精品解析：天津市南开中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题

南开中学2022-2023学年度第二学期期末检测 高一数学试卷 考试时间：100分钟 Ⅰ卷（共32分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共100分.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共8小题，每小题4分，共32分． 1. 为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为（ ） A. 34 B. 35 C. 36 D. 37 3. 已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若m//α，α∩β=n，则m//n B. 若α∩β=m，m⊥γ，则α⊥γ C. 若α⊥β，γ⊥β，则α//γ D. 若α∩β=n，mα，m⊥n，则α⊥β 4. 从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（ ） A. 事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球 B. 事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球 C. 事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球 D. 事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球 5. 为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛.已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为，，，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，，点为线段中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知正方体的棱长为1，点在棱（不含端点）上运动，现有如下命题： ①平面内不存在直线与垂直； ②平面与平面所成的锐二面角为； ③当点运动到棱的中点时，线段上存在点，使得平面； ④设点为线段的中点，则三棱锥的体积为定值． 其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 月明天是我校一位登山爱好者，某天傍晚，她登上一座山尖（图中点A处），刚好望到另一座远山，瞬间想起《送别》中“夕阳山外山”的歌词，在这诗意的时刻，她正眺望到远山上一座凉亭（位于点B处），于是她想测算出凉亭到那座山顶（点C处）的距离，她在点A处利用测角仪器测得点B的俯角为5°，点C的仰角为40°，此后，她沿山坡下行100米至点D处，测得点A，B，C的仰角分别为80°，25°，55°，根据这些数据，明天同学计算得到了凉亭到山顶的距离（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 Ⅱ卷（共68分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分． 9. i为虚数单位，若复数，则______ 10. 已知正四面体的棱长为1，则直线与平面所成角的余弦值为______． 11. 已知向量，向量在向量上的投影向量，则的最小值为______． 12. 在5袋牛奶中，有2袋已经过了保质期，从中任取2袋，则取到的全是未过保质期的牛奶的概率为______． 13. 设三角形ABC是等边三角形，它所在平面内一点满足，则向量与夹角的余弦值为______. 14. 为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则______，______． 三、解答题：本大题共3小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图． （1）求出图中实数a的值； （2）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； （3）若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生： （ⅰ）写出该试验的样本空间； （ⅱ）求这两名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率． 16. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）已知， （ⅰ）若的面积为，求的周长； （ⅱ）求周长的取值范围． 17. 如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，，，过作底面的垂线，垂足在线段上．点分别为棱和的中点． （1）证明四点共面，且平面； （2）证明直线与平面不垂直； （3）若平面，求的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开中学2022-2023学年度第二学期期末检测 高一数学试卷 考试时间：100分钟 Ⅰ卷（共32分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共100分.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共8小题，每小题4分，共32分． 1. 为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】求出高三年级学生所占比例，由此可求得答案. 【详解】由题意知高三年级学生所占比例为， 故应在高三年级招募的志愿者数目为. 故选：A 2. 一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为（ ） A. 34 B. 35 C. 36 D. 37 【答案】D 【解析】 【分析】直接由百分位数的定义求解即可. 【详解】因为，所以所求数据的第85百分位数为37. 故选：D. 3. 