1．5 全称量词与存在量词（七大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

1．5 全称量词与存在量词 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 3 题型一：判断语句是否为命题 3 题型二：命题真假的判断 4 题型三：全称量词命题与存在量词命题的判定 5 题型四：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 6 题型五：由全称量词命题的真假确定参数取值范围 7 题型六：由存在量词命题的真假确定参数取值范围 8 题型七：全称量词命题与存在量词命题的否定 9 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：全称量词与全称量词命题 1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． 2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 3、全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对． 知识点二：存在量词与存在量词命题 1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示． 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． 3、存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对． 知识点三：命题的否定 1、一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 知识点四：全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ． 知识点五：存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 知识点六：命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 知识点七：常见正面词语的否定举例如下： 正面词语 等于 大于（>） 小于（<） 是 都是 否定 不等于 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个 否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个 【典型例题】 题型一：判断语句是否为命题 【典例1-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【典例1-2】（2024·高一·全国·课后作业）下列语句是命题的是（    ） A．0是偶数吗？ B．这个数学问题真难啊！ C．你，出去！ D．只有一组解 【方法技巧与总结】 判断一个语句是否是命题的三个关键点 （1）一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题． （2）该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题． （3）对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题． 【变式1-1】（2024·高一·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】（2024·高二·陕西汉中·阶段练习）下列语句中是命题的个数为（    ） ①；②不是实数；③大边所对的角大于小边所对的角；④是无理数. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（2024·高一·江苏·专题练习）下列语句是命题的是（    ） A．小明很帅 B．请把手机收起来！ C． D． 题型二：命题真假的判断 【典例2-1】（2024·高一·上海·随堂练习）对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【典例2-2】（2024·高一·上海·课后作业）下列命题中，真命题是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【方法技巧与总结】 判断命题真假的方法 （1）真命题的判定方法． 要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证． （2）假命题的判定方法． 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法． 【变式2-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-2】（2024·高一·山东青岛·期中）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【变式2-3】（2024·高一·新疆乌鲁木齐·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．每一个二次函数的图象都是开口向上 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．梯形的对角线相等 D．有些菱形是正方形 题型三：全称量词命题与存在量词命题的判定 【典例3-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列命题中不是全称量词命题的是（    ） A．， B．， C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等 【典例3-2】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 【方法技巧与总结】 理解全称量词命题及存在量词命题时应关注的三点 （1）全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”． （2）有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”． （3）存在命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“存在”等． 【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 【变式3-2】（2024·高一·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的个数是（    ） ①任何实数都有平方根; ②所有素数都是奇数; ③有些一元二次方程无实数根; ④三角形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-3】（2024·高一·河南·期中）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数，使得是质数 D．， 题型四：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 【典例4-1】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列命题中，假命题的个数是（    ） （1）； （2）； （3），方程恰有一解； （4）两个无理数的和一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例4-2】（2024·高一·全国·课堂例题）有下列四个命题： ①，； ②，； ③，； ④，x为29的约数． 