图像，一次函数与坐标轴的交点，解一元二次方程，联立两个函数得到点，的坐标是解题的关键． （1）将两个函数的解析式联立组成方程组，求得方程组的解就可得到交点的坐标； （2）根据题意得到，再利用即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 解得：或 在的右边 交点，的坐标分别为，； （2）解：直线与轴交于点 当时，，即点坐标为 又， 点，到的距离分别为3，1 26．已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点． (1)在坐标系中利用描点法画出此抛物线图象，并标出； … … … … (2)任意写出两条该函数图象具有的特征． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数图象的性质，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先列表，然后描点，最后连线画出函数图象即可； （2）根据（1）所画函数图象，写出两条该函数的性质即可． 【详解】（1）解：列表如下： … 0 1 2 … … 0 0 … 函数图象如下所示： （2）解：由函数图象可知，该函数在时，有最小值；该函数在时，y随x增大而增大等等． 学科网（北京）股份有限公司 $$