已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若m//α，α∩β=n，则m//n B. 若α∩β=m，m⊥γ，则α⊥γ C. 若α⊥β，γ⊥β，则α//γ D. 若α∩β=n，mα，m⊥n，则α⊥β 【答案】B 【解析】 【分析】由线面平行的性质定理可知A的正误；利用面面垂直的判定定理可知判断B,有反例可判断BD． 【详解】对于A，，，则，错误，原因是不一定是经过直线的平面；故A错误； 对于B,因为，，由面面垂直的判定定理得：，故B正确． 对于C，若，，不一定得到，例如长方体中，同一顶点出发的三个平面，故C错误， 对于D,若，，，则错误，如下图所示，原因是由题设条件无法推出一个平面经过另一个平面的垂线，故无法判定是否与一定垂直，故D错误； 故选：B 4. 从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（ ） A. 事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球 B. 事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球 C. 事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球 D. 事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断即可． 【详解】对于A，事件与事件可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件与事件不是互斥事件，故A错误； 对于B，事件与事件不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件与事件互斥却不互为对立，故B正确； 对于C，事件与事件可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件与事件不是互斥事件，故C错误； 对于D，事件与事件不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件与事件是互斥事件也是对立事件，故D错误． 故选：B． 5. 为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛.已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为，，，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先结合对立事件概率公式，利用独立事件乘法公式求得没有一人成功的概率，再由对立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为，，， 则甲、乙、丙三位同学在比赛中都不能成功包制一个粽子的概率为， 则在比赛中至少一人成功的概率为. 故选：C 6. 如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，，点为线段中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性表示可得. 【详解】因是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，易知， 由题设，， 由题意， 故选：D 7. 如图，已知正方体的棱长为1，点在棱（不含端点）上运动，现有如下命题： ①平面内不存在直线与垂直； ②平面与平面所成的锐二面角为； ③当点运动到棱的中点时，线段上存在点，使得平面； ④设点为线段的中点，则三棱锥的体积为定值． 其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，证得和，得到平面，可得判定①不正确；证得，得到平面与平面所成的角的平面角，可判定②正确；当点运动到棱的中点时，证得，可判定③正确；当点为线段的中点时，平面，得到点到平面平面的距离为定值，进而可判定④正确. 【详解】对于①中，在正方体中，可得平面， 因为平面，所以, 又由正方形，可得， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 所平面内存在直线与垂直，所以①不正确； 对于②中，如图所示，由正方体的性质，可得平面即为对角膜， 又由平面，且平面， 所以，所以平面与平面所成的角的平面角， 因为，所以②正确； 对于③中，如图所示，当点运动到棱的中点时，设， 可得点为线段上靠近点的三等分点， 所以上取靠近的三等分点，连接，则， 连接，因为平面，且平面， 所以平面，所以③正确； 对于④中，如图所示，当点为线段的中点时， 由正方体的性质，可得平面即为对角面, 因为，且平面，平面， 所以平面， 所以点到平面平面的距离为定值， 又因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以④正确. 故选：C. 8. 月明天是我校一位登山爱好者，某天傍晚，她登上一座山尖（图中点A处），刚好望到另一座远山，瞬间想起《送别》中“夕阳山外山”的歌词，在这诗意的时刻，她正眺望到远山上一座凉亭（位于点B处），于是她想测算出凉亭到那座山顶（点C处）的距离，她在点A处利用测角仪器测得点B的俯角为5°，点C的仰角为40°，此后，她沿山坡下行100米至点D处，测得点A，B，C的仰角分别为80°，25°，55°，根据这些数据，明天同学计算得到了凉亭到山顶的距离（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】先由正弦定理、三角恒等变换求出，，再由以及余弦定理即可求解. 【详解】由题意在三角形中，， ， 所以由正弦定理有，即， 解得， 在三角形中，， 所以由正弦定理有，即， 解得， 设， ，在三角形中，由余弦定理有 . 故选：C. Ⅱ卷（共68分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分． 9. i为虚数单位，若复数，则______ 【答案】 【解析】 【分析】先利用复数除法运算化简复数，然后代入模的运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 10. 