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【方法技巧与总结】 （1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； （2）要判断一个存在量词命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个存在量词命题就是真命题，否则就是假命题． 【变式4-1】（2024·高三·全国·专题练习）下列正确命题的个数为（    ） ①，；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】（2024·高一·新疆·阶段练习）下列三个命题中有几个真命题（    ） ①，；②，；③至少有一个实数，使得 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-3】（2024·高一·辽宁鞍山·期中）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型五：由全称量词命题的真假确定参数取值范围 【典例5-1】（2024·高一·河南三门峡·阶段练习）已知命题是真命题，则的取值范围是 . 【典例5-2】（2024·高一·海南·阶段练习）对，一次函数的图象总在x轴下方，则实数m的取值范围是 . 【方法技巧与总结】 全称量词命题的真假与参数取值范围紧密相关。要确定参数取值范围，需先分析全称量词命题中的条件，理解其对所有个体或元素的要求。接着，通过逻辑推理或数学方法，找出满足这些条件的参数取值范围，确保命题在此范围内对所有个体都成立。 【变式5-1】（2024·高一·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【变式5-2】（2024·高一·宁夏吴忠·期中）已知集合，． (1)时，求 (2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 【变式5-3】（2024·高一·四川凉山·期中）（1）已知集合，集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）已知命题“，”为假命题，求实数的取值范围． 题型六：由存在量词命题的真假确定参数取值范围 【典例6-1】（2024·高一·四川泸州·期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【典例6-2】（2024·高一·云南曲靖·期中）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若命题为真命题，求实数的值． 【方法技巧与总结】 存在量词命题的真假同样与参数取值范围密切相关。要确定参数取值范围，需先分析存在量词命题中的条件，理解其至少存在一个个体或元素满足要求。然后，通过逻辑推理或数学方法，找出满足这些条件的参数取值范围，确保命题在此范围内至少对一个个体成立。 【变式6-1】（2024·高一·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【变式6-2】（2024·高一·山东青岛·阶段练习）命题“,使”是假命题，则实数的取值范围? 【变式6-3】（2024·高一·全国·课后作业）已知集合，，且.若命题q：“”是真命题，求m的取值范围. 题型七：全称量词命题与存在量词命题的否定 【典例7-1】（2024·高三·广西玉林·阶段练习）已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例7-2】（2024·高三·河北·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【方法技巧与总结】 （1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． （2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 【变式7-1】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）设命题，则为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·高三·北京·开学考试）已知命题，有，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-3】（2024·高三·陕西榆林·阶段练习）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．5 全称量词与存在量词 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 3 题型一：判断语句是否为命题 3 题型二：命题真假的判断 5 题型三：全称量词命题与存在量词命题的判定 6 题型四：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 8 题型五：由全称量词命题的真假确定参数取值范围 10 题型六：由存在量词命题的真假确定参数取值范围 12 题型七：全称量词命题与存在量词命题的否定 14 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：全称量词与全称量词命题 1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． 2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 3、全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对． 知识点二：存在量词与存在量词命题 1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示． 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． 3、存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对． 知识点三：命题的否定 1、一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 知识点四：全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ． 知识点五：存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 知识点六：命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 知识点七：常见正面词语的否定举例如下： 正面词语 等于 大于（>） 小于（<） 是 都是 否定 不等于 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个 否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个 【典型例题】 题型一：判断语句是否为命题 【典例1-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题． 故选:D． 【典例1-2】（2024·高一·全国·课后作业）下列语句是命题的是（    ） A．0是偶数吗？ B．这个数学问题真难啊！ C．你，出去！ D．只有一组解 【答案】D 【解析】可以判断真假的陈述句叫做命题．根据定义可知，只有D选项符合题意． 故选：D 【方法技巧与总结】 判断一个语句是否是命题的三个关键点 （1）一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题． （2）该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题． （3）对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题． 【变式1-1】（2024·高一·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 【变式1-2】（2024·高二·陕西汉中·阶段练习）下列语句中是命题的个数为（    ） ①；②不是实数；③大边所对的角大于小边所对的角；④是无理数. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为能够判断真假的语句为命题， ①，为负整数，所以为正确的命题； ②是无理数，所以是实数，所以是不正确的命题； ③大边所对的角大于小边所对的角，是正确的命题； ④是无理数.，是正确的命题， 所以①②③④都是命题， 故选：D 【变式1-3】（2024·高一·江苏·专题练习）下列语句是命题的是（    ） A．小明很帅 B．请把手机收起来！ C． D． 【答案】D 【解析】能够判断真假的陈述句叫命题， 则只有，能够判断真假， 故只有D是命题， 故选：D． 题型二：命题真假的判断 【典例2-1】（2024·高一·上海·随堂练习）对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【答案】D 【解析】对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误， 故选：D 【典例2-2】（2024·高一·上海·课后作业）下列命题中，真命题是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A:当不为0，A选项错误； 对于B:当，则,B选项错误； 对于C:当,则,C选项错误； 对于D:当,则,D选项正确. 故选：D. 【方法技巧与总结】 判断命题真假的方法 （1）真命题的判定方法． 要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证． （2）假命题的判定方法． 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法． 【变式2-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对选项A：若，则，正确； 对选项B：若，则，正确； 对选项C：若，则，正确； 对选项D：当时，恒成立，不能得到，错误； 故选：D 【变式2-2】（2024·高一·山东青岛·期中）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】A 【解析】对于选项A：例如，则，故A为假命题； 对于选项B：若，则，即，故B为真命题； 对于选项C：若，则，可得， 因为，所以，故C为真命题； 对于选项D：因为，则， 又因为，则，可得，故D为真命题； 故选：A. 【变式2-3】（2024·高一·新疆乌鲁木齐·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．每一个二次函数的图象都是开口向上 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．梯形的对角线相等 D．有些菱形是正方形 【答案】D 【解析】对于选项A：例如，其图象是开口向下的，故A错误； 对于选项B：根据平行线的传递性可知：一条直线与两条直线都平行，则这两条直线也平行，故B错误； 对于选项C：例如直角梯形的对角线不相等，故C错误； 对于选项D：正方形也是菱形，即有些菱形是正方形，故D正确； 故选：D. 题型三：全称量词命题与存在量词命题的判定 【典例3-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列命题中不是全称量词命题的是（    ） A．， B．， C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等 【答案】B 【解析】“任意”是全称量词，平行四边形和矩形，是指任何一个平行四边形和矩形，故是全称量词，“存在”是存在量词， 故选：B 【典例3-2】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 【答案】C 【解析】选项A，B，D中，分别有“存在”，“至少”，“”这样的特称量词，所以选项A，B，D都为特称命题，选项C：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题. 故选：C. 【方法技巧与总结】 理解全称量词命题及存在量词命题时应关注的三点 （1）全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”． （2）有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”． （3）存在命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“存在”等． 【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 【答案】D 【解析】根据全称量词和存在量词的定义可知， A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题； B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题； C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题； D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题. 故选：D 【变式3-2】（2024·高一·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的个数是（    ） ①任何实数都有平方根; ②所有素数都是奇数; ③有些一元二次方程无实数根; ④三角形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】根据全称命题的定义可得①②④中命题，指的是全体对象具有某种性质， 故①②④是全称量词命题，③中命题指的是部分对象具有某性质，不是全称命题， 故选：D． 【变式3-3】（2024·高一·河南·期中）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数，使得是质数 D．， 【答案】B 【解析】对于ACD，均为存在量词命题， 对于B中的命题是全称量词命题. 故选：B 题型四：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 【典例4-1】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列命题中，假命题的个数是（    ） （1）； （2）； （3），方程恰有一解； （4）两个无理数的和一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】对于（1），取，，（1）错误； 对于（2），取，，（2）正确； 对于（3），当时，方程有无穷多个解，（3）错误； 对于（4），都是无理数，而是有理数，（4）错误， 所以假命题的个数是3. 故选：C 【典例4-2】（2024·高一·全国·课堂例题）有下列四个命题： ①，； ②，； ③，； ④，x为29的约数． 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于①，这是全称量词命题，由对任意实数都成立，得，①为真命题； 对于②，这是全称量词命题，当时，不成立，②为假命题； 对于③，这是存在量词命题，当或时，有成立，③为真命题； 对于④，这是存在量词命题，当时，x为29的约数成立，④为真命题， 所以真命题的个数为3. 故选：C 【方法技巧与总结】 （1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； （2）要判断一个存在量词命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个存在量词命题就是真命题，否则就是假命题． 【变式4-1】（2024·高三·全国·专题练习）下列正确命题的个数为（    ） ①，；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】，，①正确；当时，，②错误； 当时，，③正确；由于，而都是无理数，④错误， 所以正确命题的个数为2. 故选：B 【变式4-2】（2024·高一·新疆·阶段练习）下列三个命题中有几个真命题（    ） ①，；②，；③至少有一个实数，使得 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①由，可得或，为真命题； ②由，为假命题； ③当时，为真命题. 故选：C 【变式4-3】（2024·高一·辽宁鞍山·期中）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】，，故是假命题； 当时，，故是假命题； ，，故是真命题； 方程中，此方程无解，故是假命题. 故选:：C. 题型五：由全称量词命题的真假确定参数取值范围 【典例5-1】（2024·高一·河南三门峡·阶段练习）已知命题是真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为命题是真命题， 所以不等式在上恒成立， 等价于即可， 因为 所以即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高一·海南·阶段练习）对，一次函数的图象总在x轴下方，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知：对，恒成立， 则，解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 全称量词命题的真假与参数取值范围紧密相关。要确定参数取值范围，需先分析全称量词命题中的条件，理解其对所有个体或元素的要求。接着，通过逻辑推理或数学方法，找出满足这些条件的参数取值范围，确保命题在此范围内对所有个体都成立。 【变式5-1】（2024·高一·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 【变式5-2】（2024·高一·宁夏吴忠·期中）已知集合，． (1)时，求 (2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1） 时，=， 故=； （2）若命题：“，”是真命题，则， 若， 若，解得， 综上得. 【变式5-3】（2024·高一·四川凉山·期中）（1）已知集合，集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）已知命题“，”为假命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是成立的充分不必要条件，所以，， 因为，则，所以，， 所以，，解得， 当时，，满足， 所以，存在实数满足题意，且实数的取值范围是； （2）因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题． 则关于x的方程有实根． 当时，则有，解得，合乎题意； 当时，则有，解得且. 综上所述，的取值范围为． 题型六：由存在量词命题的真假确定参数取值范围 【典例6-1】（2024·高一·四川泸州·期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】，，为真命题，故， 解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 【典例6-2】（2024·高一·云南曲靖·期中）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若命题为真命题，求实数的值． 【解析】（1）因为，所以，解得； （2）因为命题为真命题， 所以方程组有公共解，解得， 当时，经检验知，符合题意. 【方法技巧与总结】 存在量词命题的真假同样与参数取值范围密切相关。要确定参数取值范围，需先分析存在量词命题中的条件，理解其至少存在一个个体或元素满足要求。然后，通过逻辑推理或数学方法，找出满足这些条件的参数取值范围，确保命题在此范围内至少对一个个体成立。 【变式6-1】（2024·高一·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【解析】（1）当时，， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，所以， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是. （2）因为“，使得”是真命题，所以， 当时， 若，成立，此时，解得； 若，则有或，解得， 所以时，的取值范围是或， 所以命题为真命题时的取值范围是. 【变式6-2】（2024·高一·山东青岛·阶段练习）命题“,使”是假命题，则实数的取值范围? 【解析】由题意，命题“，使”是假命题， 故“，使”是真命题， 当时, 成立， 故，则，解得， 综上，可得， 所以实数m的取值范围是. 【变式6-3】（2024·高一·全国·课后作业）已知集合，，且.若命题q：“”是真命题，求m的取值范围. 【解析】q为真，则，因为， 所以，解得，则, 若，则，解得， 则若，. 即m的取值范围为. 题型七：全称量词命题与存在量词命题的否定 【典例7-1】（2024·高三·广西玉林·阶段练习）已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】命题，， ：，. 故选：D. 【典例7-2】（2024·高三·河北·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 【方法技巧与总结】 （1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． （2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 【变式7-1】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）设命题，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为全称命题的否定是特称命题， 所以：设命题，则. 故选：C 【变式7-2】（2024·高三·北京·开学考试）已知命题，有，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由特称命题的否定形式可知，有的否定为：，. 故选：C 【变式7-3】（2024·高三·陕西榆林·阶段练习）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】命题“”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“”的否定是. 故选：D 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1．5 全称量词与存在量词 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 知识点一：全称量词与全称量词命题 1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． 2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 3、全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，， 简记为：对． 知识梳理 知识点二：存在量词与存在量词命题 1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示． 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． 3、存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对． 知识梳理 知识点三：命题的否定 1、一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 3、全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ． 4、存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 03 典型例题 【典例1-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题． 故选：D． 题型一：判断语句是否为命题 典型例题 【典例1-2】（2024·高一·全国·课后作业）下列语句是命题的是（    ） A．0是偶数吗？ B．这个数学问题真难啊！ C．你，出去！ D．只有一组解 【答案】D 【解析】可以判断真假的陈述句叫做命题．根据定义可知，只有D选项符合题意． 故选：D 【方法技巧与总结】 判断一个语句是否是命题的三个关键点 （1）一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题． （2）该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题． （3）对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题． 题型一：判断语句是否为命题 典型例题 【变式1-1】（2024·高一·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题． 故选：C． 题型一：判断语句是否为命题 典型例题 【变式1-2】（2024·高二·陕西汉中·阶段练习）下列语句中是命题的个数为（    ） ①；②不是实数；③大边所对的角大于小边所对的角；④是无理数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为能够判断真假的语句为命题， ①，为负整数，所以为正确的命题； ②是无理数，所以是实数，所以是不正确的命题； ③大边所对的角大于小边所对的角，是正确的命题； ④是无理数．，是正确的命题， 所以①②③④都是命题，故选：D 题型一：判断语句是否为命题 典型例题 【典例2-1】（2024·高一·上海·随堂练习）对于任意两个集合A与B， 下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【答案】D 【解析】对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误，故选：D 题型二：命题真假的判断 典型例题 【典例2-2】（2024·高一·上海·课后作业）下列命题中，真命题是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A：当不为0，A选项错误； 对于B：当，则，B选项错误； 对于C：当，则，C选项错误； 对于D：当，则，D选项正确． 故选：D． 题型二：命题真假的判断 典型例题 【变式2-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对选项A：若，则，正确； 对选项B：若，则，正确； 对选项C：若，则，正确； 对选项D：当时，恒成立，不能得到，错误； 故选：D 题型二：命题真假的判断 典型例题 【变式2-2】（2024·高一·山东青岛·期中）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】A 【解析】对于选项A：例如，则，故A为假命题； 对于选项B：若，则，即，故B为真命题； 对于选项C：若，则，可得， 因为，所以，故C为真命题； 对于选项D：因为，则， 又因为，则，可得，故D为真命题；故选：A． 题型二：命题真假的判断 典型例题 【典例3-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列命题中不是全称量词命题的是（    ） A．， B．， C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等 【答案】B 【解析】“任意”是全称量词，平行四边形和矩形，是指任何一个平行四边形和矩形，故是全称量词，“存在”是存在量词， 故选：B 题型三：全称量词命题与存在量词命题的判定 典型例题 【典例3-2】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 【答案】C 【解析】选项A，B，D中，分别有“存在”，“至少”，“”这样的特称量词， 所以选项A，B，D都为全称量词命题， 选项C：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题． 故选：C． 题型三：全称量词命题与存在量词命题的判定 典型例题 【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 【答案】D 【解析】根据全称量词和存在量词的定义可知， A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题； B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题； C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题； D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题． 故选：D 题型三：全称量词命题与存在量词命题的判定 典型例题 【变式3-2】（2024·高一·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的个数是（    ） ①任何实数都有平方根； ②所有素数都是奇数； ③有些一元二次方程无实数根； ④三角形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】根据全称命题的定义可得①②④中命题，指的是全体对象具有某种性质， 故①②④是全称量词命题，③中命题指的是部分对象具有某性质，不是是全称量词命题， 故选：D． 题型三：全称量词命题与存在量词命题的判定 典型例题 【典例4-1】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列命题中，假命题的个数是（    ） （1）； （2）； （3），方程恰有一解； （4）两个无理数的和一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】对于（1），取，，（1）错误； 对于（2），取，，（2）正确； 对于（3），当时，方程有无穷多个解，（3）错误； 对于（4），都是无理数，而是有理数，（4）错误， 所以假命题的个数是3． 故选：C 题型四：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 典型例题 【典例4-2】（2024·高一·全国·课堂例题）有下列四个命题： ①，； ②，； ③，； ④，x为29的约数． 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于①，这是全称量词命题，由对任意实数都成立，得，①为真命题； 对于②，这是全称量词命题，当时，不成立，②为假命题； 对于③，这是存在量词命题，当或时，有成立，③为真命题； 对于④，这是存在量词命题，当时，x为29的约数成立，④为真命题， 所以真命题的个数为3． 故选：C 题型四：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 典型例题 【变式4-1】（2024·高三·全国·专题练习）下列正确命题的个数为（    ） ①，；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】，，①正确；当时，，②错误； 当时，，③正确；由于，而都是无理数，④错误， 所以正确命题的个数为2． 故选：B 题型四：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 典型例题 【变式4-2】（2024·高一·新疆·阶段练习）下列三个命题中有几个真命题（    ） ①，；②，； ③至少有一个实数，使得 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①由，可得或，为真命题； ②由，为假命题； ③当时，为真命题． 故选：C 题型四：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 典型例题 【典例5-1】已知命题是真命题，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为命题是真命题， 所以不等式在上恒成立， 等价于即可， 因为 所以即， 所以实数的取值范围是． 题型五：由全称量词命题的真假确定参数取值范围 典型例题 【典例5-2】（2024·高一·海南·阶段练习）对，一次函数的图象总在x轴下方，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可知：对，恒成立， 则，解得， 所以实数m的取值范围是． 故答案为：． 【方法技巧与总结】 全称量词命题的真假与参数取值范围紧密相关．要确定参数取值范围，需先分析全称量词命题中的条件，理解其对所有个体或元素的要求．接着，通过逻辑推理或数学方法，找出满足这些条件的参数取值范围，确保命题在此范围内对所有个体都成立． 题型五：由全称量词命题的真假确定参数取值范围 典型例题 【变式5-1】（2024·高一·河南平顶山·阶段练习）已知集合， ，且． （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若是真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 题型五：由全称量词命题的真假确定参数取值范围 典型例题 【变式5-2】（2024·高一·宁夏吴忠·期中）已知集合，． （1）时，求 （2）若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1） 时，=， 故=； （2）若命题：“，”是真命题，则， 若， 若，解得， 综上得． 题型五：由全称量词命题的真假确定参数取值范围 典型例题 【典例6-1】（2024·高一·四川泸州·期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，，为真命题，故， 解得， 故实数的取值范围是． 故答案为： 题型六：由存在量词命题的真假确定参数取值范围 典型例题 【典例6-2】（2024·高一·云南曲靖·期中）已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若命题为真命题，求实数的值． 【解析】（1）因为，所以，解得； （2）因为命题为真命题， 所以方程组有公共解，解得， 当时，经检验知，符合题意． 【方法技巧与总结】 存在量词命题的真假同样与参数取值范围密切相关．要确定参数取值范围，需先分析存在量词命题中的条件，理解其至少存在一个个体或元素满足要求．然后，通过逻辑推理或数学方法，找出满足这些条件的参数取值范围，确保命题在此范围内至少对一个个体成立． 题型六：由存在量词命题的真假确定参数取值范围 典型例题 【变式6-1】（2024·高一·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合 （1）若，求实数的取值范围． （2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围． 【解析】（1）当时，， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，所以， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是． （2）因为“，使得”是真命题，所以， 当时， 若，成立，此时，解得； 若，则有或，解得， 所以时，的取值范围是或， 所以命题为真命题时的取值范围是． 题型六：由存在量词命题的真假确定参数取值范围 典型例题 【变式6-2】命题“，使”是假命题，求实数的取值范围. 【解析】由题意，命题“，使”是假命题， 故“，使”是真命题， 当时， 成立， 故，则，解得， 综上，可得， 所以实数m的取值范围是． 题型六：由存在量词命题的真假确定参数取值范围 典型例题 【典例7-1】（2024·高三·广西玉林·阶段练习）已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】命题，， ：，． 故选：D． 题型七：全称量词命题与存在量词命题的否定 典型例题 【典例7-2】（2024·高三·河北·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】命题“，”的否定是“，”． 故选：D． 【方法技巧与总结】 （1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． （2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 题型七：全称量词命题与存在量词命题的否定 典型例题 【变式7-1】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）设命题，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以：设命题，则． 故选：C 题型七：全称量词命题与存在量词命题的否定 典型例题 【变式7-2】（2024·高三·北京·开学考试）已知命题，有，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由存在量词命题的否定形式可知，有的否定为：，． 故选：C 题型七：全称量词命题与存在量词命题的否定 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 2．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷））命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 3．（2011年普通高中招生考试安徽省市高考理科数学）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ) A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数 4．（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（山东））命题“对任意的，”的否定是( ) A．不存在， B．存在， C．存在， D．对任意的， B B D C $$