专题1.5异面直线间的距离重难点题型专训（2个知识点+1大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版必修第三册）

专题1.5异面直线间的距离重难点题型专训 （2个知识点+1大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 求异面直线的距离 拓展训练一 正方体、长方体中异面直线的距离 拓展训练二 异面直线间距离的应用 知识点一：异面直线公垂线定理 1.内容：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交。 【即时训练】 1．（24-25高二·上海·课堂例题）两条异面直线之间的距离是（    ） A．和两条异面直线都垂直相交的直线； B．和两条异面直线都垂直的直线； C．它们的公垂线的两个垂足之间的线段长； D．两条直线上任意两点间的距离． 2．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）在四面体中，若，则异面直线与的距离为 ． 知识点二：两条异面直线的距离相关概念 1.公垂线 与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线。 2.公垂线段 公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段。 3.两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离。 【即时训练】 1．（24-25高二·上海·课堂例题）若直线a和已知直线b满足：①a、b是异面直线，②a、b之间的距离是定值，③a与b所成的角也是定值，则直线a（    ） A．仅有一条； B．有两条； C．有四条； D．有无数条． 2．（24-25高二·上海·课堂例题）在正方体中，棱长为a，所在直线与成异面直线且距离为a的棱有 条． 【经典例题一 求异面直线的距离】 【例1】（23-24高二上·北京房山·期中）已知长方体中，，则异面直线与的距离是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【例2】（23-24高二下·重庆·期末）已知是边长为的正三角形所在平面外一点，，点、分别是、的中点， （1）求证：为异面直线与的公垂线段; （2）求异面直线与的距离. 1．（24-25高二上·福建泉州·期中）三棱锥中，，，，，分别是两条相对棱上的动点，则最小距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 2．（23-24高一·全国·课后作业）空间和两条异面直线同时都垂直且相交的直线（    ） A．不一定存在 B．有且只有1条 C．有1条或不存在 D．有无数条 3．（24-25高二·上海·课堂例题）已知正方体的棱长为a，异面直线DB与之间的距离为 ． 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）S是矩形所在平面外一点，，，与成60°角，与成30°角，，求：    (1)直线与的距离； (2)求直线与的距离． 【拓展训练一 正方体、长方体中异面直线的距离】 【例1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． E．均不是 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，设正方体的棱长为1，求下列异面直线之间的距离： (1)与； (2)与． 1．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 2．（23-24高二上·重庆·期中）如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高二·上海·随堂练习）已知正方体的棱长为a，则异面直线与公垂线是 ． 4．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，，，．求异面直线与之间的距离． 【拓展训练二 异面直线间距离的应用】 【例1】（23-24高二上·河南商丘·期末）已知菱形中，，沿对角线折起，使二面角的平面角为，若异面直线与的距离是菱形边长的，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，四面体SABC的所有棱长为a． (1)求异面直线的公垂线段EF的长； (2)求异面直线EF与SA所成角的大小． 1．（2023高三·全国·竞赛）已知菱形的边长为a，．将菱形沿对角线折成二面角，若，则异面直线与距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江·开学考试）已知长方体中，，，用过该长方体体对角线的平面去截该长方体，则所得截面的面积最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）如图所示在三棱锥中，侧面底面，底面是边长为1的正三角形，侧面中，，且为棱中点，则直线上任意一点与上任意一点距离的最小值为 ．    4．（24-25高二上·上海·期中）四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，是的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)求异面直线和之间的距离. 1．（24-25高二·上海·课堂例题）若a与b是异面直线，P是空间一点，则下述命题中的真命题是（    ） A．过P总可以作一条直线与a、b都平行； B．过P总可以作一条直线与a、b都垂直； C．过P总可以作一平面与a、b都平行； D．过P总可以作一平面与a、b都垂直． 2．（23-24高二·全国·课后作业）如图，正方体的棱长为a，动点E、F在棱上，且，动点P、Q分别在棱AB、CD上．现有两个命题：①的面积为定值；②点P到平面EFQ的距离为定值．则有（    ）． A．①②都真； B．①真、②假； C．①假、②真； D．①②都假． 3．（2023·陕西·高考真题）已知平面 平面，直线，直线．点，点．记点A、B之间的距离为a．点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）在棱长为2的正方体中，异面直线与的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（23-24高二·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，所有边长和对角线长度均为1，点P在棱AB上，点Q在棱CD上，则PQ之间的最短距离是（    ）． A． B． C． D． 6．（2025高一下·全国·专题练习）如图是正四面体的平面展开图，DM，CN分别是，的中线，以下说法正确的是（    ） A． B．DM与CN为异面直线 C．若，则异面直线的距离为 D．异面直线与所成角为 7．（2024·四川·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，给出下列三个结论： ①； ②点到直线的距离的最小值是； ③当时，三棱锥外接球的表面积为． 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．（23-24高一·全国·课后作业）下列命题其中是真命题的有（    ） ①两条异面直线的公垂线有无数条； ②异面直线之间的距离就是两条异面直线上点之间距离的最小值； ③过两条异面直线中的一条有且只有一个平面与另一条直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．（23-24高一·全国·课后作业）如图，二面角的平面角为锐角，是内的一点（它不在棱上），点是在平面内的射影，点是上满足为锐角的任意一点，那么（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 10．（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）已知在正方体中，分别是棱的中点，是棱上一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①异面直线与之间的距离为定值； ②平面平面； ③设平面平面，则； ④直线与平面所成的角为. A．4 B．3 C．2 D．1 11．（24-25高二·上海·课堂例题）已知正方体的棱长为a，异面直线DB与之间的距离为 ． 12．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，已知长方体中，，，，则异面直线与距离是 ． 13．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，已知长方体中，，，，则异面直线与BC距离是 ． 14．（24-25高二上·广东汕头·期中）在四面体ABCD中，，，，M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段长度的最小值为 ． 15．（23-24高二上·上海杨浦·期中）如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，，异面直线与之间的距离为 . 16．（2025高三·全国·专题练习）已知长方体底面边长分别为2，1，正四面体的四个顶点分别在长方体的顶点及长度为1的棱所在的直线上，求长方体的高． 17．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在四面体ABCD中，已知所有棱长都为a．求两异面直线与之间的距离． 18.（23-24高二·上海·课堂例题）在的二面角的棱上，有两个点分别是这个二面角的两个面上垂直于的线段．已知，，．求的长． 19.（24-25高二上·上海·课堂例题）已知在正四棱柱中，，，点E为中点，点F为中点．求证：EF为异面直线与的公垂线． 20．（24-25高二上·上海·课堂例题）在空间四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、BC的中点．求证：线段EF是异面直线AD，BC的公垂线． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5异面直线间的距离重难点题型专训 （2个知识点+1大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 求异面直线的距离 拓展训练一 正方体、长方体中异面直线的距离 拓展训练二 异面直线间距离的应用 知识点一：异面直线公垂线定理 1.内容：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交。 【即时训练】 1．（24-25高二·上海·课堂例题）两条异面直线之间的距离是（    ） A．和两条异面直线都垂直相交的直线； B．和两条异面直线都垂直的直线； C．它们的公垂线的两个垂足之间的线段长； D．两条直线上任意两点间的距离． 【答案】C 【分析】根据异面直线的距离定义即可求解. 【详解】由题意，根据异面直线的性质可得，两条异面直线的距离即为它们的公垂线夹在垂足间的线段的长， 故选：C. 2．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）在四面体中，若，则异面直线与的距离为 ． 【答案】 【分析】分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，AF，BF，EF，证得EF为异面直线AB和CD的公垂线求解. 【详解】如图所示： 分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，AF，BF，EF， 因为， 所以， 又因为E为中点， 所以，同理， 所以EF为异面直线AB和CD的公垂线， 所以， 故答案为： 知识点二：两条异面直线的距离相关概念 1.公垂线 与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线。 2.公垂线段 公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段。 3.两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离。 【即时训练】 1．（24-25高二·上海·课堂例题）若直线a和已知直线b满足：①a、b是异面直线，②a、b之间的距离是定值，③a与b所成的角也是定值，则直线a（    ） A．仅有一条； B．有两条； C．有四条； D．有无数条． 【答案】D 【分析】在直线上取点，过点作直线，利用线面距离求解异面直线距离即可得解. 【详解】在直线上取点，过点作直线，直线确定平面，显然，则， 在平面内与直线平行的任意直线都符合题意，所以直线a有无数条. 故选：D 2．（24-25高二·上海·课堂例题）在正方体中，棱长为a，所在直线与成异面直线且距离为a的棱有 条． 【答案】4 【分析】由异面直线的判定可得结论． 【详解】解：在正方体中， 与成异面直线的棱且距离为a的有，，，，共4条． 故答案为：4． 【经典例题一 求异面直线的距离】 【例1】（23-24高二上·北京房山·期中）已知长方体中，，则异面直线与的距离是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，因为面，与的距离等于与面的距离等于，所以，求出即可得答案 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、， 如图，因为面，与的距离就是与面的距离， 明显可见，面，所以，与面的距离为，又因为，则，则与面的距离为2，所以，与的距离为2 故选：C. 【例2】（23-24高二下·重庆·期末）已知是边长为的正三角形所在平面外一点，，点、分别是、的中点， （1）求证：为异面直线与的公垂线段; （2）求异面直线与的距离. 【答案】(1)证明见解析；（2） . 【分析】（1）连结、，推导出，，由此能证明线段是异面直线与的公垂线段． （2）在中，求出，由此能求出异面直线与的距离． 【详解】证明：（1）连结、． 由、为等边三角形，为的中点， ．又为的中点，． 同理，．又与、都相交， 故线段是异面直线与的公垂线段． 解：（2）在中，，， 故异面直线与的距离为． 1．（24-25高二上·福建泉州·期中）三棱锥中，，，，，分别是两条相对棱上的动点，则最小距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】由题意三棱锥的对棱相等，可构造长方体使三棱锥的棱长为长方体的面对角线，求出长方体棱长，再当分别为两条棱的中点时，最小，求出即可； 【详解】 由题意可得，三棱锥的对棱相等，可构造长方体，使三棱锥的棱长为长方体的面对角线， 设长方体的长宽高分别为， 则，解得， 由于对棱为异面直线，所以为异面直线间的公垂线时最小， 由长方体的性质可得当分别为两条棱的中点时最小， 此时， 故选：A. 2．（23-24高一·全国·课后作业）空间和两条异面直线同时都垂直且相交的直线（    ） A．不一定存在 B．有且只有1条 C．有1条或不存在 D．有无数条 【答案】B 【分析】利用平行平面确定有都垂直的直线，再利用垂直平面说明有与两条异面直线都垂直且相交的直线，然后用反证法说明这样的直线只有一条． 【详解】如图，是异面直线，过上一点作直线，则相交，设确定的平面为，当直线与平面垂直时，则直线与都垂直，从而也与垂直，因此有与异面直线都垂直的直线， 过与直线平行的平面是唯一的， 设是在平面内的射影，在平面内（即），，是过点的直线，因此，从而与相交，直线是与既垂直又相交的直线， 若与既垂直又相交的直线有两条为，不可能平行（否则共面）， 若不相交，过与的交点作直线，相交， 由确定的平面为（图中未画出）（若相交，则平面就是由确定的平面），可得与平面都是垂直，从而，这是不可能的， 因此与既垂直又相交的直线只有一条， 故选：B． 3．（24-25高二·上海·课堂例题）已知正方体的棱长为a，异面直线DB与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】连接，进而可证得即为公垂线，从而得解. 【详解】 如图，连接与交于点，， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以异面直线DB与之间的距离为， 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）S是矩形所在平面外一点，，，与成60°角，与成30°角，，求：    (1)直线与的距离； (2)求直线与的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明是异面直线的公垂线段，然后结合异面直线所成角以及解直角三角形知识即可求解； （2）先证明是异面直线的公垂线段，然后结合异面直线所成角以及解直角三角形知识即可求解. 【详解】（1）如图所示，在矩形中，． ∵，∴． 又，∴是异面直线的公垂线段，其长度为异面直线的距离． 又，与成30°角， 故在中，是与所成的角，∴． 又，∴，即直线与的距离为； （2）在矩形中，，，∴， 又，∴是直线的公垂线段，其长度为异面直线的距离． 又，故在中，是异面直线与所成的角，∴． 又，∴，∴直线与的距离为． 【拓展训练一 正方体、长方体中异面直线的距离】 【例1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】C 【分析】在上取点，使，连接、，过点作于点，结合题意可得平面，平面，故点到直线距离的最小值为，计算出即可得. 【详解】在上取点，使，连接、，过点作于点， 由，故，又平面， 平面， 故平面，由平面，平面，故， 故，又，，、平面， 故平面，故到平面的距离为， 又在线段上，故点到直线距离的最小值为， 由，故，则， 故. 故选：C. 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，设正方体的棱长为1，求下列异面直线之间的距离： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）依据题意找到公垂线，求解公垂线长度即可. 【详解】（1）由正方体性质得，， 又，，所以是与的公垂线， 由题意得，所以与的距离为. （2）由正方体性质得，， 又，， 所以是与的公垂线， 由题意得，所以与的距离为. 1．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，，利用线面平行的性质即可得到平面，进而得到异面直线与的距离． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，， 且，底面，四边形是矩形． ， 又平面，平面，平面． 直线上任一点到平面的距离是两条异面直线与的距离． 过点作， 平面平面，平面平面，平面． 平面． 过点作交于点，则． 取，连接，则四边形是矩形． 可得平面， 在中，，得． 点到直线的距离的最小值为． 故选：A． 2．（23-24高二上·重庆·期中）如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点F，连接，，利用线面平行的性质即可得到平面，进而得到异面直线与的距离，即为点P到直线距离的最小值． 【详解】    解：如图所示，取的中点F，连接，， ∵，底面， ∴四边形是矩形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， ∴直线上任一点到平面的距离是两条异面直线与的距离， 过点作， ∵平面平面，平面平面， 平面， ∴平面， 过点M作交于点P，则， 取，连接，则四边形是矩形． 可得平面， 在中，， 得， ∴点P到直线的距离的最小值为． 故选：B． 3．（24-25高二·上海·随堂练习）已知正方体的棱长为a，则异面直线与公垂线是 ． 【答案】 【分析】由公垂线的定义求解． 【详解】因为分别与、垂直，， 故是与的公垂线， 故答案为： 4．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，，，．求异面直线与之间的距离． 【答案】 【分析】依据题意转化为点到平面的距离，结合等面积法求解长度即可. 【详解】如图，连接，作，设， 由长方体性质得，， 而，面， 所以面，故， 而由长方体性质得，而面， 面，所以面， 所以异面直线的距离转化为到面的距离， 由等面积公式得， 解得，所以异面直线与之间的距离为. 【拓展训练二 异面直线间距离的应用】 【例1】（23-24高二上·河南商丘·期末）已知菱形中，，沿对角线折起，使二面角的平面角为，若异面直线与的距离是菱形边长的，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找到二面角的平面角为，再证明是异面直线与的距离，在中求解. 【详解】如图，设菱形的边长为，连接两条对角线 易得， 菱形沿对角线折起，连接，得到三棱锥 在菱形中，，翻着后垂直不变，即 所以是二面角的平面角，即 又因为 所以平面，取中点，连接 又因为平面 所以 在中，，并且为的中点， 所以 故是异面直线与的距离 又因为异面直线与的距离是菱形边长的 所以 在中， 所以，又因为 所以 故选：C 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，四面体SABC的所有棱长为a． (1)求异面直线的公垂线段EF的长； (2)求异面直线EF与SA所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，根据三角形的性质可证明是的公垂线段，再根据勾股定理求其长度即可； （2）取的中点，连接，可得和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角，再根据余弦定理求解即可. 【详解】（1）如图，分别取的中点，连接． 由已知，得．所以，是的中点， 所以， 同理可证， 所以是的公垂线段． 在中，， 所以． （2）取的中点，连接，则， 所以和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角， 连接，在中， ， 由余弦定理，得，所以，故异面直线和所成的角为． 1．（2023高三·全国·竞赛）已知菱形的边长为a，．将菱形沿对角线折成二面角，若，则异面直线与距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按沿对角线BD和沿对角线AC折成二面角分别推理计算异面直线与距离的最大值，再比较大小得解. 【详解】如图，在菱形中，，，， 当沿对角线BD折成二面角时，显然，于是得，取AC中点E，连OE，如图， 则，而平面AOC，平面AOC，即有，因此，线段OE长为异面直线与距离， ，而，即，函数在上单调递减， 于是当时，， 当沿对角线AC折成二面角时，显然，于是得，取BD中点M，连OM，如图， 同理，当时，，而， 所以异面直线与距离的最大值为. 故选：C 2．（23-24高二上·浙江·开学考试）已知长方体中，，，用过该长方体体对角线的平面去截该长方体，则所得截面的面积最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论截面的位置，利用异面直线的距离计算截面面积即可. 【详解】假设截面为，易知截面为平行四边形，过点作，垂足为，则截面面积，因为为定值，所以只要最小， 当F在BC上（不含两端点）时，如图所示建立空间直角坐标系，则为异面直线和的公垂线时，EF最小，易知异面直线和的距离即到平面的距离，    ，设面的法向量为， 则，则，令，则，即， 所以BC到面的距离为； 当F在上（不含两端点）时，如图所示，    此时为和的公垂线时，最小．同上可得和的公垂线长为； 当F在上（不含两端点）时，如图所示，      此时EF为和的公垂线，最小．同上可得和的公垂线长为； 故，此时， 易得特殊截面，，， 比较所得. 故选：C. 3．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）如图所示在三棱锥中，侧面底面，底面是边长为1的正三角形，侧面中，，且为棱中点，则直线上任意一点与上任意一点距离的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】若是中点，连接，过作于，由面面、线面垂直的性质找到异面直线、的公垂线，结合异面直线距离的定义及已知求它们的最小距离. 【详解】若是中点，为棱中点，底面是正三角形，连接， 所以，故，    由，则，而侧面底面， 侧面，侧面底面，故面， 又面，则，，面， 所以面，面，则， 过作于，则，又， 所以是异面直线、的公垂线， 故直线上任意一点与上任意一点距离的最小值为长度， 又是边长为1，则，故. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·期中）四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，是的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)求异面直线和之间的距离. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）取中点，连接，作，垂足为，再过点A作，连接，通过构造线面垂直，确定二面角的一个平面角，由等面积法及勾股定理计算即可； （2）利用线面平行的判定，确定异面直线的距离为线面距离结合（1）的结论计算即可. 【详解】（1） 取中点，连接，作，垂足为， 再过点A作，连接， 根据题意可知为正三角形， 则，， 又平面，则平面， 因为平面，则， 又平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，， 在中，， 在中，， 所以二面角的余弦值为. （2）根据底面是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 故平面， 所以线段的长度即为直线与平面间的距离， 也即异面直线和之间的距离. 由上可知，所以异面直线和之间的距离为. 1．（24-25高二·上海·课堂例题）若a与b是异面直线，P是空间一点，则下述命题中的真命题是（    ） A．过P总可以作一条直线与a、b都平行； B．过P总可以作一条直线与a、b都垂直； C．过P总可以作一平面与a、b都平行； D．过P总可以作一平面与a、b都垂直． 【答案】B 【分析】根据空间异面直线以及直线和平面平行或垂直的位置关系分别进行判断即可． 【详解】对于A,若过P总可以作一条直线与a、b都平行，则，进而这与a与b是异面直线矛盾，故A错误 对于B，过作，，则构成一平面，过作，则与均垂直，B正确， 对于C,如图，在正方体中，与为两条异面直线，若位于处时，与，都平行平面需要与平面平行，且不经过，，故过找不到一平面，使得直线，均平行，故C错误 对于D，若过P总可以作平面与都垂直，则，进而这与a与b是异面直线矛盾，故D错误 故选：B． 2．（23-24高二·全国·课后作业）如图，正方体的棱长为a，动点E、F在棱上，且，动点P、Q分别在棱AB、CD上．现有两个命题：①的面积为定值；②点P到平面EFQ的距离为定值．则有（    ）． A．①②都真； B．①真、②假； C．①假、②真； D．①②都假． 【答案】A 【分析】根据线线平行和线面平行的判定定理与性质依次判断命题即可. 【详解】对于①，因为，所以Q到直线的距离h为定值， 而EF为定值，故的面积为定值，所以①真． 对于②，因为，平面EFQ，所以平面EFQ， 故点P到平面EFQ的距离为定值，所以②真． 故选：A 3．（2023·陕西·高考真题）已知平面 平面，直线，直线．点，点．记点A、B之间的距离为a．点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面与平面平行的判断性质，判断最小，再根据点到直线的距离和点到直线上任意点距离判断最大. 【详解】解：由于平面 平面，直线，直线， 所以直线m和n的距离为c即为两平面之间的最短距离， 而由于两直线不一定在同一平面内， 则，当在两直线的公垂线上或两直线在同一平面内时取等号， 又点为直线上的任意一点， 则，当直线垂直直线时，取等号， 所以. 故选：D. 4．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）在棱长为2的正方体中，异面直线与的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据异面直线距离的定义理解运算. 【详解】设， ∵为正方形，则 又∵平面，平面，则 ∴异面直线与的距离为 故选：B. 5．（23-24高二·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，所有边长和对角线长度均为1，点P在棱AB上，点Q在棱CD上，则PQ之间的最短距离是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作图，分析图中的几何关系，找出AB与DC的公垂线，公垂线段的长度即是所求. 【详解】依题意作下图， 由定理知两条异面直线上的点的最短距离为公垂线段的长度， 依题意， 都是边长为1的等边三角形， 取DC边的中点E，AB边的中点F， 则有 平面AEB，即 ， 又 ，∴ 是以E为顶点的等腰三角形， 即 ，EF是异面直线AB与DC的公垂线， 在 中， ， 即PQ之间的最短距离为 ； 故选：C. 6．（2025高一下·全国·专题练习）如图是正四面体的平面展开图，DM，CN分别是，的中线，以下说法正确的是（    ） A． B．DM与CN为异面直线 C．若，则异面直线的距离为 D．异面直线与所成角为 【答案】B 【分析】还原成正四面体，利用反证法可判断AB；连接，可证平面，可证，同理可得，计算可判断C；取中点，连接，可得异面直线与所成角为（或其补角），计算求解即可. 【详解】还原成正四面体，如图， 对于AB，假设，则四点共面， 又上， 与共面，从而共面， 这与为正四面体矛盾，故A错误， 假设不异面，则可得共面，记为平面， 又，，所以平面，平面， 故共面，这与为正四面体矛盾，故B正确． 对于C，连接，由三线合一，得， 从而平面，又平面，． 同理可证，为异面直线的公垂线段． 在中，，， ，故C错误． 对于D，取中点，连接， 则//，，//，， 异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，，， ， 为等腰直角三角形，异面直线与所成角为，故D错误． 故选：B． 7．（2024·四川·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，给出下列三个结论： ①； ②点到直线的距离的最小值是； ③当时，三棱锥外接球的表面积为． 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】 对①，证明平面即可；对②，根据平面，设，则根据为点到直线的距离分析即可；对③，根据外接球的性质，确定三棱锥外接球的直径为的外接圆直径求解即可. 【详解】对①，连接，交于. 因为为正方体，故，平面， 又平面，则. 又，平面，故平面. 又平面，故，故①正确； 对②，由①可得点到直线的距离为，故当时最小， 此时故，，故②正确； 对③，当时，因为平面，平面，故平面平面，即平面平面. 又，故三棱锥外接球球心在平面上，即三棱锥外接球直径为的外接圆直径. 此时，，， 故，故. 设三棱锥外接球的半径为， 则表面积，故③错误. 综上①②正确. 故选：A 8．（23-24高一·全国·课后作业）下列命题其中是真命题的有（    ） ①两条异面直线的公垂线有无数条； ②异面直线之间的距离就是两条异面直线上点之间距离的最小值； ③过两条异面直线中的一条有且只有一个平面与另一条直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】用反证法说明公垂线不可能有无数条判断①，利用点到平面的距离中的最小值结论判断②，假设过两条异面直线中的一条有两个平面与另一条直线平行证明出矛盾结论判断③， 【详解】是异面直线，若与既垂直又相交的直线有两条设为，不可能平行（否则共面）， 若不相交，过与的交点作直线，相交， 由确定的平面为（图中未画出）（若相交，则平面就是由确定的平面），可得与平面都是垂直，从而，这是不可能的， 因此与既垂直又相交的直线只有一条，①错误； 是异面直线，是它们的公垂线段如下图，，，则，点到平面上点的距离的最小值是，因此点到直线的上点的距离都不小于， 而上异于的点到直线上点的连线都不可能与同时垂直，也即不可能与平面垂直，这些线段是平面的斜线段，而到平面的垂线段长等于，因此是所有这些距离中的最小值，②正确； 如图，是异面直线，过上一点作直线，则相交，设确定的平面为，则， 若过还有一个平面与平行，直线确定的平面为，则与相交，交线设为，则由线面平行的性质定理得，从而，但是相交直线，矛盾，所以过不可还有一个平面与平行，即只有一个．③正确． 故选：C． 9．（23-24高一·全国·课后作业）如图，二面角的平面角为锐角，是内的一点（它不在棱上），点是在平面内的射影，点是上满足为锐角的任意一点，那么（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【答案】A 【分析】过C向AB做垂线交AB于F，连接DF，由直角三角形可知，再由的正切即可比较大小. 【详解】过C向AB做垂线交AB于F，连接DF，如图， 因为，，所以， 因为，，，平面， 所以AB面CDF，平面，所以， 在直角三角形CDF中，CF为斜边DF为直角边，所以， 在直角三角形中，， 在直角三角形DEF中，， 由知， 故选：A 10．（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）已知在正方体中，分别是棱的中点，是棱上一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①异面直线与之间的距离为定值； ②平面平面； ③设平面平面，则； ④直线与平面所成的角为. A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】①中，异面直线之间的距离找公垂线段；②中，面面平行结合性质定理验证；③中，线面平行的性质定理可证；④中，由线线角确定线面角，计算角的大小验证. 【详解】如图所示： 对于①，过点作的平行线，与相交于点，则为异面直线与的公垂线段，且长度等于正方体棱长，所以异面直线与之间的距离为定值，①正确； 对于②，平面平面，平面平面，若平面平面，则有，而不一定成立，②错误； 对于③，平面平面，平面，所以平面， 平面，平面平面，则，③正确； 对于④，为的中点，连接， 平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，直线与平面所成的角为， 在中，，，直线与平面所成的角为，④正确. 故选：B 11．（24-25高二·上海·课堂例题）已知正方体的棱长为a，异面直线DB与之间的距离为 ． 【答案】a 【分析】利用异面直线距离的意义求解即得. 【详解】在正方体中，平面平面， 且平面，平面，因此平面与平面的距离为， 而平面，平面， 所以异面直线DB与之间的距离为面与平面的距离. 故答案为：    12．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，已知长方体中，，，，则异面直线与距离是 ． 【答案】 【分析】根据正方体的性质找出异面直线的公垂线，即可求出异面直线的距离； 【详解】 因为平面，则异面直线与距离是过作的垂线即的边上的高，， 则， 故答案为： 13．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，已知长方体中，，，，则异面直线与BC距离是 ． 【答案】4 【分析】因为分别与、垂直，故是与的公垂线，即可求解． 【详解】因为分别与、垂直，故是与的公垂线， 所以的长4就是与之间的距离， 故答案为：4 14．（24-25高二上·广东汕头·期中）在四面体ABCD中，，，，M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段长度的最小值为 ． 【答案】3 【分析】将该四面体放置于长方体中，列方程求出长方体长宽高，再转化为求异面直线距离即可. 【详解】如图，将四面体放入长方体中，分别为矩形的中心， 设，，， 则，，， 得，，． 由图易知直线与异面，则线段长度的最小值即为求两异面直线距离， 即长方体的二平行平面间的距离. 故答案为：3 15．（23-24高二上·上海杨浦·期中）如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，，异面直线与之间的距离为 . 【答案】 【分析】由条件计算各边长度，将棱锥补成长方体，在长方体找到的公垂线段，求出长度即可. 【详解】因为平面，所以， 所以，所以， 因为 因此我们将四棱锥构建成长方体. 接下来我们寻找异面直线的公垂线 在平面上的投影为，， 易证平面，故得，， 连接，与相交于，则为的中点， 作的中点，连接，则，，， 所以是的公垂线段，即的长度就是异面直线与之间的距离. 且， 故答案为：. 16．（2025高三·全国·专题练习）已知长方体底面边长分别为2，1，正四面体的四个顶点分别在长方体的顶点及长度为1的棱所在的直线上，求长方体的高． 【答案】2 【分析】根据题意作出正四面体，利用正四面体中，异面直线距离相等即可求高. 【详解】因为任何一个三棱锥均存在唯一的外接平行六面体，只要分别过三组对棱作三组平行平面， 即能围成所要的平行六面体（如图23）．    反之，任意一个平行六面体也一定内接一个四面体，且长方体对应的四面体一定是对棱相等 的四面体，正方体对应的一定是正四面体． 由于一组对棱（与）距离是2，即，故另一组对棱（与）也为2， 即高． 17．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在四面体ABCD中，已知所有棱长都为a．求两异面直线与之间的距离． 【答案】. 【分析】取的中点，连接，证明为异面直线与的公垂线段，解三角形求其大小. 【详解】取的中点，连接， 因为， 所以，又平面，， 所以平面，平面， 所以， 由已知可得，为中点， 所以， 所以为异面直线与的公垂线段， 因为，， 所以， 所以异面直线与之间的距离为. 18．（23-24高二·上海·课堂例题）在的二面角的棱上，有两个点分别是这个二面角的两个面上垂直于的线段．已知，，．求的长． 【答案】 【分析】过点作，，连接，结合二面角定义求，解三角形求. 【详解】过点作，且， 则四边形为平行四边形，所以，， 因为，所以， 又，所以为二面角的平面角， 由已知，，又， 所以， 因为，平面， 所以平面，平面， 所以，由， 所以，又， 所以， 所以的长为. 19．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知在正四棱柱中，，，点E为中点，点F为中点．求证：EF为异面直线与的公垂线． 【答案】证明见解析 【分析】连接BD，取BD的中点M，连接MC，,、,证明四边形EFMC为矩形及即可证明. 【详解】连接BD，取BD的中点M，连接MC，,、, 因为F为的中点，所以且． 又且，则四边形EFMC为矩形，所以． 在中，，F为的中点，所以， 所以EF为异面直线与的公垂线． 20．（24-25高二上·上海·课堂例题）在空间四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、BC的中点．求证：线段EF是异面直线AD，BC的公垂线． 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形全等得，进而可得，同理可证，即可得证. 【详解】连接AF、DF、BE、CE． 在△ABD和△ACD中，，，． ∴．又E是AD中点， ∴． 在△BEC中，又F是BC的中点， ∴． 同理， ∴EF是异面直线AD、BC的公垂线． 学科网（北京）股份有限公司 $$