已知正四面体的棱长为1，则直线与平面所成角的余弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正四面体的特征，应用面面垂直性质定理及线面垂直判定定理结合线面角的定义计算即可. 【详解】如图，    取的中点，连接，，过点作交于点G， 则，，又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面. 又平面平面，，平面，所以平面. 由正四面体的性质，知，且即为直线与平面所成的角. 在中，； 故答案为： 11. 已知向量，向量在向量上的投影向量，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量在向量上的投影向量，设出向量，再利用向量的坐标运算表示出，求出其最小值，即可得解. 【详解】因为向量在向量上的投影向量， 所以，与是共线向量，设，则， 所以，， 当时，最小，为. 故答案为：. 12. 在5袋牛奶中，有2袋已经过了保质期，从中任取2袋，则取到的全是未过保质期的牛奶的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】记2袋已经过了保质期的牛奶为，3袋未过保质期的牛奶为， 从5袋牛奶中任取2袋，所有情况为：，共10种情况； 其中全是未过保质期的牛奶的情况为：，共3种情况； 所以所求概率为. 故答案为：. 13. 设三角形ABC是等边三角形，它所在平面内一点满足，则向量与夹角的余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义求解. 【详解】设边长为1， ，则， ， ， ∴， 故答案为：． 14. 为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用旋转和对称关系求出，根据柱体、球体的表面积公式求解即可. 【详解】 如图，设两个正方形的中心为，连接， 因为旋转了45°，所以, 由对称性可设， ， 所以，则， 所以, 该雕塑底面可容纳的最大的圆的半径, 所以该雕塑可容纳的最大的球的半径也为， 外接球的半径为 , ， 故答案为：；. 三、解答题：本大题共3小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图． （1）求出图中实数a的值； （2）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； （3）若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生： （ⅰ）写出该试验的样本空间； （ⅱ）求这两名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率． 【答案】（1） （2）人 （3）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求解即可； （2）先求出成绩不低于60分的频率，然后估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数即可； （3）先计算出成绩来自和两组的学生人数，然后由古典概型的计算方法求解即可. 【小问1详解】 因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为 由，解得：. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知成绩不低于60分的频率为：， 所以该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为：人. 【小问3详解】 成绩来自的学生人数为：人，记为； 成绩来自的学生人数为：人，记为. 则从中随机选取两名学生的样本空间为：，共个样本点， 设“两名学生数学成绩之差的绝对值不大于10”， 则包含了个样本点， 所以. 16. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）已知， （ⅰ）若的面积为，求的周长； （ⅱ）求周长的取值范围． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角差的正弦公式，可得，在三角形中可得的关系，进而可得角的大小关系； （2）（ⅰ）由三角形的面积，可得的值，再由余弦定理可得的值，进而求出三角形的周长； （ⅱ）由余弦定理及均值不等式可得的范围，再由三角形中两边之和大于第三边，可得的范围，进而求出三角形的周长的范围. 【小问1详解】 由题意及正弦定理可得， 整理可得：， 即， 在三角形中，可得， 即，解得. 【小问2详解】 （ⅰ），可得， 由余弦定理可得， 又，则，解得， 所以三角形的周长为. （ⅱ）, 又，则，当且仅当时取等号， 解得，而，所以， 所以三角形的周长为. 17. 如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，，，过作底面的垂线，垂足在线段上．点分别为棱和的中点． （1）证明四点共面，且平面； （2）证明直线与平面不垂直； （3）若平面，求的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形证明线线平行，即可得证； （2）假设平面，然后通过线面垂直的性质判定找矛盾即可； （3）由平面，得到，再用基底分别表示和，借助向量数量积求解即可. 【小问1详解】 取的中点,连接,,因为是的中点， 所以,,又，, 所以,,所以四边形为平行四边形， 所以,因为分别是，的中点， 所以,,所以四边形为平行四边形， 所以,所以，所以四点共面. 连接,因为分别为和的中点， 所以,,所以四边形为平行四边形， 所以,又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 连接,因为底面为平行四边形，, 所以四边形为菱形，， 因为过作底面的垂线，垂足在线段上，记垂足为，则平面, 又平面，所以， 又平面，平面，，所以平面, 又平面，所以, 若平面，因为平面，所以, 又平面，平面，，所以平面, 而平面与平面相交，所以平面不成立， 所以直线与平面不垂直. 【小问3详解】 连接,平面时，因为平面,所以， 设，则，，， ， 所以，又， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $